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2.1.4数乘向量 课件(人教B版必修4)



第二章

平面向量

2.1.4

数乘向量

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平面向量

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1.实数与向量的积的定义

>实数λ与向量a的积是个向量,记作λa,它的长度与方 向规定如下: |λa|=|λ|·|a|; 当 λ>0 时,λa与a的方向相同;
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当 λ<0
当 λ=0

时,λa与a的方向相反;
时,λa=0.

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2.数乘向量的运算律 设λ、μ为实数,则: (1)(λ+μ)a= (2)λ(μa)= λa+μb ; ; (分配律).
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(λμ)a

(3)λ(a+b)= λa+λb

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重点:数乘向量运算的概念、运算律及数乘运算的几 何意义.

难点:正确运用数乘向量的定义、法则进行向量的线
性运算. 1.向量数乘的几何意义 (1)当|λ|>1时,有|λa|>|a|,这意味着表示向量a的有向线 段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长到原来的|λ|倍.
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(2)当0<|λ|<1时,有|λa|<|a|, 这意味着表示向量a的有向
线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短为原来的|λ| 倍.

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2.实数与向量的积满足的运算律 设λ、u是实数,则有(1)λ(ua)=(λu)a,(结合律) (2)(λ+u)a=λa+ua,(第一分配律)
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(3)λ(a+b)=λa+λb,(第二分配律)
3.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做 向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算 得到的,我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示,

如c=2a+3b,称c可由a、b线性表示.

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[例1] (1)化简6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b);

(2)把满足3x-2y=a,-4x+3y=b的向量x,y用a,b
表示出来. [分析] 求解的依据是运算律,采用与代数式的运算 相似的方法.

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[解析] (1)原式=6a-[4a-b-10a+15b]+a+7b= (6-4+10+1)a+(1-15+7)b=13a-7b; ?3x-2y=a,① ? (2)由已知得? ?-4x+3y=b.② ? ①×3+②×2 得 x=3a+2b, ①×4+②×3,得 y=4a+3b. ∴x=3a+2b,y=4a+3b.

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[点评]

熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的
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结合律与分配律),即当 λ,μ 为实数时,有:①(λμ)a=λ(μa); ②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.

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化简下列各式: (1)3(2a-b)-2(4a-3b); 1 1 3 (2) (4a+3b)- (3a-b)- b; 3 2 2 (3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c).
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[解析]

(1)原式=6a-3b-8a+6b

=-2a+3b. 4 3 1 3 (2)原式=3a+b-2a+2b-2b 1 =-6a. (3)原式=6a-8b+2c-6a-3b+9c =-11b+11c.
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[例 2]

AB 3 已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且AC=4.
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→ → → → (1)用BC表示AB;(2)用CB表示AC.

[分析] 本例中已知条件没有涉及方向,但欲求结果 中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一 的长度要素向长度、方向双重要素的过渡.

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[解析]

如图①,由已知点 C 在线段 AB 的延长线上,

AB 3 AB 3 且 = ,∴ = ,解得 AB=3BC. AC 4 AB+BC 4 同时可得 AC=4CB.
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→ → (1)如图②,向量AB与BC的方向相同, → → 所以AB=3BC. → → (2)如图③,向量AC与CB的方向相反, → → 所以AC=-4CB.
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AB 2 → → 已知 A、B、C 三点共线,且 = ,分别用BC、CB表 AC 5 → 示AB.

AB 2 [解析] 由已知 A、B、C 三点共线,且 = , AC 5 ∴B、 两点可能在点 A 的同侧, C 也可能在点 A 的异侧. 如图(1),当 B、C 两点在点 A 的同侧时, AB 2 2 有 =5,得 AB=3BC, AB+BC → → 又∵向量AB与BC的方向相同, → =2BC=-2CB. → ∴AB 3 → 3

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如图(2),当 B、C 两点在点 A 的异侧时, AB 2 2 有 = ,解得 AB= BC. 7 BC-AB 5 → → 又∵向量AB与BC的方向相反, → =-2BC=2CB. → → ∴AB 7 7

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[例 3]

→ → 如图所示,OADB 是以向量OA=a,OB=b
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1 1 为邻边的平行四边形.又 BM=3BC,CN=3CD,试用 a、 → → → b 表示OM,ON,MN.

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→ =1BC=1BA → → [解析] BM 3 6 1 → → 1 =6(OA-OB)=6(a-b), → =OB+BM=b+1(a-b)=1a+5b, ∴OM → → 6 6 6 → =1CD=1OD, CN 3 → 6 → → =OC+CN=1OD+1OD=2OD → → → ∴ON → → 2 6 3
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2 → → 2 = (OA+OB)= (a+b), 3 3
?1 5 ? 2 → → → MN=ON-OM=3(a+b)-?6a+6b? ? ?
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1 1 =2a-6b.

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D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点, → → 且BC=a,CA=b,给出下列命题: → =-1a-b;②BE=a+1b; → ①AD 2 2 → =-1a+1b;④AD+BE+CF=0. → → → ③CF 2 2 其中正确命题的序号为________.
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[答案] ①②③④
[解析] → → → 如图AD=AC+CD
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1→ 1 =-b+ CB=-b- a. 2 2 → =BC+CE=a+1b. BE → → 2 → → → AB=AC+CB=-b-a.

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→ =CA+1AB → CF → 2 1 1 1 =b+2(-b-a)=2b-2a. → → → AD+BE+CF 1 1 1 1 =-b-2a+a+2b+2b-2a=0.
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[例4] 判断正误:若λa=0,则a=0(λ∈R). [误解] 正确 [辨析] λa=0的一种情况是a=0,另一种情况是λ=0. [正解] 不正确,要注意0与任意一个向量的积还是一 个向量,为0,而不是数0.
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一、选择题 1.下列命题中,正确的是 A.0· a=0 B.λμ<0,a≠0 时,λa 与 μa 的方向一定相反 b C.若 b=λa(a≠0),则 =λ a |b| D.若|b|=|λa|(a≠0),则 =λ |a| ( )
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[答案] B [解析] λμ<0知λ,μ符号相反.

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→ 2. 已知△ABC 中, 是 BC 边上的中点, 3AB+2BC+ D 则 → → CA等于 → A.AD → C.2AD → B.3AD D.0 ( )
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[答案] C

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→ → 3.平面上有一个△ABC 和一点 O,设OA=a,OB=b, → → OC=c.又 OA, 的中点分别为 D、 则向量DE等于( BC E, 1 A. (a+b+c) 2 1 C. (a-b+c) 2 1 B. (-a+b+c) 2 1 D. (a+b-c) 2 )
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[答案] B

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4.已知m、n为非零实数,a、b为非零向量,则下列 各项中正确的个数为 ①m(a-b)=ma-mb; ( )
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②(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb,则a=b; ④若ma=na,则m=n. A.4 C.2 B.3 D.1

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[答案] A [解析] ①②由数乘的运算法则可知正确. ma-mb=m(a-b)=0

∵m≠0,∴a-b=0即a=b,∴③正确.
ma-na=(m-n)a=0 ∵a≠0,∴m-n=0,∴m=n,∴④正确.

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二、填空题 5.已知向量a、b不共线,实数x、y满足向量等式5xa +(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=________,y=________. [答案] 3
[解析]

-4

因为 a 与 b 不共线,根据向量相等得
?x=3 ? ,解得? ?y=-4 ?

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?5x=3y+27 ? ? ?8-y=4x ?

.

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6.若|a|=m,b与a的方向相反,且|b|=2,则a=
________b.
[答案]
[解析]

m - 2
|a| m m 由 = ,∴|a|= |b|. |b| 2 2

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m ∵b 与 a 方向相反,∴b 与 a 共线.∴a=- 2 b.

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三、解答题 7.如图,在△ABC 中,D、E 分别为边 BC、AC 的中 → → 点,记BC=a,AD=m. → =-1m+1a. 求证:DE 2 4
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[解析]

∵D 为 BC 的中点,

→ =-1BC=-1a, → ∴DB 2 2 → =AD+DB=m-1a. ∴AB → → 2 又∵D,E 分别为 BC,AC 的中点,

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1 → =-1AB=-1m+1a. → ∴DE 綊 AB,∴DE 2 2 2 4

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