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【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算习题 理



【创新设计】 (山东专用)2017 版高考数学一轮复习 第五章 平面向 量 第 1 讲 平面向量的概念及线性运算习题 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.设 a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论中正确的是( A.a 与 λ a 的方向相反 C.|-λ a|≥|a|
2

)

B.a 与 λ a 的方向相同 D.|-λ a|≥|λ |·a

解析 对于 A,当 λ >0 时,a 与 λ a 的方向相同,当 λ <0 时,a 与 λ a 的方向相反,B 正确;对于 C,|-λ a|=|-λ ||a|,由于|-λ |的大小不确定,故|-λ a|与|a|的大小 关系不确定;对于 D,|λ |a 是向量,而|-λ a|表示长度,两者不能比较大小. 答案 B → → → 2.(2015·邯郸二模)如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( )

A.0

→ B.BE

→ C.AD

→ D.CF

→ → → → → → → → → 解析 由图知BA+CD+EF=BA+AF+CB=CB+BF=CF. 答案 D → → 3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC= ( → A.AD 解析 ) 1→ 1→ → B. AD C.BC D. BC 2 2 1 1 → → → → → → ? 1 ? 设 AB = a , AC = b ,则 EB =- b + a , FC =- a + b ,从而 EB + FC = ?- b+a? + 2 2 ? 2 ?

?-1a+b?=1(a+b)=→ AD,故选 A. ? 2 ? 2 ? ?
答案 A → → → 4.(2016·温州八校检测)设 a,b 不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为( A.-2 B.-1 ) C.1 D.2

1

→ → 解析 ∵BC=a+b,CD=a-2b, → → → ∴BD=BC+CD=2a-b. → → 又∵A,B,D 三点共线,∴AB,BD共线. → → 设AB=λ BD,∴2a+pb=λ (2a-b), ∴2=2λ ,p=-λ ,∴λ =1,p=-1. 答案 B 5.如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,

AB=a,AC=b,则AD=(
1 A.a- b 2 1 C.a+ b 2







) 1 B. a-b 2 1 D. a+b 2

→ 1→ 1 解析 连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD∥AB 且CD= AB= a, 2 2 1 → → → 所以AD=AC+CD=b+ a. 2 答案 D 二、填空题 → → → 6.向量 e1,e2 不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C 共线; ②A, B, D 共线; ③B, C, D 共线; ④A, C, D 共线, 其中所有正确结论的序号为________. → → → → → → 解析 由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB与CB不共线,可得 A,C,D 共线,且 B 不在此 直线上. 答案 ④ → → → → → → → 7.(2015·北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x= ________;y=________. → → → 解析 由题中条件得,MN=MC+CN 1→ 1→ 1→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 → → = AC+ CB= AC+ (AB-AC)= AB- AC=xAB+yAC,所以 x= ,y=- . 3 2 3 2 2 6 2 6 答案 1 2 1 - 6

→ → → → → → 8.(2016·广州一调)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m 使得AB+AC=mAM 成立,则 m=________.

2

→ → → 解析 由已知条件得MB+MC=-MA,如图,延长 AM 交 BC 于 D 点, 则 D 为 BC 的中点.延长 B M 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同 → 2→ 理可证 E、 F 分别为 AC、 AB 的中点, 即 M 为△ABC 的重心, ∴AM= AD 3 1 → → → → → = (AB+AC),即AB+AC=3AM,则 m=3. 3 答案 3 三、解答题 9.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在 这样的实数 λ ,μ ,使向量 d=λ a+μ b 与 c 共线? 解 ∵d=λ (2e1-3e2)+μ (2e1+3e2) =(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2=2ke1-9ke2,
? ?2λ +2μ =2k, 即? 得 λ =-2μ . ?-3λ +3μ =-9k, ?

故存在这样的实数 λ ,μ ,只要 λ =-2μ ,就能使 d 与 c 共线. → 2→ → 10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点,AE= AD,AB= 3

a,AC=b.
→ → → → → (1)用 a、b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线. → 1→ (1)解 延长 AD 到 G,使AD= AG,连接 BG,CG,得到 2 → → 1→ 1 ?ABGC,所以AG=a+b,AD= AG= (a+b), 2 2



AE= AD= (a+b),AF= AC= b, BE=AE-AB= (a+b)-a= (b-2a). BF=AF-AB= b-a= (b-2a).
→ 2→ (2)证明 由(1)可知BE= BF, 3 → → 又因为BE,BF有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线. 能力提升题组
3

→ 2→ 3

1 3

→ 1→ 2

1 2

→ → → 1 3 → → → 1 2

1 3

1 2

(建议用时:20 分钟) → → → 11.已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2OP=2OA+BA,则( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 → → → → → 解析 因为 2OP=2OA+BA,所以 2AP=BA,所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上,故选 B. 答案 B → → 12.O 是平面上一定点, A , B , C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足: OP = OA + → ? ? → AB AC ? + λ ? ,λ ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( → ? ?|→ ? AB| |AC|? A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ) )

解析 作∠BAC 的平分线 AD. → ? ? → AB AC ? → → + ∵OP=OA+λ ? , → ? ?|→ ? AB| |AC|? → ? → ? → AB AC ? AD → ? + ∴AP=λ =λ ′· (λ ′∈[0,+∞)), ∴ → ? ?|→ → |AD| ? AB| |AC|? λ ′ → ·AD, → |AD| → → ∴AP∥AD.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B → → → → → 13. (2016·枣庄模拟)若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA |,则△ABC 的形状为________. → → → → → → → → → → → → → → → → 解析 OB+OC-2OA=(OB-OA)+(OC-OA)=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC| → → =|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 → → → 14.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明 (1)若 m+n=1,
4



AP



→ → → → → → 则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB), → → → → ∴OP-OB=m(OA-OB), → → → → 即BP=mBA,∴BP与BA共线. → → 又∵BP与BA有公共点 B,则 A、P、B 三点共线, → → (2)若 A,P,B 三点共线,则存在实数λ ,使BP=λ BA, → → → → → → → ∴OP-OB=λ (OA-OB).又OP=mOA+nOB. → → → → 故有 mOA+(n-1)OB=λ OA-λ OB, → → 即(m-λ )OA+(n+λ -1)OB=0. → → ∵O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线, ∴?
? ?m-λ =0,

?n+λ -1=0, ?

∴m+n=1.

5



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