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2011年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)word版



绝密★启用前

试卷类型:A

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的 学校

、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的 贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂 的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉 原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答 的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、 错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A + B ) = P( A)+ P( B );
如果事件 A、B 相互独立,那么 P( AB ) = P( A)P( B ); 若柱体的底面积为 S ,高为 h ,则柱体的体积为 V = Sh ; 1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V = Sh . 3

2011.3

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知 a,b ∈ R ,若 a + bi = (1 + i)? i3 (其中 i 为虚数单位) ,则
A. a = ?1,b = 1
C. a = 1,b = ?1 B. a = ?1,b = ?1 D. a = 1,b = 1
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2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

2.已知 p: a = 2 ” q: “ , “直线 x + y = 0 与圆 x 2 +( y ? a )2 = 1 相切” .则 p 是 q 的
A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件

D.既非充分也非必要条件 S S 3.已知 Sn 为等差数列{an } 的前 n 项和,若 S1 = 1 , 4 = 4 ,则 6 的值为 S2 S4 A.
9 4 B. 3 2 C. 5 4 D. 4
y

4.如图,圆 O : x 2 + y 2 = π2 内的正弦曲线 y = sin x 与 x 轴围

成的区域记为 M (图中阴影部分) ,随机往圆 O 内投一 个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的概率是
A. C. 4 π2 2 π2 B. D. 4 π3 2 π3


Ο

π

x

5.在一条公路上每隔 10 公里有一个仓库,共有 5 个仓库.一号仓库存有 10 吨货物,二

号仓库存有 20 吨货物,五号仓库存有 40 吨货物,其余两个仓库是空的.现在要把所 有的货物集中存放在一个仓库里,若每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费,则最少需 要的运费是

10
一号
A.450 元

20
二号
B.500 元

0
三号

0
四号
C.550 元

40
五号
D.600 元

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位: cm 3 )为 A.2 B .1 C. D. 2 3 1 3 1 1 1 1 1

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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7. 设平面区域 D 是由双曲线 x 2 ?

y2 = 1 的两条渐近线和直线 6 x ? y ? 8 = 0 所围成三角形的 4

边界及内部.当( x, y )∈ D 时, x 2 + y 2 + 2 x 的最大值为
A. 24 B. 25 C. 4 D. 7

8.已知函数 f ( x)的定义域为[?1, ],部分对应值如下表. f ( x)的导函数 y = f ′ x)的图象 5 (
如图所示.

y
x f ( x)

-1
1

0 2

4 2

5 1

?1 o

2

4

5

x

下列关于函数 f ( x)的命题: ①函数 y = f ( x)是周期函数; ②函数 f ( x)在[0, ] 是减函数; 2 ③如果当 x ∈[?1,]时, f ( x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; t ④当 1 < a < 2 时,函数 y = f ( x)? a 有 4 个零点. 其中真命题的个数有
A.4 个 C.2 个 B.3 个 D.1 个

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题 两部分.
(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.已知全集 U = R ,集合 A 为函数 f ( x) = ln( x ? 1)的定义域,则 ?U A = 10.设随机变量 X ~ N(1, 2 ),且 P( X ≤ 0) = P( X > a ? 6),则实数 a 的值为 3

. .

11.在 ?ABC 中,已知 a,b,c 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积.若 向量 p = (4, a 2 + b 2 ? c 2 ) q = (1, S )满足 p // q ,则 ∠C = ,

. .

12.已知命题“ ?x ∈ R , x ? a + x + 1 ≤ 2 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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13.已知 a 为如图所示的程序框图中输出的结果, 1 6 则二项式 (a x ? ) 的展开式中含 x 2 项的 x

开始
a = 2,i = 1 否

系数是



(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ← ”或 “:=” )

i < 2011


a=

1 1? a

输出 a 结束

1
i = i +1

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题 的得分.
14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设 P 是直线 l : ρ(cosθ + sinθ ) = 4 上任一点, Q
是圆 C : ρ 2 = 4 ρ cos θ ? 3 上任一点,则 PQ 的最小值是


D E
O

15. (几何证明选讲)如图,割线 PBC 经过圆心 O , OB = PB = 1 , OB 绕点 O 逆时针旋转 120° 到 OD ,连 C PD 交圆 O 于点 E ,则 PE = .

B

P

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤.
16. (本小题满分 12 分) x π x π 已知函数 f ( x) = 2 3 sin( + )cos( + )? sin( x + π). 2 4 2 4
(1)求 f ( x)的最小正周期; (2)若将 f ( x)的图象向右平移
[0,π] 上的最大值和最小值.

π 个单位,得到函数 g( x)的图象,求函数 g( x)在区间 6

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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17. (本小题满分 12 分) 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好 接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者.将这 30 名志愿者的 身高编成如下茎叶图(单位:cm) ,这 30 名志愿者的身高如下: 男 9 6 5 4 2 9 8 0 1 1 15 16 17 18 19 7 1 2 0 女 7 2 3 1 8 9 4 5 4 5 9 8 9 6

8 7

若身高在 175cm 以上 (包括 175cm) 定义为 “高个子” 身高在 175cm 以下定义为 , “非 高个子” ,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人 中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能担任“礼仪小 姐”的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望.

18. . (本小题满分 14 分) 如图, AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上, ∠BAC = 30° , BM ⊥ AC 交 AC 于点 M ,
EA ⊥ 平面 ABC , FC // EA , AC = 4,EA = 3,FC = 1 .
(1)证明: EM ⊥ BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. . E

F O
?

A

M

C

B
2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题 第5页 共6页

19. (本小题满分 14 分) 已知点 F 是椭圆
x2 + y 2 = 1 a > 0)的右焦点,点 M(m, )、 N(0, )分别是 x 轴、 y ( 0 n 2 1+ a

轴上的动点,且满足 MN ? NF = 0 .若点 P 满足 OM = 2ON + PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹 C 交于 A 、 B 两点,直线 OA , OB 与直线

x = ? a 分别交于点 S , T ( O 为坐标原点) ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个
定值;若不是,请说明理由.

(本小题满分 14 分) 20. 已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an = S 2 n ?1 , n ∈ N* .数列 {bn } 满足 bn =

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an ? an +1

(1)求 a1 , d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ∈ N* ,不等式 λTn < n + 8 ?(?1)n 恒成立,求实数 λ 的取值范围;

(3)是否存在正整数 m, (1 < m < n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 n m, 的值;若不存在,请说明理由. n

(本小题满分 14 分) 21. 已知函数 f ( x) = ln x +
(1)当 a = a (a ∈ R ). x +1

9 时,如果函数 g( x) = f ( x)? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a = 2 时,试比较 f ( x)与 1 的大小; (3)求证: ln(n + 1) >
1 1 1 1 + + +? + (n ∈ N* ). 3 5 7 2n + 1

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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