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高考数学难点突破训练—应用题



高考数学应用题
1.某种商品每件进价 12 元,售价 20 元,每天可卖出 48 件。若售价降低,销售量可以增加, 且售价降低 x(0 ? x ? 8) 元时,每天多卖出的件数与 x ? x 成正比。已知商品售价降低 3 元
2

时,一天可多卖出 36 件。 (1)试将该商品一天的销售利润表示成 x 的函数; (2)该商品售价为多少元时一

天的销售利润最大?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. (理)某城市 2004 年末粮食储备量为 100 万吨,预计此后每年耗用上一年末粮食储备量 的 5%,并且每年新增粮食 x 万吨。 (1) 记 2004 年末的粮食储备量为 a1 万吨, 此后各年末的粮食储备量为 a2 万吨, a3 万吨, ??, 写出 a1,a2,a3 和 an(n∈N*)的表示式; (2)受条件限制,该城市的粮食储备量不能超过 150 万吨,那么每年新增粮食储备量不应 超过多少万吨? 20、 (文)某地区预计明年从年初开始的前 x 个月内,对某种商品的需求总量 f(x)(万件) 与月份 x 的近似关系为: f ( x) ?

1 x( x ? 1)( 35 ? 2 x)( x ? N *, 且x ? 12) 150

(1)写出明年第 x 个月的需求量 g(x)(万件)与月份 x 的函数关系,并求出哪个月份的需 求量最大,最大需求量是多少? (2)如果将该商品每月都投放市场 P 万件(销售未完的商品都可以在以后各月销售) ,要保 证每月都足量供应,问 P 至少为多少万件? 4. 7 月份,有一款新服装投入某市场销售,7 月 1 日该款服装仅销售出 3 件,7 月 2 日售出 6 件,7 月 3 日售出 9 件,7 月 4 日售出 12 件,尔后,每天售出的件数分别递增 3 件直到 日销售量达到最大(只有 1 天)后,每天销售的件数开始下降,分别递减 2 件,到 7 月 31 日刚好售出 3 件。 (1)问 7 月几号该款服装销售件数最多?其最大值是多少? (2)按规律,当该商场销售此服装达到 200 件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下 降并低于 20 件时,则不再流行,问该款服装在社会上流行几天?说明理由。 5. 如图,某海滨浴场的岸边可近似的看成直线,位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人 求救,救生员没有直接从 A 处游向 B 处,而沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处,若救生员在岸边的行速为 6 米/秒,在海中的行进速度为 2 米/秒, ⑴分析救生员的选择是否正确; ⑵在 AD 上找一点 C,是救生员从 A 到 B 的时间为最短,并求出最短时间。 B

300 米 A 6. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以 58 万元的 C D 优惠价转让给企业乙,约定乙用经营该店的利润偿还转让费(不计息) 。已知经营 该店的固定成本为 6.8 万元/月,该消费品的进价为 16 元/件,月销量 q(万件) 与售价 p(元/件)的关系如图. q (1)写出销量 q 与售价 p 的函数关系式; (2)当售价 p 定为多少时,月利润最多? 3
2 1 0 16 20 25 p

(3)企业乙最早可望在经营该专卖店几 个月后还清转让费?

7. 随着我国加入 WTO,某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,打入国际 市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位:万美元) 项 目 类 别 甲产品 乙产品 30 50 a 8 10 18 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多生产的 件数 200 120

其中年固定成本与生产的件数无关,a 为常数,且 4≤a≤8。令外,年销售 x 件乙产品时需 上交 0.05x 万美元的特别关税。 (1) 写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y 1 ,y 2 与生产相应产品的件数 x (x ? N ) 之间的函数关系式; (2) 分别求出投资生产这两种产品的最大年利润; (3) 如何决定投资可获最大年利润。 8. 设某旅游景点每天的固定成本为 500 元, 门票每张为 30 元, 变动成本与购票进入旅游景 点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一天购票人 数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元。设每天的购票人数为 x ,盈利额为 y 。 (Ⅰ)求 y 与 x 之间的函数关系; (Ⅱ)试用程序框图描述算法(要求:输入购票人数, 输出盈利额) ; (Ⅲ)该旅游景点希望在人数达到 20 人时即不出现亏损,若用提高门票价格的措施,则每 张门票至少要多少元(取整数)? 注:可选用数据: 2 ? 1.41, 3 ? 1.73, 5 ? 2.24 . 10. 某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万 元(科技成本) ,预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为
2

g ( n) ?

k (k>0,k 为常数, n ? Z 且 n≥0) ,若产品销售价保持不变,第 n 次投入后 n ?1

的年利润为 f ( n) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f ( n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 11. 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大. 现有以下两种设计,如图:

图①的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周 l1 ? AB ? BC .图②的过水断面为等 腰梯形 ABCD,AB=CD,AD∥BC,∠BAD=60°,过水湿周 l2 ? AB ? BC ? CD . 若△ABC 与梯形 ABCD 的面积都为 S,

图① (1)分别求 l1 和 l 2 的最小值; (2)为使流量最大,给出最佳设计方案.

图②

12. 某渔业公司今年初用 98 万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费 用 12 万元,从第二年开始每年包括维修费在内,所需费用均比上一年增加 4 万元,该 船捕捞总收入预计每年 50 万元. 1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正)? 2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种: ① 年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出; ② 盈利总额达到最大时,以 8 万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算?并说明理由. 13. 一个有 140 名职工的合资企业投资生产甲、乙两种不同产品,2000 年该企业生产的甲 产品创外汇 32 万元,乙产品创外汇 216 万元,该企业以后每年所创外汇是甲产品以 2.25 倍的速度递增,而生产乙产品的机器由于老化的原因,每年创外汇为上年的

2 。这个企业 3

只要年人均创外汇达 3 万元就可以列入国家重点企业。若以 2000 为第一年,问: (Ⅰ)从哪一年开始,甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇(lg2=0.3010,lg3=0.4771) (Ⅱ)该企业哪一年所创外汇最少?该年甲、乙两种产品各创外汇多少万元? (Ⅲ)该企业到 2003 年能否进入国家重点企业? 14. 某地区预计从 2005 年初的前 n 个月内,对某种商品的需求总量 f ( n) (万件)与月份 n 的近似关系为 f (n) ?

1 n(n ? 1)(35 ? 2n)(n ? N,n ? 12) 150

(I)求 2005 年第 n 个月的需求量 g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式,并求出哪个 月份的需求量超过 1.4 万件。 (II)如果将该商品每月都投放市场 P 万件,要保持每月都满足供应,则 P 至少为多少 万件? 16. 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用为 12 万元, 以后每年都增 加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元.

(1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案: 方案一:年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船 方案二:总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算. 18. 如图,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东α 角的射线 OZ 方向航行,而在离港口 O 13 a(a 为正常数)海里的北偏东β 角的 A 处共有一个供给科考船物资的小岛,其中 已知 tan ? ?

2 1 , cos ? ? .现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 海里的 B 3 13

处的补给船,速往小岛 A 装运物资供给科考船.该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时, 这种 补给最适宜. (Ⅰ) (本问 6 分)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m) ; (Ⅱ) (本问 6 分)应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜?

19. 某人上午 7 时, 乘摩托艇以匀速 v 海里/时 (4 ? v ? 20) 从 A 港出发到距 50 海里的 B 港 去,然后乘汽车以匀速 ? 千米/时 (30 ? ? ? 100) 自 B 港向距 300 千米的 C 市驶去,应该在 同一天下午 4 时至 9 点到达 C 市.设汽车、摩托艇所需要的时间分别是 x、y 小时. (1)作图表示满足上述条件的 x、y 范围; (2)如果已知所要的经费 p ? 100? 3 ? (5 ? x) ? 2 ? (8 ? y) (元) ,那么 v、? 分别是多 少时走得最经济?此时需花费多少元? 20. 甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在 A 、 B 两个喷雾器中分别配制成 12%和 6% 的药水各 10 千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为 1 千克的药瓶,他们从 A 、 B 两个喷雾器中分别取 1 千克的药水,将 A 中取得的倒入 B 中,

B 中取得的倒入 A 中,这样操作进行了 n 次后, A 喷雾器中药水的浓度为 an %, B 喷雾器
中药水的浓度为 bn %. (Ⅰ)证明 a n ? bn 是一个常数; (Ⅱ)求 an 与 a n ?1 的关系式; (Ⅲ)求 an 的表达式.

21. 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。 如图, 内 陆海湾的入口处有暗礁,图中阴影所示的区域为暗礁区,其中线段 AA 1 , B1 B, CC1 , D1 D 关 于坐标轴或原点对称,线段 B1 B 的方程为 y ? x, x ? ?a, b? ,过 o 有一条航道。有一艘正在 海面上航行的轮船准备进入内陆海湾,在点 M (?

5 a,0) 处测得该船发出的汽笛声的时刻 2

总晚 1s (设海面上声速为 am / s ) 。若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积) (I)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么? (II)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由。

答案: 1. (1)由题意可设,每天多卖出的件数为 k ( x2 ? x) ,∴ 36 ? k (32 ? 3) ,∴ k ? 3 又每件商品的利润为 (20 ? 12 ? x) 元,每天卖出的商品件数为 48 ? 3( x2 ? x) ∴该商品一天的销售利润为

f ( x) ? (8 ? x)[48 ? 3( x2 ? x)] ? ?3x3 ? 21x2 ? 24x ? 384(0 ? x ? 8)
(2)由 f '( x) ? ?9x2 ? 42x ? 24 ? ?3( x ? 4)(3x ? 2) 令 f '( x) ? 0 可得 x ?

2 或x ? 4 3

当 x 变化时, f '( x) 、 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

0

2 (0, ) 3


2 3
0

2 ( , 4) 3
+

4 0 极大值 432

(4,8)
— ↘

8

384



极小值 376

4 9



0

∴当商品售价为 16 元时,一天销售利润最大,最大值为 432 元 2 3. (理) (1)a1=100,a2=0.95×100+x,a3=0.95a2+x=0.95 ×100+0.95x+x 2 n—1 n—2 对 n>2 有:an=0.95 an—1+x=0.95 an—2+(x+0.95x)=?=0.95 a1 +x(1+0.95+?+0.95 ) = 0.95
n ?1

?100?

1 ? 0.95n?1 ? x ? 20x ? (100? 20x) ? 0.95n?1 0.05

(2)当 100-20x≥0,即 x≤5 时

an?1 ? an ? ? ? a2 ? a1 ? 100
当 100-20x<0,即 x>5 时,

lim a ? lim [20x ? (100? 20x) ? 0.95
n?? n n??

n ?1

] ? 20x

此时{an}逐项增加,可任意接近 20x 依题意可知: an ? 150即 20x ? 150,∴x ? 7.5 ∴每年新增粮食储备量不应超过 7.5 万吨

1 11 ?1? 2 ? 33 ? (万件 ) 150 25 1 1 x( x ? 1)( 35 ? 2 x) ? ( x ? 1) x(37 ? 2 x) 当 n ? 2 时,g(x)=f(x)-f(x-1) ? 150 150 1 ? x[( ?2 x 2 ? 33 x ? 35) ? (2 x 2 ? 39 x ? 37 )] 150 1 1 ? x(72 ? 6 x) ? x(? x ? 12) 150 25
(文) (1) g (1) ? f (1) ? 当 x=1 时,g(x)=g(1)也适合上式

? g ( x) ?

1 x(? x ? 12)( x ? N ?且x ? 12) 25 1 x ? (12 ? x) 2 36 [ ] ? 又? g ( x) ? 25 2 25
等号当且仅当 x=12-x 即 x=6 时成立,即当 x=6 时, g ( x) max ? ∴6 月份该商品的需求量最大,最大需求量为 (2)依题意,对一切 x ?{1,2,?,12},有

36 (万件) 25

36 万件。 25

Px ? g (1) ? g (2)? ? g ( x) ? f ( x)
1 ( x ? 1)( 35 ? 2 x) ( x ? 1,2,?12) 150 1 1 33 1369 (35 ? 33 x ? 2 x 2 ) ? [?2( x ? ) 2 ? ] 令 h( x ) ? 150 150 4 8 171 ? h( x) max ? h(8) ? 150 171 ?P ? 150 171 答每个月至少投入 万件可以保证每个月都足量供应。 150 P?
? ? 4. (1) 设 7 月 n 日售出的服装件数为 an n ? N ,1 ? n ? 31 ,ak k ? N , k ? 4

?

?

?

?

为最大。

? ak ? 3 ? 3 ? k ? 1? , ? a ? 2(31 ? k ) ? 3 ? k
?k ? 13, ak ? 39 ,

-

? 7 月 13 日该款服装销售件数最多,最大值为 39 件。
(2)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,

1 ? n ? 13 ? 3n, ? ,?n ? N ? ? an ? ? 65 ? 2 n , 14 ? n ? 31 ?
3 ? 3n ? ? n, 1 ? n ? 13 ? ? Sn ? ? 2 ? ?273 ? (51 ? n) ? (n ? 13), 14 ? n ? 31

? S13 ? 273 ? 200 ,

? 由 1 ? n ? 13 时, Sn ? 200 得 n ? 12 ,
由 14 ? n ? 31 时, an ? 20 得 n ? 23 ,

? 从 7 月 12 日到 7 月 22 日共 11 天该款服装在社会上流行。
300 sin 450 ? 150 2 (秒) 5. ⑴由 A 直接游向 B 处的时间为 t ? 。 2

由 A 经 D 到 B 的时间为 t2 ?

300 300 ? ? 200 (秒) ,而 150 2 ? 200 , 6 2

因此,救生员的选择是正确的。 ⑵设∠BCD=α ,则 CD=300cotα ,BC= 于是从 A 经 C 到 B 的时间为
3? 1 ? tan 2 1 ? tan 2 tan
2

300 ,AC=300-300cotα 。 sin a

? ?
2 2 )

t?

300 ? 300 cot? 300 50 cos? 150 3 cos? ? ? 50 ? ? ? ) = 50(1 ? = 50(1 ? 6 2 sin ? sin ? sin ? sin ? sin ?

?
2
2

1 ? tan

a 2

= 50(1 ?

1 tan

?
2

? 2 tan ) ≥ 50(1 ? 2 2 ) = 50 ? 100 2 2

?

当且仅当 2 tan

?
2

?

1 tan

?
2

,即 tan

?
2

?

2 , tan? ? 2 2 时, 2

上式等号成立。 此时,CD=
300 ? 75 2 (米)时,t 取得最小值为 50 ? 100 2 秒。 tan?

因此,点 C 应选在沿岸边 AD,距 D 点 75 2 米处,才能使救生员从 A 到 B 所用时间最短, 最短时间为 50 ? 100 2 秒。 ? 1 ? p ? 7,16 ? p ? 20; ? ? 4 q?? ?? 1 p ? 6,20 ? p ? 25. ? 5 ? 6. (1)

(2)设月利润为 W(万元) ,则 W=(p-16)q-6.8

? 1 (? p ? 7)( p ? 16) ? 6.8,16 ? p ? 20; ? ? 4 ? ?(? 1 p ? 6)( p ? 16) ? 6.8,20 ? p ? 25. ? =? 5
1 16 ? p ? 20, W ? ? ( p ? 22) 2 ? 2.2, 当p ? 20时, Wmax ? 1.2; 4 当 1 20 ? p ? 25,W ? ? ( p ? 23) 2 ? 3,当p ? 23时,Wmax ? 3 5 当
∴当售价定为 23 元/件时,月利润最多为 3 万元 (3)设最早 n 个月后还清转让费,则 3n ? 58, n ? 20, ∴企业乙最早可望 20 个月后还清转让费

(1) y1 ? (10 ? a ) x ? 30, 0 ? x ? 200, x ? N ;
7.

y2 ? ?0.05 x 2 ? 10 x ? 50, 0 ? x ? 120, x ? N , (2) y1最大 ? 1970 ? 200a, y2最大 ? 450。 (3)令1970 ? 200a ? 450, 得a ? 7.6.

当 4 ? a ? 7.6 时,投资甲产品;当 7.6<a ? 8 时,投资乙产品;当 a=7.6 时,投 资甲、乙两产品均可。 8. (Ⅰ)根据题意,当购票人数不多于 100 时,可设 y 与 x 之间的函数关系为

y ? 30x ? 500 ? k x .
∵人数为 25 时,该旅游景点收支平衡, ∴ 30 ? 25 ? 500 ? k 25 ? 0 ,解得 k ? 50.
? ? ?30 x ? 50 x ? 500 ( x ? N , x ? 100), ∴y?? ? ? ?30 x ? 50 x ? 700 ( x ? N , x ? 100).

(Ⅱ)框图如下: 开始 输入 x Y N

x ? 100

y ? 30x ? 50 x ? 500

y ? 30x ? 50 x ? 700

输出 y

结束

(Ⅲ)设 每张门票价格提高为 m 元,根据题意,得

m ? 20 ? 50 20 ? 500 ? 0 ∴ m ? 25 ? 5 5 ? 36.2 。
从而,每张门票最少要 37 元。 10. (1)由 g ( n) ?

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8,所以 f (n) ? (100 ? 10n) n ?1 8 n ?1 ) ? 100n ? 1 000 ? 80

(10 ?

8 n ?1

) ? 100n . (2)由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ? 9 n ?1

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520.当且仅当 n ? 1

?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元

11. (1)在图①中,设∠ ABC ? ? ,AB=BC=a.则 S ? 为正值,可解得 a ?

1 2 a sin ? ,由于 S、a、 sin ? 皆 2

2S ? 2S .当且仅当 sin ? ? 1 ,即 ? = 90 °时取等号.所以 sin ?

l1 ? 2a ? 2 2S , l1 的最小值为 2 2S .在图②中,设 AB=CD=m,BC=n,由∠BAD=60°
可求得 AD=m+n, S ?

2S m 1 3 ? . l2 ? 2m ? n ? 2m ( n ? m ? n) ? m ,解得 n ? 2 2 3m 2
3S ? 2 4 3 S , l 2 的 最 小 值 为 2 4 3 S . 当 且 仅 当

?

2S m 2S 3m ? ? ? ?2 3m 2 3m 2

2S 3m 4S 4 ? ,即 m ? 时取等号. (2)由于 2 ? 3 ,则 l 2 的最小值小于 l1 的最 3m 2 3 3
小值.所以在方案②中当 l 2 取得最小值时的设计为最佳方案 12. 1)设 n 年后盈利额为 y 元

n ? n ? 1? ? ? y ? 50n ? ?12n ? ? 4? ? 98 ? ?2n2 ? 40n ? 98 2 ? ?
令 y ? 0 ,得 3 ? n ? 17 ,

? 从第 3 年开始盈利. ?8 分

2) ①平均盈利

y 98 98 ? ?2n ? ? 40 ? ?2 2n ? ? 40 ? 12 n n n

这种情况下,盈利总额为 12 ? 7 ? 26 ? 110 万元, 此时 n ? 7 .?12 分 ② y ? ?2 ? n ? 10 ? ? 102 ? 102 ,此时 n ? 10 .
2

这种情况下盈利额为 102 ? 8 ? 110 . 两种情况的盈利额一样,但方案①的时间短,故方案①合算. 13. (Ⅰ)设第 n 年甲产品创外汇 an 万元,乙产品创外汇 bn 万元 则 a n ? 32 ? 2.25 n ?1 ? 32 ? ( 3 ) 2 n ?2 , bn ? 216 ? ( 2 ) n ?1
2 3

若 an ? bn , 则 32 ? ( )

3 2

2n?2

2 3 1 ? 216 ? ( ) n ?1 即 ( ) 5?3n ? 3 2 3

lg 3 1 ? 5 ? 3n ? log 3 ,3n ? 5 ? ? 7.72? n ? 2.57? n ? N ,? n ? 3 3 lg 3 ? lg 2 2

第 3 年开始即 2002 年甲产品创外汇就可以超过乙产品创外汇 (Ⅱ)设该企业第 n 年创外汇 y n 万元 则 y n ? an ? bn

3 2 3 3 3 ? 32 ? ( ) 2 n ? 2 ? 216 ? ( ) n ?1 ? 32 ? ( ) 2 n ? 2 ? 108 ? ( )1? n ? 108 ? ( )1? n 2 3 2 2 2
3 3 3 3 3 ? 33 32? ( ) 2 n ? 2 ?108? ( )1? n 108? ( )1? n ? 216当且仅当108 ? ( )1? n ? 32 ? ( ) 2 n ? 2 2 2 2 2 2 即 n=2 时,取“=”号,即第 2 年,2001 年创外汇最少为 216 万元,这年甲产品创外 汇 72 万元,乙产品创外汇 144 万元 (Ⅲ)2003 年即第 4 年,设该企业创外汇为 y 3 2 则 y 4 ? a 4 ? b4 ? 32 ? ( ) 6 ? ( ) 4?1 ? 216 ? 428 .5 ? 3 ? 140 ? 420 2 3 ∴2003 年该企业能进入国家重点企业。
14. (I)由题意知, g?1? ? f (1) ?

1 11 ? 1 ? 2 ? 33 ? 150 25

当 n ? 2 时, g (n) ? f (n) ? f (n ? 1)

1 1 n(n ? 1)(35 ? 2n) ? (n ? 1)n[35 ? 2(n ? 1)] 150 150 1 ? n[(n ? 1)(35 ? 2n) ? (n ? 1)(37 ? 2n)] 150 1 ? n(12 ? n) 25 ?

1 11 ? 1 ? (12 ? 1) ? ? g (1) 25 25 1 ? g ( n) ? n(12 ? n)(n ? N,n ? 12) 25 1 n(12 ? n) ? 14 . 得 n 2 ? 12n ? 35 ? 0 由 25


?5 ? n ? 7 ,又 n ? N, ? n ? 6
即 6 月份的需求量超过 1.4 万件 (II)要保持每个月都满足供应,则每月投放市场的商品数 P(万件)应满足 Pn ? f (n)

1 n(n ? 1)(35 ? 2n) 150 1 1 33 35 ?P? (n ? 1)(35 ? 2n) ? ? (n 2 ? n ? ) 150 75 2 2 1 (n ? 1)(35 ? 2n) 的最大值为 1.14 万件 ?n ? N ,当 n ? 8 时, 150
即 Pn ? 即 P 至少为 1.14 万件 16. (1)由题意知,每年的费用以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数 n 的关系为 f(n) ,则

f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)] ? 98 ? ?2n 2 ? 40n ? 98 .
由题知获利即为 f(n)>0,由 ? 2n ? 40n ? 98 ? 0 ,得 10 ?
2

51 ? n ? 10 ? 51 .

∴ 2.1<n<17.1.而 n ? N,故 n=3,4,5,?,17. ∴ 当 n=3 时,即第 3 年开始获利. (2)方案一:年平均收入 ? 由于 n ? ∴

f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) . n n

49 49 ?2 n ? 14 ,当且仅当 n=7 时取“=”号. n n

f ( n) ? 40 ? 2 ? 14 ? 12 (万元) . n
2

即第 7 年平均收益最大,总收益为 12×7+26=110(万元) . 方案二:f(n)= ? 2n +40n-98=-2 (n ? 10) +102.
2

当 n=10 时,f(n)取最大值 102,总收益为 102+8=110(万元) . 比较如上两种方案,总收益均为 110 万元,而方案一中 n=7,故选方案一. 18. (I)以 O 点为原点,指北的方向为 y 轴建立直角坐标系,则直线 OZ 的方程为 y=3x, 设点 A(x0,y0) ,则 x0= 13 asinβ =3a,y0= 13 acosβ =2a,即 A(3a,2a) , 又 B(m,0) ,则直线 AB 的方程是 y=

2a ( x ? m) , 3a ? m

由此得到 C 点坐标为 (

2am 6am , ), 3m ? 7a 3m ? 7a

? S (m) ?

1 3am2 7 | OB | ? | yC |? (m ? a) ; 2 3m ? 7a 3

(II) S (m) ? a[(m ?

7 a) ? 3

49a 2 14 49a 2 14 28a 2 , ? a] ? a[2 ? a] ? 7 3 9 3 3 9(m ? a) 3

7 ∴当且仅当 m ? a ? 3

49a 2 14 7 ,即m ? a(m ? a) 时等号成立, 7 3 3 9(m ? a) 3

∴征调 m ?

14 a 海里处的船只时,补给最适宜. 3

19. (1)依题意得 v ?

300 50 ,? ? , 4 ? v ? 20 , 30 ? ? ? 100 ,所以 3 ? x ? 10 , x y

5 25 ? y? ??①.由于汽车、摩托艇所需要的时间和 x ? y 应在 9 至 14 时之间,即 2 2

9 ? x ? y ? 14 ??②.因此,满足①、②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括
边界) . (2) p ? 100? 3 ? (5 ? x) ? 2 ? (8 ? y) , 3x ? 2 y ? 131? p .设 131? p ? k ,那么当 k 最大时,p 最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为 ?

3 的直线 3x ? 2 y ? k 2

中,使 k 值最大的直线必通过点(10,4) .即当 x ? 10 , y ? 4 时,p 最小.此时,v ? 12.5 ,

? ? 30 ,p 的最小值为 93 元
20. (1) 开始时,A 中含有 10 ? 12%=1.2 千克的农药,B 中含有 10 ? 6%=0.6 千克的农药,

n 次操作后, A 中含有 10 ? an %=0.1 an 千克的农药, B 中含有 10 ? bn %=0.1 bn 千克的农
药, 它们的和应与开始时农药的重量和相等, 从而有 0.1an ? 0.1bn ? 1.2 ? 0.6 , 所以 a n ? bn =18(常数) (2) 第 n 次操作后,A 中 10 千克药水中农药的重量具有关系式: 9 ? an?1 ? 1? bn?1 ? 10an , 由(1)知 bn?1 ? 18 ? an?1 ,代入化简得 a n ? (3)令 a n ? ? ?

4 9 a n ?1 ? ① 5 5

4 (a n ?1 ? ? ) ,利用待定系数法可求出 ? =-9, 5 4 4 所以 a n ? 9 ? (a n ?1 ? 9) ,可知数列 ?an ? 9? 是以 a1 ? 9 为首项, 为公比的等比数列,---10 5 5

分 由①, a1 ?

4 9 4 9 57 a0 ? ? ? 12 ? ? ? 11.4 5 5 5 5 5

由等比数列的通项公式知:

4 4 12 4 4 4 a n ? 9 ? (a1 ? 9)( ) n ?1 ? 2.4( ) n ?1 ? ( ) n ?1 ? 3( ) n ,所以 a n ? 3( ) n ? 9 . 5 5 5 5 5 5
21. 设轮船所在的位置为 P ,由题意可得 | PM | ? | PN |? a 。? a ?| MN | , 故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支。

设点 P 的轨迹方程为

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 则 m ? a 2 2 m n

n?

5a 2 a 2 ? ?a 4 4

? 兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是 4 x 2 ? y 2 ? a 2 ( x ? 0)
(II)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。 设直线 l 的方程为 y ? y0 。 当 0 ? y0 ? a 时,设 l 与双曲线右支、直线 x ? a 分别交于点 Q1 , S1 , 则 Q1 (

1 2 y 0 ? a 2 , y 0 ) , S1 (a, y0 ) 2 1 1 2 ? y0 ? a 2 ? a2 ? a2 ? a 2 2

? 点 Q1 在点 S1 的左侧,? 船不可能进入暗礁区。
当 y 0 ? a 时,设 l 与双曲线右支、直线 y ? x 分别交于点 Q2 , S 2 , 则 Q2 (

1 2 y 0 ? a 2 , y 0 ) , S 2 ( y0 , y0 ) 2
2

3y ? a 2 1 2 2 ? ( y0 ? a 2 ) ? y0 ? ? 0 ?0 4 4
? 1 2 y0 ? a 2 ? y0 2

? Q2 在点 S 2 的右侧,? 船不可能进入暗礁区。

综上,在 x 轴上方,船不可能进入暗礁区,由对称性可知,船能由海上安全驶入内陆海湾。



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