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函数的单调性与最值 (2)



函数的单调性与最值 【考点梳理】
增函数 定 义 图 象
f(x1)

单调函数的定义 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量 x1,x2 ,当 x1<x2 时 都有 ,那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数
y f(x2)

/>
都有 ,那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数
f(x1) y f(x2)

描 述 前提 条件 结论

x1

x2

x

x1

x2

x

从左向右看图象是



从左向右看图象是



(2)函数的最值 设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x ? I,都有 f(x) ? M (2)存在 x0 ? I,使得 f(x0)=M M 为最大值 (1)对于任意 x ? I,都有 f(x) ? M (2)存在 x0 ? I,使得 f(x0)=M M 为最小值

函数的单调性是局部性质:函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间 上的单调性,是局部性质,在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调。 函数单调区间的求法: 函数的单调区间是函数定义域的子区间, 所以求解函数的单调区间, 必须先求出函数的定义域。对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如 二次函数,对数函数,指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方 法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同增异减”的法则求解这个函数的单调区 间 单调区间的表示:单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个区间应 分别写,不能用并集符号“ ? ”联结,也不能用“或”联结。 【失误与防范】 1、 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上的递增或递减, 单调区间要分开写, 即使在两个区间上单调性质相同,也不能用并集表示。 2、 两函数 f ( x)

, g ( x) 在 x ? ?a, b ? 上都是增(减)函数 ,则 f ( x) ? g ( x) 也为增(减)

函数,但 f ( x) ? g ( x)

,

1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比。 f ( x)

【考点突破】 :

考点一、函数单调性的判断:

例 1、试讨论函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) 在 (?1,1) 上的单调性 x ?1

变式 1、 (1)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? 减函数 ,在

? a ,??? 上是增函数

a x

( x ? 0) ,试证明函数 f ( x) 在 0,a 上是

?

?

(2) 求函数 y ?

x 2 ? x ? 6 的单调区间

考点二 利用函数的单调性求参数 例 2、若函数 f ( x ) ?

ax ? 1 在 (?? ,?1) 上是减函数,求实数 a 的取值范围 x ?1

变式 2、 (1)若函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数 ,则 a 的取值范围为

(2)函数 y ?

x?5 在 (?1,??) 上单调递增,求 a 的取值范围是 x?a?2

考点三 利用函数的单调性求最值 例 3、 已知函数 f ( x) 对于任意 x, y ? R ,总有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 0,

f (1) ? ?

2 3
(2) 求 f ( x) 在 [?3,?3] 上的最大值和最小值

(1)求证: f ( x) 在 R 上是减函数

变式 3、 已知定义在区间 ?0, 满足 f ( ? ?? 上的函数 f ( x) , 时 f ( x) ? 0 . (1)求 f (1) 的值

x1 且当 x ? 1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x2

(2)判断 f ( x) 的单调性

(3)若 f (3) ? ?1 ,求 f ( x) 在 [2,9] 上的最小值

函数单调性与最值练案
一、选填题 1、下列函数中,在 ?? ?, 0? 上为增函数的是( A、 y ? 1 ? x 2
1 2



B、 y ? x 2 ? 2 x

C、 y ?

1 x ?1

D、 y ?

x x ?1

2、给定函数① y ? x ② y ? log 1 ( x ? 1) ③ y ? x ? 1 ④ y ? 2 x?1 ,其中在区间 ?0,1? 上单
2

调递减的函数是( A、①②

) B、②③

C、③④

D、①④

3、 函数 f ( x) 在区间 ?0,??? 上单调递增, 则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围是 ( A、 ? , ?

1 3



?1 2? ?3 3?

B、 ? , ?

?1 2 ? ?3 3 ?

C、

?1 2? ? ,? ?2 3?

D、 ? , ? )

?1 2 ? ?2 3 ?

4、已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( A、 ?? ?, 1? B、 ?1 , ? ??

1 x

( ? ?, 0) ? ( 1, ? ?) C、 ?? ?, 0? ? (0, 1 ) D、


5、 若函数 f ( x) 的定义域为 R, 且在 ?0,??? 上是减函数, 则下列不等式成立的是 (

3 2 4 3 2 C、 f ( ) ? f (a ? a ? 1) 4

A、 f ( ) ? f ( a ? a ? 1)

3 2 4 3 2 D、 f ( ) ? f (a ? a ? 1) 4
B、 f ( ) ? f (a ? a ? 1)

6、如果函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 3 在区间 (??,4) 上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是 ( ) A、 a ? ?

1 4

B、 a ? ?

1 4

C、 ?

1 ?a?0 4

D、 ?

1 ?a?0 4

7、已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? 4(a ? 3) x ? 5 在区间 ?? ?,3? 上是减函数,则 a 的取值范围是 ( ) A、 ? 0, ?

? ?

3? 4?

B、 ? 0, ? 4

? ?

3? ?

C、 ?0, ?

? 3? ? 4?

D、 ?0, ? 4

? 3? ? ?

?a x , ( x ? 1) ? 8、已知 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 a ( 4 ? ) x ? 2 , ( x ? 1 ) ? 2 ?
( ) A、 ?1 , ? ?? B、 ?4, 8? C、 ?4, 8? D、 ?1 , 8?

9、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在闭区间 ?0, m?上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取 值范围为( A、 ?1,??? ) B、 ?0,2? C、 ?? ?,?2? D、 ?1,2?

10、若函数 f ( x) ? 2x ? a 的单调递增区间是 ?3,??? ,则 a= 11 、已知函数 y ? f ( x) 在 R 上是减函数, A(0,?2) , B(?3,2) 在其图象上,则不等式

? 2 ? f ( x) ? 2 的解集为
12、数 f ( x ) ?

2x 在 [1,2] 的最大值和最小值分别是 x ?1

13、函数 f ( x) ? ln(4 ? 3x ? x 2 ) 的单调递减区间是 二、解答题 14、已知函数 f ( x) ?

1 1 ? a x

(a ? 0, x ? 0) (1)求证:f(x)在 ?0,??? 上是单调增函数(2)

若 f ( x) 在 ? ,2? 上的值域是 ? ,2? ,求 a 的值 2 2

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

15、已知函数 f ( x) ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R) (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性(2)若 f ( x) 在 x

区间 ?2,??? 上是增函数 ,求实数 a 的取值范围

16、函数 f ( x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且 x ? 0 时,恒 有 f ( x) ? 1( : 1) 求证:f ( x) 在 R 上是增函数(2) 若 f (3) ? 4 , 解不等式 f (a 2 ? a ? 5) ? 2

(★)17、已知函数 f ( x) ? 件的整数对 ?a, b ? 共有( A、2 个 B、5 个

4 ? 1 的定义域是 ?a, b?(a, b ? Z ) ,值域是 ?0,1? ,则满足条 x ?2
) C、 6 个 D、无数个

(★)18、设函数 f ( x ) ?

ax ? 1 在区间 ?? 2,??? 上是增函数,求 a 的取值范围是 x ? 2a

(★) 19、 已知 f ( x) 是定义在 ?? 1,1?上的奇函数, 且 f (1) ? 1 , 若 a, b ? ?? 1,1? , a ? b ? 0 时,有

f (a) ? f (b) ? 0 成立。 (1)判断 f ( x) 在 ?? 1,1? 上的单调性,并证明 a?b 1 1 )(3) (2) 解不等式:f ( x ? ) ? f ( 若 f ( x) ? m 2 ? 2am ? 1 对所有的 a ? ?? 1,1? 2 x ?1

恒成立,求实数 m 的取值范围



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