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9、梯形与重心



梯形与重心 一、 知识讲解
知识点一:梯形:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫梯形。 知识点二:等腰梯形:两腰相等的梯形叫等腰梯形。 知识点三:直角梯形:有一个角是直角的梯形叫直角梯形。 知识点四:等腰梯形的性质
1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。 2.等腰梯形的对角线相等。

知识点五:等腰梯形的判定
1.梯形的定义。

2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

知识点六:梯形的分类

知识点七:线段、三角形、平行四边形的重心
1、线段的中点是线段的重心;三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心;平行四边 形对角线的交点是平行四边形的重心。 2、三角形重心的性质:三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。

二、 例题与变式
类型一:梯形中的辅助线
1、已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4。 求∠B 的度数及 AC 的长。

【变式 1】 (平移对角线)已知梯形 ABCD 的面积是 32,两底与高的和为 16,如果其中一条对角线与两底
1

垂直,则另一条对角线长为___________________

【变式 2】 (过顶点作高)已知 AB=BC,AB∥CD,∠D=90°,AE⊥BC.求证:CD=CE.

【变式 3】 (延长两腰)如图,在梯形 中点。求证:

中,













【变式 4】 (过一腰中点作底边平行线——构造中位线)已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC 的平分线 过 CD 的中点 E. 求证:AD+BC=AB.

【变式 5】如图,E 是梯形 ABCD 中腰 DC 上的中点,
2

类型二:不添加辅助线(多数与全等、面积、梯形中位线有关系)
2、已知:如图,四边形 ABCD 为矩形,四边形 ABDE 为等腰梯形, 求证: 。

【变式 1】如图,已知:在梯形 ABCD 中, 求证: .

,AC、BD 相交于点 O.

【变式 2】如图,已知:AD 是 (1)求证:四边形 ADCE 是等腰梯形. (2)若 的周长为

的平分线,





.

,求四边形 ADCE 的周长.
3

三、 巩固练习
1.下面命题中错误的命题是( )。 (A)等腰梯形同一底上的两个底角相等 (B)等腰梯形的对角线相等 (C)有两个底角相等的梯形是等腰梯形 (D)对角线相等的梯形是等腰梯形 2.等腰梯形的上底与高相等,下底是上底的 3 倍,则下底角的度数为( )。 (A)30° (B)45° (C)60° (D)不能确定 3.直角梯形的中位线长为 a,一腰长为 b,这腰和底所成的角为 30,则它的面积是( )。

(A)ab

(B)

ab

(C)

ab

(D)

ab。

4.顺次连结等腰梯形两底的中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是( )。 (A)菱形 (B)矩形 (C)正方形 (D)任意四边形 2 5.一个梯形中位线的长是高的 2 倍,面积是 18cm ,则这梯形的高是( )。 (A)6 cm (B)6cm (C)3 cm (D)3cm

6. 直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形,其中有一个是边长为 8 的等边三角形,梯形中位 线长是( ) (A)4 (B)4 (C)6 (D)8

7. 一个梯形的四边长分别为 12,6,6,6,则这个梯形的面积是( )。 (A)54 (B)27 (C)54 (D)27

8.下列关于物体重心的说法,不正确的是( ) (A)重心一定在物体上 (B)重心可以不再物体上 (C)均匀且形状规则的物体的重心是几何中心 (D)人的重心随着人的姿势的改变而改变 9.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,E 是底边 BC 的中点,连接 AE、DE. 求证:△ADE 是等腰三角形.

4

10.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°. 求证: (1)BD⊥DC; (2)若 AB=4,求梯形 ABCD 的面积.

11.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45°,∠BAC=105°,AD=CD=4.求 BC 的长.

12..已知:如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,∠BAD、∠CDA 的平分线 AE、DF 分别交直线 BC 于点 E、 F.求证: CE=BF.

作业
一、选择题 1.两个全等的不等边三角形,按不同方法拼成四边形,其中可以拼成平行四边形的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法中,正确的是( ) A.等腰梯形的对角线互相垂直 B.菱形的对角线相等
5

C.矩形的对角线互相垂直 D.正方形的对角线互相垂直且相等 3.如图所示,把矩形纸片 ABCD 对折,设折痕为 MN,再把 B 点叠在折痕线上,得到 Rt△AB′E,沿着 EB′线折叠所得到的△EAF 是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形

4.如图,EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O,且分别交 AB、CD 于 E、F,那么阴影部分的面积是矩形面 积的( )

A.

B.

C.

D.

5.将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得 到的平面图形是( ) A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.梯形

6.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.菱形和矩形一定都具有的性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.每条对角线平分一组对角 8.已知等腰梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 6,腰 AD 的长为 5,则等腰梯形的周长为(? ) A.11 B.16 C.17 D.22 9.如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,且 DE∥BC,下列结 论中,一定正确的个数是( )

①△BDF 是等腰三角形 ②DE= A.1 B.2 C.3

BC D.4

③四边形 ADFE 是菱形 ④

6

10.如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且 DM=2,N 是 AC 上一动点,则 DN+MN 的最小值为( )

A.8

B.8

C.2

D.10

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11. 12.已知, ABCD 两邻角∠A:∠B=1:2,则∠C=_____度. ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 的平分线交 AD 于 E,则 DE=_____cm.

13.如图,在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=2,E 为 BC 的中点,F 在 AB 上,且 BF=2AF,则四边形 AFEC 的面 积为________.

14.已知菱形 ABCD 的边长为 6,∠A=60°,如果点 P 是菱形内一点,且 PB=PD=2 _____.

,那么 AP 的长为

15.如图所示,直角梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a,垂直于底的腰 AB 的长为 b,则图中阴影部分的面积 等于________.

7

16.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 AB 到 E,使 AE=AC,则∠BCE 的度数是_______°

三、解答题 17.如图,已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,DE?⊥BC 于 E,试求 DE 的长.

18.如图,直线 MN 经过线段 AC 的端点 A,点 B、D分别在 和 的角平分线 AE、AF 上,BD 交 AC 于点 O,如果 O 是 BD 的中点,试找出当点 O 在 AC 的什么位置时,四边形 ABCD 是矩形,并说明理由.

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