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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数与定积分应用(2)学案 理



"吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 函数与 定积分应用(2)学案 理
探究 7:讨论函数的单调性 例 8:设 函数 ,试讨论函数 的单调性 "

(解析:注意讨论 K 的范围,注意函数的定义域) 时, 单调递增; 时, 单调递减; ( ,1)单调递增。

探究 8:导数与函数的极值和最值

例 9:设函数 ,其中 求函数的极大值和极小值。

(极大值 0;极小值



例 10:已知函数 (1)、求 的最小值; )

(2) 、若对所有的

,都有

,求实数 a 的取值范围。(a

)

1

探究 9:已知函数的极大值和最值,求参数的值或取值范围。 例 11:函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

(Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间和极值; (增区间: (极大值:5+4 围.( 5-4 极小值:5-4 ) . (Ⅱ)若关于

),(

,

)减区间为:(

);

x 的 方 程 f ( x) ? a 有 3 个 不 同 实 根 , 求 实 数 a 的 取 值 范
5

(Ⅲ)已知当 x ? (1, ??) 时, f ( x ) ≥ k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.K [考题赏析]例 12.已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R) ,其中 a ? R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值. 【分析】(I)解:当 a ? 1 时, f ( x) ?

2x 4 , f (2) ? . 又 5 x ?1
2

f '( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 2 x.2 x 2 ? 2 x 2 6 ? 2 , f '(2) ? ? . 2 2 2 25 ( x ? 1) ( x ? 1)

所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ?

4 6 ? ? ( x ? 2), 即 5 25

6 x ? 25 y ? 32 ? 0.
(II)解: f '( x) ?

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) ? . ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1)2

由于 a ? 0, 以下分两种情况讨论. (1)当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0, 得到 x1 ? ? , x2 ? a. 当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况 如下表:
x

1 a

1? ? ? ??, ? ? a? ?

?

1 a

? 1 ? ?? ,a? ? a ?

a

? a, ?? ?

2

f '( x )

?
?

0 极小值

?

0 极大值

?
?

f ( x)

?

1? ? ? 1 ? 所以 f ( x) 在区间 ? ??, ? ? , ? a, ??? 内为减函数,在区间 ? ? , a ? 内为增函数. a? ? ? a ?
函数 f ( x) 在 x1 ? ?

1 处取得极小值 a

? 1? f ?? ?,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?

函数 f ( x) 在 x2 ? a 处取得极大值 f ( a ), 且 f (a) ? 1 . (2)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0, 得到 x1 ? a, x2 ? ? 况如下表:
x

1 .当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情 a

? ??, a ?
?
?

a

1? ? ? a, ? ? a? ?
?

?

1 a

? 1 ? ? ? , ?? ? a ? ?

f '( x )

0 极小 值

0 极大

?
?

f ( x)

?



1? ? 1 ? ? 所以 f ( x) 在区间 ? ??, a ? , ? ? , ?? ? 内为减函数,在区间 ? a, ? ? 内为增函数. a? ? a ? ?
函数 f ( x) 在 x1 ? a 处取得极大值 f ( a ), 且 f (a) ? 1 . 函数 f ( x) 在 x2 ? ?

1 处取得极小值 a

? 1? f ?? ?,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?

【考题赏析】例 13.[2014·湖北卷] 22. π 为圆周率,e=2.718 28?为自然对数的底 数. ln x (1)求函数 f(x)= 的单调区间;

x

(2)求 e ,3 ,e ,π , ,3 ,π 这 6 个数中的最大数与最小数; 3 e π e π 3 (3)将 e ,3 ,e ,π ,3 ,π 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.

3

e

π

e

π

3

3



ln π ln 3 3 π π 3 < ,得 ln π <ln3 ,所以 3 >π ; π 3 ln 3 ln e e 3 e 3 由 < ,得 ln 3 <ln e ,所以 3 <e . 3 e π e 综上,6 个数中的最大数是 3 ,最小数是 3 . e e 3 π e 3 (3)由(2)知,3 <π <π <3 ,3 <e . ln π ln e e π 又由(2)知, < ,得π <e . π e 3 e π 3 故只需比较 e 与π 和 e 与π 的大小. 1 由(1)知,当 0<x<e 时,f(x)<f(e)= , e ln x 1 即 < . x e 2 2 2 e e e e e e 在上式中,令 x= ,又 <e,则 ln < ,从而 2-ln π < ,即得 ln π >2- . π π π π π π

① e? ? ? 2.72?>2.7×(2-0.88)=3.024>3, 由①得,eln π >e?2- ?>2.7×?2- 3.1 ? ? π? ? ? e 3 3 e 即 eln π >3,亦即 ln π >ln e ,所以 e <π . 3e 又由①得,3ln π >6- >6-e>π ,即 3ln π >π , π π 3 所以 e <π . e 3 e π 3 π 综上可得,3 <e <π <e <π <3 , e 3 e π 3 π 即这 6 个数从小到大的顺序为 3 ,e ,π ,e ,π ,3 . 探究 10.利用导数求和:

?1? Sn ? 1? 2x ? 3x2 ???? ? nxn?1 ( x ? 0 ,

x ? N * ).

* 1 2 3 n ( x ? N ). ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ? 2 ? Sn ? Cn

分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由求
4

导公式 ( x )' ? nx
n

n ?1

,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解

决更加简捷。 解: (1)当 x=1 时,

;当 x≠1 时, 两边都是关于 x 的函数,求导得





(2)∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得 令 x=1 得 , 即

, 。



三、方法提升 1.用定义求导数的步骤 (1) 求函数的改变量 ; (2) :求平均变化率 (3) 、取极限

(2) 导数物理意义与几何意义 (3) 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则; (4) 求切线方程时已知点是否切点至关重要。 2、求参数范围的方法:①分离变量法;②构造(差)函数法. 3、构造函数法是证明不等式的常用方法:构造时要注意四变原则:变具体为抽象,变常 量为变量,变主元为辅元,变分式为整式. 4、 通过求导求函数不等式的基本思路是: 以导函数和不等式为基础, 单调性为主线, 最(极 值)为助手,从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.
5

四、反思感悟:

五、课后作业(1) 一、选择题 ( 06 江西)对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ? x ?1? f ?( x) ≥ 0 ,则必有(D) 1.

A. f (0) ? f (2) ? 2 f ?1? C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f ?1?

B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f ?1? D. f (0) ? f (2) ? 2 f ?1?

2. 设函数 f ( x ) , g ( x) 在 ? a, b? 上均可导,且 f ?( x) ? g?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有(C)

A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C . f ( x) ? g ( a ) ? g ( x) ? f ( a ) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b) 3、 f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x ) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是(C)

4、

f0 ( x) ? sin x ,f1 ( x) ? f0 ?( x) ,f2 ( x) ? f1?( x) , ?,f n?1 ( x) ? f n ?( x) ,n ? N , 则
=(A)

A. sin x
4

B. ? sin x

C. cos x

D. ? cos x

5、若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为(A)

A. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; B. x ? 4 y ? 5 ? 0 ; C. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; D. x ? 4 y ? 3 ? 0

6

2 6、曲线 y ? e 2 在点 4, e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D)

1

x

?

?

A.

9 2 e 2

B. 4e 2

C. 2e 2

D. e2

二、填空题: ( 07 届高三皖南八校联考)已知 f ( x) ? x ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(2) ? 7、
2

-4

,则 f ?( x) ? 8、已知 f ( x) ? xe 三、解答题: 9、求下列函数的导数:

1?cos x

?1?

y ? ?1 ? sin x ? ;
2

? 2? y ?

1 1 ? x2



? 3? y ? ln

x2 ? 1 ;

? 4? y ?

ex ? 1 ; ex ?1

? 5? y ? sin 2 ? ? 2x ?
?

??

?; 3?

? 6?

y ? ex ? ln x

? 7 ? y ? 1 ? cos x ;
10. 设 ,点 P (t, 0) 是函数

sin x

?8? y ? ? x 2 ? 1? ? sin x ? x ? cos x

与函数

的图象的一个公共点,

两函数的图象在点 P 处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a,b,c; (2)若函数 G(x)在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。
7

(湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? 11、 求 f (1) ? f ?(1) ? 3
3 2 (天津)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. 12、

1 x?2, 2

?1? 讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数的 f ( x) 的极大值还是极小值;(大,小) ? 2 ? 过点 A(0,16) 作曲线 y ?
(a=1,b=0)

f ( x) 的切线,求此切线方程.(y=9x+16)

13.f(x)=lnx-ax ,x∈(0,1] (1)若 f(x)在区间(0,1]上是增函数,求 a 范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值.

2

14.设函数 f(x)=(1+x) -2ln(1+x)
8

2

(1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,求实数 m 的最小值; (2)g(x)=f(x)-x -x-a 在区间[0,3]上恰有两个不同的零点,求 a 范围.
2

1 1 15、已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). 2 2 1 (Ⅰ)若 x ? 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值;(a=2) 2

1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数; 2 1 (Ⅲ)若对任意 的 a ?(1,2) ,总存在 .. ..x0 ? [ 2 ,1] ,使不等式
的取范围. 成立,求实数 m

课时作业(2) 一、 选择题

1. 已知函数 f ( x) ? x4 ? 4x3 ? 10x2 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 ?1, 2? 上的根有

A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个

D. 0 个

2. ( 06 郑州一中等四校联考)若函数 y ? f ( x) 在 R 上可导且满足不等式 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,且常数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. af (a) ? bf (b) B. af (b) ? bf (a) C. af (a) ? bf (b) D. af (b) ? bf (a)
3、 ( 07 届高三陕师大附中八模)如果 f ?( x ) 是二次函数, 且 f ?( x ) 的图象开口向上, 顶点坐标为 (1, ? 3) , 那么曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

A. (0,

2? ] 3

? 2? B. [0, ) ? [ , ? ) 2 3

? 2? ? 2? C. [0, ] ? [ , ? ) D. [ , ] 2 3 2 3
9

4、 ( 08 届厦门双十中学高三月考)如图,是函数
2 等于 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图像,则 x12 ? x2

A.

8 9

B.

10 9

C.

16 9

D.

28 9

1 , 3 , 5

5、 ( 06 天津)函数 f ( x ) 的定义域是开区间 ? a, b ? , 导函数 f ?( x ) 在 ? a, b ? 内的图象如图所示,则函数

y

y ? f ?? x?
b

a
f ( x) 在开区间内有极小值点

O

x

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

6、 ( 08 届高三哈尔滨第三中学第一次月考) 函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x 的图象如图所示,
3 2

且 x1 ? x2 ? 0 ,则有

A. a ? 0, b ? 0
二、 填空题

B. a ? 0, b ? 0

C. a ? 0, b ? 0

D. a ? 0, b ? 0

7、 (1)使 y ? sin x ? ax 为 R 上增函数,则 a 的范围是 (2)使 y ? x ? ax ? a 为 R 上增函数,则 a 的范围是
3

(3)使 f ( x) ? ax ? x ? x ? 5 为 R 上增函数,则 a 的范围是
3 2

三、解答题 8、已知: x ? 1 ,证明不等式: x ? ln ?1 ? x ?

10

9、设 f ( x) ? ax ? x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求出这三个单调区间
3

10.(原创题)用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( A .?c f(x)dx B . | ?c

)

?a

?a ?b

f(x)dx|
C . ?b f(x)dx + ?c f(x)dx

?a

?b
m

D . ?c

f(x)dx-? f(x)dx

b

?a

11.设函数 f(x )=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则 2 ) ? f(-x)dx 的值等于(

?1
A.

5 6

1 B. 2

2 C. 3

1 D. 6

2 12.若等比数列{an}的首项为 ,且 a4=?4 (1+2x)dx,则公比等于________. 3 ?
1

13.已知函数 f(x)=3x +2x+1,若? f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________.

2

1

?-1

1 1 -1=0,解得 a=-1 或 a= .答案:-1 或 3 3 14.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x-2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 15.已知 f(x)为偶函数且?6 f(x)dx=8,则?6 f(x)dx 等于( )

?0

?-6

A.0 B.4 2 x 16.函数 y=? (cost+t +2)dt(x>0)(

?-x

C.8 )

D.16

A.是奇函数 B.是偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上都不正确 17.一物体的下落速度为 v(t)=9.8t+6.5(单位:米/秒),则下落后第二个 4 秒内经过的 路程是( ) A.249 米 B.261.2 米 C.310.3 米 D.450 米

11

1 1 18.由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围成图形的面积为( 2 x 15 17 1 A. B. C. ln2 4 4 2
2 3

) D.2ln2 )

19.若 a=?2x dx,b=?2x dx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是(

?0

?0

?0

A.a<c<b

B.a<b<c

C.c<b<a

D.c<a<b

x+1 (-1≤x<0) ? ? 20.函数 f(x)=? π cosx (0≤x≤ ) ? 2 ?
A. 3 2 B.1

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 1 D. 2

C.2

12



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