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2010工科数分第一学期期中试题(信二学习部整理)



课程编号:MTH17003

北京理工大学 2010-2011 学年第一学期

工科数学分析期中试题(信二学习部整理)
班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________

(本试卷共 6 页, 十一个大题. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸, 试卷背

面也可做草稿纸. 试卷不得拆散.)

题号





















十 一

总分

得分 一. 填空题(每小题 2 分, 共 10 分) 1. 已知 f 是可导函数, y ? e f
2

( x)

? f (arcsin x 2 ), 则

dy ? _______________________________________________ .
2. 已知 y ? ax 是 y ? ln x 的一条切线, 则切点坐标为_______________. 3. lim
x ?0

x(e x ? 1) ? 2(e x ? 1) (e x ? 1) ? arctan x
2

? ______________ .

? d2y ? x ? ln 1 ? t 2 4. 设 ? , 则 ? _____________________ . dx 2 ? ? y ? arctan t
5. 函数 f ( x) ?

1 1? e
x 1? x

的第一类间断点为___________, 第二类间断点为_____________.
1

sin x x 2 二. (8 分) 求极限 lim( ) . x ?0 x

1

三. (8 分) 已知方程 e y cos x ? x ? y ? 1 确定函数 y ? y ( x), 求

dy dy , dx dx

x ?0

.

四. (9 分) 设 a1 ? 0, a n ?

a n ?1 ? 3 (n ? 2,3, ?) , 证明数列 {a n } 有极限, 并求此极限. 4

2

1 ? 2 ? x sin x ? 五. (9 分) 已知 f ( x) ? ?a 2 ?1 ? b cos x ? x ?

x?0 x?0 x?0
是连续函数, 求 a, b 的值, 并求 f ?( x) .

六. (9 分) 一开口容器上部分是圆柱体, 底部为半球形, 当容积为常数 a 时, 球的半径为多 少时所使用的材料最少? 此时圆柱体的高为多少? (要求用微积分的方法).

3

七. (12 分) 设 y ?

x4 , 研究函数的性态, 并作出函数的图形. (1 ? x) 3

4

八. (9 分) 证明不等式

1 1 ? ?1 x ln(1 ? x)

( x ? 0).

九. (10 分) (1) 已知当 x ? 0 时, tan x ? sin x 与 ax k 是等价无穷小, 求 a 与 k 的值; (2) 设当 x ? 0 时, f ( x) 与 tan x ? sin x 是等价无穷小, 求 f ( x) 的 3 阶麦克劳林公 式(带佩亚诺余项), 并求 f ???(0).

5

十 . (7 分) 设 f ( x) 具有二阶连续导数 , 且 lim
x ?0

f ??( x) ? ?1, 证明 (0, f (0)) 是曲线 y ? f ( x) ln(1 ? x)

的拐点.

1 十一. (9 分) 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f (0) ? f (1) ? 0, f ( ) ? 1, 证明: 2 1 (1) ?? ? ( ,1), 使 f (? ) ? ? ; (2) ?? ? (0,? ), 使 f ?(? ) ? 1 ? f (? ) ? ? ? 0. 2

6



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