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排列组合中“重复”的产生及纠正



排列组合中“重复” 排列组合中“重复”的产生及纠正
有些类型的排列、 组合应用题是较容易出现错误解法的, 其中产生的错误原因之一是由 于重复造成的。现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正,以期 望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。 一、“至少”问题易重复 例 1:在 100 件产品中有 3 件次品,从这些产品中取出 4 件

,至少有 1 件次品的抽法有多少 种? 解法 1:先在 3 件次品中抽出 1 件,抽法有 C3 种;然后在其余的 99 件产品(含未被抽出的 2 件次品)中任意抽出 3 件,抽法有 C99 种,这样抽出的 4 件产品至少含 1 件次品。根据分 步计数原理,符合题意的抽法有 C3
1 3 ? C99 = 470547 (种) 。 1 3 1

点评:解法 1 是错的,假设 A、B、C 分别为三件次品,D 为某一合格品, “先抽出 A( C3
3

的一种可能) ,再抽 B、C、D( C99 的一种可能) ”与先抽出 B,再抽 A、C、D 是相同的抽 法,所以解法 1 含 3 件次品的抽法重复而导致错误。又,假设 E 是另一合格品, “先抽出 A, 再抽出 B、D、E”与“先抽出 B,再抽出 A、D、E”是相同的抽法,所以解法 1 中多出的 种数还有含 2 件次品的抽法重复在内。 正确方法: 直接法 C3
1 3 2 1 4 4 ? C97 + C32 ? C97 + C33 ? C97 = 456385 或间接法 C100 ? C97 = 456385 种。

2、均分组问题易重复 例 2:将 8 个不同的小球分成四堆,每堆 2 个,共有多少种不同的分堆方法? 解法 1 :分四步完成。首先,从 8 个不同的小球中任意取出 2 个作为一堆 ,有 C8 种取法; 然后,从其余的 6 个小球中任取 2 个作为一堆,有 C 6 种取法;再者,从剩下的 4 个小球中 任取 2 个作为一堆,有 C 4 种取法;最后,留下的 2 个作为一堆,有 C 2 种取法;根据分步 计数原理,共有不同的分堆方法种数为 C8
2 2 2 2 2

? C62 ? C 42 ? C22 = 2520 种。

点评:解法 1 是错误的,比如将 8 个不同的小球编号,对应号码分别为 1,2,3,…,8。 第一种取法:第一次取出 1,2 号球,第二次取出 3,4 号球,第三次取出 5,6 号球,第四 次取出 7,8 号球,分成了四组。第二种取法:第一次取出 7,8 号球,第二次取出 1,2 号 球,第三次取出 3,4 号球,第四次取出 5,6 号球,分成了四组,不难看出这两种取法是同 一种分组方法,因此解法 1 出现重复,导致错误。 正确解法: 根据分步计数原理, 共有 C8
2 4 ? C62 ? C 42 ? C 22 种取法, 再除以均分堆的重复 A4 次,

C82 ? C62 ? C 42 ? C 22 所以共有不同的分堆方法有 = 105 种。 A44
3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复 例 3:6 人任意排成一排照相,甲不排在左端,乙不排在右端,共有多少种不同的排法? 解法 1 :6 个人任意排成一排排法总数为 C 6 种,其中不合题意的排法分两类。第一类:甲 排在左端,其余 5 个人排在剩下的 5 个位置上,有 A5 种排法;第二类:乙排在右端,其余 5 人排在剩下的 5 个位置上,有 A5 种排法。所以适合题意的排法有 A6
5 6 5 6

? 2 A55 = 480 种。

点评:解法 1 是错误的。解法 1 中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。原因:解 法 1 第一类,甲在左端为 A5 中有 左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况, 左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况, 故在“全部减去不符”中,甲在左端乙在右端的情况重复被减去,因而导致错误。 正确解法:在 A6 ? 2A5 的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有 A4 种,
6 5 4

5

所以适合题意的排法有 A6 ? 2 A5 + A4 = 504 种。
6 5 4

4、环排问题易重复 例 4.6 个人围圆桌而坐,一共有多少种不同的排法? ! 解法 1:6 个人围坐,又无其他限制,则总共 6 = 720 种。 点评:6 个人围桌坐和 6 个人坐成一排是不同的,原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。不 妨设 6 个人为 a, b, c, d , e, f ,坐法 a, b, c, d , e, f 与 b, c, d , e, f , a 其实是相同的。为此,可 把某人固定一个位,其余 5 人尽量变换次序,其余 5 人此时可全排为 5 。故正确的解法应 ! 为 (6 ? 1) = 120 种。 ! 5、顺序固定问题易重复 例 5、某人的电子邮箱的密码由 5 位数字组成,为了提高保密程度,他决定再插入两个英文 字母 a、b ,原来的数字及顺序不变,求可构成的新密码的个数。 解法 1:新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成,则可构成的新密码应为 A7 种。 点评: 虽然新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成, 但题中规定原来的数字及顺 序不变,也即在 7 个元素的排列过程中,原来 5 个元素的相对位置是不能改变的。故正确的 方法是先把 7 个不同的元素全排列, 则应是 A7 种方法, 对其中的一类排列分析: 不妨设 a、b
7 7

在第一、二两位,另 5 位上全排,共有 A5 种方法,而这 A5 种方法中只有一种是正确的,所 以正确的方法应是
7 A7 = 42 种。 5 A5

5

5

綜上,解排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到

分类标准明确,分步层次清楚,不“重”不漏。



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