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河北省武邑中学2015-2016学年高二上学期周考(1.17)(理)数学试题



河北省武邑中学 2015-2016 学年高二上学期周考(1.17)数学(理)试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.

i s ? o c s? 1. “n

? ”是“ cos 2? ? 0 ”的(

r />
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列说法中正确的说法的个数是(
x


x

(1)命题“ ?x ? R ,使得 2 ? 3 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 2 ? 3 ” (2)命题“函数 f ? x ? 在 x ? x0 处有极值,则 f ? ? x0 ? ? 0 ”的否命题是真命题 (3) f ? x ? 是 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f ? x ? ? 2 ,则 x ? 0 的解
x

析式为 f ? x ? ? ?2 A.0 个

?x

B.1 个

C.2 个

D.3 个

3.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE, SD 所成 的角的余弦值为( A. )

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

4.已知两个不同的平面 ? 、 ? 和两个不重合的直线 m 、 n ,有下列四个命题:

5.已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? a9 ? 18, a4 ? 7 ,则 S10 ? ( A.55 B.81 C.90 D.100



6.将 5 名大学生分配到 3 个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( A.150 B.240 C.60 D.120



7、编号为 1、2、3,4、5、6、7 的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻, 则不同的开灯方案有( )

A.60 种

B.8 种

C.20 种

D.10 种 )

8、过曲线 y ? x3 ? 1 上一点 ?1,0 ? 且与该点处的切线垂直的直线方程是( A. y ? 3x ? 3 B. y ?

1 1 x? 3 3

C. y ? ?

1 1 x? 3 3

D. y ? ?3x ? 3 ) .

2 9.函数 f ? x ? ? ?x3 ? 3x 在区间 a ? 12, a 上有最小值,则实数 a 的取值范围是(

?

?

A. ?1, 11

?

?

B. ? ?1, 2?

C. ? ?1, 2?

D. ?1, 4 ? )

10.由直线 x ? 1, x ? 2 ,曲线 y ? A.

1 及 x 轴所围图形的面积为( x
C. ln 2 D. 2 ln 2

7 4

B.

11 4
2

11.已知双曲线 mx ? ny ? 1? m ? 0, n ? 0? 的离心率为 2,则椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 的离心率为
2

( A.



1 3

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 3 3

12. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交 12 4
) C. ? ?

点,则此直线的斜率的取值范围是( A. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ? 3, 3 ?

?

?

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

D. ? 3, 3

?

?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次 品的概率为______(用数字作答) . 14.在空间直角坐标系 Oxyz 中, y 轴上有一点 M 到已知点 A? 4,3,2? 和点 B ? 2,5,4 ? 的距离 相等,则点 M 的坐标是______.
2 15.二维空间中圆的一维测度(周长)l ? 2? r ,二维测度(面积)S ? ? r ,观察发现 S ? ? l ;

2 三维空间中球的二维测度(表面积) S ? 4? r ,三维测度(体积) V ?

4 3 ? r ,观察发现 3

V ? ? S .已知四维空间中“超球”的三维测度 V ? 8? r 3 ,猜想其四维测度 W ? ______.

16.已知点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上,如果经过点 P 的直线与椭圆只有 a 2 b2

一个公共点时,称直线为椭圆的切线,此时点 P 称为切点,这条切线方程可以表示为:

x0 x y0 y ? 2 ? 1 .根据以上性质,解决以下问题: a2 b
已知椭圆 L :

x2 y 2 ? ? 1,若 Q ?u v , 经过 Q 点作椭圆 L , ? 是椭圆 L 外一点(其中 u , v 为定值) 16 9

的两条切线,切点分别为 A 、 B ,则直线 AB 的方程是______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)已知 m ? 0 , p : ? x ? 2?? x ? 6? ? 0 , q : 2 ? m ? x ? 2 ? m . (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m ? 5 , “ p 或 q ”为真命题, “ p 且 q ”为假命题,求实数 x 的取值范围. 18、 (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ?

3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间. (2)当 x ? ?0,

? ?? 时,方程 f ? x ? ? m ? 0 有实数解,求实数 m 的取值范围. ? 2? ?

19 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 1 , 平 面 四 边 形 A B C D 关 于 直 线 AC 对 称 ,

?A ?6 0 ?, ? C ?9 0 ? C ,D ? ,2 把 ?ABD 沿 BD 折起(如图 2) ,使二面角 A ? BD ? C 为直
二面角. (Ⅰ)求 AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? D 的大小的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三

个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (Ⅱ)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中 随机抽取 2 名参加双打比赛. (ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果; (ⅱ)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到” ,求事件 A 发生的概率. 21. (本小题满分 12 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,短轴长为 2 、离心率为 于点 P ? 0, m? ,与椭圆 C 交于相异两点 A 、 B ,且 AP ? 3PB . (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)
3 2 x 已知函数 f ? x ? ? x ? 6 x ? 3 x ? t e ( t ? R, e 为自然对数的底数)

2 ,直线 l 与 y 轴交 2

??? ?

??? ?

?

?

(Ⅰ)若函数 y ? f ? x ? 有三个极值点,求 t 的取值范围 (Ⅱ)若存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m? ,不等式 f ? x ? ? x 恒成立,求正整数 m 的 最大值

河北省武邑中学 2015-2016 学年高二上学期周考(1.17)数学(理)试题答案 一、选择题: 1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C 9.C 10.C 11.C 12.A 二、填空题: 13.0.6 14. M ? 0, 4,0? 15. 2? r
4

16.

ux vy ? ?1 16 9

三、解答题: 17.解: p : ?2 ? x ? 6 . (Ⅰ)∵ p 是 q 的充分条件, ∴ ? ?2,6? 是 ? 2 ? m,2 ? m? 的子集

?m ? 0 ? ∴ ? 2 ? m ? ?2 ? m ? 4 ?2 ? m ? 6 ?

p



q





, ??????9 分



??2 ? x ? 6 ? x ?? ? ? x ? ?3或x ? 7
p


q









? x ? ?2或x ? 6 ? ?3 ? x ? ?2 ? ? 3 ? x ? 7 ?



6? x?7
∴ 实 数

??????11 分

x













??3, ?2? ? ?6,7? .
18 . 解 : (

??????12 分 1 ) ∵

f


? ??

3 s x 2

?

?

i

x1 ? ? n x 2

c

? 2

2

o ? ?

? s ? ? ? ? 2

2 ? s ? ?x ?

2

i

3

x

n

?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 6? ?

????

??2 分 ∴ 最 小 正 周 期 ??????4 分 为

?
令 z ? 2x ? 由? ∴

?
6

,∴函数 f ? x ? ? sin z ?1 的单调递增区间是 ? ?

? ? ? ? ? 2 k? , ? 2 k ? ? , k ? Z , 2 ? 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?
函 数

?
6

?

?
2

? 2k? ,得 ?


?
3

? k? ? x ?
单 调

?
6

? k? , k ? Z
递 增 区 间 是

f ? x?

? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 6 ? 3 ?
(2)当 x ? ?0, ∵

??????6 分

? ? ? 7? ? ?? ? 1 ? ? ?? ? ? 3 ? 时, 2 x ? ? ? , , sin ? 2 x ? ? ? ? ? ,1? , f ? x ? ? ? ? , 0 ? ? ? 6 ?6 6 ? 6? ? 2 ? ? 2? ? ? 2 ?
f ? x? ? m
, ∴

? 3 ? m ? ?? , 0? ? 2 ?
19. 【知识点】空间中的线面角的求法;二面角的求法

??????12 分

解析: 如图 2 所示, 以 BD 的中点 O 为原点,OC 所在的直线为 x 轴,OD 所在的直线为 y 轴,

OA 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则

O ? 0, 0, 0 ? , D 0, 2, 0 , B 0, ? 2, 0 , C

?

? ?

? ? ?

2, 0, 0 , A 0, 0, 6

? ?

?

(Ⅰ)设面 ABC 的法向量为 n ? ? x, y, z ?

?

? ??? ? ? ?n ? AB ? 0 ? ? ? ??? n ? BC ?0 ? ?

取 z ? 1 ,有 n ?

?

?

3, ? 3,1

???? ???? ? 21 AD ? 0, 2, ? 6 , cos AD, n ? ? 7

?

?



AD





ABC

















21 . 7
(Ⅱ)同理求得面 ACD 的法向量为 n1 ?

??????6 分

??

?

? ?? 1 3, 3,1 ,则 cos n, n1 ? 7

?









B?

? A

C 的

D 正







4 3 . 7

??????12 分

20.解: (Ⅰ)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别 为 3,1,2; (Ⅱ) (ⅰ)一一列举,共 15 种; (ⅱ)符合条件的结果有 9 种,所以 P ? A ? ?

9 3 ? . 15 5

试题解析: (Ⅰ)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2; (Ⅱ) (ⅰ)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为

?A1, A2?,?A1, A3?,?A1, A4?



? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ?
, ? A5 , A6 ? ,共 15 种. ( ⅱ ) 编 号 为 A5 , A6 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为

, ?A1, A ? 5 ?

A1, ? A ?6 ,

A A2 ? ,A A ?2 ,? A5 , ? , 3, 6A 5? ,? A 3, A 6?,?A 4, A 5?,?A 4, A 6?,?A 5, A 6 ? ,共 9
9 3 ? . 15 5

种,所以事件 A 发生的概率 P ? A ? ? 21. (Ⅰ)设 C :

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,设 c ? 0, c2 ? a2 ? b2 , a 2 b2

由条件知 2b ? ∴

2,

c 2 ? , a 2

a ? 1, b ? c ?
??3 分 故

2 , 2

????

C







为 ??????4 分



y2 ?

x2 ? 1. 1 2

(Ⅱ)设 l 与椭圆 C 交点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

由?

? y ? kx ? m ?2 x ? y ? 1
2 2

2 2 2 得 k ? 2 x ? 2kmx ? m ? 1 ? 0

?

?

?

?

2 2 2 得 k ? 2 x ? 2kmx ? m ? 1 ? 0

?

?

?

?

? ? ? 2km ? ? 4 ? k 2 ? 2 ?? m2 ? 1? ? 4 ? k 2 ? 2m2 ? 2 ? ? 0
2

(﹡)

x1 ? x2 ?

?2km m2 ? 1 , x x ? 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2

∵ AP ? 3PB ,∴ ? x1 ? 3x2 ,∴ ?

??? ?

??? ?

? x1 ? x2 ? ?2 x2
2 ? x1 x2 ? ?3x2

消去 x2 ,得 3 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 0 ,∴ ?
2

m2 ? 1 ? ?2km ? ? 4 ?0 ? 2 k2 ? 2 ?k ?2?
理 得

2



4k 2
10 分

?

m2

2

?

??????

m2

?2

m2 ?

1 1 2 ? 2m 2 2 2 时,上式不成立; m ? 时, k ? , 4 4 4m 2 ? 1
2 2

由(﹡)式得 k ? 2m ? 2
2 因 k ? 0 ,∴ k ?

1 1 2 ? 2m 2 ? 0 ,∴ ?1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 2 2 4m ? 1






m













1? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? ,1? 2? ?2 ? ?

??????12 分

2 x 3 2 x 3 2 x 22.解. (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 12 x ? 3 e ? x ? 6 x ? 3x ? t e ? x ? 3x ? 9 x ? t ? 3 e

?

?

?

?

?

?

∵ f ? x ? 有 3 个极值点,∴ x ? 3x ? 9 x ? t ? 3 ? 0 有 3 个根
3 2

令 g ? x ? ? x ? 3x ? 9x ? t ? 3, g? ? x ? ? 3x ? 6x ? 9 ? 3? x ?1?? x ? 3?
3 2 2

g ? x ? 在 ? ??, ?1? , ?3, ??? 上递增, ? ?1,3? 上递减.


g ? x?



3











? ? g ? ?1? ? 0 ? ? ? g ? 3? ? 0





?8 ? t ? 24

??????4 分

3 2 x ?x 3 2 (Ⅱ)不等式 f ? x ? ? x ,即 x ? 6 x ? 3 x ? t e ? x ,即 t ? xe ? x ? 6 x ? 3x .

?

?

转化为存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m? , 不等式 t ? xe
?x

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立.
?x

即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设 ? ? x? ? e
?x

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 在 x ? ?1, m? 上恒成立.

?x

? x 2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m? 上恒成立

? x2 ? 6x ? 3 ,则 ?? ? x ? ? ?e? x ? 2x ? 6 .
?x

设 r ? x ? ? ?? ? x ? ? ?e

? 2x ? 6 ,则 r? ? x ? ? e? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r? ? x ? ? 0 .

故 r ? x ? 在区间 ?1, m? 上是减函数 又 r ?1? ? 4 ? e ? 0, r ? 2? ? 2 ? e
?1 ?2

? 0, r ?3? ? ?e?3 ? 0

故存在 x0 ? ? 2,3? ,使得 r ? x0 ? ? ?? ? x0 ? ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时,有 ?? ? x ? ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ?? ? x ? ? 0 . 从而 y ? ? ? x ? 在区间 ?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ??? 上递减 又 ? ?1? ? e ? 4 ? 0,? ? 2? ? e ? 5 ? 0, ? ?3? ? e ? 6 ? 0 ,
?1 ?2 ?3

? ? 4? ? e?4 ? 5 ? 0,? ?5? ? e?5 ? 2 ? 0,? ?6? ? e?6 ? 3 ? 0 .
所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ? x ? ? 0 ; 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5.



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