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高考试卷广东省梅州市2015届高三5月总复习质检(二模)数学文试题



广东省梅州市 2015 届高三 5 月总复习质检(二模) 数学文试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是 符合题目要求的. 1、已知复数 z ? A. |z|= 2

2 ,则 ?1 ? i
B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为一 1 D.z 的共轭复数为 1+i

/>
2.己知集合 A={ x | x2 ? 2 x ? 0 }, B={ x || x |? 5 },则 B、 A ? B ? ? C. A ? B 3.下列函数中,定义域为 R 且为增函数的是 A. A ? B=R A、 y ? e? x B、 y ? x 3 C、 y ? ln x D. A ? B D、 y ?| x |

4、己知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), a ? (a ? b) ,则 m= A. 2 B. -2 C、3 D、-3 5.己知两个不同的平面α ,β 和两条不重合的直线 m,n,有下列四个命题: ①若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α ②若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β ; ③若 m⊥α ,m∥n,n?β ,则α ⊥β ;④若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n, 其中不正确的命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 6、已知圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y +2=0 所得弦的长度为 4,则 a 的值为

?

?

?

? ?

A、-8 B、-6 C、-4 D、-2 7、阅读如图所示的程序框图,若输入的 k=6,则输出的值 S 是

·1·

A、63

B、64

C、127

D、128

8.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 是最小正周期为 ? 的偶函数,则

? )上单调递减 2 ? C、f(x)在(0, )上单调递增 2
A.f(x)在(0,

B.f(x)在( D. f(x)在(

? 3?
4 , 4 ,

)上单调递减

? 3?
4 4

)上单调递增

?x ? 1 ? , ?(a, b) ? D ,则 a ? 2b ? 0 的概率是 9、已知平面区域 D: ? y ? 1 ?x ? y ? 5 ?
A、

1 3

B、

1 6

C、

4 27

D、

23 27

10、定义方程 f ( x) ? f '( x) 的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“驻点” , 如果函数 g(x)=x,h(x)=ln (x) ,φ (x)=cosx(x∈( 是 A、α <β <γ B、β <α <γ C、γ <α <β D、α <γ <β

? , π ))的“驻点”分别为α ,β ,γ ,那么α ,β ,γ 的大小关系 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9-13 题) 11·已知 sin x ?

4 ? ? , x ? ( , ? ) ,则 tan( x ? ) = 5 2 4

·

12.右图是 2008 年北京奥运会上,七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均数为 ;方差为

13、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点重合,则 p 的值为 3

(二)选做题(14--15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t (t 为参数) . 以 ?y ? 4 ?t

原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? 则直线 l 和曲线 C 的公共点有 个.
·2·

?
4

)

15.(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D,使 BC=CD,, 过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2,则 BC= .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 己知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,A,B,C 成等差数列. (1)若 a=1,b= 3 ,求 sin C; (2)若 a, b, c 成:差数列,求证:△ABC 是等边二角形. 17. (本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列 联表:

己知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到不喜爱打篮球的学生的概率为

2 . 5

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由: (3)己知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3 还喜欢打乒乓球,B1,B2,B3 还喜欢 打羽毛球,C1,C2 还喜欢踢足球,现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的 8 位女生中 各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. (下面的临界值表供参考)

·3·

18. (本小题满分 14 分) 在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是-AB、AC、BC 边上的点,满足 AE: EB= CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1) .将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置,使二面角 A1 -EF-B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如图 2)

(1)求证:FP∥平面 A1EB (2)求证:A1E⊥平面 BEP; (3)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小.

19.(本小题满分 14 分) 设数列{ an },其前 n 项和 Sn ? ?3n2 ,{ bn }为单调递增的等比数列, b1b2b3 =512,

a1 ? b1 ? a3 ? b3 。
(1)求数列{ an }, { bn }的通项; (2)若 ,数列 的前 n 项和 Tn,求证:

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知直线 y ? ? x +1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A,B 两点. a b
(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求椭圆的标准方程; 3

·4·

(2)若 OA ⊥OB(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? [ , 的最大值.

1 2 ] 时,求椭圆长轴长 2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义 f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]), f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]), 其中,min{f(x)|x∈D}表示函数 f(x)在 D 上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数 f(x)在 D 上的最 大值。若存在最小正整数 k,使得 f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的 x∈[a,b]成立,则称函数 f(x)为[a,6] 上的“k 阶收缩函数”。 (Ⅰ)若 f(x)=cosx,x∈[0,π],试写出 f1(x),f2(x)的表达式; (Ⅱ)已知函数 f(x)=x2,x∈[-1,4],试判断 f(x)是否为[-1,4]上的“k 阶收缩函数”,如果是,求出对应 的 k;如果不是,请说明理由; (Ⅲ)已知 b>0,函数 f(x)=-x3+3x2 是[0,b]上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.

梅州市高三总复习质检试卷(2015.05)

数学(文科)参考答案与评分意见
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. CABDB,CAACA 二、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题) 11.7 12. 85(3分),

8 5 (2分)

13.-4

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.1 15. 2 3 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

·5·

解:(1)由 A ? B ? C ? ? ,2 B ? A ? C , 得B ?

? . 3

?????????2 分



a b 1 ? ,得 ? sin A sin B sin A

1 , 得 sin A ? . 2 3 2

3

?????????4 分

又0 ? A ? B,? A ?

? ? ? ? ,? C ? ? ? ? ? . 6 3 6 2
?????????6 分

? sin C ? 1.

(2)证明 : 依题意得, b 2 ? ac.
又b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac.
?????????8 分

得a 2 ? c 2 ? ac ? ac, 得(a ? c) 2 ? 0,? a ? c.
? A ? C , 又A ? C ? 2? ? ,? A ? C ? B ? . 3 3
?????????12 分 ?????????10 分

所以△ ABC 是等边三角形.

17. (本小题满分 12 分) 解:表格填空如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 ?????????2 分

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 . (2)∵ K ? 30 ? 20 ? 25 ? 25
2

?????????4 分 ?????????6 分

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的 8 位女生中各选 1 名,其一切可能的结果 组成的基本事件如下:
·6·

( A1 , B1 , C1 ), ( A1 , B1 , C2 ), ( A1 , B2 , C1 ), ( A1 , B2 , C2 ), ( A1 , B3 , C1 ), ( A1 , B3 , C2 ), ( A2 , B1 , C1 ), ( A2 , B1 , C2 ), ( A2 , B2 , C1 ), ( A2 , B2 , C2 ), ( A2 , B3 , C1 ), ( A2 , B3 , C2 ), ( A3 , B1 , C1 ), ( A3 , B1 , C2 ), ( A3 , B2 , C1 ), ( A3 , B2 , C2 ), ( A3 , B3 , C1 ), ( A3 , B3 , C2 ),
?????8 分 基本事件的总数为 18,用 M 表示“ B1 , C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 M 表示“ B1 , C1 全被选中”这一事件, 由于 M 由 ( A 1, B 1 , C1 ),( A 2, B 1 , C1 ),( A 3, B 1 , C1 ) ,3 个基本事件组成, 所以 P ( M ) ? ????10 分 ????

3 1 ? . 18 6

?????????11 分

由对立事件的概率公式得 P( M ) ? 1 ? P( M ) ? 1 ? 18. (本小题满分 14 分) (1)证明: ∵CP : PB=CF : FA, ∴FP∥BE. ????1 分

1 5 ? . 6 6 ?????????12 分

∵BE ? 平面 A1EB , ??2 分 FP ? 平面 A1EB , ???3 分 ∴FP∥平面 A1EB. ???4 分 解:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 . (2) 在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE : EB=CF : FA=1 : 2, ∴AF=AD=2.
?

????5 分 ????6 分 ????7 分

而∠A= 60 ,∴△ADF 是正三角形. 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD. 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又 BE、EF ? 平面 BEF, BE∩EF=E, ∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP. (3)在图 2 中,∵A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BP, 设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q, 则可得 BP⊥平面 A1EQ, ∴ BP⊥A1Q. 则∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角,
·7·

????8 分

???????10 分

在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP= 60 , ∴△EBP 是等边三角形,∴BE=EP. 又 A1E⊥平面 BEP,∴A1B=A1P,∴Q 为 BP 的中点,且 EQ= 3 . 又 A1E=1,在 Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q= ???????12 分

?

EQ ? 3 , ∴∠EA1Q= 60 ? . A1 E
?

所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60 . 19.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3.
2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ?3n ? ? ? ?3(n ? 1) ? ? ? ?6n ? 3

???????14 分

????1 分 . ????2 分 ????3 分 ????4 分

? 当 n ? 1 时,也满足 an ? ?6n ? 3 .

? an ? ?6n ? 3 .
因为 ?bn ? 是等比数列,所以 b1b3 ? b2 2 , 则 b1b2b3 ? b23 ? 512 ,解得 b2 ? 8 . 又? a1 ? b1 ? a3 ? b3 ,? ?3 ? 解得 q ? 2 或 q ? ?

????5 分 ????6 分

8 ? ?15 ? 8q , q

1 (舍去). 2

????7 分 ????8 分

? bn ? b2qn?2 ? 2n?1 .
(2)由(1)可得

cn ?

2n?1 2n 1 1 ? ? n ? n?1 , n ?1 n ?1 n n ?1 (2 ? 2)(2 ? 1) (2 ?1)(2 ?1) 2 ?1 2 ?1

????10 分

? Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn ? (
? 1? 1 2
n ?1

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ?( n ? n ?1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
????12 分

?1

? 1.

显然数列 ?Tn ? 是递增数列,所以 Tn ? T1 ?

2 3.
????14 分



2 ? Tn ? 1 3 .

20.(本小题满分 14 分)
·8·

解: (1) ? e ?

3 c 3 ,即 ? . 3 a 3

?????????1 分 ?????????2 分

又2c ? 2, 解得a ? 3 , c ? 1.
得b ? a 2 ? c 2 ? 2 .
?????????3 分

x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ? 1. 3 2

?????????4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? a 2 b2 (2) ? ? y ? ? x ? 1, 消去y得(a ? b ) ? x ? 2a x ? a ? (1 ? b ) ? 0,
2 2 2 2 2 2

???????5 分

由? ? (?2a2 )2 ? 4a2 (a2 ? b2 )(1 ? b2 ) ? 0, 整理得a2 ? b2 ? 1.
??????6 分

设A( x1 , y1 , ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b2 ) , x x ? . 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ???7 分
???????8 分

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1.
? OA ? OB(其中O为坐标原点),? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0.

?????????9 分

?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 1 ? 0.整理得a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0. 2 2 2 2 a ?b a ?b
??????10 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 , 代入上式得 2a 2 ? 1 ?
?a2 ? 1 1 (1 ? ). 2 1 ? e2

1 , 1 ? e2

?????????11 分

1 2 7 1 ? e ?[ , ],? ? 1 ? ? 3, 2 2 3 1 ? e2
·9·

?????????12 分

?

7 3 ? a 2 ? .满足条件a 2 ? b 2 ? 1. 6 2
42 6 ?a? . 6 2

?????????13 分

由此得

?

42 ? 2a ? 6 , 故长轴长的最大值为 6. 3

?????????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可得:
f1 ( x) ? cos x, x ?[0, ? ] , f 2 ( x) ? 1, x ? [0, ? ] .

????1 分 ????2 分

? x 2 , x ? [?1,0) (2) f1 ( x) ? ? ?0, x ? [0, 4] . ?1, x ? [?1,1) . f 2 ( x) ? ? 2 ? x , x ? [1, 4]

????3 分

????4 分

?1 ? x 2 , x ? [?1,0) ? f 2 ( x) ? f1 ( x) ? ?1, x ? [0,1) ? 2 ? x , x ? [1, 4] .

????5 分

当 x ? [?1,0) 时, 1 ? x2 ? k ( x ? 1) ,? k ? 1 ? x , k ? 2 ; 当 x ? [0,1) 时, 1 ? k ( x ? 1) ,? k ?
1 ?k ? 1 ; x ?1 ,

当 x ? [1, 4] 时, x2 ? k ( x ? 1) ,? k ? 综上所述,? k ?

x2 16 ?k ? . 5 x ?1 ,
????6 分 ????7 分 (3)

16 . 5 即存在 k ? 4 ,使得 f ( x) 是 [ ?1, 4] 上的 4 阶收缩函数.

f ?( x) ? ?3x2 ? 6x ? ?3x ? x ? 2? ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 .
变化情况如下:

函 数 f ? x? 的

·10·

令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 3. ⅰ) b ? 2 时, f ( x) 在 [0, b] 上单调递增, 因此, f2 ( x) ? f ? x ? ? ? x3 ? 3x2 , f1 ( x) ? f ? 0? ? 0 . 因为 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数, 所以,① f 2 ( x) ? f1 ? x ? ? 2 ? x ? 0 ? 对 x ? [0, b] 恒成立; ②存在 x ? ?0, b? ,使得 f 2 ( x) ? f1 ? x ? ? ? x ? 0 ? 成立. ①即: ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ? [0, b] 恒成立, 由 ? x3 ? 3x2 ? 2 x ,解得: 0 ? x ? 1或 x ? 2 , 要使 ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ? [0, b] 恒成立,需且只需 0 ? b ? 1 . ②即:存在 x ? [0, b] ,使得 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 成立. 由 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 得: x ? 0 或 所以,需且只需 b ? 综合①②可得:
3? 5 . 2

????8 分

?????9 分

????10 分

?

?

?

?

3? 5 3? 5 , ?x? 2 2

3? 5 ????11 分 ? b ?1. 2 3 ⅱ)当 b ? 2 时,显然有 ?[0, b] ,由于 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,根据定义可得: 2
3 27 3 , f1 ( ) ? 0 , f2 ( ) ? 2 8 2 3 3 ? 3 ? 27 ? 2? ? 3 , 可得 f 2 ( ) ? f1 ? ? ? 2 2 ?2? 8

此时, f 2 ( x) ? f1 ? x ? ? 2 ? x ? 0 ? 不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得:

????? 13 分 ?????14 分

3? 5 ? b ?1. 2
·11·

注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用

3 只是因为简单而已. 2

-END-

·12·



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