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2.3.4一元二次不等式的解法(第1课时)教学设计



2.3.4 一元二次不等式的解法(第 1 课时)
衢州市衢江区职业中专 【教材分析】 1.本教材是浙教版中高职一体化人才培养模式改革试验新教材——数学第一册,适合 中职升学班高一年级学生,本节课是第二章不等式中 2.3.4 节第一课时。 2.一元二次不等式的解法是解不等式的基础和核心,在中职数学中起着广泛的应用工 具作用,一元二次不等式的解法中蕴藏着重要的类比、转化、分类讨论、数形结合等思想, 已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分,也是近年来高考综合题的热点。可见,本节 课的学习在中职数学中具有举足轻重的地位。 【学情分析】 1.从知识储备来说,学生在初中已经学习了一元一次不等式组、一元二次方程和二次 函数,对不等式的性质有了初步了解,这为我们学习一元二次不等式打下了基础。 2.从心理特征来说,高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密,抽象思维能 力也有进一步提升。 在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性, 但在探究问 题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。 3.学生基础参差不齐,个体差异比较明显,在教学中要关注不同层次的学生的学习和 发展。 【教法分析】 本节课设计的指导思想是: 现代认知心理学——建构主义学习理论。 建构主义学习理论 认为:应把学习看成是学生主动的建构活动,学生应与一定的知识背景即情景相联系,在实 际情景下进行学习, 可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识, 这 样获取的知识,不但便于保持,而且易于迁移到陌生的问题情景中。 本节课采用“诱思引探教学法”。把问题作为出发点,指导学生“画、看、说、用”。 较好地探求一元二次不等式的解法。 【学法分析】 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心,会学是目的。因此在教学中要不断指导学 生学会学习。本节课主要是教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研” 的研讨式学习方法,这样做增加了学生自主参与,合作交流的机会,教给了学生获取知识的 途径、思考问题的方法,使学生真正成了教学的主体;只有这样做,才能使学生“学”有新 “思” , “思”有新“得” , “练”有新“获” ,学生也才会逐步感受到数学的美,会产生一种
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邵志刚

成功感,从而提高学生学习数学的兴趣;也只有这样做,课堂教学才富有时代特色,才能适 应素质教育下培养“创新型”人才的需要。 【教具准备】 PPT 课件、电子白板、幻灯机、答题纸、板书等。 【学具准备】 教科书、作业本、三角尺、水笔、铅笔、橡皮、笔记本、答题纸等。 【教学目标】 1. 知识与技能目标:理解一元二次不等式的概念;掌握一元二次不等式的解法,体会 一元二次方程与一元二次不等式的关系. 2. 过程与方法目标:体会类比、数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法,提高运 算能力,逻辑思维能力;运用一题多解,训练发散思维;提倡自主学习,培养学生归纳整理 能力. 3. 情感、态度与价值观目标:激发学习数学的热情,培养勇于探索、勇于创新的精神, 同时体会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重点】 一元二次不等式的解法. 【教学难点】 根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集. 【教学过程】 教学 教学内容 环节 问题:请同学们观察一次函数 y=2x-7 的图象, 从 图象上观察 y=0 ,y>0 ,y<0 时 x 的取值范围? 导 当 x=3.5 时,y=0,即 2x-7=0 当 x<3.5 时,y<0,即 2x-7<0 入 当 x>3.5 时,y>0,即 2x-7>0 借助图象直观认识,说明一元一次方程和不等式 的解与一次函数图象的关系: ①2x-7=0 的解恰是函数 y=2x-7 的图象与 x 轴 交点的横坐标。 ②2x-7>0 的解集正是函数 y=2x-7 的图象 在 x 轴的上方的点的横坐标的集合。 ③2x-7<0 的解集正是函数 y=2x-7 的图象
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师生互动

设计意图 导课问题 激发了学生 解决新问题 的兴趣。此

课前将学生分成四大 组展开学习竞赛,答对加 1~3 分,现场板书统计,调 动学生学习积极性, 三组 关系的得出,实际上让学生 找到了利用“一次函数的图 象”来解一元一次方程和一 元一次不等式的方法。

时,引导学生 利 用 函 数 y=x2-x-6 的图 象来求不等 式 x2-x-6>0 和 x2-x-6 < 0 的 解集,引出课 题。

在 x 轴的下方的点的横坐标的集合。 一元二次不等式的概念: 新 课 只含有一个未知数,未知数的最高次项的次 数是 2,且系数不为 0 的整式不等式叫做一元二 次不等式. 它的一般形式是: ax2+bx+c>0(≥0) 或 ax2+bx+c<0(≤0) (a≠0). 例 解下列不等式: (1) x ? x ? 6>0 (2) x ? x ? 6<0
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教师直接给出一元二 次不等式的概念,学生在教 师的引导下,小组合作学 习,运用初中所学的因式分 解法、二次函数图像法、分 点区间法等方法,求出一元 二次不等式的解集,运用一 题多解,训练发散思维.

学 生 根 据已有的知 识,探索 ?> 0 时一元二次 不等式的解 法.



因为 ?=(-1)2-4×1×(-6)=25>0,
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学 生 仿 照例题求出 类似不等式 教师提问、分析,师生 共同完成例题 师生合作归纳出, a > 0,?>0 时一元二次不等式 与一元二次方程的根的关 系。 列出表格,给出一元二 次不等式解集的口诀“大于 取两边,小于取中间” 利用一元二次方程的 例 题 分 析后举了两 个不能用因 式分解法解 题的一元二 次不等式,说 明了因式分 解的局限性 和求根公式 法的普遍性。 的解集.

方程 x -x-6=0 的解是 x1=-2,x2=3, 则 x -x-6=(x-3)(x+2)>0. 同解于一元一次不等式组: (Ⅰ) 新
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x - 3>0 x ? 2>0

或 (Ⅱ)

x - 3<0 x ? 2<0

不等式组(Ⅰ)的解集是{x | x>3}; 不等式组(Ⅱ)的解集是{x | x<-2}. 故原不等式的解集为{ x | x<-2 或 x>3}.



同理 x ? x ? 6<0 的解集为{x |-2< x<3};
2

解法二:分点区间法;解法三:二次函数图像法 (解题步骤略,见课件) 探究:一元二次方程 x ? x ? 6 ? 0(?>0)的根
2

x ? x ? 6<0 与一元二次不等式 x ? x ? 6>0 ,
2 2

根与一元二次不等式的解 集的关系,简化并规范解题 步骤。 师生结合前面学过的 例题和做过的练习共同总 结解题步骤,并强调不等式 解集的集合和区间表示法.

的解集关系, 完成表格 (板书) , 并简化解题步骤。 举例:解不等式(直接利用结论,填空题)

>0 (2) x ? x ? 1<0 (1) x ? x ? 1
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解一元二次不等式的步骤(a>0) : S1 求出方程 ax2+bx+c=0 的判别式 ?=b2-4ac 的值.
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S2 (1)?>0,则二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 有两个不等的根 x1,x2(设 x1<x2) ,则 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . 不等式 a(x-x1)(x-x2)>0 的解集是 (-?,x1)∪(x2,+?); 不等式 a(x-x1)(x-x2)<0 的解集是(x1,x2) . 思考:1 若二次项系数 a<0 怎么办?. 2. 表格中若>、<改成≥、≤如何? 新 练习 1.填空: (1)方程(x-4)(x+1)=0 的解 x1=_____,x2=_____ ∴不等式(x-4)(x+1)≥0 的解集是____________ 课 不等式(x-4)(x+1)≤0 的解集是_____________ (2)方程(x-1)(2-x)=0 的解 x1=_____,x2=_____ ∴不等式(x-1)(2-x)>0 的解集是____________ 不等式(x-1)(2-x)<0 的解集是____________ 2.解不等式-x?-2x+3≥0 3.当 m 为何实数,方程(m+2)x?-2mx+1=0 有 两个不相等的实数根? 思考:如何用数轴或区间表示 m 的范围? 4.已知不等式 ax?+5x+c>0 的解集是(-1,2) ,求 a,c 的值。

教师强调对于 a<0 的 情况,通过在已知不等式两

总结解一 元二次不等

端乘上-1(“+”变“-” , “-” 式的步骤,给 变“+” , “>”变“<”), 可化为 a>0 的情况求解. 出口诀,培养 学生数形结

学生思考表格中若>、 合 的 思 想 和 <改成≥、≤如何?并补充 表格内容。 练习 1(2)二次项系数 为负, 要化为正, 容易出错。 练习 2 学生板练,用幻 灯机展示答案,并相互评 价。 练习 3 教师分析思路, 通 过 练 习 使 请学生回答答案,并到黑板 上画数轴和写区间,联系旧 知,学生相互评价,教师点 评。 练习 4 逆向思维,若时 间不够,留课后合作学习。 综合练习,熟练运用, 巩固提升。 学生进一步 掌握一元二 次不等式的 解法. 归纳整理能 力.

小 解一元二次不等式的步骤. 结 作 业 必做题:教材 P49 ,练习第 1 题; 练习册 p25,第 1,2,4,5,7 题。 选做题:练习册 p25,第 3,6,8 题。 【板书设计】 2.3.4 一元二次不等式的解法 1.一般形式是 ax +bx+c>0(≥0)
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学生总结,教师补充。

归纳提升

分层布置,自愿选择。

检验、巩固

或 ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0).
4

2.解法步骤 1) 当二次项系数 a<0 时,先把 a 化为正数(不等式两边同乘-1) 。 2 2) 当二次项系数 a>0 时,根据对应方程 ax +bx+c=0 的根的情况求不等式的解集。 判别式 ?=b2-4ac 方程 ax +bx+c=0 的根
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?>0
x

?=0
x

? <0
x
y

0

y

x1=x2 0

x1<x2 无解 不等式 ax +bx+c>0 的解集 ax2+bx+c ≥ 0 不等式 ax2+bx+c<0 的解集 ax2+bx+c ≤ 0
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y 0

{x|x<x1 或 x>x2} {x|x≤x1 或 x≥x2} {x|x1<x<x2} {x|x1≤x≤x2}

{x|x≠x1} R ? {x|x=x1}

R

?

【教学反思】 本节课立足课本,着力挖掘,设计合理,层次分明。以“三个一次关系→三个二次关系 →一元二次不等式解法”为主线,以“从形到数,从具体到抽象,从特殊到一般”为灵魂, 以“画、看、说、用”为特色,把握重点,突破难点。在教学思想上既注重知识形成过程的 教学,还特别突出学生学习方法的指导,探究能力的训练,创新精神的培养,引导学生发现 数学的美,体验求知的乐趣。 1.注重用新课程理念处理教材,做到因材施教。教师应认真钻研教材,充分了解和尊 重学生的知识和经验, 把握教材中知识点之间的本质联系, 对教材进行开发挖掘、 正确重组、 适时补充等创造性处理,使教材更符合学生的认知水平,并发挥最大功效。 例如, (1)导课中复习学过的一次函数、一元一次方程和一元一次不等式组的关系,利 用数形结合思想方法,类比引出一元二次不等式的图象解法,紧密联系学生的认知水平,唤 醒对旧知识的记忆,培养学生观察、发现、探索、整理的能力。(2)例题教学中,利用因 式分解,结合两数相乘的符号法则、整体换元思想方法,得出解一元二次不等式的解不等式 组法,利用分类讨论、数形结合的思想方法,得出解一元二次不等式的区间分析法法,补充 了两种解法,用已有的知识解决一元二次不等式的解法,通过一题多解,培养学生逻辑思维 能力和数学思维的灵活性和创造性。(3)利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集
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的关系,总结出一元二次不等式的解题步骤,口诀法是教材中没有提及的,这样可以简化一 元二次不等式的解题步骤,并且绕过因式分解法(十字相乘)、分点区间法、二次函数图象 法等难点问题, 解决了用分解因式解一元二次方程的局限性, 学生只要掌握求根公式法解一 元二次方程就可以啦,把解一元二次不等式转化为解一元二次方程。(4)设置了 4 组练习 题,层次分明,类型多样,开拓了学生的思维,巩固提高了所学知识。 2.提供学生充分思考和交流的空间,实现新课程的三维目标。学生的数学学习活动不 仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学、师生互 动,教师发挥组织者、引领者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 例如, (1)导课中宣布学习竞赛规则,激励学生积极发言,调动学生学习积极性,引导 学生小组交流,合作完成。 (2)讲解例题时,教师补充另外两种解法,开拓学生的视野,培 养学生逻辑思维能力和数学思维的发散性。 (3)练习 2 学生板练,并用幻灯片展示不同学生 的答案,学生自评、互评、教师点评。 (4)课堂小结时,学生阅读课本,畅谈本节课的收获, 教师针对学生薄弱或易错处进行强调和总结。(5)分层次布置作业,自愿选择作业,让学 生主动参与,提高学生做作业的主观能动性。 3.数学课堂应实施有效、有用、有价值的教学行为。数学来源于生活,应服务于生活, 学生在课堂中究竟学到了什么,课后又得到了什么,这永远都是教学所必须追问和思考的。 在新课程理念的指导下, 发挥学生主体作用, 改变数学课堂教学模式, 转变学生的学习方式, 提高数学课堂教学质量,力争“有效、有用、有价值的课堂教学”是我们数学老师永恒的追 求。 (1)从教学的有效性上来看,在一元二次不等式的解法教学中,教师以新课程理念为 指导,精心设计活动化的教学程序,以平等合作的身份参与学生的学习活动,认真指导学生 进行自主性、 探究式的学习, 使数学活动成为有利于促进学生主动构建新知、 提高学习能力、 激发和培养创新意识的有效活动,达到有效教学。 (2)从知识的应用价值上来看,一元二次不等式的解法是从大量数学问题和现实问题 中抽象出来的一个数学模型,在解法推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳推理、 转化、分类讨论等在各种数学问题研究中有着广泛的应用。另外,一元二次不等式与方程、 函数的综合运用、在实际问题中的计算也经常涉及到。 (3)从内容的人文价值上来看,一元二次不等式解法的探究与推导需要学生观察、分 析、类比、转化、归纳,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索一元二次不等式的 解法,体会学习数学的规律和方法,体验成功的乐趣,有助于培养学生的创新思维和探索精 神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
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