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辽宁省抚顺市重点高中协作校2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版(含解析)


2015-2016 学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二(下)期末数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z= (b∈R)的实部为﹣1,则复数 ﹣b 在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回 归直线方程 l1 和 l2,两人计算知 相同, 也相同,下列正确的是( A.l1 与 l2 一定重合 B.l1 与 l2 一定平行 D.无法判断 l1 和 l2 是否相交 ) )

C.l1 与 l2 相交于点( , )

3.函数 f(x)=sin2x 的导数 f′(x)=( A.2sinx B.2sin2x C.2cosx

D.sin2x

4.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x) ,如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点,因为函数 f(x)=x 在 x=0 处的导数值 f′(0)=0,所以,x=0 是 函数 f(x)=x 的极值点.以上推理中( A.大前提错误 B.小前提错误
3 3



C.推理形式错误 D.结论正确

5.某课题小组共有 15 名同学,其中有 7 名男生,现从中任意选出 10 人,用 X 表示这 10 人中男生的人数,则下列概率等于 A.P(X≤4) 的是( ) D.P(X=6)

B.P(X=4) C.P(X≤6)

6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军,乙队需要再赢两 局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( A. B. C. D. ) )

7.下列计算错误的是( A. B. sinxdx=0 dx=

C.

cosxdx=2

cosxdx

D.

sin xdx=0

2

8.在某次联考测试中,学生数学成绩 X~N(σ >0) ,若 P(80<X<120)=0.8,则 P(0< X<80)等于( )

A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 9.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制 8 转换成十进制数,是这样转换的:8=5×85+0 ×84+7×83+4×82+1×8+3=167691, 十六进制数 16=2×164+3×163+4×162+5×16+6=144470. 那 么将二进制数 A.15 B.14 C.13 D.12 + +?+ 的值为( )

10.若(1﹣2x)2011=a0+a1x+?+a2011x2011(x∈R) ,则 A.2 B.0 C.﹣1 D.﹣2

11.由 1,2,3,0 组成没有重复数字的三位数,其中 0 不在个位上,则这些三位数的和为 ( )

A.1320 B.1332 C.2532 D.2544 12. 若过点 P (a, a) 与曲线 f (x) =xlnx 相切的直线有两条, 则实数 a 的取值范围是 ( A. (﹣∞,e) B. (e,+∞) C. (0, ) D. (1,+∞) )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义运算| |=ad﹣bc,则| |(i 是虚数单位)的值为 . .

14.由 y2=4x 与直线 y=2x﹣4 所围成图形的面积为

15.甲袋中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球, 乙袋中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲袋中随机取出一球放入乙袋,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲袋取出的球是红球,白球和黑 球的事件;再从乙袋中随机取出一球,以 B 表示由乙袋取出的球是红球的事件.则下列结论 ①P(B)= 事件. 其中正确的是 (写出所有正确结论的编号) . ;②P(B|A1)= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是两两互斥的

16.已知函数 f(x)=

,存在 x1<x2<x3,使 f(x1)=f(x2)=f(x3) ,



的最大值为



三、解答题(本大题共 70 分) 17.若(x + )n 的展开式中,第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 18.某商店举行三周年店庆活动,每位会员交会员费 50 元,可享受 20 元的消费,并参加一 次抽奖活动,从一个装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 只均匀小球的抽奖箱中,有放 回的抽两次球,抽得的两球标号之和为 12,则获一等奖价值 a 元的礼品,标号之和为 11 或 10,获二等奖价值 100 元的礼品,标号之和小于 10 不得奖. (1)求各会员获奖的概率; (2)设商店抽奖环节收益为 ξ 元,求 ξ 的分布列;假如商店打算不赔钱,a 最多可设为 多少元? 19.编辑如下运算程序:1@1=2,m@n=q,m@(n+1)=q+2. (1)设数列{an}的各项满足 an=1@n,求 a2,a3,a4; (2)由(1)猜想{an}的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想. 20. 现如今, “网购”一词已不再新鲜, 越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式, 但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题. 因此, 相关管理部门制定了针对商品质量和 服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好 评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (1)根据题中数据完成下表,并通过计算说明:能否有 99.9%的把握认为,商品好评与服 务好评有关? 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 对服务不满意 合计

合计 (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评 的次数为随机变量 X: ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差. P(K2 0.15 ≥k) k ( 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

,其中 n=a+b+c+d)

21.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

,g(x)=x e (a∈R) .

2 ax

(Ⅱ)当 m>0 时,若对任意 x1,x2∈,f(x1)≥g(x2)恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分. 22.在△ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

23.已知在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是

(t 为参数) .以坐标原

点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程是 ρ =4cosθ . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=

,求直线 l 的倾斜角 α 的值.

24.设 f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为 m. (Ⅰ)求 m; (Ⅱ)若 a,b,c∈(0,+∞) ,a +2b +c =m,求 ab+bc 的最大值.
2 2 2

2015-2016 学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z= (b∈R)的实部为﹣1,则复数 ﹣b 在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,由复数 z 的实部为﹣1,得到 b 的值, 求出 z 的共轭复数,进一步求出 ﹣b 对应的点的坐标,则答案可求. 【解答】解:z= 又复数 z= ∴z=﹣1+5i. 则 . = = ,即 b=6. ,

(b∈R)的实部为﹣1,则

复数 ﹣b=﹣1﹣5i﹣6=﹣7﹣5i,在复平面上对应的点的坐标为: (﹣7,﹣5) ,位于第三象 限. 故选:C.

2.为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回 归直线方程 l1 和 l2,两人计算知 相同, 也相同,下列正确的是( A.l1 与 l2 一定重合 B.l1 与 l2 一定平行 D.无法判断 l1 和 l2 是否相交 )

C.l1 与 l2 相交于点( , ) 【考点】线性回归方程.

【分析】由题意知,两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s,对变量 y 的 观测数据的平均值都是 t,所以两组数据的样本中心点是( , ) ,回归直线经过样本的中 心点,得到直线 l1 和 l2 都过( , ) . 【解答】解:∵两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s,对变量 y 的观测 数据的平均值都是 t,

∴两组数据的样本中心点是( , ) ∵回归直线经过样本的中心点, ∴l1 和 l2 都过( , ) . 故选 C.

3.函数 f(x)=sin x 的导数 f′(x)=( A.2sinx B.2sin2x C.2cosx

2



D.sin2x

【考点】简单复合函数的导数. 【分析】将 f(x)=sin2x 看成外函数和内函数,分别求导即可. 【解答】解: 将 y=sin x 写成, y=u ,u=sinx 的形式. 对外函数求导为 y′=2u, 对内函数求导为 u′=cosx, 故可以得到 y=sin x 的导数为 y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x 故选 D
2 2 2

4.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x) ,如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点,因为函数 f(x)=x 在 x=0 处的导数值 f′(0)=0,所以,x=0 是 函数 f(x)=x3 的极值点.以上推理中( A.大前提错误 B.小前提错误 )
3

C.推理形式错误 D.结论正确

【考点】演绎推理的基本方法. 【分析】在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能 是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“对于可导函数 f(x) ,如果 f'(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点”,不难得到结论. 【解答】解:∵大前提是:“对于可导函数 f(x) ,如果 f'(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x) 的极值点”,不是真命题, 因为对于可导函数 f(x) ,如果 f'(x0)=0,且满足当 x=x0 附近的导函数值异号时,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点,

∴大前提错误, 故选 A.

5.某课题小组共有 15 名同学,其中有 7 名男生,现从中任意选出 10 人,用 X 表示这 10 人中男生的人数,则下列概率等于 A.P(X≤4) 的是( ) D.P(X=6)

B.P(X=4) C.P(X≤6)

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】由已知条件,利用等可能事件概率计算公式求解. 【解答】解:某课题小组共有 15 名同学,其中有 7 名男生, 现从中任意选出 10 人,用 X 表示这 10 人中男生的人数, 则基本事件总数 n= ,

P(X=4)= 故选:B.



6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军,乙队需要再赢两 局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( A. B. C. D. )

【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】根据已知中的比赛规则,我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜,或甲第一 场失败,第二场取胜,由分类事件加法公式,我们分别求出两种情况的概率,进而即可得到 结论. 【解答】解:甲要获得冠军共分为两个情况 一是第一场就取胜,这种情况的概率为 一是第一场失败,第二场取胜,这种情况的概率为 × = 则甲获得冠军的概率为 故选 D

7.下列计算错误的是( A. B. sinxdx=0 dx=



C.

cosxdx=2

cosxdx

D.

sin2xdx=0

【考点】定积分. 【分析】利用微积分基本定理求出各选项的值,判断出 D 错. 【解答】解:∫﹣π sinxdx=(﹣cosx)|﹣π =(﹣cosπ )﹣(﹣cos(﹣π )=0
π π

因为 y=cosx 为偶函数所以

=π 故选 D

8.在某次联考测试中,学生数学成绩 X~N(σ >0) ,若 P(80<X<120)=0.8,则 P(0< X<80)等于( )

A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据 ξ 服从正态分布 N,得到曲线的对称轴是直线 x=100,利用 ξ 在(80,120) 内取值的概率为 0.8,即可求得结论. 【解答】解:由题意知,X 服从正态分布 N ∴曲线的对称轴是直线 x=100,

若 P(80<ξ <120)=0.8,则由正态分布图象的对称性可知,

, 故选:B.

9.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制 8 转换成十进制数,是这样转换的:8=5×8 +0 ×8 +7×8 +4×8 +1×8+3=167691, 十六进制数 16=2×16 +3×16 +4×16 +5×16+6=144470. 那 么将二进制数 A.15 B.14 C.13 D.12
4 3 2 4 3 2

5

【考点】进位制. 【分析】二进制的数换成十进制,等于每一个数位上的数乘以 2 的(n﹣1)方,再相加即可 得解. 【解答】解:1101(2)=1×2 +0×2 +1×2 +1×2 =1+4+8 =13. 故选:C.
0 1 2 3

10.若(1﹣2x) ( A.2 ) B.0

2011

=a0+a1x+?+a2011x

2011

(x∈R) ,则

+

+?+

的值为

C.﹣1 D.﹣2

【考点】二项式系数的性质. 【分析】由题意可得可得 a0=1,再令 x= ,可得 0=a0+ + +?+ ,

从而求得

+

+?+

的值.

【解答】解:在(1﹣2x)2011=a0+a1x+?+a2011x2011(x∈R)中,可得 a0=1,

令 x=

,可得 0=a0+

+

+?+

,∴

+ 故选:C.

+?+

=﹣1,

11.由 1,2,3,0 组成没有重复数字的三位数,其中 0 不在个位上,则这些三位数的和为 ( )

A.1320 B.1332 C.2532 D.2544 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】先根据分步计数原理求出三位数的种数,再求其和即可. 【解答】解:先从 1,2,3 选 2 个,排在首位和末尾,再从剩下的 2 个数中选一个排在中间, 故有 A3 A2 =12 种, 列举如下:102,103,123,132,201,203,213,231,301,302,312,321 则这些三位数为 4×(1+2+3)×100+2×(1+2+3)×10+4×(1+2+3)×1=2544, 故选:D.
2 1

12. 若过点 P (a, a) 与曲线 f (x) =xlnx 相切的直线有两条, 则实数 a 的取值范围是 ( A. (﹣∞,e) B. (e,+∞) C. (0, ) D. (1,+∞)



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设切点为(m,mlnm) ,求出导数,求得切线的斜率,由两点的斜率公式可得 = < < ,设 g(m)= ,求出导数和单调区间,可得最大值,由题意可得 0

,解不等式即可得到所求范围.

【解答】解:设切点为(m,mlnm) ,f(x)=xlnx 的导数为 f′(x)=1+lnx, 可得切线的斜率为 1+lnm, 由切线经过点 P(a,a) ,可得 1+lnm= 化简可得 = , (*) , ,

由题意可得方程(*)有两解,

设 g(m)=

,可得 g′(m)=



当 m>e 时,g′(m)<0,g(m)递增; 当 0<m<e 时,g′(m)>0,g(m)递减. 可得 g(m)在 m=e 处取得最大值 即有 0< 故选:B. < ,解得 a>e. ,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义运算| |=ad﹣bc,则| |(i 是虚数单位)的值为 ﹣3 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用定义结合复数代数形式的乘法运算得答案. 【解答】解:由已知定义运算| 故答案为:﹣3. 故答案为:﹣3. |=ad﹣bc,可得| |=i ﹣2=﹣3.
2

14.由 y =4x 与直线 y=2x﹣4 所围成图形的面积为 9 . 【考点】定积分. 【分析】先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出曲线 yy2=4x 与直线 y=2x﹣4 所围成的封闭图形的面积,即可求得结论 【解答】解:联立方程组 ,解得 或 ,

2

∴曲线 y=x2 与直线 y=x 围成的封闭图形的面积为 S= ( y +2y﹣
2



y+2﹣

y2)dy=

)|

=9,

故答案为:9

15.甲袋中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球, 乙袋中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲袋中随机取出一球放入乙袋,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲袋取出的球是红球,白球和黑 球的事件;再从乙袋中随机取出一球,以 B 表示由乙袋取出的球是红球的事件.则下列结论 ①P(B)= 斥的事件. 其中正确的是 ①④ (写出所有正确结论的编号) . 【考点】条件概率与独立事件;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 由题意 A1, A2, A3 是两两互斥的事件, 由条件概率公式求出 P (B|A1) , P (B) =P (A1B) +P(A2B)+P(A3B) ,对照四个命题进行判断找出正确命题,选出正确选项. 【解答】 解: 由题意 A1, A2, A3 是两两互斥的事件, P (A1) = P(A3)= , = , P (A2) = = , ;②P(B|A1)= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是两两互

P(B|A1)=

=

=



由此知,②错误; P(B|A2)= ,P(B|A3)= ;

而 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= × + × + + = ,

由此知①正确,③错误. ∵A1,A2,A3 是两两互斥的事件,由此知④正确;

对照四个命题知①④正确; 故答案为:①④.

16.已知函数 f(x)=

,存在 x1<x2<x3,

使 f(x1)=f(x2)=f(x3) ,则

的最大值为



【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的值;分段函数的应用. 【分析】画出函数 f(x)= 的图象,可得

=

, (x2∈(1,e2) ) ,利用导数法,可得其最大值.

【解答】解:画出函数 f(x)= 下图所示:

的图象如

若存在 x1<x2<x3,使 f(x1)=f(x2)=f(x3) , 则 x1?x2=1,f(x2)=f(x3)=lnx2, ∴ = , (x2∈(1,e2) ) ,

令 y=

,x∈(1,e ) ,

2

则 y′=



∴x∈(1,e) ,y′>0,x∈(e,e ) ,y′<0, ∴函数在(1,e)上单调递增,在(e,e3)上单调递减, ∴x=e 时,函数取得最大值 ,

3



的最大值为



故答案为:

三、解答题(本大题共 70 分) 17.若(x + )n 的展开式中,第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 (1)由题意可得 ,解方程可求 n;

(2)先写出二项展开式的通项,然后令 x 的次方为 0,求出 r 即可判断. 【解答】解: (1)由 , (n≥3)得: ; 化简得:n2﹣9n+14=0,解得:n=7,或 n=2(舍) , 因此,n=7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由

, (r∈N,且 0≤r≤7)



时,



所以此展开式中不存在常数项.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

18.某商店举行三周年店庆活动,每位会员交会员费 50 元,可享受 20 元的消费,并参加一 次抽奖活动,从一个装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 只均匀小球的抽奖箱中,有放 回的抽两次球,抽得的两球标号之和为 12,则获一等奖价值 a 元的礼品,标号之和为 11 或 10,获二等奖价值 100 元的礼品,标号之和小于 10 不得奖. (1)求各会员获奖的概率; (2)设商店抽奖环节收益为 ξ 元,求 ξ 的分布列;假如商店打算不赔钱,a 最多可设为 多少元? 【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1) 先求出抽两次得标号之和为 12 的概率和抽两次得标号之和为 11 或 10 的概率, 由此能求出各会员获奖的概率. (2)随机变量 ξ 的所有可能取值为:30﹣a,﹣70,30,分别求出相应在的概率,由此能 求出 ξ 的分布列,再求出数数期望,由此能求出 a 最多可设为多少钱. 【解答】解: (1)抽两次得标号之和为 12 的概率为 抽两次得标号之和为 11 或 10 的概率为 , 所以各会员获奖的概率为 ﹣ (2)随机变量 ξ 的所有可能取值为:30﹣a,﹣70,30﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ P(ξ =30﹣a)= ξ 的分布列为: ξ P ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 30﹣a ﹣70 30 ,P(ξ =﹣70)= ,P(ξ =30)= , .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ;

, 得 a≤580 元.所以 a 最多可设为 580 元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

19.编辑如下运算程序:1@1=2,m@n=q,m@(n+1)=q+2. (1)设数列{an}的各项满足 an=1@n,求 a2,a3,a4; (2)由(1)猜想{an}的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想. 【考点】数学归纳法;归纳推理. 【分析】 (1)根据新定义可求出 a2,a3,a4; (2)由(1)猜想出 an=2n, (3)用数学归纳法证明即可. 【解答】 解: (1) ∵a1=1@1=2, 令 m=1, n=1, 则 q=2; 由 m@n=q, m@ (n+1) =q+2, 得 a2=1@2=2+2=4 再令 m=1,n=2,则 q=4,得 a3=1@3=4+2=6 再令 m=1,n=3,则 q=6,得 a4=1@4=6+2=8, ∴a2=4,a3=6,a4=8, (2)由(1)猜想: ,

(3)证明:①当 n=1 时,a1=1@1=2,另一方面,a1=2×1=2,所以当 n=1 时等式成立. ②假设当 n=k 时,等式成立,即 ak=1@k=2k,此时 q=2k, 那么,当 n=k+1 时 ak+1=1@(k+1)=2k+2=2(k+1) 所以当 n=k+1 时等式也成立. 由①②知,等式对 n∈N 都成立,猜想正确,即
*



20. 现如今, “网购”一词已不再新鲜, 越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式, 但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题. 因此, 相关管理部门制定了针对商品质量和 服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好 评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (1)根据题中数据完成下表,并通过计算说明:能否有 99.9%的把握认为,商品好评与服 务好评有关? 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 对服务不满意 合计

合计 (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评 的次数为随机变量 X: ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差. P(K2 0.15 ≥k) k ( 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

,其中 n=a+b+c+d)

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1) 由题意求出关于商品和服务评价的 2×2 列联表, 从而求出 K2≈11.111>10.828, 从而有 99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关. (2)①由 X~B(5, ②由 X~B(5, ) ,能求出 X 的分布列.

) ,能求出 X 的数学期望和方差.

【解答】解: (1)由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下: 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因此有 99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关.﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为 X 的取值可以是 0,1,2,3,4,5.且 X~B(5, = , = = , , , ) , 80 70 150 对服务不满意 40 10 50 合计 120 80 200

= = = ∴X 的分布列为: X P ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②∵X~B(5, ∴ ) , , 0 1 2 3 4 .

, ,

5

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

,g(x)=x2eax(a∈R) .

(Ⅱ)当 m>0 时,若对任意 x1,x2∈,f(x1)≥g(x2)恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 【分析】 (Ⅰ)把给出的函数进行求导,由导函数的零点把定义域分段,然后分 m 的正负判 断导函数在各区间段内的符号,从而得到元函数的单调区间; (Ⅱ)当 m>0 时,若对任意 x1,x2∈,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为对于任意 x1,x2∈, f(x)min≥g(x)max 成立,然后分类求函数 f(x)和 g(x)在上的最小值和最大值,由 f (x)的最小值大于 g(x)的最大值即可解得实数 a 的取值范围. 【解答】解:函数 的定义域为 R,

. ①当 m>0 时,当 x 变化时,f (x) ,f(x)的变化情况如表:


所以,函数 f(x)的单调增区间时(﹣1,1) ,单调递减区间是(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) . ②当 m<0 时,当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如表:

所以,函数 f(x)的单调减区间时(﹣1,1) ,单调递增区间是(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) . (Ⅱ)依题意,对任意当 m>0 时,对于任意 x1,x2∈,f(x1)≥g(x2)恒成立,等价于 当 m>0 时,对于任意 x1,x2∈,f(x)min≥g(x)max 成立. 当 m>0 时,由(Ⅰ)知,函数 f(x)在上单调递增,在上单调递减, 因为 f(0)=1,f(2)= 所以应满足 g(x)max≤1. 因为 g(x)=x e ,所以 g (x)=(ax +2x)e . ③当 a=0 时,函数 g(x)=x ,任意 x∈,g(x)max=g(2)=4, 显然不满足 g(x)max≤1,故 a=0 不成立. ④当 a≠0 时,令 g (x)=(ax +2x)e =0 得: 1°当 增, 所以 由 4e ≤1 得,a≤﹣ln2,所以﹣1≤a≤﹣ln2. 2°当 0< <2,即 a<﹣1 时,在 上 g′(x)<0, 所以函数 g(x)在 递减. 上单调递增,在 上单调 上 g (x)≥0,在
′ 2a ′ 2 ax 2 2 ax ′ 2 ax

,所以函数 f(x)的最小值为 f(0)=1.

,即﹣1≤a<0 时,在上 g′(x)≥0,所以函数 g(x)在上单调递



所以 由 3°当 得:

. ,所以 a<﹣1.

,即 a>0 时,显然在上 g′(x)≥0, . 不成立,故 a>0 不成立.

函数 g(x)在上单调递增,且 显然 综上所述,a 的取值范围是(﹣∞,﹣ln2].

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分. 22.在△ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

【考点】相似三角形的性质;相似三角形的判定. 【分析】 (1)先由角相等∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,证得三角形相似,再结合线段相等即得所 证比例式; (2)由于∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,从而得出两个三角形相似:“△APC~△ACD”结合 相似三角形的对应边成比例即得 AP?AD 的值. 【解答】解: (1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D, ∴△DPC~△DBA,∴ 又∵AB=AC,∴ (2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC~△ACD∴ ∴AC2=AP?AD=9 ,

23.已知在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是

(t 为参

数) .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程是 ρ =4cosθ . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)根据基本公式 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,即可曲线 C 的直角坐标方程; (2)将 代入圆的方程得(tcosα ﹣1)2+(tsinα )2=4,得 ,求直线 l 的倾斜角 α 的值.

出关于 t 的方程,设 A,B 两点对应的参数分别为 t1、t2,利用韦达定理得出 t2t1,t1+t2 的 值,利用它们之间的转化关系即可求出 AB,继而求出 α . 【解答】解(1)由 ρ =4cosθ 得 ρ =4ρ cosθ . ∵x +y =ρ ,x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣4x=0,即(x﹣2) +y =4. (2)将 化简得 t ﹣2tcosα ﹣3=0. 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 ∴ ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

代入圆的方程得(tcosα ﹣1)2+(tsinα )2=4,

. ∴4cos2α =2,解得 可得直线 l 的倾斜角 或 , .

24.设 f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为 m. (Ⅰ)求 m;

(Ⅱ)若 a,b,c∈(0,+∞) ,a +2b +c =m,求 ab+bc 的最大值. 【考点】绝对值不等式的解法;基本不等式. 【分析】 (Ⅰ)运用零点分区间,讨论 x 的范围,去绝对值,由一次函数的单调性可得最大 值; (Ⅱ)由 a +2b +c =(a +b )+(b +c ) ,运用重要不等式,可得最大值. 【解答】解: (Ⅰ)当 x≤﹣1 时,f(x)=3+x≤2; 当﹣1<x<1 时,f(x)=﹣1﹣3x<2; 当 x≥1 时,f(x)=﹣x﹣3≤﹣4. 故当 x=﹣1 时,f(x)取得最大值 m=2. (Ⅱ)a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc) , 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. =1.
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

此时,ab+bc 取得最大值 2016 年 8 月 11 日


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