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三角函数应用题练习及答案


三角函数的应用题 第一阶梯 [例 1]如图,AD∥BC,AC⊥BC,若 AD=3,DC=5,且∠B=30°,求 AB 的长。 解:∵∠DAC=90° 由勾股定理,有 2 2 2 CD =AD +AC ∵AD=3,DC=5 ∴AC=4 ∵∠B=30° ∴AB=2AC ∴AB=8

1 [例 2]如图,△ABC 中,∠B=90°,D 是 BC 上一点,且 AD=DC,若 tg∠DAC= 4 ,
求 tg∠BAD。 探索:已知 tg∠DAC 是否在直角三角形中?如果不在怎么办?要求∠BAD 的正切值需要满足怎样的条件? 点拨:由于已知中的 tg∠DAC 不在直角三角形中,所以需要转化到直角三角形中,即可地 D 点作 AC 的垂线。 又要求∠BAD 的正切值应已知 Rt△BAD 的三边长,或两条直角边 AB、BD 的长,根据已知可知没有提 供边长的条件,所以要充分利用已知中的 tg∠DAC 的条件。由于 AD=DC,即∠C=∠DAC,这时也可 把正切值直接移到 Rt△ABC 中。 解答:过 D 点作 DE⊥AC 于 E,

? tg?DAC ?

1 4

tg?DAC ?


DE AE

设 DE=k,则 AE=4k ∵AD=DC, ∴∠DAC=∠C,AE=EC ∴AC=8k

tgC ?


AB 1 ? BC 4

设 AB=m,BC=4m 由勾股定理,有 2 2 2 AB +BC =AC



m?

8 17 k 17 32 17 k 17

? BC ?

由勾股定理,有 2 2 2 CD =DE +EC
1

? CD ? 17k
? BD ? 15 17 k 17

由正切定理,有

DB AB 15 ? tg?BAD ? . 8 tg?BAD ?
[例 3]如图,四边形 ABCD 中,∠D=90°,AD=3,DC=4,AB=13,BC=12,求 sinB。 探索:已知条件提供的图形是什么形?其中∠D=90°,AD=3,DC=4,可提供什么知识?求 sinB 应放在什么 图形中。 点拨: 因已知是四边形所以不能求解, 由于有∠D=90°, AD=3, DC=4, 这样可求 AC=5, 又因有 AB=13, BC=12, 所以可证△ABC 是 Rt△,因此可求 sinB。 解:连结 AC ∵∠D=90° 由勾股定理,有 2 2 2 AC =CD +CD ∵AD=3,CD=4, ∴AC=5 ∵AB=13,BC=12 2 2 2 ∴13 =12 +5 ∴∠ACB=90° 由正弦定义,有

AC AB 5 ? sin B ? 13 sin B ?
第二阶梯 [例 1]如图,在河的对岸有水塔 AB,今在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30°,前进 20 米后到 D 处,又测得 A 的 仰角为 45°,求塔高 AB。 探索:在河对岸的塔能否直接测得它的高度?为什么在 C、D 两处测得仰角的含义是什 么?怎样用 CD 的长? 点拨:要直接隔岸测得塔高是不可能的,也不可能直接过河去测量,这时只能考虑如 何利用两个仰角及 CD 长,由于塔身与地面垂直,且 C、D、B 三点共线这时可以构成一个直 角三角形,且有∠ACB=30°,∠ADB=45°,这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。 解:根据仰角的定义,有 ∠ACB=30°,∠ADB=45° 又 AB⊥CB 于 B。 ∴∠DAB=45° ∴DB=AB 设 AB=x
2

由正切定义,有

AB DB AB 及tg?ACB ? . CB ? CD ? x( 3 ? 1) ? CD ? 20, tg?ADB ? ? x( 3 ? 1) ? 20
解得 x ? 10( 3 ? 1) 即塔高 AB ? 10( 3 ? 1) 答:塔高 AB 为 10( 3 ? 1) 米。 第三阶梯 [例 1]已知等腰三角形的顶点为 A,底边为 a,求它的周长及面积。 探索:在现在的已知条件下能否求得周长与面积?如果不能求解是因为什么原因造成的,这时底边为 a, 能否确定腰长及各个内角呢?首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办? 点拨:由于没有相应的图形,所以应先确定图形,若是等腰三角形,应先假设这个三角形是斜三角形, 再根据条件先转化为直角三角形,再求相应的量。 设已知△ABC 中,AB=AC,BC=a(如图) 解:过 A 点作:AD⊥BC 竽 D 点,设∠BAD=α ∵AB=AC

a , ?BAD ? ?CAD ? ? ∴BD=CD= 2
根据正弦定义,有

sin ?BAD ?

BD AB

a a 即AB ? 2 ? . sin ? 2 sin ? a 同理AC ? 2 sin ?
a ∴AB+AC+BC=a+ sin ?
由余切定义,有

ctg ?BAD ?

AD DB

a ? ctg ? ∴AD= 2

3



S ?ABC ?

1 BC ? AD 2



S ?ABC

a2 ? ? ctg? 4

? 注意:也可设∠BAC=α ,则∠BAD= 2 。

[例 2]有一块矩形纸片 ABCD,若把它对折,B 点落在 AD 上 F 处,如果 DC=6cm,且∠DFC=2θ ,∠ECB=θ , 求折痕 CE 长。 探索:根据已知条件图形对折,B 点落在 F 点的含义是什么?它会有怎样的结论?这时又可以形成什么 图形关系?另知 DC 的长能否求折痕呢?又根据条件我们还可以确定什么?这时又可形成怎样的问 题? 点拨:由于 F 点的形成是因对折 B 点而形成的,因此可有△EBC≌△FEC,同时又可有△AEF∽△CDF。 根据已知条件∠DFC=2θ 及∠ECB=θ ,这时就可以形成与角有关的图形。进而可求 CE 的长。 解:根据已知条件,有 △EBC≌△FEC ∴EB=EF,BC=FC,∠ECB=∠ECF ∵∠CFD=2θ ,且∠ECB=θ ∴∠ECF=θ 由余弦定义,有

cos ?ADC ?

CD CF

∵∠ADC=90°-2θ

CF ?


CD sin 2?

由余弦定义,有

? cos ?FCE ? ? CE ?

CF CE

6 sin 2? cos ?

[例 3]如图 6-5-5, 某船向正东方向航行, 在 A 处望见灯塔 C 在东北方向, 前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30°, 又航行了半小时,望见灯塔 C 恰在西北方向,若船速为每小时 20 海里,求 A、D 两点间的距离, (结果不取 近似值)

4

图 6-5-5 思路分析: 易知Δ ACD 是等腰直角三角形,要求 AD,不能利用 Δ ACD 直接求得,由于 BD ? 20 ?

1 ? 10, 图形中再没有 2

其他的直角 三角形, 必须构造直角三角形, 作 CE⊥AD 于 E, 只要求出 CE, 就可能以求出 AD, 借助两个直角三角形 (Δ BCE 和 Δ DCE)中,BE、DE 与 BD 的关系以及 BE 与 CE 之间的关系就可求 CE。 [解] 作 CE⊥AD,垂足为 E,设 CE=x 海里 ∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°, ∴CE=AE=DE=x。 在 RtΔ BCE 中,∠CBE=90°-30°=60°, ∴ BE ? CE ? cot 60? ? 由 DE-BE=BD 得,

3 x, 3

x?

3 1 x ? 20 ? , 3 2

解得 x ? 15 ? 5 3 。 ∴ AD ? 2x ? (30 ? 10 3)(海里) 。 答:A、D 两点间的距离为 (30 ? 10 3) 海里。 第四阶梯 [例 1]有一段防洪大堤,其横断面为梯形 ABCD,AB∥DC,斜坡 AD 的坡度 i1=1:1.2,斜坡 BC 的坡度 i2=1:0.8,大 坝顶宽 DC 为 6 米,为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形 DCFE,EF∥DC,点 E、F 分别在 AD、BC 的延长线上(如图 6-5-6) ,当新大坝顶宽 EF 为 3.8 米时,大坝加高了几米?

5

图 6-5-6 思路分析: 本题实质上是梯形 CDEF 的有关计算问题, 注意到大堤加高但坡度不变, 即 DE、 CF 的坡度公别为 1:1.2,1:0.8, 又 DC=6 米,EF=3.8 米,要求大坝加高的高度,分别作 FH⊥DC 于 G,FH⊥DC 于 H,利用 RtΔ DEG, RtΔ CFH 和矩形 EFHG 可以求出新 大坝的高度. [解] 作 EG⊥DC,FH⊥DC,垂足分别为 G,H,则四边形 EFHG 是矩形,GH=EF=3.8 米. 设大坝加高 x 米,则 EG=FH=x 米。 ∵i1=1:1.2, i2=1:0.8, ∴

EG 1 FH 1 ? , ? . DG 1.2 CH 0.8

∴ DG ? 1.2 x, CH ? 0.8 x. 由 DG+GH+CH=6,得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1 答:大坝加高了 1.1 米。 [例 2]如图 6-5-7,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴,有极强的 破坏力,据气象观测,距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心,其中心最大风力为 12 级, 每远离台风中心 20 千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30°方向往 C 移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响。 (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。 (2)若会受到台风的影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?

图 6-5-7 思路分析: (1)作 AD⊥BC 于 D,达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过(12-4)×20=160 千米的范围 内,
6

比较 AD 与 160 的大小关系,就可以确定该城市是否受这次台风的影响。 (2)当 A 点距台风中心不超过 160 千米时,将受到台风的影响,如图 6-5-7,AE=AF=160 千米,当台风中心 从 E 处移 到 F 处时,该城市都会受到这次台风的影响,利用勾股定理计算出 EF 的长度,就可以计算出这次台风 影响该城 市的持续时间。 (3)显然当台风中心位于 D 处时,A 市所受这次台风的风力最大。 [解] (1)如图 6-5-7,由点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D。 ∵AB=220,∠B=30°,∴ AD ?

1 AB ? 110 (千米 ) 。 2

由题意,当 A 点距台风中心不超过 160 千米时,将会受到台风的影响,由于 AD=110<160,所以 A 市会受 到这次台 风的影响. (2)在 BD 及 BD 的延长线上分别取 E,F 两点,使 AE=AF=160 千米. 由于当 A 点距台风中心不超过 160 千米时,将会受到台风的影响. 所以当台风中心从 E 点移到 F 点时,该城市都会到这次台风的影响. 在 RtΔ ADE 中,由勾股定理,得 DE ? ∴ EF ? 2DE ? 60 15 (千米).

AE2 ? AD2 ? 1602 ? 1102 ? 30 5

∵该台风中心以 15 千米/时的速度移动,∴这次台风影响该城市的持续时间

60 15 ? 4 15 (小时). 15
110 ? 6.5(级) 20

(3)当台风中心位于 D 处时,A 市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为 12 ? 四、 【课后练习】

A组 1.如图:6-5-8,一铁路路基的横断面为等腰梯形,根据图示数据计算路基的下底宽 AB=____。 2.如图 6-5-9,在高 2 米,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 _______米(精确到 0.1 米)

图 6-5-8

图 6-5-9

3.如图 6-5-10,在高离铁塔 150 米的 A 处,用测角仪测得塔顶的仰角为 30°,已知测角仪高 AD=1.52 米,则 塔高 BE=_______(精确到 0.1 米)

7

图 6-5-10



6-5-11 4.某防洪堤坝的横断面是梯形,已知背水坡的坡长为 60 米,坡角为 30°,则坝高为_______ 米。 5.升国旗时,某同学站地离旗杆底部 24 米处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为 30°, 若双眼离地面 1.5 米,则旗杆高度为_______ 米, (用含根号的式子表示) 6.在地面上一点,测得一电视塔尖的仰角为 45°,沿水平方面再向塔底前进 a 米,又测得塔尖的仰角为 60°, 那么电视塔高为_______。 7.若太阳光线与地面成 37°角,一棵树的影长为 10m,则树高 h 的取值范围是( ) A.3<h≤5 B、5<h<10 C.10<h<15 D.h>15 8.河堤的横断面如图 6-5-11 所示。堤高 BC 是 5 米,迎水坡 AB 的长是 13 米。那么斜坡 AB 的坡宽 I 是( ) A.1:3 B、1:2 6 C.1:2.4 D.1:2 9.某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成 80°角。房屋朝南的窗子高 AB=1.8m,要在窗子外 面上方安装一个水平挡光板 AC,使午间光线不能直接射入室内(如图:6-5-12) ,那么挡光板 AC 的宽度至少 应为( )

图 6-5-12 图 6-5-13 A.1.8tan80°m B.1.8cos80°m C.

1 .8 m D.1.8cot80°m sin 80 ?

10.如图 6-5-13,水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽 6 米,坝高 24 米,斜坡 AB 的坡角为 45°,斜坡 CD 的坡度 I=1:2,则坝底 AD 的长为( ) A.42 米 B、 (30+24 3 )米 C、78 米 D、 (30+8 3 )米

11、如图 6-5-14,两条宽度都为 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为 a,则它们重叠部分(图中阴影 部分)的面积为( ) A.

1 sin ?

B.

1 cos ?

C.sina

D.1

8

图 6-5-14 12.如图 6-5-15,直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处,此时飞机离地面的高度 PO=450 米,且 A、B、O 三点在 一条直线上, 测得大桥两端的俯角分别为 α =30°,β =45°, 求大桥 AB 的长 (精确到 1 米, 供选的数据: 2 ≈1.41,

3 ≈1.73).

13.某型号飞机的机翼形状如图 6-5-16 所示,其中 AB∥CD,根据图中的数据计算 AC、BD 和 CD 的长度。 (结果保 留根号) 14.如 6-5-17,某水库大坝的横断面是等腰梯形,坝顶宽度为 6 米,坝高 10 米,斜坡 AB 的坡度是 1:2(AR: BR) ,现要加高 2 米,在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下,加固一条长 50 米的大坝,需要多少土方? 15. 如图 6-5-18,已知 C 城市在 B 城市的正北方向, 两城市相距 100 千米, 计划在两城市间修筑一条高速公路 (即 线段 BC) ,经测量,森林保护区 A 在 B 城市的北偏东 40°方向上,又在 C 城市的南偏东 56°的方向上,已 知森林保护区 A 的范围是以 A 为圆心,半径为 50 千米的圆,问:计算修筑的这条公路会不会穿越保护区? 为什么?(已知 tan40°=0.839,tan56°=1.483) B组 1、 1、 知小山的高为 h,为了测得小山顶上铁塔 AB 的高 x,在平地上选择一点 P, 在 P 点处测得 B 点的仰角为 α , A 点的仰角为 β 。 (见右表中测量目标图 6-5-19) (1)试用 α 、β 和 h 的关系式表示铁塔高 x; (2)在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”,填写“平均值”一列中 α 、β 的数值; (3)根据表中数据求出铁塔 x 的值。 (精确到 0.01m) 2.如图 6-5-20,某校的教室 A 位于工地 O 的正西方向,且 OA=200 米,一台拖拉机从 O 点出发,以每秒 5 米的速 度沿北偏西 53°方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为 130 米,试问教室 A 是否在拖拉机的噪声污染范围 内 ?若不 在,请说明 理由; 若在,求出 教室 A 受 污染的 时间有 几秒?(已 知 sin53°≈0.80,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)

图 C组

6-5-20
9

1、已知△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,CD=9,AB=20,求 sinB。 2、已知水库大坝的横截面是梯形 ABCD,若 BC∥AD,坝顶 BC 宽 5 米,坝高 20 米,斜坡 AB 的坡度之 i=1∶2.5, 斜坡 CD 的坡度 i=1∶2,求坝底 AD 及 AB、CD 长。 3、在 RtΔ ABC 中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB 于点 D,AD=4, sin ?ACD ? A 组答案 1、34m 2、5.5 7.B 8、C
3

4 , 则 CD=_____,BC=______。 5

3、88.1 米 4.30

5.(8 3 +1.5) 6.

3? 3 a米 2
11 3 ? 3 )米 3

9、D 10、C

11、A 12、329 米

13、AC=3 6 米,BD=6 米,CD=(

14、5000 米

15 、过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,在 Rt△ADC 中, CD=

AD AD ;在 Rt△ABD 中, BD= ,依题意有 ? tan 56 tan 40 ?

100tan56? tan 40? AD AD + =100 。所以 AD= ≈53.58,因为 AD<50,所以计划修筑的这条高速公路 tan 56 ? tan 40 ? tan56? ? tan 40?
不会穿越森林保护区。 B 组答案: 1. (1)x= ?

? tan ? ? (3)x≈30.88m ? 1? h;(2)α =29°18ˊ,β =35°59ˊ; ? tan? ?

2.作 AB⊥OM 于 B,易知∠AOB=90°-53°=37°,所以 AB=OA×sin∠AOB=OA×sin37°≈200×0.60=120(米)。因 为 120〈130,所以教室 A 在噪声污染范围内,依题意,在 OM 上取两点 C、D,连结 AC、AD,使 AC=AD=130 米。在 Rt ABC 中,由勾股定理可得 BC=50 米,所以 CD=2BC=100 米, 间为 20 秒。 C 组答案:

100 =20(秒) ,教室 A 受噪声污染时 5

20 x ? 1、易证△ABD∽△ABC,即 AB =BC·BD,设 BD=x,则 x ? 9 20
2

sin B ?
∴x=16,即 BD=25,AC=15,∴

3 5

2、作 BE⊥AD 于 E,CF⊥AD 于 F,∴AD=95 米,AB≈53.9 米,CD≈44.7 米。 3、3,

10


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