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8.2


第2节
三点剖析:

中心

原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (其中 c= a ? b )
2 2

原点 O(0,0) (─a,0), (0,b) , (0,─b) X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (其中 c= a ? b )
2 2

椭圆的简单几何性质

顶点 对称轴

焦点 一、教学大纲及考试大纲要求: 1. 熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点等简单几何性质 焦距
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2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系

离心率
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯

e=

c (0 < e < 1) a

e=

c (0 < e < 1) a

3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 4.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性; 5. 能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题; 6. 能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题 二、重点与难点 教学重点: 教学重点:椭圆的几何性质,椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 教学难点: 教学难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 三、本节知识理解 1.学法点拨
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准线

a2 x= ± c
r = a ± ex

a2 x= ± c
r = a ± ex

焦半径 通径

2b 2 a

2b 2 a

椭圆 定义 1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.(0<e<1) 图形
P N1 O F1 N2

? A, B, C ≠ 0 ? AC > 0 ? 2 2 说明:1. Ax + By = C 表示椭圆的充要条件为: ? ? BC > 0 ?A ≠ B ?
2.离心率 e(0 < e < 1) 表示椭圆的扁平程度

y

y
N2 K2

B2

A2
P F2

3.椭圆的参数方程常用于求最值。 4.直线与椭圆有三种位置关系:相交(割线)相切(切线)相离

K1

A1

F2

A2

K2

x

B1
B1

O F1

B2
N1

x
5.椭圆

A1
K1

xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为: 02 + 02 = 1 2 a b a b



标 准 方 程 参 数 方 程

x2 y2 + =1 a2 b2
( a > b >0)

x2 y2 + =1 a2 b2
( a > b >0)

6. a.弦长公式 b.弦的中点(点差法)

精题精讲
2 2 例 1 求椭圆 16 x + 25 y = 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出



? x = a cos θ ? y = b sin θ ? (参数θ为离心角)
─a≤x≤a,─b≤y≤b

? x = a cos θ ? y = b sin θ ? (参数θ为离心角)
─a≤x≤a,─b≤y≤b

它的图形.

范围

例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。
第 1 页 共 6 页

x2 y2 (1) + =1 25 16

x2 y2 (2) + =1 25 9

(1)若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的 2 倍. (2)若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形. (3)设 F1 , F2 为椭圆

x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点,以 F1 为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一 a 2 b2

例 3 分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。

个交点 M,若直线 F2 M 与圆 F1 相切.

(1)

x y + =1 9 4

2

2

(2)

x y + =1 49 36

2

2

(4)若 F1 , F2 分别为椭圆

x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一 a 2 b2

(1) x + 4 y = 4 例 4 写出下列椭圆的准线方程:
2 2

x2 y 2 (2) + =1 16 81

个交点,且 ∠PF1F2 = 5∠PF2 F1 .
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例 5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3,0)点,离心率 e=

6 。 3

(2)过点(3,-2)且与椭圆 4x 2 + 9y 2 = 36 有相同焦点。 (3)长轴长与短轴长之和为 10,焦距为 4 5 。

(4)中心在原点,离心率为

5 ,准线方程为 x = 3 。 3
例 7 已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 与 x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M,使 MA a 2 b2
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(5)中心在原点,对称轴在坐标轴上,x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且 此焦点与长轴上较近的端点距离是 10 ? 5 。 ⊥MO,求椭圆离心率的取值范围

例 8 椭圆 例 6 求满足下列条件的椭圆的离心率.
第 2 页 共 6 页

x2 y2 + = 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点的距离 100 36

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(1) 若 ∠F1PF2 =

π ,求 PF1F2 的面积; 3

(2) 若 ∠F1PF2 为钝角,求点 P 横坐标的取值范围.

例 9 设 F ( ?c, 0 ) , F2 ( c, 0 ) 分别为椭圆 1

x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, P ( x 0 , y0 ) 是椭圆上 a 2 b2
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一点,求证: PF = a + ex 0 , PF2 = a ? ex 0 1

x 2 y2 + = 1 内一点 P(1,-1) 是椭圆的右焦点,点 M 在椭圆上, ,F (1)求点 M 坐 例 13 已知椭圆 4 3
标,使 PM + 2 MF 最小; (2)求点 M 坐标,使 PM + MF 最大.

例 10 椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) ,其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求椭 a2 b2

圆方程

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例 14 把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程 (1) ? 例 11 已知椭圆的中心在原点,长轴在 x 轴上,离心率 e =

? x = 3 cos ? (?为参数) ? y = 4 sin ?

(2)

x2 + y2 = 1. 8

3 3 ,已知点 P( 0, ) 到这个椭圆上的点 2 2

的最远距离是 7 ,求这个椭圆方程.

例 15 已知椭圆 ?

? x = cos ? 1 (a > 0, b > 0, ?为参数) 上的点 P( x, y ),求 x + y 的取值范围. 2 ? y = 2 sin ?

例 12 已知 F1 , F2 是椭圆

x 2 y2 + = 1 的两个焦点,点 P 是椭圆上一点. 100 64

2 2 ,求 AB 及直 例 16 已知直线 l 与椭圆 4x + 9y = 36 相交于 A、B 两点,弦 AB 中点坐标(1,1)

线 l 的方程。
第 3 页 共 6 页

例 17 已知椭圆

x2 + y2 = 1 2

基础达标
1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0)、(1,0) C.(- 6 ,0)、( 6 ,0) ) B.(-6,0)、(6,0) D.(0,- 6 )、(0, 6 )

(1)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (2)过 A(2,1) 引椭圆的割线,求截得得弦的中点轨迹方程; (3) 求过点 P ( , ) ,且被 P 平分的弦所在的直线方程.

1 1 2 2

2.已知点(m,n)在椭圆 8x2+3y2=24 上,则 2m+4 的取值范围是( ) A.[4-2 3 ,4+2 3 ] C.[4-2 2 ,4+2 2 ] B.[4- 3 ,4+ 3 ] D.[4- 2 ,4+ 2 ]

3.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴上、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6 4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的设心率是( )

1 一个焦点为 0, 50 的椭圆被直线 y = 3x ? 2 截得的弦的中点横坐标为 , 例 18 已知中心在原点, 2
求此椭圆的方程.

(

)

A.

1 5

B.

3 4

C.

3 3

D.

1 2

5.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 x2 y2 + 2 =1 与椭圆 + =1 有相同的长轴,椭圆 2 + 2 =1 的短轴长与椭圆 25 16 a2 b a b

焦点在坐标轴上, 直线 x + y = 1 被椭圆截得的弦 AB 的长为 2 2 , 例 19 已知椭圆的中心在原点, 且 AB 的中点 C 与椭圆中心的连线的斜率为

2 ,求这个椭圆的方程. 2

例 20 已知椭圆

x 2 y2 + = 1 上有两个不同点关于直线 y = 4x + m 对称,求 m 的取值范围. 4 3

y2 x2 + =1 的短轴长相等,则( ) 21 9 A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9 C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 x2 y2 x2 y2 6.已知椭圆 C: 2 + 2 =1 与椭圆 + =1 有相同离心率,则椭圆 C 的方程可能是( 4 9 a b x2 y2 x2 y2 A. + =m2(m≠0) B. + =1 8 4 16 64 x2 y2 + =1 D.以上都不可能 C. 8 2 x2 y2 7.椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的准线方程是( ) b a
A.y=±



a2
B.y=±

a2 a2 ? b2

a2 + b2

第 4 页 共 6 页

b2
C.y=± D.x=±

a2 a2 ? b2

a2 ? b2
8.若椭圆上的点 P 到焦点的距离最小,则 P 点是( ) A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点 C.不是椭圆的端点 D.以上都不对 9.已知椭圆

? x = 5 cos θ (θ为参数)的准线方程为( 15.曲线 ? ? y = 4 sin θ
A.x=±



25 3

B.y=±

25 3

C.x=±

25 4

D.y=±

25 4

综合发展
x y 16 3 3 + 2 =1(a>b>0)的两准线间的距离为 ,离心率为 ,则椭圆方程为( 2 3 2 a b
B.
2 2



A.

x2 y2 + =1 4 3

x2 y2 + =1 16 3

C.

x2 y2 + =1 16 12

D.

x2 y2 + =1 16 4


10.两对称轴都与坐标轴重合,离心率 e=0.8,焦点与相应准线的距离等于

x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 25 9 25 9 x2 y2 C. + =1 16 9
A. 11.已知椭圆

9 的椭圆的方程是 ( 4 x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 25 9 25 16 y2 x2 D. + =1 25 16

x2 x2 y2 y2 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( ) 25 9 9?k 25 ? k A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的准线 2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标准方程 是( )
1.椭圆

x2 y2 7 3 4 3 + 2 =1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为 ,中心到准线的距离为 ,则椭 2 3 3 a b
) B.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 B. + =1 或 + =1 16 9 9 16 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C. + =1 或 + =1 D.椭圆的方程无法确定 25 16 25 16 3.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 ( )
A.

圆的方程为( A.

x +y2=1 4

2

12.椭圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =

x2 2 +y =1 2 3x + 4 y + 8

C.

x2 y2 + =1 4 2


D.

x2 y2 + =1 8 4

y2 x2 + =1 81 72 y2 x2 C. + =1 81 45
A. 4.已知点(3,2)在椭圆

B.

y2 x2 + =1 81 9 y2 x2 D. + =1 81 36

的离心率为(

25
C.

1 A. 25

1 B. 5

1 10

D.无法确定

? x = 3 cos ? π 13.设 O 是椭圆 ? 的中心,P 是椭圆上对应于 ? = 的点,那么直线 OP 的斜率为( 6 ? y = 2 sin ?
A.



x2 y2 + 2 =1 上,则( ) a2 b A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)(3,-2)(-3,2)是否在椭圆上 、 、 5.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是
26,cos ∠ OFA=

3 3

B. 3

C.

3 3 2

D.

2 3 9

5 ,则椭圆的方程是( ) 13
B.

? x = 4 cos θ (θ为参数)中参数θ的值为( 14.点(2,3 3 )对应曲线 ? ? y = 6 sin θ
A.kπ+



A.

x2 y2 + =1 169 144 y2 x2 x2 y2 + + =1 或 =1 144 25 169 144

y2 x2 + =1 169 144 x2 y2 y2 x2 + + =1 或 =1 169 144 169 144

π
6

(k∈Z)

B.kπ+

π
3

(k∈Z)

C.2kπ+

π
6

(k∈Z)

D.2kπ+

π
3

(k∈Z)

C.

D.

第 5 页 共 6 页

x2 y2 6.曲线 + =xy( ) 25 9
A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 2 2 7.求椭圆 25x +y =25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率.

圆上点的最短距离为 2- 3 ,求椭圆的方程.

16.已知椭圆的一个焦点是 F(1,1) ,与它相对应的准线是 x+y-4=0,离心率为

2 ,求椭圆的方程. 2

8.AA′是椭圆 的轨迹方程.

x2 y2 + =1(a>b>0)的长轴,CD 是垂直于长轴的弦,求直线 A′C 和 AD 的交点 P a2 b2
17.已知点 P 在椭圆

y2 x2 + =1 上(a>b>0),F1、F2 为椭圆的两个焦点,求|PF1|·|PF2|的取值范围. a2 b2

y2 x2 9.椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的焦点到准线的距离为( ) a b
A.

18.已知点 P 在椭圆 x2+8y2=8 上,并且 P 到直线 l:x-y+4=0 的距离最小,求 P 点的坐标

b2 a2 ? b2

B.

2a 2 ? b 2 a2 ? b2

C.

b2 a2 ? b2


2a 2 ? b 2 a2 ? b2

D.

a2 a2 ? b2
19.已知 P(x,y)是椭圆

x2 y2 + =1 上的点,求 u=x+y 的取值范围. 144 25

10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为( A.



1 2 2 1 B. C. D. 4 2 4 2 x2 y2 11.椭圆 + =1 上点 P 到右焦点的最值为( ) 25 9 A.最大值为 5,最小值为 4 B.最大值为 10,最小值为 8 C.最大值为 10,最小值为 6 D.最大值为 9,最小值为 1 12.椭圆的长轴长为 10,短轴长为 8,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是( ) A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8] 13.若椭圆的长轴长为 200,短轴长为 160,则椭圆上的点到焦点的距离的范围是( ) A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100]
14.P 是椭圆

20.已知点 A(0,-1)及椭圆

x2 y2 + =1,在椭圆上求一点 P 使|PA|的值最大. 169 144

x2 y2 + = 1 上的点, 1、 2 是两个焦点, F F 则|PF1|· 2|的最大值与最小值之差是 |PF 4 3

.

15.椭圆

y2 x2 3 + 2 = 1 (a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c) 2(0,c)(c>0),离心率 e= ,F ,焦点到椭 2 2 a b
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