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数列性质练习题及答案


数列性质练习题题(中等难度)
一、选择题 1、如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

2、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

3、设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64

4、设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11

S5 ? S2

5、已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.

2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

6 、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ? ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?? ? log2 a 2n? 1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

7、 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 ,若 D. 90

.

8、设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

7 8 (C) (D)3 3 3 9、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是
(A) 2 (B) (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 ( )

10、无穷等比数列 1,

2 1 2 , , , …各项的和等于 2 2 4

A. 2 ? 2

B. 2 ?
2 2

2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

11、数列 {an } 的通项 an ? n (cos A. 470 B. 490

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 3 3
C. 495 D. 510
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

12、设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 二、填空题

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

13、设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ?



14 、 在 等 比 数 列 ?a n ? 中 , 若 公 比 q=4 , 且 前 3 项 之 和 等 于 21, 则 该 数 列 的 通 项 公 式

an ?



15、设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



16 、 已 知 数 列 {an } 满 足 : a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则 a2009 ? ________ ;

a2014 =_________.
三、解答题 17、已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 sn .
.

18、已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) 设 ?bn ? an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

19、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

20、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

21、数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ; (2) bn ?

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

答案
1.【答案】C 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2
a4 ? 4. a3

2.解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? 3.答案:A 【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 5.【答案】B 【解析】 设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比

为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
5

6. 【 解 析 】 由 a5 ? a n2 ?

2 ? 2 2 n , a n ? 0 , 则 an ? 2 n , ? 22n ( n ? 3得 ) an

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
答案:C
2 7. 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ? d ? 60 ,.故选 C 1 2 S8 ? 8a1 ?
8. 【解析】设公比为 q ,则

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以

S6 (1 ? q3 ) S3 =1+q3=3 ? q3=2 ? S3 S3

于是 【答案】B

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

.

9. [解析]:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即

?a ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? n a ? 0 ? n ?1
10. 答案 B 11. 答案:A

【解析】由于 {cos

2

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 ? (?

12 ? 22 42 ? 52 282 ? 292 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A 2 2 2 k ?1

12. 【答案】B 【解析】 可分别求得 ? 数列.

? 5 ? 1? ? ? ?? ? 2 ? ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比 2 2

13. 解析:填 15.

3? 2 ? S3 ? 3a1 ? d ?3 ? ?a ? ?1 ? 2 ,解得 ? 1 ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?

14. 【答案】 4

n-1

【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4 15. 答案:15 【解析】对于 s4 ?

n-1



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

16. 【答案】1,0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , 17. 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
.

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ?a1 ? ?4d
解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9?

18. 19. 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 20. 解 : ( I

n 。 4(n+1)
) 由

a1 ? 1, b1 ,?



Sn?1 ? 4an ? 2 2a? 1 3?





a1 ?

a 4 2 ?

aa 21? ?3 , 2

a1 ? 2

?5

a2?

由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .①

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又? bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2
n?1

,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4 n ? n ? 2n? 2 ? sin 2 ? cos 21. 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) 12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 2 2 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2
? 13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ? ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n? 3 k? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? . 故 3 3 ? 22 n ?3 22 n ?1


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