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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 指数与指数函数学案 理


"吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 指数 与指数函数学案 理
一、知识梳理: 1、分数指数幂与无理指数幂 (1) 、如果 ,那么 x 就叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 ;当 n 是正奇数 "

时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,当 n 是偶数时,正数 的 n 次方根有两个,这两个是互为相反数,负数没有偶次方程,0 的任何次方根都是 0 (2)、 叫根式,n 叫根指数,a 叫被方数。



有意义的前提下,

= ,当 n 为奇数时,

=a ;当 n 是偶数时,

=| a |

(3) 、规定正数的正分数指数幂的意义是

=

(a>0,m,n

1) ,正数

的负分数指数幂的意义为

=

(a>0,m,n

1) , 0 的正分数指数幂是 0,

0 的负分数指数幂没有意义。 (4) 、一般地,无理数指数幂 2、指数幂的运算性质 (a>0,k 是无理数) ,是一个确定的实数。

3、指数数函数及性质 (1)指数函数的定义:

1
1

(2) 、指数函数的图象及性质 图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分 a 1 与 a<1 两种情况。

二、题型探究 [探究一]、根式、指数幂的运算 例1、 (1) 、化简:

1 ? 0.25 (0.25) + ( ) 3 -625 =_____________. 27
-0.5

1

(2) 、 [探究二]、利用指数函数的单调性比较大小 例2、 已知

)

(

)(

,试用“<”或“>”填入下列空格:

;

(

;

(

;

;

(

(

[探究三]、利用指数函数的单调性解方程不等式问题 例 3:解关于 x 的不等式
2
2

[探究四]、考察指数函数的图象的变换 例 4:已知函数 范围。 存在实数 a,b(a<b) ,满足 , 的取值

三、方法提升: 1、指数函数是种重要的基本初等函数因为它在定义域内只是单调增函数( 者是单调减函数( 1)或

),所以涉及指数函数的单调性问题比较简单, 在高考中,

通常考查指数函数与二次函数的复合函数, 指数函数与其它函数进行各种运算后的函 数等,多与导数结合,主要考察函数的单调性; 2、本节复习的内容多数都是在小题中考察的,比如指数幂、指数值的比较大小问题、 函数图象的应用问题。 四、反思感悟:

五、课时作业:指数与指数函数同步练习 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、化简 ?1 ? 2

? ?

?

1 32

1 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? 16 8 4 2 ,结果是( 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ??
1 ? ? ? B、 ?1 ? 2 32 ? ? ? ?1



1 ? ? 1? A、 ?1 ? 2 32 ? 2? ?

?1

C、 1 ? 2

?

1 32

D、

1 ? ? 1? 32 1 ? 2 ? ? 2? ?

3
3

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( 2、 ? ? ? ? ? ? ? ?
A、 a
16

4

4


4 2

B、 a
b

8

C、 a
?b

D、 a

3、若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a A、 6 B、 ?2

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(
C、 ?2 D、2



4、函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ?

2
)

D、1 ? a ? 2

5、下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ?

1 f ( x) 的是( 2
C、 2
x

A、

1 ( x ? 1) 2

B、 x ?

1 4

D、 2

?x

6、下列 f ( x) ? (1 ? a x )2 ? a? x 是( A、奇函数 B、偶函数

) C、非奇非偶函数
2 2
a

D、既奇且偶函数
b

a ?b ; 7、 已知 a ? b, ab ? 0 , 下列不等式 (1) (2) 2 ? 2 ; (3)
?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ? 3? ? 3?
A、1 个 B、2 个 ) C、既奇又偶函数 ) C、 ? ?1, ?? ?
a b

1 1 1 1 ? ; (4) a 3 ? b 3 ; a b

) C、3 个 D、4 个

2x ? 1 8、函数 y ? x 是( 2 ?1
A、奇函数 9、函数 y ? A、 ? ??,1?

B、偶函数

D、非奇非偶函数

1 的值域是( 2 ?1
x

B、 ? ??,0? ? ? 0, ???

D、 (??, ?1) ? ? 0, ???
4

4

10、已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图像必定不经过( A、第一象限 11、F ( x) ? ?1 ? B、第二象限 C、第三象限



D、第四象限 )

? ?

2 ? 且 f ( x ) 不恒等于零, 则 f ( x) ( ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数, 2 ?1 ?
x

A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这 批设备的价值为( ) A、 na(1 ? b%) B、 a(1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%)n ] D、 a(1 ? b%)n

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上) 13、若 10x ? 3,10 y ? 4 ,则 10
x? y

?



?1? 14、函数 y ? ? ? ?3?

?2 x 2 ?8 x ?1

(?3 ≤ x ≤ 1) 的值域是
2



15、函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是 16、若 f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ?

。 。

三、 解答题: (本题共 6 小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a
2 x2 ?3 x ? 2

? a2 x

2

?2 x ?3



18、已知 x ?? ?3, 2? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

5
5

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 19、设 a ? R , f ( x) ? 2x ? 1

?1? 20、已知函数 y ? ? ? ? 3?

x2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域。

21、若函数

的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围。

22、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x ) 是 R 上的增函数。

6
6

指数与指数函数同步练习参考答案

15、 ? 0, ??? ,令 y ? 3U ,U ? 2 ? 3x2 , ∵ y ? 3U 为增函数,∴ y ? 32?3x 的单调递
2

减区间为 ? 0, ??? 。 16、 0, f (125) ? f (53 ) ? f (52?2?1 ) ? 2 ? 2 ? 0 三、解答题 17 、∵ 0 ? a ? 1 , ∴ y ? a x 在 ? ??, ??? 上为减函数,∵ a
2 x2 ?3 x ? 2

? a2 x

2

?2 x ?3

, ∴

2 x 2 ? 3x ? 2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? x ? 1
1 1 1? 3 ? 18、 f ( x) ? x ? x ? 1 ? 4? x ? 2? x ? 1 ? 2?2 x ? 2? x ? 1 ? ? 2? x ? ? ? , 4 2 2? 4 ?
∵ x ?? ?3, 2? , ∴
2

1 ≤ 2? x ≤ 8 . 4

则当 2

?x

?

1 3 ?x ,即 x ? 1 时, f ( x ) 有最小值 ;当 2 ? 8 ,即 x ? ?3 时, f ( x ) 有最大 2 4

值 57。 19、要使 f ( x ) 为奇函数,∵ x ? R ,∴需 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,
7
7

2 2 2 x ?1 , f ( ? x) ? a ? ? x ?a? x ∴ f ( x) ? a ? x ,由 2 ?1 2 ?1 2 ?1 a? 2 2 x ?1 2(2 x ? 1) ? a ? ? 0 2 a ? ? 0 ,? a ? 1 。 , 得 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
U

?1? 2 20、令 y ? ? ? , U ? x ? 2 x ? 5 ,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是 ? ??, ?1? 上的 3 ? ?

?1? 减函数, ? ?1, ?? ? 上的增函数,∴ y ? ? ? ? 3?
2

x2 ? 2 x ?5

在 ? ??, ?1? 上是增函数,而在
x2 ? 2 x ?5

1? ? ?1, ??? 上是减函数,又∵ U ? x ? 2x ? 5 ? ( x ?1) ? 4 ≥ 4 , ∴ y ? ? ? ? ? 3?
2



? ? 1 ?4 ? 值域为 ? 0, ? ? ? 。 ? ?3? ? ? ?
21、 y ? 4x ? 3 ? 2x ? 3 ? 22 x ? 3 ? 2x ? 3 ,依题意有

?(2 x ) 2 ? 3 ? 2 x ? 3 ≤ 7 ? ??1 ≤ 2 x ≤ 4 ? x x 即 ,∴ 2 ≤ 2 ≤ 4或0 ? 2 ≤1, ? x 2 ? x x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ≥ 1 ? ?2 ≥ 2或2 ≤ 1
由函数 y ? 2x 的单调性可得 x ? (??,0] ? [1, 2] 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a x1 ? 1 a x2 ? 1 2a x1 ? 2a x2 x x 且a 1 ? a 2 ) ? ? ? 0 (∵分母大于零, a x1 ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1)
8
8

∴ f ( x ) 是 R 上的增函数。

9
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