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2015-2016学年湖南省醴陵二中、四中高二(上)期末考试数学(理)试题(解析版)



2015-2016 学年湖南省醴陵二中、四中高二(上)期末考试 数学(理)试题
一、选择题 1.命题 p : ?x ? R, x2 ≥ 0 的否定是( A. ?x ? R, x2 ≥ 0 C. ?x ? R, x2 ? 0 【答案】B 【解析】试题分析:全称命题的否定是特称命题,所以 ? p : ?x0 ? R, x 2 ? 0 ,故选 B. 【考点】1.全称命题;2.特称命题. 2.抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标是(
2



B. ?x ? R, x2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 0

) C.( ,0 )

A.( 0 ,

1 ) 8

B.( 0, ?

1 ) 8

1 8

D.( ?

1 ,0 ) 8

【答案】B
2 【解析】试题分析:抛物线的标准形式 x ? ?

1 1? ? y ,所以焦点坐标是 ? 0,? ? ,故选 B. 2 8? ?

【考点】抛物线的性质 3.已知向量 a=(0,2,1) ,b=(-1,1,-2) ,则 a 与 b 的夹角为( ) A.0° B.45° C.90° D.180° 【答案】C 【解析】试题分析: a ? b ? 0 ? ?? 1? ? 2 ?1 ? 1? ?? 2? ? 0 ,所以 a 与 b 的夹角为 90 0 , 故选 C. 【考点】空间向量的运算 4.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是(
x

? ?

?

?

) D. (2,??)

A. (??,2) 【答案】D

B.(0,3)

C.(1,4)

x x x 【解析】试题分析: f ??x? ? e ? ?x ? 3?e ? ?x ? 2?e ,当 f ??x ? ? 0 时,即 x ? 2 ,

区间为 ?2,??? ,故选 D. 【考点】导数与函数的单调性 5.已知点 A(3,0) 、B(-3,0) ,|AC|-|BC|=4,则点 C 轨迹方程是( A.

) .

x2 y2 - =1 4 5

第 1 页 共 11 页

B. C. D.

x2 y2 - =1 (x<0) 4 5 x2 y2 - =1 (x>0) 4 5

x2 y2 - = 0 (x<0) 4 5 【答案】B

【解析】试题分析: AC ? BC ? CA ? CB ? 4 ? 6 ,故点 C 是以 A, B 为焦点的双曲 线 的 左 支 , 2 a ? 4 , 2c ? 6 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 5 , 所 以 点 C 的 轨 迹 方 程 是

x2 y2 ? ? 1?x ? 0? ,故选 B. 4 5
【考点】双曲线的定义 6.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 ( 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 【答案】B

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

【解析】试题分析: y ? ?

?2 x ? 1? ? 2 x ? ? 1 ?2 x ? 1?2 ?2 x ? 1?2

,当 x ? 1 时, y ? ? ?1 ,所以切

线方程是 y ? 1 ? ??x ? 1? ,整理为 x ? y ? 2 ? 0 ,故选 B. 【考点】导数的几何意义 7.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB =a, AD =b, AA 1 =c,则用向 量 a,b,c 可表示向量 BD1 等于( )

A.a+b+c B.a-b+c 【答案】D

C.a+b-c

D.-a+b+c

【解析】试题分析: BD1 ? BD ? DD1 ? AD ? AB ? DD1 ?b ? a ? c ,故选 D. 【考点】空间向量 2 2 8. .方程 mx +(m+1)y =m(m+1) ,m∈R 表示的曲线不可能是( ) . A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 【解析】试题分析: m ? 0 ,或 m ? ?1 时,方程表示直线,当 m ? 0 且 m ? ?1 时,方 程表示为

?

? ?

x2 y2 ? ? 1 , 当 m?m ? 1? ? 0 , 即 - 1 ? m ? 0 时 , 表 示 双 曲 线 , 当 m ?1 m

第 2 页 共 11 页

?m ? 0 时,即 m ? 0 ,表示椭圆,当 m ? ?1 时不表示任何曲线,所以方程不可能 ? ?m ? 1 ? 0
表示的曲线是抛物线,故选 D. 【考点】曲线与方程 9 .已知命题 p1 : 存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 成立; p2 : 对任意的 x ? ?1, 2? ,

x 2 ? 1 ? 0. 以下命题为真命题的是(
A. ?p1 ? ?p2 【答案】C B. p1 ? ?p2

) C. ?p1 ? p2 D. p1 ? p2

【解析】试题分析:命题 p1 : ? ? 0 ,所以 x 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,故命题为假命题, 命题 p 2 :对任意的 x ? ?1, 2? , x 2 ? 1 ? 0. 为真命题,即 p1 假, p 2 真,那么 ?p1 ? p 2 是 真命题,故 F 选 C. 【考点】复合命题 10. 设 M 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个点,F1 , F2 为焦点, ?F1MF2 ? 60? , 则 ?MF 1 F2 的 25 9
) C.16, 3 3 D.18, 3 3

周长和面积分别为 ( A.16, 3 【答案】D

B.18, 3

【 解 析 】 试 题 分 析 : 2a ? 10 , 2c ? 8 , 所 以 ?MF 1 F2 的 周 长 为

MF1 ? MF2 ? F1 F2 ? 10 ? 8 ? 18
F1 F2
2

,















? MF1 ? MF 2

2

2

? 2 MF1 MF 2 cos 60 0 ? ? MF1 ? MF 2

?

2

? 3 MF1 MF 2 ,

即 MF1 MF 2 ?

100 ? 64 36 1 ? ? 12 ,所以 S ? ? 12 ? sin 60 0 ? 3 3 ,故选 D. 3 3 2

【考点】椭圆的几何性质 11.从椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是 a2 b2

椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB//OP(O 是坐标原点) , 则该椭圆的离心率是( ) A.

2 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

【答案】C 【解析】试题分析: P? ? ? c,

? ?

b2 a

? b2 b ? ? ? ? ? ? ? ? ,整 A a , 0 B 0 , b , , , , 即 k ? k OP AB ? ac a ?

第 3 页 共 11 页

理为 b ? c ,那么 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2c 2 ,即

c 2 ,故选 C. ? a 2

【考点】椭圆的几何性质 12 . 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PD ? 平 面 A B C D, 且

P D ? A D? 1 , AB ? 2 ,点 E 是 AB 上一点,当二面角 P ? EC ? D 为
( )

? 时, AE ? 4

A. 1

B.

1 2

C. 2 ? 2

D.

2? 3

【答案】D 【解析】试题分析:以点 D 为原点建立空间直角坐标系,DA,DC,DP 分别为 x, y , z 轴,D (0,0,0),E(1,a,0),C(0,2,0),P(0,0,1), PE ? ?1 ,a,?1? , PC ? ?0,2,?1? ,

? ? ? x ? ay ? z ? 0 ? ?m ? PE 设平面 PEC 平面的法向量为 m ? ?x, y, z ? ,即 ? , 那么 ? ,解 ? 2y ? z ? 0 ? ? m ? PC ?
?x ? 2 ? a ? 得 : ?y ? 1 , 平 面 D E C 的 法 向 量 为 DP ? ?0, 0, 1? , 那 么 ?z ? 2 ?

? c o? m s , DP ? ?
D. 【考点】空间向量

2

?2 ? a ?

2

?5

?

2 ,解得 a ? 2 ? 3 ,所以 AE ? 2 ? 3 ,故选 2

二、填空题 13.如图,阴影部分的面积是___________

【答案】

32 3

第 4 页 共 11 页

【解析】试题分析:

? ?3 - x
1 -3

2

1 ?1 5 32 ? . ? 2 x dx ? ? 3x ? x 2 ? x 3 ? ? ? ?? 9? ? 3 ??3 3 3 ?

?

【考点】定积分的应用 14.若 a ? (1,1, 0) , b ? (?1, 0, 2) ,且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是_____ 【答案】

7 5

【解析】试题分析: ka ? b 2a ? b ? 2ka 2 ? ?2 ? k ?ab ? b 2 ? 4k ? k ? 2 ? 5 ? 0 , 解得: k ?

? ? ??
?

?

?

?

?

??

?

7 . 5

【考点】空间向量的运算 3 2 15.已知 f(x)=x +3x +a(a 为常数) ,在[-3,3]上有最小值 3,那么在[-3,3]上 f(x)的最大值是__________. 【答案】57 【解析】 试题分析: f ??x? ? 3x 2 ? 6 x ? 3x?x ? 2? , 当 f ??x ? ? 0 时,x1 ? ?2 或 x2 ? 0 ,

f ?? 3? ? a , f ?3? ? 54 ? a , f ?? 2? ? 4 ? a , f ?0? ? a , 所 以 函 数 的 最 小 值 是 f ?? 3? ? f ?0? ? a ? 3 ,函数的最大值是 f ?3? ? 54 ? a ? 57 .
【考点】导数与函数的最值 16.设曲线 y ? x
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令
.

an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为
【答案】-2

【解析】 试题分析: y? ? ?n ? 1?x , 所以切线方程是 y ? 1 ? ?n ? 1??x ? 1? , 当 y ? 0 时,
n

xn ?

n n ?1





a n ? lg

n ? lg n ? lg( n ? 1) n ?1







a1 ? a2 ? ......? a99 ? lg1 ? lg 2 ? lg 2 ? lg 3 ? ......? lg 99 ? lg100 ? lg1 ? lg100 ? ?2
. 【考点】1.导数的几何意义;2.裂项相消法求和. 三、解答题 2 2 17.已知 p:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;q:关于 x 的方程 x -x+a=0 有实数根;如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (-∞,0)∪ ? , 4? . 【解析】试题分析:本题以命题的形式考察了一元二次不等式与其方程实根的问题,命 题 p 是真命题,即 a=0 或 ?

?1 ?4

? ?

?a ? 0 ,若命题 q 是真命题,? ? 0 ,若仅有一个为真命题, ?? ? 0

即一真一假,所以分别计算 p 真 q 假,或 p 假 q 真的不等式,求 a 的取值范围. 第 5 页 共 11 页

试题解析:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立?a=0 或 ? 关于 x 的方程 x -x+a=0 有实数根?1-4a≥0?a≤ 如果 p 真,且 q 假,有 0≤a<4,且 a>
2

2

?a ? 0 ?0≤a<4; ?? ? 0

1 ; 4

1 1 ,∴ <a<4; 4 4 1 如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4,且 a≤ ,∴a<0. 4
综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪ ? , 4? . 【考点】复合命题 18. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? AD , E 、 F 分别是棱 PD 、 BC 的中点.

?1 ?4

? ?

(1)求证: EF // 平面PAB (2)求直线 PF 与平面 PAC 所成角的正切值. 【答案】 (1)详见解析; (2)

17 . 17

【解析】试题分析: (1)要证明线面平行,根据线面平行的判定定理,即证明线线平行, 线面平行,所以取 PA 中点 G ,连接 GE, GB ,证明四边形 EFBG 是平行四边形; (2)根 据空间向量的应用,先求平面 PAC 的法向量 n ,然后根据 sin ? ? cos ? PF, n ? ,求 解. 试题解析: (1)证明:取 PA 的中点 G,连接 BG,EG ? E 为 PD 的中点

?

?

? GE //

1 AD , 2

又 F 为 BC 的中点, BC // AD ,

? BF //

1 AD , 2

? GE //BF ,

? 四边形 BFEG 为平行四边形
? EF / /BG ,
第 6 页 共 11 页

又 EF ? 平面PAB , BG ? 平面PAB

? EF // 平面PAB
(2)如图所示以 AB、AD、AP 分别为 X 轴、Y 轴、Z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 设 PA=2,则 A(0,0,0) ,P(0,0,2) ,C(2,2,0),F(2,1,0)

?? ??? ? ? ?n ? AP ? 2 z ? 0 设平面 PAC 的一个法向量 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ?? ???? ? ?n ? AC ? 2 x ? 2 y ? 0

? n ? ( 1,?1 , 0 ) ,又 PF ? ( 2,1 , ? 2 )
设直线 PF 与平面 PAC 所成角为 ? ,

?? ??? ? n ? PF 2 ?1 ? 0 2 ? ??? ? ? ?sin ? ? ?? ? 6 | n || PF | 2 ?3
? cos? ? 34 , 6
17 17 ,故直线 PF 与平面 PAC 所成角的正切值为 17 17

? tan? ?

【考点】1.线面平行的判定;2.线面角. 19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 【答案】 (Ⅰ) a ? 4, b ? 24 ; (Ⅱ)详见解析.

【解析】试题分析: (Ⅰ)根据导数的几何意义,可得 ?

? f ??2? ? 0 ; ? f ?2? ? 8

(Ⅱ)首先求 f ??x ? ? 0 的自变量的值,然后判断导数为 0 的点的两侧的导数是不是变 号,根据导数的符号得到函数的单调区间以及极值点. 试题解析: (Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?? ?? ? ? f ? 2? ? 8 ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ?

∴?

(Ⅱ)∵ f ( x) ? 3x ? 12 ,
' 2

由 f ( x) ? 3x ? 12 ? 0 ? x ? ?2 ,
' 2

第 7 页 共 11 页

当 x ? (?? , ? 2) 时, f 当 x ? (?2 , 2) 时, f
'

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,
'

当 x ? (2, ? ?) 时, f

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,

∴此时 x ? ?2 是 f ( x) 的极大值点, x ? 2 是 f ( x) 的极小值点. 【考点】导数的基本应用 20.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点.

(1)求证:BD⊥AE (2)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小. 【答案】 (1)详见解析; (2)

2? . 3

【解析】试题分析: (1)要证明线线垂直,先证明线面垂直,所以观察几何体,先证明

BD ? 平面 PAC ,而要证明线面垂直,先证明线与平面内的两条相交直线垂直,即证明

BD ? AC , BD ? PC ; (2)法一,几何法,观察 ?ADE ? ?ABE ,所以可选择在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连结 BF,∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角,或法二,采用空间向量的方法, 以点 C 为原点,CD,CB,CP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,分别
求两个平面的法向量, cos? ? cos ? n1 , n2 ? 或 cos? ? cos? - ? n1 , n2 ? . 试题解析: (1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. 连结 AC,∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD?平面 ABCD, ∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ∵AE?平面 PAC. ∴BD⊥AE. (2)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连结 BF. ∵AD=AB=1,DE=BE= 1 ? 1 ? ∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. 第 8 页 共 11 页

? ?

? ?

2 ,AE=AE= 3 ,

∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角. 在 Rt△ADE 中,DF=

AD ? DE 1 ? 2 6 6 , ∴ BF ? . ? ? 3 AE 3 3

又 BD= 2 ,在△DFB 中,由余弦定理得 cos∠DFB=

DF 2 ? BF 2 ? BD 2 1 ?? , 2 DF ? BF 2

∴∠DFB=

2? 2? ,即二面角 D-AE-B 的大小为 3 3

解法 2:如图,以点 C 为原点,CD,CB,CP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系.则 D(1,0,0) ,A(1,1,0) ,B(0,1,0) ,E(0,0,1) ,

从而 DA =(0,1,0) , DE =(-1,0,1) , BA =(1,0,0) , BE =(0,-1,1) .[Zx 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , n2 ? ? x2 , y2 , z2 ?

??

?? ?

?? ??? ? ?? ? ? y1 ? 0 ? n1 ? DA ? 0 由 ? ?? ???? ,取 n1 ? ?1,0,1? ?? ?? x1 ? z1 ? 0 ? ?n1 ? DE ? 0 ?? ? ??? ? ?? ? ? ? x2 ? 0 ? n2 ? BA ? 0 由 ? ?? ,取 n2 ? ? 0, ?1, ?1? ?? ? ??? ? ?? y2 ? z2 ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0 ?? ?? ? n1 ? n2 ?1 1 ?? , 设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ ,则 cos ? ? ?? ?? ? ? 2 2? 2 n1 ? n2
∴θ =

2? 2? ,即二面角 D-AE-B 的大小为 3 3

【考点】1.线面垂直的判定定理;2.二面角. 21.已知椭圆 C :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 ,设直线 2 2 2 a b

l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)已知直线 l 与圆 x ? y ?

2 相切,求证: OA ? OB ( O 为坐标原点) ; 3
第 9 页 共 11 页

x2 ? y2 ? 1; 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)详见解析. 2
【解析】试题分析: (Ⅰ)

c 2 ,再将点代入椭圆方程,根据 a 2 ? b 2 ? c 2 ,待定 ? a 2

系数法求椭圆方程; (Ⅱ)首先直线与圆相切,得到圆心到直线的距离等于半径的公式,直线与椭圆方程联 立,得到根与系数的关系,并代入 x1 x2 ? y1 y 2 ,证明其等于 0. 试题解析: (Ⅰ)? 离心率e ?
? 椭圆方程为
c 2 ? ,a 2 ? b 2 ? c 2 ,? a 2 ? 2b 2 a 2

2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,将点 M (1, ) 代入,得 b 2 ? 1 , a 2 ? 2 2 2 2b b
x2 ? y2 ? 1 . 2

? 所求椭圆方程为

(Ⅱ)因为直线 l 与圆 x2 ? y 2 ?
? y ? kx ? m,
2 2 ?x ? 2 y ? 2

|m| 6 2 2 2 2 ? 相切,所以 ,即 m ? (1 ? k ) 2 3 3 3 1? k
2

由, ?

得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0
2 2

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?
2m2 ? 2 4km , , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 m2 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) = k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 =

??? ? ??? ? 2m2 ? 2 m2 ? 2k 2 3m2 ? 2k 2 ? 2 OB ? x1 x2 ? y1 y2 = 所以 OA? = =0,故 OA ? OB 。 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 【考点】1.待定系数法求椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系. x 22.已知函数 f(x)=e -ax(a 为常数)

(1) 若 f ( x ) 在 ?0, ?? ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围, (2) 若 f ( x ) 的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1.求 a 的值及函数 f(x)的极值; 2 x (3)证明:当 x>0 时,x <e ; 【答案】 (1) a ? 1 ; (2)详见解析; (3)详见解析. 【解析】试题分析: (1)转化为 f ??x ? ? 0 ,当 x ? ?0,??? 时,可以采用参变分离的方 法转化 a ? e 为恒成立的问题;
x

(2)根据 f ??0? ? ?1 ,先求 a ,然后求导数为 0 的自变量,再求其两侧的导数符号, 判定两侧的单调性得到极值; ( 3 )设函数 g ?x ? ? e ? x ,并求 g ??x ? ? 0 恒成立,
x 2

第 10 页 共 11 页

g ?x ? ? g ?0? 恒成立,即证明结论.
试题解析: (1)由 f(x)=e -ax,得 f ′(x)=e -a. ∴ f ( x ) 在 ?0, ?? ? 上单调
x x

递增,
x 则 f ′(x)=e -a. ? 0 在 ?0, ?? ? 上恒成立,∴ a ? 1

(2)由已知可得,f ′(0)=1-a=-1,得 a=2. x x 所以 f(x)=e -2x,f ′(x)=e -2. 令 f ′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. ln 2 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,且极小值为 f(ln 2)=e -2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. x 2 x (3)证明:令 g(x)=e -x ,则 g′(x)=e -2x. 由(2)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 2 x 所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e 【考点】1.导数与函数的极值;2.导数与函数的单调性;3.导数与不等式的证明.

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