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【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算习题 理

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【创新设计】 （山东专用）2017 版高考数学一轮复习 第五章 平面向 量 第 1 讲 平面向量的概念及线性运算习题 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.设 a 是非零向量，λ 是非零实数，下列结论中正确的是( A.a 与 λ a 的方向相反 C.|－λ a|≥|a|
2

)

B.a 与 λ a 的方向相同 D.|－λ a|≥|λ |·a

解析 对于 A，当 λ ＞0 时，a 与 λ a 的方向相同，当 λ ＜0 时，a 与 λ a 的方向相反，B 正确；对于 C，|－λ a|＝|－λ ||a|，由于|－λ |的大小不确定，故|－λ a|与|a|的大小 关系不确定；对于 D，|λ |a 是向量，而|－λ a|表示长度，两者不能比较大小. 答案 B → → → 2.(2015·邯郸二模)如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA＋CD＋EF＝( )

A.0

→ B.BE

→ C.AD

→ D.CF

→ → → → → → → → → 解析 由图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF. 答案 D → → 3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB＋FC＝ ( → A.AD 解析 ) 1→ 1→ → B. AD C.BC D. BC 2 2 1 1 → → → → → → ? 1 ? 设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，则 EB ＝－ b ＋ a ， FC ＝－ a ＋ b ，从而 EB ＋ FC ＝ ?－ b＋a? ＋ 2 2 ? 2 ?

?－1a＋b?＝1(a＋b)＝→ AD，故选 A. ? 2 ? 2 ? ?
答案 A → → → 4.(2016·温州八校检测)设 a，b 不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为( A.－2 B.－1 ) C.1 D.2

1

→ → 解析 ∵BC＝a＋b，CD＝a－2b， → → → ∴BD＝BC＋CD＝2a－b. → → 又∵A，B，D 三点共线，∴AB，BD共线. → → 设AB＝λ BD，∴2a＋pb＝λ (2a－b)， ∴2＝2λ ，p＝－λ ，∴λ ＝1，p＝－1. 答案 B 5.如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，

AB＝a，AC＝b，则AD＝(
1 A.a－ b 2 1 C.a＋ b 2

→

→

→

) 1 B. a－b 2 1 D. a＋b 2

→ 1→ 1 解析 连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且CD＝ AB＝ a， 2 2 1 → → → 所以AD＝AC＋CD＝b＋ a. 2 答案 D 二、填空题 → → → 6.向量 e1，e2 不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C 共线； ②A， B， D 共线； ③B， C， D 共线； ④A， C， D 共线， 其中所有正确结论的序号为________. → → → → → → 解析 由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得 A，C，D 共线，且 B 不在此 直线上. 答案 ④ → → → → → → → 7.(2015·北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则 x＝ ________；y＝________. → → → 解析 由题中条件得，MN＝MC＋CN 1→ 1→ 1→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 → → ＝ AC＋ CB＝ AC＋ (AB－AC)＝ AB－ AC＝xAB＋yAC，所以 x＝ ，y＝－ . 3 2 3 2 2 6 2 6 答案 1 2 1 － 6

→ → → → → → 8.(2016·广州一调)已知△ABC 和点 M 满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数 m 使得AB＋AC＝mAM 成立，则 m＝________.

2

→ → → 解析 由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，延长 AM 交 BC 于 D 点， 则 D 为 BC 的中点.延长 B M 交 AC 于 E 点，延长 CM 交 AB 于 F 点，同 → 2→ 理可证 E、 F 分别为 AC、 AB 的中点， 即 M 为△ABC 的重心， ∴AM＝ AD 3 1 → → → → → ＝ (AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则 m＝3. 3 答案 3 三、解答题 9.已知向量 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中 e1，e2 不共线，向量 c＝2e1－9e2，问是否存在 这样的实数 λ ，μ ，使向量 d＝λ a＋μ b 与 c 共线？ 解 ∵d＝λ (2e1－3e2)＋μ (2e1＋3e2) ＝(2λ ＋2μ )e1＋(－3λ ＋3μ )e2， 要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 d＝kc， 即(2λ ＋2μ )e1＋(－3λ ＋3μ )e2＝2ke1－9ke2，
? ?2λ ＋2μ ＝2k， 即? 得 λ ＝－2μ . ?－3λ ＋3μ ＝－9k， ?

故存在这样的实数 λ ，μ ，只要 λ ＝－2μ ，就能使 d 与 c 共线. → 2→ → 10.如图所示，在△ABC 中，D、F 分别是 BC、AC 的中点，AE＝ AD，AB＝ 3

a，AC＝b.
→ → → → → (1)用 a、b 表示向量AD，AE，AF，BE，BF； (2)求证：B，E，F 三点共线. → 1→ (1)解 延长 AD 到 G，使AD＝ AG，连接 BG，CG，得到 2 → → 1→ 1 ?ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝ AG＝ (a＋b)， 2 2

→

AE＝ AD＝ (a＋b)，AF＝ AC＝ b， BE＝AE－AB＝ (a＋b)－a＝ (b－2a). BF＝AF－AB＝ b－a＝ (b－2a).
→ 2→ (2)证明 由(1)可知BE＝ BF， 3 → → 又因为BE，BF有公共点 B，所以 B，E，F 三点共线. 能力提升题组
3

→ 2→ 3

1 3

→ 1→ 2

1 2

→ → → 1 3 → → → 1 2

1 3

1 2

(建议用时：20 分钟) → → → 11.已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP＝2OA＋BA，则( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 → → → → → 解析 因为 2OP＝2OA＋BA，所以 2AP＝BA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B. 答案 B → → 12.O 是平面上一定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： OP ＝ OA ＋ → ? ? → AB AC ? ＋ λ ? ，λ ∈[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( → ? ?|→ ? AB| |AC|? A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ) )

解析 作∠BAC 的平分线 AD. → ? ? → AB AC ? → → ＋ ∵OP＝OA＋λ ? ， → ? ?|→ ? AB| |AC|? → ? → ? → AB AC ? AD → ? ＋ ∴AP＝λ ＝λ ′· (λ ′∈[0，＋∞))， ∴ → ? ?|→ → |AD| ? AB| |AC|? λ ′ → ·AD， → |AD| → → ∴AP∥AD.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B → → → → → 13. (2016·枣庄模拟)若点 O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA |，则△ABC 的形状为________. → → → → → → → → → → → → → → → → 解析 OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC| → → ＝|AB－AC|. 故 A，B，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 → → → 14.已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R). (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 证明 (1)若 m＋n＝1，
4

→

AP

＝

→ → → → → → 则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， → → → → ∴OP－OB＝m(OA－OB)， → → → → 即BP＝mBA，∴BP与BA共线. → → 又∵BP与BA有公共点 B，则 A、P、B 三点共线， → → (2)若 A，P，B 三点共线，则存在实数λ ，使BP＝λ BA， → → → → → → → ∴OP－OB＝λ (OA－OB).又OP＝mOA＋nOB. → → → → 故有 mOA＋(n－1)OB＝λ OA－λ OB， → → 即(m－λ )OA＋(n＋λ －1)OB＝0. → → ∵O，A，B 不共线，∴OA，OB不共线， ∴?
? ?m－λ ＝0，

?n＋λ －1＝0， ?

∴m＋n＝1.

5



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