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肇庆市2012届高三第二次模拟考试(理数)



肇庆市中小学教学质量评估 2012 届高中毕业班第二次模拟试题 数 学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签

字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题目指 定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 1.参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3 4 3 2 球的表面积公式 S ? 4? R ,体积公式 V ? ? R 其中 R 为球的半径 3
1 n

2.样本数据 x1 , x 2 ,? ? ?, x n 的样本方差 s 2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ??? ? ( xn ? x )2 ] ,其中 x 为样本平均数. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i

2 ?z ? z C. 3 ? i D. 3 ? i
2

2.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则集合 M ? N ? A. (?2, ??) 3.已知 A. ? ? B. (?2,3) C. [1,3) D. R

ABCD 中, AD ? (3,7) , AB ? (?2,3) ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,则 CO 的坐标为
B. ? ,5 ?

????

??? ?

? 1 ? ,5 ? ? 2 ?

?1 ?2

? ?

C. ?

?1 ? , ?5 ? ?2 ?

D. ? ? , ?5 ?

? 1 ? 2

? ?

4.给出以下三幅统计图及四个命题:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况;②2050 年非洲人口大约将达到 15 亿;③2050 年亚 洲人口比其他各洲人口的总和还要多;④从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的是

1

A.①②

B.①③

C. ①④

D.②④

5. “ ? 是锐角”是“ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知某几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的体积为 A. 16 ? 4?

3 B. 16 ? 32? C. 32 ? 8? 3 D. 32 ? 8?
7. 已知 f ( x) ? 2 ? 1 ,g ( x) ? 1 ? x , 规定: 当 | f ( x) |? g ( x) 时,
x 2

h( x) ?| f ( x) | ;当 | f ( x) |? g ( x) 时, h( x) ? ? g ( x) ,则 h( x)
A. 有最小值 ?1 ,最大值 1 C. 有最小值 ?1 ,无最大值 B. 有最大值 1,无最小值 D. 有最大值 ?1 ,无最小值

8 .若对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,其函数图象是连续的,且存在常数 ? ( ? ? R ) ,使得 .下列关于“ ? ? 同 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意的实数 x 成立,则称 f ( x) 是“ ? ? 同伴函数” 伴函数”的叙述中正确的是 A. “

1 ? 同伴函数”至少有一个零点 2

B. f ( x) ? x 是一个“ ? ? 同伴函数”
2

C. f ( x) ? log 2 x 是一个“ ? ? 同伴函数”

D. f ( x) ? 0 是唯一一个常值“ ? ? 同伴函数”

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 | x ? 3 | ? | x ? 3 |? 3 的解集是 ▲ . 10.在数列 {an } , a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? n ,要计算此数列前 30 项的和,现已 给出了该问题算法的程序框图(如图 2 所示) ,请在图中判断框内(1)处 和 执 行 框 中的 ( 2 )处 填上 合 适 的 语句 , 使之 能完 成 该 题 算法 功 能 . (1) ▲ (2) ▲ 11.某车间在三天内,每天生产 10 件某产品,其中第一天,第二天分别生产 出了 1 件、 n 件次品,而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查,若发现有 次品,则当天的产品不能通过. 则第一天通过检查的概率是 项式系数为 5n,则第二天通过检查的概率 ▲ . 12.曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 1 的切线中,斜率最小的切线方程为_ ▲_.
3 2



;若 (1 ? 2 x) 的第三项的二
5

13.若点 P 在直线 l1 : x ? my ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2 与圆 C : ( x ? 5) ? y ? 16 只有一个公共点
2 2

M,且 | PM | 的最小值为 4,则 m ?





2







14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? 2 与 cos? ? sin ? ? 0 ( 0 ? ? ? ? )的交 点的极坐标为 ▲ 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,AB 的延长线上任取一点 C,过 C 作圆的 切线 CD,切点为 D, ?ACD 的平分线交 AD 于 E,则 ?CED ? ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 如图 4,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间 的距离,她在西江南岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一 个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据:?ACD ? 90? ,?ADC ? 60? , ?ACB ? 15? , ?BCE ? 105 ? , ?CEB ? 45? ,DC=CE=1(百米). (1)求?CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离. 17.(本小题满分 12 分) “肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。 ”某科研所为进一步改良肇实, 为此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行试验.选取两大片水塘,每大片水塘分成 n 小片水塘,在总共 2n 小片水塘中,随机选 n 小片水塘种植品种 A,另外 n 小片水塘种植品种 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的小片水塘的数目记为 ? ,求 ? 的分布列和数 学期望; (2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结束后得到品种 A 和品种 B 在每个小片水 塘上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表: 号码 品种 A 品种 B 1 101 115 2 97 107 3 92 112 4 103 108 5 91 111 6 100 120 7 110 110 8 106 113

分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一 品种? 18.(本小题满分 14 分) 如图 5,AB 是圆柱 ABFG 的母线,C 是点 A 关于点 B 对称的点,O 是圆 柱上底面的圆心,BF 过 O 点,DE 是过 O 点的动直径,且 AB=2,BF=2AB. (1)求证:BE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 D—BCE 的体积最大时,求二面角 C—DE—A 的平面角 的余弦值. 19.(本题满分 14 分)

3

数列 {a n } 的前 n 项和记为 Sn, a1 ? t ,点(Sn, a n ?1 )在直线 y ? 2 x ? 1 上,n∈N*. (1)若数列 ?an ? 是等比数列,求实数 t 的值; (2)设 bn ? nan ,在(1)的条件下,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (3) 设各项均不为 0 的数列 {c n } 中, 所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 {c n } 的“积异号数” ,令 c n ?

bn ? 4 ( n ? N? ) ,在(2)的条件下,求数列 {c n } 的“积异号数”. bn

20.(本小题满分 14 分) 已知点P是圆F1: ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 16 上任意一点,点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂 线与PF1交于M点. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x 轴, H为垂足, 延长HK到点Q使得HK=KQ, 连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D, N为DB的中点. 试 判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx( x ? 0) 的图象与直线 y ? 4 相切于 M (1, 4) .
3 2

(1)求 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 上的最大值与最小值; (2)是否存在两个不等正数 s, t ( s ? t ) ,当 s ? x ? t 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的值域是
3 2

? s, t ? ,若存在,求出所有这样的正数 s, t ;若不存在,请说明理由;

4

参考答案
一、选择题
2 2 ?z ? ? (1 ? i) ? 2 ? 2i z 1? i 2C 解析:因为 N ? { y | y ? 1} , M ? N ? [1,3) ???? ??? ? ???? 3D 解析:如图所示, AC ? AB ? AD =(-2,3)+(3,7)=(1,10). ???? 1 ???? ??? ? 1 1 ∴ OC = AC =( ,5).∴ CO =( ? ,-5). 2 2 2

1B 解析:

4B 解析:①显然正确;从条形统计图中可得到:2050 年非洲人口大约将达到近 18 亿,②错;从扇形 统计图中能够明显的得到结论:2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅 统计图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误. 5A 解析: ? 是锐角则有 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ,但 cos ? ? 1 ? sin 2 ? 时, ? 不一定是锐角。 6A 解析:由三视图可知,几何体是底部是一底面对角线长为 2 2 的正方形,高为 4 的长方体,上部 为一球,球的直径等于正方形的边长。设正方形的边长为 a ,则 2a 2 ? (2 2) 2 ,即 a ? 2 ,所以,长方 4 4? 体的体积为 V1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 16 ,球的体积为 V2 ? ? ? ? 13 ?
3 3

故几何体的体积为 V ? V1 ? V2 ? 16 ?

4? . 3

7C 解析:画出 y ?| f ( x) |?| 2x ? 1| 与 y ? g ( x) ? 1 ? x 2 的图象,它们交于 A、B 两点.由“规定” ,在 A、B 两侧, | f ( x) |? g ( x) 故 h( x) ?| f ( x) | ;在 A、B 之间, | f ( x) |? g ( x) ,故 h( x) ? ? g ( x) . 综上可知 , y ? h( x) 的图象是图中的实线部分 ,因此 h( x) 有最小值 -1,无最大值.
1 1 1 1 8A 解析: A 正确,令 x ? 0 ,得 f ( ) ? f (0) ? 0 .所以 f ( ) ? ? f (0) .若 f (0) ? 0 ,显然 f ( x) ? 0 有 2 2 2 2 1 1 2 实数根;若 f (0) ? 0 , f ( ) ? f (0) ? ? ( f (0)) <0 .又因为 f ( x) 的函数图象是连续不断,所以 f ( x) 在 2 2 1 1 1 (0, ) 上必有实数根.因此任意的“ ? 同伴函数”必有根,即任意“ ? 同伴函数”至少有一个零 2 2 2 点.
2 2 , 则 (x ? ?) ? ? x ? 0 , 即 ?? 同伴函数” 2 2 (1 ? ? ) x 2 ? 2? x ? ? 2 ? 0 对任意实数 x 成立, 所以 ? ? 1 ? 2? ? ? ? 0 , 而此式无解, 所以 f ( x) ? x 不是一个“ ? ? 同伴函数” .

B 错 误 . 用 反 证 法 , 假 设 f ( x) ? x 是 一 个 “
2

C 错误.因为 f ( x) ? log 2 x 的定义域不是 R.

D 错误,设 f ( x) ? C 是一个“ ? ? 同伴函数” ,则 (1 ? ? )C ? 0 ,当 ? ? ?1 时,可以取遍实数集,因 此 f ( x) ? 0 不是唯一一个常值“ ? ? 同伴函数” . 二、填空题 9 解析: ? x | x ? ?
? ? 3? 2?

当 x ? ?3 时,有 ?( x ? 3) ? ( x ? 3) ? 3 得 ?6 ? 3 ,无解.
3 3 ,∴ ? x ? 3 . 2 2 3 . 2

当 ?3 ? x ? 3 时,有 x ? 3 ? x ? 3 ? 3 , x ?

当 x ? 3 时,有 x ? 3 ? ( x ? 3) ? 3 ,即 6>3,∴ x ? 3 .综上,有 x ?

5

10. (1)处应填 i ? 30 (3 分) ; (2)处应填 p ? p ? i (2 分) 解析:该算法使用了循环结构,因为是求 30 个数的和,故循环体应执行 30 次,其中 i 是计数变量, 因此判断框内的条件就是限制计数变量 i 的,故应为 i ? 30 .算法中的变量 p 实质是表示参与求和的 各个数,由于它也是变化的,且满足第 i 个数比其前一个数大 i ?1 ,,第 i ?1 个数比其前一个数大 i, 故应有 p ? p ? i .故(1)处应填 i ? 30 ; (2)处应填 p ? p ? i 11 解析:

3 1 (3 分) , (2 分) (1)?随意抽取 4 件产品检查是随机事件,而第一天有 9 件正 5 3
4

品,?第一天通过检查的概率为 P1 ? C9 4 二天通过检查的概率为 P1 ? C84 12 解析: 3x ? y ? 2 ? 0 .
4

C10

?

3 .(2)由第三项的二项式系数为 C52 5

? 10 ? 5n ? n ? 2 ,故第

C10

?

1 . 3

? ? 3 ;当 x ? ?1 时, y? ? 3x2 ? 6 x ? 6 ? 3( x ? 1)2 ? 3 ? 3 . 当 x ? ?1 时, ymin

y ? ?5 . ∴切线方程为 y ? 5 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . 13 解析: ?1 . 画出图形,由题意 l2 与圆 C 只一个交点,说明 l 2 是圆 C 的切线,

由于 PM ? PC ? CM ? PC ? 16 ,所以要 | PM | 最小,只需 | PC | 最小,即点 C
5?0?3 1 ? m2 8 1 ? m2
? ? ? ? 16 ? 4 ,解得 m ? ?1 . 2 ? ? 1? m ? 8
2

2

2

2

2

到 l1 的距离

?

,所以|PM|的最小值为 ? ?

14 解析 1:由 ?

?x ? ? 2 ?x ? 2 ? x2 ? y 2 ? 4 ? ?? ? 2 ? ? 3? ? ?? ?? 或? (舍去)得 ? 2, ? ? 4 ? ?cos ? ? sin ? ? 0 ? y ? ? x ? ? ?y ? 2 ?y ? ? 2

解析 2:由 cos? ? sin? ? 0 ? tan? ? ?1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

3? ? 3? ? ,故交点的极坐标为 ? 2, ? 4 ? 4 ?

15 解析:连接 BD , BD 与 EC 相交于点 F ,设 ?1 ? ?CED , ?2 ? ?DFE ??1 ? ?A ? ?ACE , ?2 ? ?CDB ? ?ECD , ?CDB ? ?A , ?ECD ? ?ACE , ??1 ? ?2 ,而 ?ADB ? 90? ,??CED ? 45°. 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)连结 DE,在?CDE 中, ?DCE ? 360o ? 90o ? 15o ? 105o ? 150o , (1 分)
S?BCD ? 1 1 1 1 1 DC ? CE ? sin150o ? ? sin 30o ? ? ? (平方百米) 2 2 2 2 4

(4 分) (5 分)

(2)依题意知,在 RT?ACD 中, AC ? DC ? tan ?ADC ? 1? tan 60o ? 3 在?BCE 中, ?CBE ? 180o ? ?BCE ? ?CEB ? 180o ? 105 o ? 45 o ? 30 o 由正弦定理 得 BC ?
BC CE ? sin ?CEB sin ?CBE

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

CE 1 ? sin ?CEB ? ? sin 45o ? 2 sin ?CBE sin 30o

∵ cos15o ? cos(600 ? 45o ) ? cos 600 cos 45o ? sin 600 sin 45o
1 2 3 2 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2 在?ABC 中,由余弦定理 AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB

6

可得 AB 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? ∴ AB ? 2 ? 3 (百米)

2

2

6? 2 ? 2? 3 4

(11 分) (12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解: (1) ? 可能的取值为 0,1,2,3,4.
P(? ? 0) ?
P(? ? 3) ? CC CC 16 36 1 1 , P(? ? 1) ? 4 ? , P(? ? 2) ? 4 ? , ? 4 70 70 C8 C8 C8 70
3 1 C4 C4 16 1 1 , P(? ? 4) ? 4 ? ? 4 70 C8 C8 70 1 4 3 4 2 4 2 4

(1 分)

即 ? 的分布列为 ? 0 1 2

3
16 70

4
1 70

P

1 70

16 70

36 70

(4 分)
? 的数学期望为 E(? ) ? 0 ?
1 16 36 16 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 70 70 70 70 70

(6 分)

(2)品种 A 的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为:
1 xA ? (101 ? 97 ? 92 ? 103 ? 91 ? 100 ? 110 ? 106) ? 100 8
sA2 ? 1 ?1 ? 32 ? 82 ? 32 ? 92 ? 0 ? 102 ? 62 ? ? 37.4 n

(7 分) (8 分)

品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为:
1 xB ? (115 ? 107 ? 112 ? 108 ? 111 ? 120 ? 110 ? 113) ? 112 8
sB 2 ? 1 2 2 ?3 ? 5 ? 0 ? 42 ? 1 ? 82 ? 22 ? 1? ? 14.7 n

(9 分) (10 分)

由以上结果可以看出,品种 B 的样本平均数大于品种 A 的样本平均数,且品种 B 的样本方差小于品 种 A,故应该选择种植品种 B. (12 分) 18. (本小题满分 14 分) (1)证明: AB 是圆柱 ABFG 的母线, C 是点 A 关于点 B 对称的点, ∴ AC 垂直圆柱的底面,即 AC ? 平面 BDF , (1 分) ∵ BE ? 平面 BDF ,∴ BE ? AC (2 分) ∵ DE 是圆柱上底面的直径,∴ BE ? BD (3 分) ∵ AC ? 平面 ACD , BD ? 平面 ACD ,且 AC ? BD ? B (4 分) ∴BE⊥平面 ACD (5 分) (2)解: DE 是圆 O 的直径,∴ ?DBE 是直角, DE ? BF ? 2AB ? 4 设 BD ? x,(0 ? x ? 4) ,在直角三角形 BDE 中, BE ? DE 2 ? BD2 ? 16 ? x 2 ? 0 , (6 分)
1 1 x 2 ? 16 ? x 2 ? BD ? BE ? x 16 ? x 2 ? ?4, 2 2 4
2

S?DBE

(8 分)

7

当且仅当 x ? 16 ? x 2 ,即 x ? 2 2 时“ ? ”成立,

(9 分)

∵三棱锥 D ? BCE 的体积等于三棱锥 C ? DBE 的体积,而三棱锥 C ? DBE 的高 BC ? 2 , ∴三角形 BDE 的面积最大时,三棱锥的体积也最大, 此时, BD ? BE ? 2 2 ,即三角形 BDE 是等腰直角三角形 ∴ BO ? DE ∵ AC ? DE ,∴ DE ? 平面 AOC 连结 CO,AO, 从而有 CO ? DE, AO ? DE ,∴ ?AOC 是二面角 C ? DE ? A 的平面角 在三角形 AOC 中, ?AOC ? ?BOC ? ?AOB 又 tan ?BOC ? (10 分) (11 分) (12 分)

? ? BC 2 ? ? 1 , 0 ? ?BOC ? ,∴ ?BOC ? BO 2 2 4
?
4

同理可得 ?AOB ?
cos ?AOC ? cos

,∴ ?AOC ?

?
2

(13 分) (14 分)

?
2

? 0 ,即二面角 C ? DE ? A 的平面角的余弦值为 0 .

(若考生用其它方法进行解答,可参照上面的评分标准给分) 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,当 n ? 2 时,有 ?
?an ?1 ? 2Sn ? 1 , ?an ? 2Sn ?1 ? 1

(1 分) (2 分)

两式相减,得 an?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) , 所以,当 n ? 2 时, ?an ? 是等比数列,要使 n ? 1 时 ?an ? 是等比数列, 则只需
a2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而得出 t ? 1 . a1 t

(4 分)

(2)由(1)得,等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 1 ,公比 q ? 3 ,∴ an ? 3n ?1 (5 分) ∴ bn ? nan ? n ? 3n ?1 ∴ Tn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ?2 ? n ? 3n ?1 ① ② (6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分)
4 bn

上式两边乘以 3 得 3Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ? 3n ①-②得 ?2Tn ? 30 ? 31 ? 32 ? ? ? 3n ?1 ? n ? 3n ∴ Tn ?
2n ? 1 n 1 ?3 ? 4 4

(3) 由(2)知 bn ? n ? 3n ?1 ,∵ cn ? 1 ?

4 4 1 ∵ c1 ? 1 ? ? ?3 , c2 ? 1 ? ? ,∴ c1c2 ? ?1 ? 0 2?3 3 1

(11 分)

8

∵ c n ?1 ? c n ?

4 4 4(2n ? 3) ? ? ? 0, bn bn ?1 n(n ? 1) ? 3 n
(12 分) (13 分) (14 分)

∴数列 {cn } 递增. 由 c2 ?
1 ? 0 ,得当 n ? 2 时,cn>0. 3

∴数列 {cn } 的“积异号数”为 1. 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得, F1 ? 3, 0 , F2 圆 F1 的半径为4,且 | MF2 |?| MP | 从而 | MF1 | ? | MF2 |?| MF1 | ? | MP |? 4 ?| F1 F2 |? 2 3

?

? ?

3, 0

?

(1分) (2分) (3分)

∴ 点 M 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆 , 其中长轴 2a ? 4 , 焦距
2c ? 2 3 ,

则短半轴 b ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 , 椭圆方程为:
x2 ? y2 ? 1 4

(4分) (5分)

(2)设 K ? x0 , y0 ? ,则

x0 2 ? y0 2 ? 1 . 4

∵ HK ? KQ ,∴ Q ? x0 , 2 y0 ? .∴ OQ ? x0 2 ? ? 2 y0 2 ? ? 2

(6 分)

∴ Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的的圆上.即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上.(7 分) 2 y0 又 A ? ?2,0 ? ,∴直线 AQ 的方程为 y ? (8 分) ? x ? 2? . x0 ? 2
? 8 y0 ? 令 x ? 2 ,得 D ? 2, ?. ? x0 ? 2 ? ? 4 y0 ? 又 B ? 2,0 ? , N 为 DB 的中点,∴ N ? 2, ?. ? x0 ? 2 ?
???? ???? ? 2x y ? ∴ OQ ? ? x0 , 2 y0 ? , NQ ? ? x0 ? 2, 0 0 ? . x0 ? 2 ? ?

(9 分)

(10 分)

(11 分)

???? ???? x0 ? 4 ? x0 2 ? 2x y 4x y 2 ∴ OQ ? NQ ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 2 y0 ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 2? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? 0 .
???? ???? ∴ OQ ? NQ .∴直线 QN 与圆 O 相切.

(13 分) (14 分)

21. (本小题满分 14 分)

9

解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , 依题意则有: ?
? f ?(1) ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0, ,即 ? f (1) ? 4 ? ?1 ? a ? b ? 4,

(1 分) 解得 ?
?a ? ?6 ?b ? 9

(2 分)

∴ f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x 令 f ?( x) ? 3x 2 ? 12 x ? 9 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 3 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 上的变化情况如下表:
x
f ?( x) f ( x)

(3 分)

(0,1)
+ 单调递增
?

1 0 4

(1,3)
- 单调递减 ?

3 0 0

(3, 4)
+ 单调递增 ?

4

4

所以函数 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x 在区间 ? 0, 4 ? 上的最大值是 4,最小值是 0. (4 分) (2)由函数的定义域是正数知, s ? 0 ,故极值点 x ? 3 不在区间 ? s, t ? 上; (5 分) ①若极值点 x ? 1 在区间 ? s, t ? ,此时 0 ? s ? 1 ? t ? 3 ,在此区间上 f ( x) 的最大值是 4,不可能等于 t ; 故在区间 ? s, t ? 上没有极值点;
3 2

(7 分)

②若 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x 在 ? s , t ? 上单调增,即 0 ? s ? t ? 1 或 3 ? s ? t ,
3 2 ? ? f (s) ? s =4 ? s ? 6s ? 9s ? s ? s ? 2或s 则? ,即 ? 3 ,解得 ? 不合要求; 2 =4 ?t ? 4或t ? ? f (t ) ? t ?t ? 6t ? 9t ? t

(10 分)

③若 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x 在 ? s, t ? 上单调减,即 1<s<t<3,则 ? 两式相减并除 s ? t 得: ( s ? t ) ? 6( s ? t ) ? st ? 10 ? 0 ,
2 2 2

? f (s) ? t , ? f (t ) ? s


两式相除可得 [ s( s ? 3)] ? [t (t ? 3)] ,即 s(3 ? s) ? t (3 ? t ) ,整理并除以 s ? t 得: s ? t ? 3 , ② 由①、②可得 ?

?s ? t ? 3 2 ,即 s, t 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根, ? st ? 1
(13 分) (14 分)

即存在 s ?

3? 5 3? 5 ,t ? 不合要求. 2 2

综上可得不存在满足条件的 s、t.

10



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