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2013年福州市高中毕业班质量检查数学(文科)试卷



2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分)

注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填 写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据

x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s? 1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

锥体体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式 4 S ? 4?R 2 , V ? ?R3 3 其中 R 为球的半径

其中 S 为底面面积, h 为高

第Ⅰ卷 (选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有 且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. i 是虚数单位,复数 z ? ( x ? 2i)i ( x ? R ) ,若 z 的虚部为 2,则 x ? A.-2 B. 2 2. 已知集合 A ? x 0 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? c ,若 A ? B =B ,则实数 c 的取值范围是 A. (0,1] B. [1,+?) C. (0,1) D. (1,??) B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2
3 2 D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

?

?

?

C.-1

?

D.1

3 2 3. 命题“存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是

A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2
3 2 C.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

4.已知圆 C:x2+y2=2 与直线 l:x+y+ 2 =0,则圆 C 被直线 l 所截得的弦长为 A.1 B.

3

C.2

D. 2 3

高三数学(文科)答案 — 1 —(共 12 页)

5. 已知命题“直线 l 与平面 ? 有公共点”是真命题,那么下列命题: ①直线 l 上的点都在平面 ? 内; ②直线 l 上有些点不在平面 ? 内; ③平面 ? 内任意一条直线都不与直线 l 平行.其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 6. 在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a5 ? 64 ,则 a1 ? a7 的最小值为 A.64 B. 32 C. 16 D.8 7. 如图面积为 4 的矩形 ABCD 中有一个阴影部分,若往矩形 ABCD 投掷 1000 个点,落在矩形 ABCD 的非阴影部分中的点数为 400 个,试估计阴 影部分的面积为 A. 2.2 C. 2.6 B. 2.4 D. 2.8 第 7 题图

?2 x ? y ? 4 ? 8. 设动点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? 0 ?
A. 2 B. -4 C. -1 D. 4

9. 如图所示为函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象,其中 A,B 两点 之间的距离为 5,那么 f (?1) ? . A.2 B.1 C.-1 D. ? 2

10. 已知 OA =1, OB = 3 , OA · OB =0,点 C 在∠AOB 内, 且∠AOC=60°,设 OC =m OA +n OB (m,n∈R) ,则 A.

m = n
第 9 题图

1 4

B.
2

1 3

C.

1 2

D.1

11. 已知抛物线 x ? ?4 y 的准线与双曲线

2 x 2 ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线围成 a 2 b2

一个等腰直角三角形,则该双曲线的离心率是 A. 2 B. 2 C. 5 D. 5

12.对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 和区间 D, 如果存在 x0 ? D , f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1, 使 则称 x0 是 函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 D 上的“友好点”.现给出两个函数 ① f ( x) ? x , g ( x) ? 2 x ? 3
2

② f ( x) ?

x , g ( x) ? x ? 2

高三数学(文科)答案 — 2 —(共 12 页)

③ f ( x) ? e ? x , g ( x ) ? ?

1 x
B.② ③

④ f ( x) ? ln x , g ( x ) ? x ?

1 2
D.① ④

其中在区间 ? 0, ?? ? 上存在“友好点”的有 A.① ② C.③ ④

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 16 分, 共 把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13.已知函数 f ( x) ? ?1, x ? N ,则 f ( f (?2)) ? ? ?0, x ? ?Z N
0

.

开始 输入 x

14..已知在 ?ABC 中, ?A ? 120 , 且三边长构成公差为 2 的等差数列, 则 ? A 所对的边 a = . 15.已 知 程 序 框 图 如 右 图 所 示 , 执 行 该 程 序 , 如 果 输 入

x ? 10 ,输出 y ? 4 ,则在图中“?”处可填入的算法语句是
(写出以下所有满足条件的序号) ① x ? x ?1 ③x ? x?3 ②x ? x?2 ④x ? x?4
x ? 0?



_? ___



16.设数列{an}是集合{3s+3t| 0≤s<t,且 s,t∈Z}中所有 的数从小到大排列成的数列, 即 a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,?, 将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下 等腰直角三角形 数表: 4 10 28 ? 12 30 输出 y

1 y = ( )x 2

36

结束 第 15 题图

a200 =

(用 3s+3t 形式表示) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 差数列,且 b1 , b3 , b9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 与 ? b n ? 的通项公式;
n? 1

?2,数列 ? b n ? 是首项为 a 1 ,公差为 d (d ? 0) 的等

高三数学(文科)答案 — 3 —(共 12 页)

(Ⅱ)若 cn ?

2 (n ? N *) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 T n . (n ? 1)bn

18.(本小题满分 12 分) 已知平面向量 a ? ( 2, 2), b ? (sin

?
4

x, cos

?
4

x) ,若错误!未找到引用源。函数

f ( x) ? a ? b .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象上的所有的点向左平移 1 个单位长度,得到函数 y ? g (x) 的 图象,若函数 y ? g ( x) ? k 在 (?2,4) 上有两个零点,求实数 k 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 某校高三 4 班有 50 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 30 人,女生 20 人.为了 了解其投篮成绩,甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号(1~50 号),并以不同的方 法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试 的成绩大于或等于 80 分视为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取 的样本数据: 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 甲抽取的样本数据 投篮成绩 90 60 75 80 83 85 75 80 70 60 编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 投篮成绩 95 85 85 70 70 80 60 65 70 60

乙抽取的样本数据

高三数学(文科)答案 — 4 —(共 12 页)

(Ⅰ)观察乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,求两名男同学中恰有一名非优 . 秀的概率. (Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列 2× 列联表,判断是否有 95%以上的把握认 2 . 为投篮成绩和性别有关? 优秀 男 女 合计 理由. 下面的临界值表供参考: 10 (Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ )的结论判断哪种抽样方法更优?说明 非优秀 合计

P( K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005

[来]

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

7.879

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形, EA ? 底面 ABCD , FD // EA ,且 FD ? (Ⅰ )求多面体 EABCDF 的体积; (Ⅱ )求证:平面 EAB⊥平面 EBC; (Ⅲ )记线段 CB 的中点为 K,在平面 ABCD 内过 K 点作一条直 线与平面 ECF 平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
B

E

1 EA ? 1 . 2
A

F

K

D C

°

第 20 题图

y G

M

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

P O H

x

x y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

2

2

直线 l :y=x+2 与原点为圆心,以椭圆 C 的短轴长为直 径的圆相切.
高三数学(文科)答案 — 5 —(共 12 页)

第 21 题图

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (0, 2) 的直线 l1 与椭圆 C 交于 G , H 两点.设直线 l1 的斜率 k > 0 ,在 x 轴 上是否存在点 P(m, 0) ,使得 ?PGH 是以 GH 为底边的等腰三角形. 如果存在,求出实 数 m 的取值范围,如果不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 14 分)

a 1 ln x ? mx, g ( x) ? x ? (a ? 0) . x 2 (I)求函数 f (x) 的单调区间;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)若 m ?

1 2 ,对 ?x1 , x2 ? [2,2e ] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围; 2e 2

( Ⅲ ) 证 明 : 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ?? 2n ln n ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ( n ? 2 且

n ? N * ).

高三数学(文科)答案 — 6 —(共 12 页)

2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(文科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评 分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,共 60 分. 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,共 16 分. 13.1 14. 7 15. ②、③、④
9 20 16. 3 ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力和应用意识, 考查函数与方程思想,满分 12 分.

??1 2 2 2 ·············· 2 解:(Ⅰ)当 n ? 2 ,时 a SS? ??, ··············· 分 ·········· ···· n n n ?
n n

n ? 1

又 a S 2 ??? ,也满足上式, ? ? 222 1 1
1

1 ? 1

所以数列{ a

n

}的通项公式为 a n ? 2 . ························ 3 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
n

b ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b9 成等比数列, 1
得 ·········· ··········· ···· ( 2? 2 2)? ? d ( 2d 8 , ··························4 分 2 + ) ··········· ·········· ····· 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 2 ,····························· 分 ··········· ·········· ······· 5 ·········· ··········· ······· 所以数列 { b n } 的通项公式为 bn ? 2n . ························ 6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· (Ⅱ)解: cn ?

2 1 ? ··········· ··········· ·· 8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· (n ? 1)bn n( n ? 1)
1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)

数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ?

1 1 1 1 1 ······················· 10 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · = ? ? ? ??? ? 1 2 2 3 n n ?1
高三数学(文科)答案 — 7 —(共 12 页)

? 1?

1 n ? n ?1 n ?1

. ··········· ··········· ···· 分 ························· 12 ·········· ··········· ····

18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础 知识,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力,处理交汇性问题的能力,以及 运算求解能力,满分 12 分. 解:(Ⅰ)∵ a ? ( 2, 2), b ? (sin 引用源。函数 f ( x) ? a ? b ∴ f ( x) ?

?

?

?
4

x, cos

?
4

x) 错误!未找到引用源。,错误!未找到

? ?

2 sin

?
4

x ? 2 cos

?
4

x ·························· 1分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

2 ? 2 ? sin x ? cos x) 2 4 2 4 ? ? ? 2 sin( x ? ) ·······························3分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 4 4 2? ∴T ? ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为8. ················· ················ 6分 ·········· ······ ?8 ? 2(

?

4
(Ⅱ)依题意将函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后得到函数

y ? g ( x) ? 2 sin[ ( x ? 1) ? ] ? 2 cos x ??????8 分 4 4 4 函数 y ? g ( x) ? k 在 (?2,4) 上有两个零点, 即函数 y ? g (x) 与 y ? ?k 在 x ? (?2, 4) 有两
个交点,如图所示: 所以 0 ? ? k ? 2 ,即 ?2 ? k ? 0 所以实数 k 取值范围为 ?2 ? k ? 0 .·························· 分 ························· 12 ·········· ··········· ···· 19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识,考查数形结合能力、运算求解 能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等,满分 12 分. 解:(Ⅰ)记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件 A,乙抽取的样本数据中,男同学有 4 名优秀,记为 a,b,c,d,2 名不优秀,记为 e,f . ················ 1 分 ··········· ····· ·········· ······ 乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,则总的基本事件有 15 个, ······ 分 ····· 2 ····· 事件 A 包含的基本事件有 {a, e} , b, e} , c, e} , d , e} , {a, f } , b, f } , c, f } , d , f } , { { { { { { 共 8 个基本事件,所以

?

?

?

P( A) =

8 . ··········· ··········· ·· 4 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 15

高三数学(文科)答案 — 8 —(共 12 页)

(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下: 优秀 男 女 合计 4 0 4 非优秀 2 4 6 合计 6 4 10 ···· 6 分 ···· ····

K 2 的观测值 k ?

10(4 ? 4 ? 0 ? 2) 2 ? 4.444 ? 3.841, ·················8 分 ··········· ······ ·········· ······ 4? 6? 6? 4

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ·················· 分 ··········· ······ 9 ·········· ······· (Ⅲ )甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ················· 分 ················ 10 ·········· ······ 由(Ⅱ )的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有 明显差异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. ··········· 12 分 ··········· ·········· · 20.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系等基础知识;考查 空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力,满分 12 分. 解: )如图,连接 ED, (Ⅰ ∵EA ? 底面 ABCD 且 FD // EA ,∴FD ? 底面 ABCD ∴FD ? AD ∵DC ? AD,FD ? CD ? D ∴ AD ? 面 FDC ????????????????1 分

1 1 1 2 AD ? S ?FDC ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ???2 分 3 3 2 3 1 8 1 ··········· ········· ·········· ········· VE ? ABCD ? EA? S? ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ····················3 分 3 3 3 10 ∴V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ? . ························-5 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 3
∴VE ? FCD ? (Ⅱ )∵ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. ························6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· ∵EA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥EA. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 7 ·········· ··········· ··········· ·· 又 AB∩EA=A,∴BC⊥平面 EAB. ····················· 8 分 ··········· ·········· ·········· ··········· 又∵BC?平面 EBC, ∴平面 EAB⊥平面 EBC. ····························· 10 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ (Ⅲ )取线段 DC 的中点 Q ;连接 KQ ,则直线 KQ 即为 所求.??????????????????11 分
高三数学(文科)答案 — 9 —(共 12 页)

图上有正确的作图痕迹????????????12 分

21. 本试题主要考查了点到直线的距离,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,平面向量 的应用,均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想和化归与转 化思想等,满分 12 分. 解: (Ⅰ)由e 2 ?

1 a2 ? b2 ··········· ········· ·········· ········· ? ,得a 2 ? 2b 2 , ····················2 分 2 a2
2 2 2

∵直线 l :y=x+2 与圆 x +y =b 相切, ∴

2 12 ? (?1) 2

··········· ········· 4 ·········· ·········· ? b ,解得 b ? 2 ,则 a2=4. ····················· 分

x2 y 2 ··········· ·········· ···· 5 ·········· ··········· ···· ? ? 1 . ··········· ··········· ···· 分 4 2 (Ⅱ)在 x 轴上存在点 P(m, 0) ,使得 ?PGH 是以 GH 为底边的等腰三角形.??6 分
故所求椭圆 C 的方程为 理由如下: 设 l1 的方程为 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,

? x2 y2 ? 由 ? 4 ? 2 ? 1,得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
因为直线 l1 与椭圆 C 有两个交点,所以 ? ? 64k ? 16(1 ? 2k ) ? 16(2k ? 1) ? 0
2 2 2

2 1 ,又因为 k ? 0 ,所以 k ? . 2 2 ? 8k 设 G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? . ··················7 分 ··········· ······· ·········· ······· 1 ? 2k 2
所以 k 2 ?

? PG ? PH ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 + x2 - 2m, y1 + y2 ) .
= ( x1 + x2 - 2m, k ( x1 + x2 ) + 4 ) ???? GH ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1, k ( x2 ? x1 )) . ??? ???? ???? ? 由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 . ·········· 分 ········· 8 ········· 所以 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m] + k ( x2 - x1 )[k ( x1 + x2 ) + 4] = 0 . 故 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m + k ( x1 + x2 ) + 4k ] = 0 . 即 ( x2 - x1 )[(1+ k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m] = 0
高三数学(文科)答案 — 10 —(共 12 页)
2 2

因为 k ? 0 ,所以 x 2 - x1 ? 0 .所以 (1+ k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m = 0 .
2

?8k ? (1 ? k 2 )( ) ? 4k ? 2m ? 0, 解得 m ? ?2k 2 ? ?2 2 1 1 ? 2k 1 ? 2k ? 2k k
设y?

1 1 2k 2 ? 1 2 ? 2k ,当 k ? ?0, 时, y? ? ? 2 ? 2 ? k k k2 2
1 2 ? 2k 在 ( , ??) 上单调递增,所以 k 2

所以函数 y ?

y?

1 2 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· ? 2? ? 2 2 , ······························ 10 分 2 2 2

所以 m ?

?2 ?2 2 ? ?? ···························· 11 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· y 2 2 2

(若学生用基本不等式求解无证明扣 1 分) 又因为 k ? 0 ,所以 m ? 0. 所以 ?

2 ? m ? 0 ,. 2
2 ? m ? 0 . ·····12 分 ····· ···· 2

故存在满足题意的点 P (m,0)且实数 m 的取值范围为: ?

22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分.

1 1 ? m ··········· ···· 分 ln x ? mx , x ? 0 ? f ?( x) ? ··········· ··· 1 ·········· ···· 2x 2 当 m ? 0 时 f ?( x) ? 0 , f (x) 在(0,+∞)单调递增.················2 分 ··········· ····· ·········· ·····
解:(I) f ( x) ? 当 m>0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 由? 由?

1 2m

? f ?( x) ? 0 1 得 0<x< 2m ?x ? 0 ? f ?( x) ? 0 1 得 x> ··········· ··········· ···· 4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· x?0 2m ?

综上所述:当 m ? 0 时, f (x) 单调递增区间为(0,+∞).

高三数学(文科)答案 — 11 —(共 12 页)

当 m>0 时, f (x) 单调递增区间为(0, (Ⅱ)若 m=

1 1 ) ,单调递减区间为( ,+∞). ·· 分 ·5 · 2m 2m

1 1 1 , f ( x) ? ln x ? 2 x ,对 ?x1 , x2 ?[2,2e2 ] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立 2 2 2e 2e 2 等价于对 ? x ? [2, 2e ] 都有 [ g ( x)]min ? [ f ( x)]max ·················· 分 ··········· ······ 6 ·········· ·······
2 由(I)知在[2,2 e ]上 f (x) 的最大值 f (e ) =

2

1 ··········· ········ 分 ··········· ······· 7 ·········· ········ 2

g ?( x) ? 1 ?

a ? 0(a ? 0), x ? [2,2e 2 ] 2 x
2

函数 g ( x) 在[2,2 e ]上是增函数,

a [ g ( x)]min =g(2)=2- , ·································9 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 2 a 1 由 2- ? ,得 a ? 3 ,又因为 a ? 0 ,∴ a ∈ ?0,3? 2 2 所以实数 a 的取值范围为 ?0,3? 。 ···························· 分 ··························· 10 ·········· ··········· ······
(Ⅲ)证明: f ( x) ?

1 1 1 1 ln x ? mx , x ? 0 令 m= ,则 f ( x ) ? ln x ? x 2 2 2 2

由(I)知 f(x)在(0,1)单调递增, (1,+∞)单调递减,

1 f ( x ) ? f (1) ? ? , (当 x=1 时取“=”号) 2

1 1 1 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ ? ln x ? x ? ? , ln x ? x ? 1 ··························· 11 分 2 2 2

? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ? ? 2n ln n
< 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ?1) ······················· 分 ······················ 12 ·········· ··········· ·
2 3 4 n

令 S= 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ?1) ????????①
2 3 4 n

2S= 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ? 2) ? 2
3 4 4 n

n ?1

? (n ?1) ??②

①-②得-S= 2 ? 2 ? ?? 2 ? (n ?1) ? 2
2 3 n

n ?1

? ?4(1 ? 2n?1 ) ? (n ?1) ? 2n?1

? S= 4 ? (n ? 2) ? 2n?1

? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ?? 2n ln n ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ( n ? 2, n ? N * ) ·· 14 分 ·· ··

高三数学(文科)答案 — 12 —(共 12 页)



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