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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案



平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学目标分析 1.知识与技能:阐明平面向量的数量积及其几何意义。了解一个向量在另一个向量上 投影的概念,运用平面向量数量积的性质、运算律进行相关的运算和判断。 2.过程与方法:以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导 学生对向量数量积定义进行探究, 通过作图分析, 使学生明确向量的数量积与数的乘法的联 系与区别。

3.情感态度与价值观:由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量 积, 使学生学习从特殊到一般, 再由一般到特殊的认知规律, 体会数形结合思想, 类比思想, 体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。 二、教学重难点分析 1、重点:平面向量数量积的概念。在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数, 是代数、 几何与三角的最佳结合点, 不仅应用广泛, 而且很好的体现了数形结合的数学思想, 使得数量积的概念成为本节课的核心概念,也是本节课教学的重点。 2、难点:平面向量数量积的定义的理解。相对于线性运算而言,数量积的结果发生了 本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接 受的;由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和 运算律的理解。因而本节课教学的难点是数量积的概念。 三、教学过程

(一) 、复习提问: 向量加法、减法、实数与向量的乘法。它们有一个共同的特点,即运算的结 果还是向量。这种运算与实数的运算有了很大的区别。
如图所示,如果一个物体在力 F 的作用下,产生的位移为 S, 那么请问力 F 在这个运动过程中所做的功? (1)力 F 所做的功 W= 。 (2)请同学们分析公式的特点:W(功)是 量,F(力)是 是 量,θ 是 。 (3)师生共同探讨以引出向量乘以向量。 F
?

s 量,S(位移)

(二) 、新课: 1、力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角 2、定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?,并规定 0 与任 何向量的数量积为 0。? 问题 1:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小 的因素有哪些? 问题 2:向量的数量积是一个数量,那么它何时为正?何时为负?它能等于 零吗? 问题 3:请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移的数量积 。

3、向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180?
C ? = 0? A B ? = 180? O B O A O ? B A A O ? B O A ? B O A B

?

4、注意的几个问题;——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定; (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a ×b,而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分; (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0。 5、向量的数量积的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投 影|b|cos?的乘积。 6、两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量 (1)a?b ? a?b = 0; (2)当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a ; (3)|a?b| ≤ |a||b|; (三) 、例题讲解 例1 设︱a︱=6,︱b︱=4,a.b= ? 54 2 ,求 a 与 b 的夹角。

例 2 已知︱a︱=6,︱b︱=4, a 与 b 的夹角为 60° ,求(a+2b) · (a-3b) 。



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