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第六讲 基本不等式及其应用



第六讲
一.基础知识 1、基本不等式:若 a, b ? R ? ,那么 拓展:若 a, b, c ? R ? ,那么

基本不等式及其应用
a ? b
2 ?

ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立。

a?b?c 3 ? abc 当且仅当 a ? b ? c 时等号成立。 3

>
推 广 : 如 果 a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ? R ? ? {0} , 那 么 ) a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an 时取“=”

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n n ? a1 a 2 a3 ? ? ? a n ( 当 且 仅 当 n

2、注意: ①应用公式的条件“一正二定三相等” ; 定和定积原理:若两个正数的和为定值,则当且仅当这两个正数相等时积取到最大值; 若两个正数的积为定值,则当且仅当这两个正数相等时和取到最小值。 ②广义地理解公式中的字母 a 、 b ; ③;公式的逆用、变用:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 。 2

④ 在应用中,经常使用的不等式公式还有

a 2 ? 0 ; | a |? 0 ; ; a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ; a 2 ? b 2 ? 2ab ,

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

3、应用不等式知识解题,关键是建立不等量关系,其途径有: 利用题设中的不等量大小; 利用不等式基本性质; 利用所涉及对象的概念内涵外延所赋予的不等量大小; 利用变量的有界性;利用几何意义;利用判别式;利用不等式基本公式等等 二.综合应用
2 例 1.(1)求 y ? x ?

2 8 16 的最小值。 (2)求 y ? x ? 的最小值。 (3)若 0<x< , 求 x(2-5x)的最大值。 2 5 x x ?1

例 2.设 x〉0, y〉0, x2+

y2 2 =1,求 x 1 ? y 的最大值为。 2

例 3.若正实数 x、y 满足

1 2 ? ? 1, 则x ? y 的最小值是多少? x y
1 1 n ? ? 恒成立,求 n 的最大值. a?b b?c a?c
3 2

例 4.若对一切 a>b>c,不等式

例 5. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 1m 的造价为 150 元, 池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
1
2

例 6 (1) 求 y ? 2 x ?
2

3 , ( x ? 0) 的最小值; x

(2)已知 x ? 2 y ? 1, x, y ? R ? , 求x 2 y的最大值 .

三.强化训练 1. 下 列 不 等 式 : ( 1 ) a +1>2a
2

( 2 ) a +4 ≥ 4a

2

(3)|

b a ? |≥2 a b

(4)

2a 2 b 2 ≤ ab a2 ? b2

其中恒成立的是( ) 2.已知 a、b ? (0,1)且 a ? b ,下列各式中最大的是( ) A、 a 2 ? b 2 B、2 ab
x y

A(1) (4)

B、 (3) (4)

C、 (2) (3)

D、 (1) (2)

C、 2ab

D、 a ? b

3.设 x、y ? R 且 x+y=5,则 3 +3 的最小值为( ) A、 10 B、6 3 C、4 6 D、18 3

4.(2004 年湖南高考·理工第 7 题)设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是( ) .... A. (a ? b)(

1 1 ? ) ? 4 B. a 3 ? b 3 ? 2ab2 a b

C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
2 2

D. | a ? b | ?

a? b


5.(06 陕西)已知不等式 ( x ? y)( ? ) ? 9 对任意正实数 x , y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( A、8 B、6 C、4 D、2 6.设 0<x<2,则 x(8-3x)的最大值为____________,相应的 x 为____________. 7.已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 8.设 a, b, c ? 0 则:

1 a x y

y2 的最小值 xz



b?c c?a a?b ? ? ? _______ . a b c 1 2 1 2 + 9.已知 a、b∈R ,且 a +b =1,求 (a ? ) ? (b ? ) 的最小值. a b

10.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2 的三级污水处理池 (平面图如图) , 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元, 池底 建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造 价最低,并求出最低造价。

2

四.答案与提示
2 例 1 解:(1) y ? x ?

16 2 16 ≥2 16 =8,当且仅当 x = 2 即 x= ? 2 时原式有最小值 8。 2 x x

(2) y ? x ?

8 x ?1

=( x +1)+

8 x ?1

-1≥2 8 -1=4 2 -1;当且仅当 x +1=

8 x ?1

即 x=9-4 2 时

原式有最小值 4 2 -1。

2 , ∴ 2-5x>0 , ∴ 5 1 1 5x=2-5x,即 x= 时,原式有最大值 。 5 5
( 3 ) ∵ 0<x< 例 2.分析: ∵x2+

当且仅当

y2 y2 =1 是常数, ∴x2 与 的积可能有最大值 2 2 1? y2 2

2 2 ∴可把 x 放到根号 x (1 ? y ) 里面去考虑,注意到 x2 与 1+y2 的积,应处理成 2 x2·

y2 解: ∵x〉0, y〉0, x + =1 2
2
2 2 2 ∴ x 1 ? y = x (1 ? y ) = 2 x 2

1? y2 2

x2 ?
≤ 2

1? y2 y2 1 x2 ? ? 2 = 2 2 2 =3 2 4 2 2
1? y2 3 3 2 2 2 ,y= (即 x2= )时, x 1 ? y 取得最大值 2 2 4 2

当且仅当 x=

例 3.分析:本题主要考查最值的求法,函数与方程的思想,均值不等式的应用,化归转化的思想,直 线方程与数形结合的思想,以及灵活分析解决数学问题的能力. 解法一:∵

1 2 1 2 y 2x ? ? 1, x ? y ? ( x ? y ) ? 1 ? ( x ? y)( ? ) ? ? ? 3 ? 2 2 ? 3.当且仅当 x y x y x y

? y 2x ?x ? y ? ? ?x ? 2 ? 1 时取等号. 即? ? 1 2 ? y ? 2 ? 2 ? ? ?1 ? ? ?x y
解法二:

1 y?2 y ? ,? x ? ( y ? 2), x y y?2

3

?x ? y ?

y y?2?2 2 ?y? ?y? ? ( y ? 2) ? 3 ? 2 2 ? 3 y?2 y?2 y?2

当且仅当

2 ? y ? 2,即y ? 2 ? 2 ? 2 时取等号. y?2

解法三:设 x ? y ? b, 则y ? ? x ? b, 代入

1 x

?

2 y

? 1得 : x 2 ? (1 ? b) x ? b ? 0,

须 ? ? 0, 解得b ? 3 ? 2 2或b ? 3 ? 2 2 (∵ x ? 1, y ? 2,? x ? y f 3,?舍去x ? y ? 3 ? 2 2 ) 解法四

1 2 1 1 1 2 ? ? 2 ? ,? , , 成等差数列. x y 2 x 2 y

∴设

1 1 2 1 1 1 ? ? d , ? ? d (? ? d ? ), x 2 y 2 2 2

?x? y ?

1 2 6 ? 4d ? ? 1 1 1 ? 4d 2 ?d ?d 2 2 2t 设3 ? 2d ? t , 则x ? y ? 2 ? t ? 6t ? 8 2 8 8 ? , t ? (2,4), t ? ? 4 2 ,当且仅当t ? ,即t ? 2 2 (2,4)时取等号, 8 t t ? (t ? ) ? 6 t

?x ? y ? 3? 2 2
此题虽然不难,但考查了学生的审题能力,及在解题过程中正确利用各知识点,可以任学生发挥,既 训练了学生的发散思维,又可以提高学生综合利用各部分知识的能力.

例 4: n ? (a ? c )(
? 2?

1 1 ? ) a ?b b ?c

b?c a?b ? ? 2?2 ? 4 a?b b?c ∴ n ? 4 ,故 n 的最大值是 4。

例 5.解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得 1600 l ? 240000 ? 720 ( x ? ) x
? 240000? 720? 2 x ? 1600 x ? 240000? 720? 2 ? 40 ? 297600
1600 , 即x ? 40时, l有最小值 2976000 . x

当x ?

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元.
4

例 6: (1) y ? 2 x ?
2

3 3 3 3 3 9 3 ? 2x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 ? 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2
2

当且仅当 2 x ? (2)? x, y ? R ? ,

3 3 3 6 即x ? 时 y min ? 3 36 2x 2 2

? x2 y ?

1 1 x ? x ? 4y 3 1 x ? 2y 3 2 2 1 ? x ? x ? 4y ? ? ( ) ? ? (2 ? ) ? 当x ? 4 y, 即x ? , y ? 时取等号. 4 4 3 4 3 27 3 6 2 ? x 2 y的最大值为 . 27
CD DB C

1-5 6.

16 3

4 3
2

x ? 3 z y 2 ?x ? 3z ? x 2 ? 6 xz ? 9 z 2 x 3 9 z 3 1 9 ? ? 7. y ? ∴ = = = ≥ ? 2 ? =3 2 4z 2 4x xz 4 xz 4 xz 2 4 4
8.6 9.?

a2 ? b2 a ? b ? 2 2

1 1 1 1 a?b 1 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 a ? ? b ? a?b? 1? a b ? a b ? ab ? ab ? 2 2 2 2

1? ?

1 a?b 2 ( ) 5 2 ? 2 2

1 1 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 a b ? 5 , ∴ (a ? 1 )2 ? (b ? 1 )2 ? 25 即 2 2 a b 2
以上等号成立的条件均为 a ? b ? 故 (a ?

1 , 2

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 的最小值是 . a b 2
(米) 水池外圈周壁长: (米) 中间隔墙长:

10.解: 若设污水池长为 x 米, 则宽为 (米)池底面积:200(米 2) 目标函数:


5



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