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浙江省瑞安中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题



瑞安中学 2013 学年第一学期高二期末考试数学(理科)试卷 2014.1
本卷满分 120 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) . 1. 若两个球的体积之比为 8 : 1 ,则它们的表面积之比为( A. 8 : 1 B. 4 : 1 C. 2 2 : 1

) D. 2 )条件 D.既不充分也不必要 ) ) D. 2 : 1

2. 若抛物线 y ? ax2 的焦点为 F (0,1) ,则 a 的值为( A.

1 4

B. 4

C.

1 2

2 2 3. m ? 0 是方程 x ? y ? 4x ? 2 y ? m ? 0 表示圆的(

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?

B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? )

5.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ”的否定是( A.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 C.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

B.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 D.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0
主视图 2 3 2 1 左视图

6. 已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该三棱锥 的体积为( A. ) B.

3 3

2 3 3

C.

3

D. 2 3

[来源:学科网]

俯视图

x2 y 2 x2 y 2 7.双 曲线 2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0,m ? b ? 0) 的离心率互为倒数, a b m b
则( ) B. a 2 ? b 2 ? m 2 C. a 2 ? b 2 ? m 2 D. a 2 ? b 2 ? m 2 A. a ? b ? m

2 2 8.一个动圆与定圆 F : ( x ? 2) ? y ? 1 相内切,且与定直线 l : x ? 3 相切,则此动圆的圆心 M 的轨迹方

程是(
2

) B. y ? 4 x
2

A. y ? 8x

C. y ? ?4x
2

D. y ? ?8x
2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

9.直线 y ? x ? 2 与曲线 A.0

y2 x x ? ? 1 的交点个数为( 2 2
C.2

) D. 3

B.1

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

10 .三棱锥 O ? ABC 中, OA, OB, OC 两两垂直且相等,点 P, Q 分别是线段 BC 和 OA 上移动,且满足

BP ?

1 1 BC , AQ ? AO ,则 PQ 和 OB 所成角余弦值的取值范围是( 2 2



A. [

3 2 5 , ] 3 5

B. [

3 2 , ] 3 2

C. [

6 2 5 , ] 6 5

D. [

6 2 , ] 6 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) . 11.双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 16 的渐近线方程是_________________.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

12.在空间直角坐标系中,若 A(3,?4,0), B(?3,4, z ) 两点间的距离为 10,则 z ? __________. 13.直 线

x y ? ? 1 的倾斜角的余弦值为______________________. 2 4

14.如图,已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分,光源安装在焦点 F 上, 且灯的深度 EG 等于灯口直径 AB ,且为 64 cm ,则光源安装的位置 F 到灯的顶端 G 的距离为____________ cm . 15.在正方体 AC1 中,直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成角的大小为____________. 16.若圆 x 2 ? y 2 ? 25 与圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 的公共弦的长为 8,则 m ? ___________. 17.对于曲线 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 有以下判断: (1)它表示圆; (2)它关于原点对称; (3)它关于直线 y ? x 对 称; (4) x ? 1, y ? 1 .其中正确的有________(填上相应的序号即可). 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 52 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 18( .本题满分 12 分) 如图, 已知长方形 ABCD 的两条对角线的交点为 E (1,0) , 且 AB 与 BC 所在的直线方程分别为 x ? 3 y ? 5 ? 0与ax ? y ? 5 ? 0 . (1)求 AD 所在的直线方程; (2)求出长方形 ABCD 的外接圆的方程.
2 19. (本题满分 12 分)已知命题 p :存在 x ? [1,4] 使得 x -4 x ? a ? 0 成立,命题 q :对于任意 x ? R ,函

数 f ( x) ? lg( x -ax ? 4) 恒有意义.
2

(1)若 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p ? q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

A1

B1 C1

20. (本题满分 14 分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面
0 AA1 B1 B ? 底面ABC , ?BAA 1 ? 60 , AA 1 ? 2 ,底面 ABC 是边

E A G C B

长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是线段 BC1 上一点,且 BE ? (1)求证: GE // 侧面 AA 1 B1 B ; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值. 21.(本题满分 14 分) 已知椭圆 △ OMF 的面积为

1 BC 1 . 3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , M 为上顶点, O 为坐标原点,若 a2 b2

1 2 ,且椭圆的离心率为 . 2 2

(1)求椭圆的方程; (2)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使 点 F 为△ PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,请说明理由.

瑞安中学高二期末考试数学(理科)参考答案 2014.1
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分 1 2 3 4 5 题号 答案 B A A
[来源:学科网]

6 B

7 B

8 D

9 B

10 C

C

D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) . 11. y ? ?2 x 12. 0 13. ?

5 5

14. 4

15.

? 6

16. ? 55 或 5

17. (2) 、 (3)

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 52 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 18.解 : (1)由于 AB ? BC ,则 a ? 3 ???????????????2 分

由于 DA // BC ,则可设直线 DA 的方程为: 3x ? y ? m ? 0(m ? 5) ,

又点 E 到 BC 与 DA 的距离相等,则

3? m 10

?

8 10



因此, m ? ?11 ,或 m ? 5 (舍去) , 则直线 DA 所在的方程为 3x ? y ? 11 ? 0 . ????????????????6 分

(2)由直线 AB, BC 的方程解出点 B 的坐标为 (?1,2) 则 EB ? 2 2 即为长方形 ABCD 的外接圆半径 故长方形 ABCD 的外接圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 . 19. (1)设 g ( x) ? x 2-4x ? a ,对称轴为 x ? 2 若存在一个 x ? [1,4] 满足条件,则 g (1) ? 0, g (4) ? 0 ,得 0 ? a ? 3 ,????????????3 分 若存在两个 x ? [1,4] 满足条件,则 g (1) ? 0, g (2) ? 0 ,得 3 ? a ? 4 , 故满足条件的 实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 4 ????????????????6 分 ????????????????10 分 ????????????????12 分

(2)由题意知 p, q 都为假命题,若 p 为假命题,则 a ? 0 或 a ? 4 ??????????????8 分
2 若 q 为假命题,则由 ? ? a ? 16 ? 0 得 a ? ?4 或 a ? 4

????????????????10 分 ????????????????12 分

故满足条件的实数 a 的取值范围为 a ? ?4 或 a ? 4

20.解: (1)证明:连接 B1 E 并延长与 BC 交于 D 点,则由题意及相似关系可知点 D 为 BC 的 中点, 所以 A, G, D 三点共线,从而可得 GE // AB1 , 因此 GE // 侧面 AA 1 B1 B . ????????????????4 分 ????????????6 分

( 2 ) 经 过 B1 点 作 AB 的 垂 线 与 AB 的 延 长 线 交 于 点 F , 则

A1 C1

B1

B1 F ? 平面ABC ,经过 F 点作 AD 的垂线与 AD 的延长线交于点 H ,则

B1 H ? AD ,所以 ?B1 HF 即为所求二面角的平面角???????10 分 3 0 且 ?B1 BF ? 60 ,则 B1 F ? 3, AF ? 3 ,并由相似关系得:HF ? , 2
A

E B G C D H F

2 3 故 tan?B1 HF ? ,即为所求二面角的正切值.????????14 分 3
21.解: (1)由题意可得

1 1 c 2 bc ? , ? ,??????????2 分 2 2 a 2

解得 b ? 1 , a ? 2 ,故椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

?????????? ??????6 分

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心, 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 M (0,1) , F (1,0) ,故 k PQ ? 1 . 于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m , ????????????????7 分

由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 , ?
4m 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? . 3 3
????????????9 分

2 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 , 且 x1 ? x 2 ? ?

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1, y1 ?1), FQ ? ( x2 ?1, y2 ) , 故 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 . 即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m ? m ? 0 .
2

??????????????11 分

整理得 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3

解得 m ? ?

4 或 m ? 1 .经检验, 当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 . 3 4 4 当 m ? ? 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? . ?????????14 分 3 3



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