9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

排列组合中“重复”的产生及纠正



排列组合中“重复” 排列组合中“重复”的产生及纠正
有些类型的排列、 组合应用题是较容易出现错误解法的, 其中产生的错误原因之一是由 于重复造成的。现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正,以期 望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。 一、“至少”问题易重复 例 1:在 100 件产品中有 3 件次品,从这些产品中取出 4 件

,至少有 1 件次品的抽法有多少 种? 解法 1:先在 3 件次品中抽出 1 件,抽法有 C3 种;然后在其余的 99 件产品(含未被抽出的 2 件次品)中任意抽出 3 件,抽法有 C99 种,这样抽出的 4 件产品至少含 1 件次品。根据分 步计数原理,符合题意的抽法有 C3
1 3 ? C99 = 470547 (种) 。 1 3 1

点评:解法 1 是错的,假设 A、B、C 分别为三件次品,D 为某一合格品, “先抽出 A( C3
3

的一种可能) ,再抽 B、C、D( C99 的一种可能) ”与先抽出 B,再抽 A、C、D 是相同的抽 法,所以解法 1 含 3 件次品的抽法重复而导致错误。又,假设 E 是另一合格品, “先抽出 A, 再抽出 B、D、E”与“先抽出 B,再抽出 A、D、E”是相同的抽法,所以解法 1 中多出的 种数还有含 2 件次品的抽法重复在内。 正确方法: 直接法 C3
1 3 2 1 4 4 ? C97 + C32 ? C97 + C33 ? C97 = 456385 或间接法 C100 ? C97 = 456385 种。

2、均分组问题易重复 例 2:将 8 个不同的小球分成四堆,每堆 2 个,共有多少种不同的分堆方法? 解法 1 :分四步完成。首先,从 8 个不同的小球中任意取出 2 个作为一堆 ,有 C8 种取法; 然后,从其余的 6 个小球中任取 2 个作为一堆,有 C 6 种取法;再者,从剩下的 4 个小球中 任取 2 个作为一堆,有 C 4 种取法;最后,留下的 2 个作为一堆,有 C 2 种取法;根据分步 计数原理,共有不同的分堆方法种数为 C8
2 2 2 2 2

? C62 ? C 42 ? C22 = 2520 种。

点评:解法 1 是错误的,比如将 8 个不同的小球编号,对应号码分别为 1,2,3,…,8。 第一种取法:第一次取出 1,2 号球,第二次取出 3,4 号球,第三次取出 5,6 号球,第四 次取出 7,8 号球,分成了四组。第二种取法:第一次取出 7,8 号球,第二次取出 1,2 号 球,第三次取出 3,4 号球,第四次取出 5,6 号球,分成了四组,不难看出这两种取法是同 一种分组方法,因此解法 1 出现重复,导致错误。 正确解法: 根据分步计数原理, 共有 C8
2 4 ? C62 ? C 42 ? C 22 种取法, 再除以均分堆的重复 A4 次,

C82 ? C62 ? C 42 ? C 22 所以共有不同的分堆方法有 = 105 种。 A44
3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复 例 3:6 人任意排成一排照相,甲不排在左端,乙不排在右端,共有多少种不同的排法? 解法 1 :6 个人任意排成一排排法总数为 C 6 种,其中不合题意的排法分两类。第一类:甲 排在左端,其余 5 个人排在剩下的 5 个位置上,有 A5 种排法;第二类:乙排在右端,其余 5 人排在剩下的 5 个位置上,有 A5 种排法。所以适合题意的排法有 A6
5 6 5 6

? 2 A55 = 480 种。

点评:解法 1 是错误的。解法 1 中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。原因:解 法 1 第一类,甲在左端为 A5 中有 左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况, 左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况, 故在“全部减去不符”中,甲在左端乙在右端的情况重复被减去,因而导致错误。 正确解法:在 A6 ? 2A5 的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有 A4 种,
6 5 4

5

所以适合题意的排法有 A6 ? 2 A5 + A4 = 504 种。
6 5 4

4、环排问题易重复 例 4.6 个人围圆桌而坐,一共有多少种不同的排法? ! 解法 1:6 个人围坐,又无其他限制,则总共 6 = 720 种。 点评:6 个人围桌坐和 6 个人坐成一排是不同的,原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。不 妨设 6 个人为 a, b, c, d , e, f ,坐法 a, b, c, d , e, f 与 b, c, d , e, f , a 其实是相同的。为此,可 把某人固定一个位,其余 5 人尽量变换次序,其余 5 人此时可全排为 5 。故正确的解法应 ! 为 (6 ? 1) = 120 种。 ! 5、顺序固定问题易重复 例 5、某人的电子邮箱的密码由 5 位数字组成,为了提高保密程度,他决定再插入两个英文 字母 a、b ,原来的数字及顺序不变,求可构成的新密码的个数。 解法 1:新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成,则可构成的新密码应为 A7 种。 点评: 虽然新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成, 但题中规定原来的数字及顺 序不变,也即在 7 个元素的排列过程中,原来 5 个元素的相对位置是不能改变的。故正确的 方法是先把 7 个不同的元素全排列, 则应是 A7 种方法, 对其中的一类排列分析: 不妨设 a、b
7 7

在第一、二两位,另 5 位上全排,共有 A5 种方法,而这 A5 种方法中只有一种是正确的,所 以正确的方法应是
7 A7 = 42 种。 5 A5

5

5

綜上,解排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到

分类标准明确,分步层次清楚,不“重”不漏。



更多相关文章:
排列组合中“重复”的产生及纠正
排列组合中重复排列组合中重复的产生及纠正有些类型的排列、 组合应用题是较容易出现错误解法的, 其中产生的错误原因之一是由 于重复造成的。现举几例...
有关重复的排列组合问题
先挑出 1、2 与后 挑出 1、2 是同一情况,没有先后顺序差别,上面的解法产生...排列组合问题中的重复计... 3页 免费 与几何有关的排列组合题... 3页 免...
排列组合平均分组重复问题排列组合问题中用组合公式平均分组会有重复
排列组合问题中用组合公式平均分组会有重复.例如十个球平均分 5 组用组合公式结 果还要除以 5 的全排列,这个重复是怎样产生的? 把 10 个球平均分成 5 组,则...
排列组合概率专题讲解
排列组合概率专题讲解_高二数学_数学_高中教育_教育专区。排列专题五: 排列、组合...组合的个数, 故在平均分堆过程中就会产生重复,而平均分配给不同的对象过程中...
有关重复的排列组合问题
(第二隔板法) 将 4 个盒子与 5 个小球看成 9 个相同元素,除去两边形成 8...关于排列组合一个问题 暂无评价 2页 ¥1.00 关于排列组合中的分组排......
排列组合常用方法总结(全)
排列组合常用方法总结(全)_理学_高等教育_教育专区。排列组合常用方法总结(全)南方...放入盒中时,必有 一种放法是恰好放入 1 号盒,这时,出现与前一次完全相同的...
排列组合中的典型错误
排列组合中的典型错误 1、重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题、 平均分组问 题等,这些问题要注意避免重复计数,产生错误。 例 1、 5 本不同的书...
排列组合易错题分析
56 排法. 3 3 重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避 免重复计数,产生错误。 例 4(2002 年北京文科高考题)5 本...
排列组合中元素相同不同问题
排列组合中元素相同不同问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。排列组合中元素相同不同问题排列组合中有关元素相同、不同问题 盒子不空(1)5 个不同的小球放入 ...
排列组合之相同元素分配问题
排列组合之相同元素分配问题_数学_自然科学_专业资料。今日推荐 67...排列组合中的分组分配问... 6页 免费 1.2.2组合(3)排列组合中... 暂无评价...
更多相关标签:
有重复数字的排列组合    排列组合 重复剔除法    含重复数字的排列组合    4个数字排列组合重复    abcd不重复排列组合    不重复排列组合    排列组合 可重复抽取    排列组合 重复    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图