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7.8无穷等比数列各项的和ⅠⅡ



教学目标: 1、理解无穷等比数列的各项和的定义; 2、掌握无穷等比数列的各项和的公式,会应用公式 求无穷等比数列的各项和; 3、理解无限个数的和与有限个数的和意义上的区别 4、通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一 些简单的实际问题过程中,形成和提高数学的应 用意识. 教学重点及难点: 重点:数列极限的概念及简单数列的极限的求解. 难点:对数列极限的定义的理解.

教学方法:讲授法、练习法. 教学手段:多媒体辅助教学.

【知识点梳理 】:
1、 数列极限的定义: 一般地,在 n 无限增大的变化过程中,如果无穷数列 ?an ? 中的 an 无限

an ? A 趋近于一个常数 A ,那么 A 叫做数列 ?an ? 的极限,记作 lim n ?? 2、 几种常用数列极限:
C? (1) lim n ??



C

1 ? (C为常数 ); (2 ) n ? ? n lim

0



?1 , q ?1 ? q ?1 ? 0, n q ? ?不存在, (3) lim q ? 1, 或q ? ?1 n ?? ?
3、数列极限的四则运算法则:

a n ? A, lim bn ? B ,则 若 lim n ?? n ??
(1 ) n ? ?

lim ?a n ? bn ? ?

A? B

? a n ? bn ? ? ; (2) lim n ??

A? B



A an lim ? B ( B ? 0) (3 ) n ? ? b 。

方法小结:
m

m、p ? N , b0 ? 0
*
m ?1

a0 n ? a1n ? ? ? am ?1n ? am lim n ?? b n p ? b n p ?1 ? ? ? b 0 1 p ?1n ? b p

1、m ? p, 极限不存在;
a0 2、m ? p, 极限 ? ; b0

3、m ? p, 极限 ? 0.

方法小结:

kp ? cq lim n n ?? tp ? dq n
n

n

1、如果 p ? q,那么分子、分母同除 以p ;
n

2、如果 p ? q , 那么分子、分母同除以q
再利用 lim r , 求极限值.
n ?? n

n

3、如果p ? q, 那么合并同类项计算;
4、如果p ? ?q, 那么极限不存在;

练习:

由极限求参数的取值问题

? 2n ? 1 , 1 ? n ? 100 ? ? 3n ? 2 an ? ? n ?1 2 n ? ?? 例 2、 (1)已知数列 ?an ? 的通项公式为 , n ? 100 , ? ? ? ? n ?1 ?? 3?
a n 的值; 求 lim n ??
解:

?? 2 ? n ? ? lim ? 2 ? ? lim n ? 1 ? ? lim an ? lim ?? ? ? ? n ? ? n ?? n ? 1 n ?? n ?? 3 3 n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? an2 ? 2n ? 1 ? a ? ? lim 2n ? ?1 ? (2)若 n??? bn ? 2 ? ,求 b 的值; ?
n ?1

n ?1

(2b ? a )n 2 ? 2n ? 1 lim ?1 解:原式= n?? bn ? 2

?2b ? a ? 0, ?? ? b?2

a ? ? ?2 b

?1 ? 2 x ? 存在,求实数 x 的取值范围; (3)若 lim n ??
n

解: 当1 - 2 x ? 1, 即x ? 0时, lim ?1 ? 2 x ?n ? 1 ;

当1 - 2 x ? 1, 即0 ? x ? 1时, lim ?1 ? 2 x ? ? 0; ? x ? ?0,1? n?? n 5 lim (4)若 n?? 3 n ? a n 存在,求实数 a 的取值范围。 n ?5? 解: ? ? n
n

n ??

5 a? ? 当 a ? 5时, lim n ? lim ? 0,存在 n n ?? 3 ? a n n ?? ?3? ? ? ?1 ?a?n n 5 1 当a ? 5时, lim n ? lim ?1 ,存在 n n ?? 3 ? a n n ?? ?3? ? ? ?1 ?5? 5n 当 a ? 5或a ? ?5时, lim n 不存在 ? a ? ? ?,?5 n n ?? 3 ? a

?

? ? ?5,???

练习:
? n2 ? 1 ? ? (1)若 lim ? 求a和b的值. ? an ? b ? ? 0, n?? ? n ? 1 3n ? 1 ? , ? (2)已知 lim 求a的取值范围. n n ? 1 n?? 3 3 ? ? a ? 1? n2 ? 1 ? an2 ? an ? bn ? b ? 解:(1 ) n2 ? 1 ? an ? b ? n?1 n?1 1 ? a ? n2 ? ? a ? b ? n ? ? 1 ? b ? ?    ? . n?1

? 由已知

? 即a=1,b=-1.

? n2 ? 1 ? lim ? ? an ? b ? ? 0 ,得 n?? ? n?1 ? a+b=0,

1-a=0

? (2)因为
? 所以 ? 所以

3 ? ? a ? 1? n ? a ?1? lim ? ? 0, ? n?? ? 3 ? a?1 | |< 1 ,所以-4<a<2. 3
n?? n ?1 n

lim

3n

1 ? lim ? , n n?? 3 ? a ?1? 3?? ? ? 3 ?

1

? 故a的取值范围是(-4,2).

一、引入
1、由于空气阻力和摩擦力,某一类钟的钟摆每次  摆动的弧长都是上一次摆动的弧长的95%,假设  第一次摆动的弧的长度为40cm,求到它停止前所

 有摆动的弧的长度和(称为摆动总长).  解:设钟摆各次摆动的弧长an    a1 ? 40 a2 ? a1   ? 95% ? 40 ? 95% 2 a3 ? a 2 ? 95% ? 40( ? 95%)

?

?

n ?1 ?an ?构成一个无穷等比数列  ?  an?   40( ? 95%)

首项a1 ? 40, 公比q ?   95%

首项a1 ? 40, 公比q ?   95% 这个无穷等比数列前n项的和 2 n ?1 S n ? 40 ? 40 ? 95% ? 40( ? 95%) ? ? ? 40( ? 95%)
n 40[1 ? (95%) ] ? 1 ? 95% ? q ?1 时, lim q n ? 0 ? lim (0.95) n ? 0
n ?? n??

当n ? ?, S n 无限趋近于数列各项的和S

S

n 40[1 ? (95%) ] 40 ? lim S n ? lim 1 ? 95% ? 1 ? 95% ? 800 n ?? n ??

? 钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm.

2、如何把0. 3 化成分数形式?

?

.00 ? 03 ? ? 0. 3 =0.3+0.03+0.003+?? 0 分析: ? ? ? ? ?

?

?0 .00 ? 03? 0.3,0.03,0.003, ? ? ? ? ?
1 构成首项为 0.3,公比为 的等比数列 10 解: .00 ? 03 Sn=0.3+0.03+0.003+?? 0 ? ? ? ? ? 1 n个 0 0.3(1 ? n ) 1 1 10 ? ? (1 ? n ) 3 10 ? 1 ? 0.1 1 1 1 ? 0. 3 ? lim S n ? lim (1 ? n ) ? n ?? n ?? 3 3 10
n个0

n个0

定义:

a1, a1q,a1q , ?,a1q , ? ? q ? 1? 对无穷等比数列: n a1 (1 ? q ) a1 a1 无穷递缩 n lim S n ? lim ? lim(1 ? q ) ? n?? n?? ? 1? q 1 ? q n?等比数列 1? q
2 n ?1

二、无穷等比数列各项的和 下面研究无穷等比数列 ?0 ? q ? 1? 的各项和的问题

我们把q ? 1 的无穷等比数列前 n项的和Sn, 当n ? ?时的极限叫做 无穷等比数列各项的和, a1 用符号S表示, 即S ? ( q ? 无限个数的和与有 1). 1? q 限个数的和意义是 注意:S与 S n 的不同 a S ? lim S n ? 1 不一样的 n ?? 1? q

定义:

设{a n }是以q为公比的等比数列,当0<|q|<1时, {a n }称为无穷递缩等比数列,定义{a n }各项的和为S= limSn . n ?? ? ? a1 则S= lim Sn = (0<|q|<1) n ?? 1- q 问 :(1){a n “ } 前n项和”与“各项的和”有何区别? a1 a1 (1- q n ) 各项的和S= 与n无关,是常量. 答:Sn = 与n有关,是变量; 1- q 1- q 问:(2)为何要有条件0<|q|<1? 答: 不满足时, lim Sn 将不存在.
n ??

问:(3) “递缩”与“递减”等价吗? 答:互不相同.

三、例题举隅
1 1 1 n ?1 例1.求无穷等比数列: 1, ? ,, ?, (? ) , 3 9 3 ?各项的和.
1 n 1 ? (? ) n a ( 1 ? q ) 3 1 解: ? Sn ? ? 1 1? q 1? 3 3 ? S ? lim S n ? n ?? 4 1 ? a1 ? 1,q ? ? 3 a1 1 3 ?S ? ? ? 1? q 1? 1 4 3

1 1 1 1 ? ? ??? n 2 4 8 2 例2.求 lim . n ?? 1 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ?1 3 9 3
1 1? 4 2 解: 原式 ? ? 1 3 1 1 ? (? ) 3 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 例3.求无穷数列 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 ,8 , ? 2 3 2 3 2 3 2 3 各项的和.
1 1 1 1 1 1 1 1 解:S ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? ? 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1    ? ( ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?1 ? ?) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1    ? ( 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? 2 n ? ?) 3 3 3 3 3 1 1 2 1 19 9 2 ? ? ?   ? ?    1 1 3 8 24 1? 1? 4 9

例4.化下列循环小数为分 数: ? ? ? ? ?
(1)0. 9 (2)0. 2 9 (3)0.4 31
?

说明:化循环小数为分   ? 0 . 9 ? 0 . 09 ? 0.009 ? 0.0009 ? ? 解:  (1)0. 9 0.9 数,实际上就是求无穷   ?   ?1 等比数列的各项之和, 1 ? 0 . 1 ? ? ? 0.000029  ? 0.00000029 ? ? (2)0. 2 9 ? 0.29 ? 0.0029且有下列结论:
0.29 29   ?   ? 1 ? 0.01 99 ??   (3)0.4 31 ? 0.4 ? 0.031 ? 0.00031 ? 0.0000031 ?   ? 0.031 31 427   ? ? 0.4 ? ? 0.4 ? 1 ? 0.01 990 990

结论:

(1)纯循环小数化为分数,这个分数的分子就是一 个循环节的数字组成的,分母的各位数字均是9, 9的个数和一个循环节的位数相同.

6 2 如: 0. 6 ? ? 9 3 ? ? 12 4    1.1 2 ? 1 ? 1 99 33 ? ? 370 10    0. 3 7 0 ? ? 999 27

?

(2)混循环小数化为分数,这个分数的分子是小数 点后及第二个循环节前面的数字所组成的数减 去不循环部分数字所组成的数所得的差, 分母 的头几个数字是9,末几个数字是0,其中9的个 数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环 部分的位数相同.

123 ? 12 37 如: 0.12 3 ? ? 900 300 ? ? 3890 ? 38 107    5.38 9 0 ? 5 ?5 9900 275
?

?an ?为G ? P, 例5.已知 q ?1 ,且a1 ? a2 ? a3 ? 18 , ?an ?的前n项和, a2 ? ?12,设S n是数列 求 lim S n.
n ??

?a1 ? a1q ? a1q ? 18 1 解: ? q ? ? 或q ? ?2(舍) ? 2 a1q ? ?12 ?
2

?a1 ? 24 ? ?? 1 q?? ? 2 ?

? lim S n ?
n ??

24 1 1 ? (? ) 2

? 16

例6、已知无穷等比数列 {an }的各项的和是 4,   求首项 a1的取值范围.

解:设无穷等比数列的公比为q

a1 a1 由题设得 ? 4,得q ? 1 ? 1? q 4 a1 又 ? 0 ? q ? 1? 0 ? 1 ? ? 1 4 a1 a1   ? ?1 ? 1 ? ? 1且1 ? ?0 4 4
解得a1 ? (0, 4) ? (4, 8)

例7、如图正方形ABCD的边长等于 1,联结这个正方形   的各边中点得到一 个小正方形A1 B1C1 D1;又联结   这个小正方形的各 边中点得到一个更小正 方形   A2 B2 C 2 D2;如此无限的作下去.   求所有这些正方形 周长的和与面积的和.

解:由题设得第1个正方形的边长a1 ? 1 2 2 第2个正方形的边长a 2 ? a1 ? 2 2 2 第n个正方形的边长a n ? a n ?1 (n ? 2) 2

?

2 ? ?a n ?是一个无穷等比数列,首项a1 ? 1,公比q ? 2

2 ? 所有周长组成一个首项为4,公比为 的无穷等比数列 2

? 所有正方形的周长的和 l ?

4

1 又所有面积组成一个首项为1,公比为 的无穷等比数列 2 1 S? ?2 ? 所有正方形的面积的和 1 1? 2 ? 所有这些正方形的周长的和l ? 8 ? 4 2,面积的和S ? 2.

2 1? 2

?8?4 2

例8、如图在Rt?ABC内有一系列的正方形, 它们的边长依次为 a1,a2,a3, ?,an, ?, 若AB ? a,BC ? 2a,求所有正方形的面积 的和.
a ? a1 AB 1 2 解:由题设,知 ? ? ,解得a1 ? a a1 BC 2 A 3 a n ?1 ? a n 1 2 由 ? ,得a n ? a n ?1 (n ? 2) an 2 3 B
a 2 a 3 a4 2 2 ? ?a n ?是一个以 a为首项,以 为公比的无穷等比数列 3 3 4 4 2 2 2 2 2 ? a1 , a 2 , a3 ? a n ,? 是一个以 a 为首项,以 为公比 4 2 9 9 a
4 2 9 ?S ? ? a 4 5 1? 9

a1

C

的无穷等比数列

例9、一篮球从10m高空落下,每次着地后 2 弹回原高度的 ,再落下再弹回再落下, 3 ?,求篮球直至停止所经过的总路程.

分析:要注意第一次着地,只有向下, 没有向上 ? 每次着地篮球所经过路程组成数列为:

? a n ?1 ?

a n    (n ? 2) 3 2 除首项外是一个以 为公比的无穷等比数列 2 20 3 3
? S ? 10 ? 1? 2 3 ? 50

2 2 2 2 3 2 4 2 n ?1 10, 20 ? , 20 ? ( ) , 20 ? ( ) , 20 ? ( ) , ?, 20 ? ( ) , ? 3 2 3 3 3 3

四、课堂小结
1、无穷等比数列( q ? 1且q ? 0)的各项的和: a1 即S ? ( q ? 1). 1? q

2、无穷等比数列(  q ? 1且q ? 0)前n项的和的极限: a1   lim S n ? S ? n ?? 1? q
3、若 q ? 1,则无穷等比数列的各项和不存在,  不能用上面的公式.

练习:
书 书 P-47 P-48 练习 7.8(1) 练习 7.8(2)



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