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上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:三角函数



上海市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 三角函数
一、填空、选择题 1、(2016 年上海高考)方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2? ? 上的解为___________ 2、(2016 年上海高考)已知 ?ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_______ 3、 (2015 年上海高考)已知函数 f(x

)=sinx.若存在 x1,x2,…,xm 满足 0≤x1<x2<…<xm≤6π, * 且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥12,m∈N ) ,则 m 的最小 值为 . 4 、 ( 2014 年上 海高 考) 设常 数 a 使 方程 sin x ? 3 cos x ? a 在 闭区间 [0 , 2? ] 上 恰 有三 个解

x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ?

.

3 5、(虹口区 2016 届高三三模)在 ?ABC 中, tan A ? ? , 则 sin 2 A ? _________. 4
6、(浦东新区 2016 届高三三模)关于 x 的方程

sin x 1 ? 0 的解为 1 4cos x

7、(杨浦区 2016 届高三三模)若函数 y ? cos( x ? 到的图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小值为

4? ) 的图像向右平移 ? 个单位( ? ? 0 ),所得 3

8、 (崇明县 2016 届高三二模)若函数 y ? cos2 ? x (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,则 ? ? 9、(奉贤区 2016 届高三二模)在平面直角坐标系 xOy 中,将点 A(2,1) 绕原点 O 逆时针旋转 点 B ,若直线 OB 的倾斜角为 ? ,则 cos ? 的值为_______.



? 到 4

10、(虹口区 2016 届高三二模)已知 f ( x) ? 2sin ? x ( ? ? 0) 在 ?0, ? ? 单调递增,则实数 ? 的最 ? 3? ? ? 大值为 11、(黄浦区 2016 届高三二模)函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 的最小正周期为
2

12、(静安区 2016 届高三二模)函数 y ? cos 2 x,x ? 0,? 的递增区间为 13、 (松江区 2016 届高三上学期期末) 将函数 y ? sin( 2 x ?

?

?

?

3 1 再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 则所得图像的函数解析式为 ▲ 2

) 图像上的所有点向右平移

? 个单位, 6


14、 (徐汇区 2016 届高三上学期期末) 函数 y ? cos2 x ? 3sin x cos x 的最小值为________________. 15、 (松江区 2016 届高三上学期期末)在 ?ABC 中,内角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c . 已

知b ? c ?

1 a , 2sin B ? 3sin C ,则 cos A = 4





16、(青浦区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 0 ? ? ? ? 图像的一条对称 轴是直线 x ?

?
8

,则 ? ?

.

17、(闸北区 2016 届高三上学期期末)如图,靠山有一个水库,某人先从水坝的底部 A 测得水坝对 面的山顶 P 的仰角为 40 ,再沿坝面向上走 80 米到水坝的顶部 B 测得 ?ABP ? 56 ,若坝面与水平 面所成的锐角为 30 ,则山高为
? ? ?

米;(结果四舍五入取整)

18、(长宁区 2016 届高三上学期期末)若

的值是___________

二、解答题 1、 (2015 年上海高考)如图,A,B,C 三地有直道相通,AB=5 千米,AC=3 千米,BC=4 千米.现 甲、 乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地, 经过 t 小时, 他们之间的距离为 f (t) (单位: 千米) . 甲 的路线是 AB, 速度为 5 千米/小时, 乙的路线是 ACB, 速度为 8 千米/小时. 乙到达 B 地后原地等待. 设 t=t1 时乙到达 C 地. (1)求 t1 与 f(t1)的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 t1≤t≤1 时,求 f(t)的表达式,并判断 f(t) 在[t1,1]上的最大值是否超过 3?说明理由.

B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ,其中 D 为 2、 (2014 年上海高考)如图,某公司要在 A 、
CB 长 80 米. 设点 A 、 B 在同一水平面上, 顶端,AC 长 35 米, 从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? .
(1) 设计中 CD 是铅垂方向. 若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (2) 施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得 ? ? 38.12? , ? ? 18.45? ,求 CD 的长

(结果精确到 0.01 米).

3、(虹口区 2016 届高三三模)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的最大值与最小值;

m cos2 x ? 2? , ?2) . 的图像过点 ( , 3 ) 和点 ( 12 3 n sin 2 x

(2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图像;已 知点 P(0,5) ,若函数 y ? g ( x) 的图像上存在点 Q ,使得 | PQ |? 3 ,求函数 y ? g ( x) 图像的对称 中心. 4、(浦东新区 2016 届高三三模)如图,上海迪斯尼乐园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为

P、 A Q 游客体验活动区, 已知 ?A ? 120? ,AB、AC 的长度均大于 200 米。 设 AP ? x ,AQ ? y , 且A
总长度为 200 米。 (1)当 x、y 为何值时?游客体验活动区 APQ 的面积 最大,并求最大面积; (2)当 x、y 为何值时?线段 PQ 最小,并求最小值。

5、(黄浦区 2016 届高三二模)已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,其中 a 、 b 为非零实常数; (1)若 f ( ) ?

?

4

2 , f ( x) 的最大值为 10 ,求 a 、 b 的值;

(2)若 a ? 1 , x ?

?
6

是 f ( x) 图像的一条对称轴,求 x0 的值,使其满足 f ( x0 ) ? 3 ,且

x0 ?[0, 2? ] ;
6、(浦东新区 2016 届高三二模)如图,一智能扫地机器人在 A 处发现位于它正西方向的 B 处和北 偏东 30 ? 方向上的 C 处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到 B 的距离比到 C 的距 离少 0.4m, 于是选择沿 A ? B ? C 路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为 0.2m/s,忽略 机器人吸入垃圾及在 B 处旋转所用时间,10 秒钟完成了清扫任务. (1)B、C 两处垃圾的距离是多少?(精确到 0.1) (2)智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角 ? B 是多少?(用反三角函数表示)
C 北 东

B

A

7、(普陀区 2016 届高三二模)【理科】已知函数 f ( x) ? 2 sin ? x ? (1)若 0 ? x ?

? ?

??

? ? cos x 3?

?
2

,求函数 f ( x) 的值域;

(2)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A 为锐角且 f ( A) ?

3 ,b ? 2, 2

c ? 3 ,求 cos(A ? B) 的值.
8、(徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模)已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x .
2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2) 将函数 y ? f ( x) 图像向右平移

? 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 的图像, 求方程 g ( x) ? 1 的解. 4

9、(杨浦区 2016 届高三二模)某菜农有两段总长度为 20 米的篱笆 PA 及 PB,现打算用它们和两面 成直角的墙 OM、 ON 围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB(假设 OM、 ON 这两面墙都足够长).已知 |PA|=|PB|=10

π , ?OAP ? ?OBP .设 ?OAP ? ? ,四边形 OAPB 的面积为 S. 4 (1)将 S 表示为 ? 的函数,并写出自变量 ? 的取值范围; (2)求出 S 的最大值,并指出此时所对应 ? 的值.
(米), ?AOP ? ?BOP ?

10、(奉贤区 2016 届高三上学期期末)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c ,且满

足 cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 ? 2 5

(1)、求 ?ABC 的面积; (2)、求 a 的最小值. 11、(黄浦区 2016 届高三上学期期末) 如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设 为 ? ,将 OA 绕坐标原点逆时针旋转

? 至 OB . 2

(1)用 ? 表示 A 、 B 两点的坐标; (2) M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA ? MB ,求点 M 横坐标的取值范围.

12、(金山区 2016 届高三上学期期末)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a=3,cosA=

? 6 ,B=A+ . 2 3

试求 b 的大小及△ABC 的面积 S.

13、(闵行区 2016 届高三上学期期末)

如图,点 A 、 B 分别是角 ? 、 ? 的终边与单位圆的交点, 0 ? ? ? (1)若 ? =

? ? ? ? ?. 2

2 3 ? , cos ?? ? ? ? ? ,求 sin 2? 的值; 3 4

(2)证明: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

14、(浦东新区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? 2sin x ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平 移

? 1 个单位,再把横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 2 6

y ? g ( x) 的解析式,并写出它的单调递增区间.

15、(青浦区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其 中 ? 是常数. (1)设 f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式;

(2)设计一个函数 f ( x) 及一个 ? 的值,使得 g ( x) ? 2cos x(cos x ? 3sin x) ; (3)当 f (x) ? sin x ? cos x ,? ? 成立,求 x1 ? x2 的最小值.

?
2

时,存在 x1 , x2 ? R ,对任意 x ? R , g ( x1 ) ? g ( x) ? g ( x2 ) 恒

参考答案 一、填空、选择题 1、【答案】

? 5? 或 6 6 1 或 2

【解析】试题分析:
2 2 化简 3sinx ? 1 ? cos 2x 得: 3sinx ? 2 ? 2sin x ,所以 2sin x ? 3sinx ? 2 ? 0 ,解得 sinx ?

? 5? sinx ? ?2 (舍去),所以在区间[0,2π]上的解为 或 . 6 6
2、【答案】

7 3 3

【解析】试题分析: 利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为

32 ? 52 ? 7 2 1 3 ? ? ,所以此角的正弦值为 , 2 ? 3? 5 2 2

由正弦定理得 2R ?

7 7 3 ,所以 R ? 3 3 2

3、 解:∵y=sinx 对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x)max﹣f(x) min=2, 要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点, 考虑 0≤x1<x2<…<xm≤6π,|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12, 按下图取值即可满足条件,

∴m 的最小值为 8. 故答案为:8. 4、【解析】:化简得 2sin( x ? 即 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ?

?
3

) ? a ,根据下图,当且仅当 a ? 3 时,恰有三个交点, 7? 3

?
3

? 2? ?

5、 ?

24 25

6、【答案】 x ?

k? k ? ? ? ?1? ?k ? Z ? 2 12

【解析】

sin x 1

1 ? 0 ? 4 s ix n co xs ? ?1 ? 0 4 c oxs

1 k ? sxi n?2, 所 以 2 x ? k? ? ? ?1? ? , 解 得 2 6

x?

k? k ? ? ? ?1? ?k ? Z ? 2 12

7、

? 3
9、

8、1

10 10
14、 ?

10、

3 2
15、 ?

11、 ?

12、

?? ? ,? ? ? 2 ? ?
17、176 18、-

13、 sin 4 x

1 2

1 4

16、

? 4

24 25

二、解答题 1、

故 f(t)的最大值超过了 3 千米. 2、【解析】:(1)设 CD 的长为 x 米,则 tan ? ?

x x ? , tan ? ? ,∵ ? ? ? 2 ? ? 0 , 35 80 2

2 tan ? x ∴ tan ? ? tan 2? ,∴ tan ? ? ,∴ ? 2 1 ? tan ? 35

x 80 ? 160 x , x2 6400 ? x 2 1? 6400 2

解得 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 ,∴ CD 的长至多为 28.28 米 (2)设 DB ? a, DA ? b, DC ? m , ?ADB ? 180? ? ? ? ? ? 123.43? , 则

a AB 115sin 38.12? ? ? 85.06 , ,解得 a ? sin ? sin ?ADB sin123.43?

∴ m ? 802 ? a2 ?160a cos18.45? ? 26.93 ,∴ CD 的长为 26.93 米

? ? ? m sin ? n cos ? 3 ? 6 6 3、解:(1)易知 f ( x) ? m sin 2 x ? n cos2 x ,则由条件,得 ? ,……2 分 ? 4 ? 4 ? ?m sin ? n cos ? ?2 ? 3 3 ?
解得 m ? 3 , n ? ?1. 故 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? 故函数 f ( x) 的最大值为 2,最小值为 ?2 . (2)由(1)可知: g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 2sin(2 x ? 2? ? 于是,当且仅当 Q(0,2) 在 y ? g ( x) 的图像上时满足条件.

? . )
6
……5 分

?
6

).
……7 分

? g (0) ? 2 s i n2 (? ?

?
6

) ? 2.

由 0 ? ? ? ? ,得

??

?
6

.

……9 分

故 g ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x . 由 2 x ? k? ?

? k? ? ,得 x ? ? (k ? Z ). 2 2 4
……12 分

于是,函数 y ? g ( x) 图像的对称中心为: (

k? ? ? ,0)( k ? Z ) . 2 4

4、【解析】(1)因为 AP ? x , AQ ? y 且 x ? y ? 200 所以 S?APQ ?

1 3 3? x? y? xy sin120? ? xy ? ? ? ? 2500 3 ,当且仅当 x ? y ? 100 时,等号成立。 2 4 4 ? 2 ?

2

所以,当 x ? y ? 100 米时, S?APQ

?

?

max

? 2500 3

(2)因为 PQ2 ? x2 ? y 2 ? 2 xy cos120? ? x2 ? y 2 ? xy

? x2 ? ? 200 ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? x2 ? 200x ? 40000 ? ? x ? 100? ? 30000
2 2

当 x ? 100 米时,线段 PQ min ? 100 3 米,此时 y ? 100 米。 5 、 [ 解 ] ( 1 ) 因 为 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ( 其 中 sin ? ?

b a ? b2
2



cos ? ?

a a ? b2
2

),

所以 f ( x) 的最大值为 a2 ? b2 . 由 a2 ? b2 ? 10 ,(2 分)

2 2 ??? a? b ? 2 ,(4 分) 及 f ? ?? 2 ?4? 2 解得 a ? ?1 , b ? 3 或 a ? 3 , b ? ?1 .(6 分)

? 时,取得最大值 b2 ? 1 或最小值 ? b2 ? 1 , 6 3 ??? 1 b ? ? b 2 ? 1 ,解得 b ? 3 .(8 分) 于是 f ? ? ? ? ?6? 2 2 ? 于是 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ,(10 分) 3 ? 当 f ( x) ? 3 时,解得 x ? 2k ? 或 x ? 2k ? ? ( k ? Z ).(12 分) 3 ? 因为 x0 ?[0, 2?] ,故所求 x 0 的值为 0 , , 2 ? .(13 分) 3 6、解:(1)设 a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边, a、b、c
(2)易知,当 x ? 均为正数。由题意可知:

?A ? 120 ? , b ? c ? 0.4 , c ? a ? 0.2 ?10 ? 2 ……(3 分)
由余弦定理可得: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

a 2 ? (2.4 ? a)2 ? (2 ? a)2 ? (2.4 ? a)(2 ? a)
a 2 ? 6.6a ? 7.28 ? 0 由 c ? a ? 2 得, a ? 1.4 (另一解 a ? 5.2 与题意不符,舍 不舍扣 1 分)……(4 分)
即 B、C 两处垃圾的距离是 1.4 米。…………………(1 分) (2)由题意得: b ? 2.4 ? a ? 1 ……………(1 分) 正弦定理可得: 即, sin B ?

b a ? sin B sin A

1? sin 120? 5 3 …………………(3 分) ? 1.4 14 5 3 …………………(1 分) 14 5 3 ………(1 分) 14

由题意, ? B 为锐角,得 ?B ? arcsin

即,智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角 ?B ? arcsin ( ?B ? arcsin 0.6 、 ?B ? arccos 照给分)

11 ? arccos 0.8 均给分,应用余弦定理或建立坐标系等解法参 14

7、【解】(1) f ( x) ? sin x ? 3 cos x cos x ? sin x cos x ? 3 cos x
2

?

?

?

1 3 3 ?? 3 ? …………2 分 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 3? 2 ?

由0 ? x ?

?
2

得,

?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ?? ? ,? ? sin? 2 x ? ? ? 1 …………4 分 3 2 3? ?

? 3? ?? 3 3 ? ,所以函数 f ( x) 的值域为 ?0, 1 ? 0 ? sin? 2 x ? ? ? ? 1? ? ………6 分 2 3? 2 2 ? ? ?
(2)由 f ( A) ? sin ? 2 A ? 又由 0 ? A ?

? ?

??

?? 3 3 ? 得, sin? 2 A ? ? ? 0 ? ?? 3? 3? 2 2 ?
?
3
2

?
2

得,

?
3

? 2A ?

?

4? ? ? ,只有 2 A ? ? ? ,故 A ? .…………8 分 3 3 3
2 2

在 ?ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 故 a ? 7 …………10 分

?

3

? 7,

由正弦定理得,

a b b sin A 21 ? ,所以 sin B ? ? sin A sin B a 7

由于 b ? a ,所以 cos B ?

2 7 …………12 分 7 1 2 7 3 21 5 7 ? ? ? ? ……14 分 2 7 2 7 14

cos? A ? B? ? cos A cos B ? sin A sin B ?
8、【解答】(1) f ( x) ? 由 2k? ?

2 sin( 2 x ?

?
4

) ? 1 , --------------3 分

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 得:

3? ?? ? , k? ? ? (k ? Z ) ;--6 分 f ( x) 的单调递增区间是 ?k? ? 8 8? ?
(2)由已知, g ( x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1, -------------9 分 4? ?
? ?

由 g ( x) ? 1 ,得 2 sin? 2 x ?

??

??0, 4?

?x ?

k? ? ? , (k ? Z ) . -----------------------12 分 2 8

9、(1)在三角 POB 中,由正弦定理,得:

OB 10 ,得 OB=10( cos ? ? sin ? ) ? 3? ? sin( ? ? ) sin 4 4 1 所以,S= 2 ? ?10 ?10(cos ? ? sin ? )sin ? = 100(sin ? cos? ? sin 2 ? ) , 2

(2)S= 100(sin ? cos? ? sin 2 ? ) = 50(2sin ? cos? ? 2sin 2 ? ) = 50(sin 2? ? cos 2? ? 1) = 50 2 sin(2? ?

?
4

) ? 50

所以,

10、解:(1)因为 cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ,所以 cos A ? 2 cos ? 2 5 2 5

2分 3分 4分 5分 7分

4 5 ??? ? ??? ? 又因为 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3 sin A ?
bc cos A ? 3 ? bc ? 5 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
(2)? bc ? 5,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2 2

3 5

10 分 11 分 12 分

?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6

? ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ? b2 ? c 2 ? 6 ? a 2 ? 2bc ? 10 amin ? 2
当且仅当 b ? c ?

5 时 a 最小值是 2

14 分

11、[解](1)由题设, A 点坐标为 (cos ? ,sin ? ) ,(2 分)

? ( k ? Z ).(3 分) 2 ? ?? ? ?? ? ? ? 因为 ?AOB ? ,所以 B 点坐标为 ? cos ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,即 (? sin ? ,cos ? ) .(5 分) 2 2 ?? 2 ? ? ? ? ???? ???? (2)设 M (m,0) ( m ? 0 ),于是 MA ? (cos? ? m ,sin ? ) , MB ? (? sin ? ? m ,cos? ) , ???? ???? 因为 MA ? MB ,所以 MA ? MB ? 0 ,即 (cos ? ? m)(? sin ? ? m) ? sin ? cos ? ? 0 ,(8 分)
其中 2k ? ? ? ? 2k ? ?

?? ? 整理得 m2 ? m(cos? ? sin ? ) ? 0 ,由 m ? 0 ,得 m ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? ? ? ,(10 分) 4? ?

? ? ? ? ?? ? ? , 且 ? ? 2k ? ? , 于 是 2k ? ? ? ? ? ? 2k ? ? , 且 ? ? ? 2k ? ? 2 4 4 4 4 4 2 ?? 2 ?? 2 ? ? ? cos ? ? ? ? ? ( k ? Z )得 ? ,且 cos ? ? ? ? ? 0 . 4? 2 4? 2 ? ? 因此,点 M 横坐标的取值范围为 (?1,0) ? (0,1) .(12 分)
此 时 2k ? ? ? ? 2k ? ?

12、解:因为 cosA=

6 3 ,所以 sinA= ,………………………………………………1 分 3 3

又 B=A+ 又因为

? ? 6 ,所以 sinB=sin(A+ )=cosA= ,……………………………………………2 分 2 2 3

a b ? ,………………………………………………………………………4 分 sin A sin B a ? sin B 所以 b= = 3 2 ,……………………………………………………………………6 分 sin A
cosB=cos(A+

? 3 )= –sinA= – ………………………………………………………………8 分 2 3

1 ,…………………………………………………10 分 3 1 3 2 . ……………………………………………12 分 所以△ABC 的面积 S= ab sin C = 2 2
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 或解:因为 a2=b2+c2–2bccosA(2 分) 即:c2–4 3 c+9=0,解之得:c=3 3 (舍去),c= 3 ,(2 分) △ABC 的面积 S=

1 3 bc sin A = 2 .(2 分) 2 2
2 , 3 1 …3 分 9
………………………………6 分 ………………………………8 分

13、[解](1)方法一:? cos ?? ? ? ? ?

?cos(2? ? 2? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ?1 = ?
3? 1 3 ? 2? ) ? ? , ? ? = ? ,即 cos( 4 2 9 1 ? sin 2 ? ? . 9
方法二:? cos ?? ? ? ? ?

2 3 2 2 2 cos ? ? sin ? ? , …………3 分 , ? = ? ,即 ? 4 3 2 2 3
……………………………6 分

? sin ? ? cos ? ?

8 2 2 ,两边平方得, 1 ? sin 2 ? ? 9 3

1 ? sin 2 ? ? . 9

…………………………………8 分

(2)[证明]由题意得, OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? )

?OA? OB = cos? cos ? ? sin ? sin ?
又因为 OA 与 OB 夹角为 ? ? ? , OA ? OB ? 1

………………10 分

?OA? OB = OA ? OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

………………………12 分

综上 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立. ……………………………14 分

? ? 个单位,得 y ? 2sin( x ? ) ……2 分 6 6 1 ? 再把横坐标缩短到原的 (纵坐标不变),得到 g ( x) ? 2sin(2 x ? ) 。…………………4 分 2 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,可得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 2 6 2 6 3
14、解:由 y ? f ( x) ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 所以 y ? g ( x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

, k ? Z ………………………………8 分

15、解:(1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;

? g ( x) ? cos2 x
(2)? g ( x) ? 2 cos x(cos x ? 3 sin x) ? 4 cos x cos( x ? 若 f ( x) ? 2cos x ,则 f ( x ? ? ) ? f ( x ?

?
3

),

?

??? ? ?
(3)

?
3

(取? ? 2k? ?

?
3

) ? 2 cos( x ? ) 3 3

?

,k ? Z中一个都可以) , f ( x) ? 2cos x
,

? f ( x) ? sin x ? cos x

? g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ?

( sin x ? cos x)

( cos x ? sin x)

? ?? ? ?cos 2 x x ? ? 2k? , 2k? ? 2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ?? sin 2 x ? 1 x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? , 2 ? ? ? ?? k ?Z 3 ? ? ? ?? cos 2 x x ? 2k? ? ? , 2k? ? , ? ? 2 ? ? ? ? 3? ? ? ?1 ? 2sin 2 x x ? ? 2 k? ? , 2k? ? 2? ? . ? 2 ? ? ?
显然, g ( x ? 2? ) ? g ( x) 即 y ? g ( x) 的最小正周期是 2? ,

因为存在 x1 , x2 ? R ,对任意 x ? R , g ( x1 ) ? g ( x) ? g ( x2 ) 恒成立, 所以当 x1 ? 2k? ? ? 或 x1 ? 2k? ? 当 x2 ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, g ( x) ? g ( x1 ) ? ?1

7? , k ? Z 时, g ( x) ? g ( x2 ) ? 2 4

所以 x1 ? x2 ? 2k1? ? ? ? (2k2? ?

7? ) , k1、k2 ? Z 4

或 x1 ? x2 ? 2k1? ? 所以 x1 ? x2 的最小值是

?
2

? (2k2? ?

7? ) , k1、k2 ? Z 4

3? . 4

说明:写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像,用数形结合的方法解同样给分



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