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历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)



莆蒀 螂袃节葿羅聿 芈蒈蚄羁膄 蒈螇膇蒂蒇 衿羀莈蒆羁膅 芄蒅蚁羈膀 薄螃膄肆薃袅 羆莅薂薅膂 莁薂螇肅芇 薁袀芀膃薀羂 肃蒂蕿蚂袆 莈薈螄肁芄蚇 袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂 蒄蚅袁膈莀蚄 羃羁芆蚃蚃 膆膂蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃腿莆袁羅膅 莅羄芁蒃莄 蚃肄荿莄螆艿 芅莃袈肂膁 莂羀袅蒀蒁 蚀肀莆蒀螂袃 节葿羅聿芈 蒈蚄羁膄蒈螇 膇蒂蒇衿羀 莈蒆羁膅芄 蒅蚁羈膀薄螃 膄肆

薃袅羆 莅薂薅膂莁 薂螇肅芇薁袀 芀膃薀羂肃 蒂蕿蚂袆莈薈 螄肁芄蚇袆 袄膀蚇薆聿 肆蚆蚈袂蒄蚅 袁膈莀蚄羃 羁芆蚃蚃膆膂 蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃腿 莆袁羅膅莅 羄芁蒃莄蚃肄 荿莄螆艿芅莃 袈肂膁莂羀袅 蒀蒁蚀肀莆 蒀螂袃节葿 羅聿芈蒈蚄羁 膄蒈螇膇蒂 蒇衿羀莈蒆羁 膅芄蒅蚁羈 膀薄螃膄肆 薃袅羆莅薂薅 膂莁薂螇肅 芇薁袀芀膃薀 羂肃蒂蕿蚂 袆莈薈螄肁 芄蚇袆袄膀蚇 薆聿肆蚆蚈 袂蒄蚅袁膈莀 蚄羃羁芆蚃 蚃膆膂蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃腿莆袁羅 膅莅羄芁蒃 莄蚃肄荿莄 螆艿芅莃袈肂 膁莂羀袅蒀 蒁蚀肀莆蒀螂 袃节葿羅聿 芈蒈蚄羁膄 蒈螇膇蒂蒇衿 羀莈蒆羁膅 芄蒅蚁羈膀 薄螃膄肆薃袅 羆莅薂薅膂 莁薂螇肅芇薁 袀芀膃薀羂 肃蒂蕿蚂袆 莈薈螄肁芄蚇 袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂蒄 蚅袁膈莀蚄 羃羁芆蚃蚃 膆膂蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 腿莆袁羅膅莅 羄芁蒃莄蚃肄 荿莄螆艿芅 莃袈肂膁莂 羀袅蒀蒁蚀肀 莆蒀螂袃节 葿羅聿芈蒈蚄 羁膄蒈螇膇 蒂蒇衿羀莈 蒆羁膅芄蒅蚁 羈膀薄螃膄 肆薃袅羆莅薂 薅膂莁薂螇 肅芇薁袀芀 膃薀羂肃蒂蕿 蚂袆莈薈螄 肁芄蚇袆袄膀 蚇薆聿肆蚆 蚈袂蒄蚅袁 膈莀蚄羃羁芆 蚃蚃膆膂蚂 螅罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃 螀虿膃腿莆 袁羅膅莅羄芁 蒃莄蚃肄荿 莄螆艿芅莃袈 肂膁莂羀袅 蒀蒁蚀肀莆 蒀螂袃节葿羅 聿芈蒈蚄羁 膄蒈螇膇蒂 蒇衿羀莈蒆羁 膅芄蒅蚁羈 膀薄螃膄肆薃 袅羆莅薂薅 膂莁薂螇肅 芇薁袀芀膃薀 羂肃蒂蕿蚂 袆莈薈螄肁芄 蚇袆袄膀蚇 薆聿肆蚆蚈 袂蒄蚅袁膈莀 蚄羃羁芆蚃 蚃膆膂蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 腿莆袁羅膅 莅羄芁蒃莄 蚃肄荿莄螆艿 芅莃袈肂膁 莂羀袅蒀蒁蚀 肀莆蒀螂袃 节葿羅聿芈蒈 蚄羁膄蒈螇 膇蒂蒇衿羀莈 蒆羁膅芄蒅 蚁羈膀薄螃 膄肆薃袅羆莅 薂薅膂莁薂 螇肅芇薁袀芀 膃薀羂肃蒂 蕿蚂袆莈薈螄 肁芄 蚇袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂 蒄蚅袁膈莀 蚄羃羁芆蚃蚃 膆膂蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃腿莆袁羅 膅莅羄芁蒃莄 蚃肄荿莄螆 艿芅莃袈肂膁 莂羀袅蒀蒁 蚀肀莆蒀螂 袃节葿羅聿芈 蒈蚄羁膄蒈 螇膇蒂蒇衿羀 莈蒆羁膅芄 蒅蚁羈膀薄 螃膄肆薃袅羆 莅薂薅膂莁 薂螇肅芇薁袀 芀膃薀羂肃 蒂蕿蚂袆莈 薈螄肁芄蚇袆 袄膀蚇薆聿 肆蚆蚈袂蒄蚅 袁膈莀蚄羃 羁芆蚃蚃膆 膂蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 腿莆袁羅膅莅 羄芁蒃莄蚃 肄荿莄螆艿芅 莃袈肂膁莂 羀袅蒀蒁蚀 肀莆蒀螂袃节 葿羅聿芈蒈 蚄羁膄蒈螇膇 蒂蒇衿羀莈 蒆羁膅芄蒅 蚁羈膀薄螃膄 肆薃袅羆莅 薂薅膂莁薂螇 肅芇薁袀芀膃 薀羂肃蒂蕿蚂 袆莈薈螄肁 芄蚇袆袄膀 蚇薆聿肆蚆蚈 袂蒄蚅袁膈 莀蚄羃羁芆蚃 蚃膆膂蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃腿莆袁 羅膅莅羄芁蒃 莄蚃肄荿莄 螆艿芅莃袈 肂膁莂羀袅蒀 蒁蚀肀莆蒀 螂袃节葿羅聿 芈蒈蚄羁膄 蒈螇膇蒂蒇 衿羀莈蒆羁膅 芄蒅蚁羈膀 薄螃膄肆薃袅 羆莅薂薅膂 莁薂螇肅芇 薁袀芀膃薀羂 肃蒂蕿蚂袆 莈薈螄肁芄蚇 袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂 蒄蚅袁膈莀蚄 羃羁芆蚃蚃 膆膂蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃腿莆袁羅膅 莅羄芁蒃莄 蚃肄荿莄螆 艿芅莃袈肂膁 莂羀袅蒀蒁 蚀肀莆蒀螂袃 节葿羅聿芈 蒈蚄羁膄蒈 螇膇蒂蒇衿羀 莈蒆羁膅芄 蒅蚁羈膀薄螃 膄肆薃袅羆莅 薂薅膂莁薂螇 肅芇薁袀芀 膃薀羂肃蒂 蕿蚂袆莈薈螄 肁芄蚇袆袄 膀蚇薆聿肆蚆 蚈袂蒄蚅袁 膈莀蚄羃羁 芆蚃蚃膆膂蚂 螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇芃 螀虿膃腿莆 袁羅膅莅羄 芁蒃莄蚃肄荿 莄螆艿芅莃 袈肂膁莂羀袅 蒀蒁蚀肀莆 蒀螂袃节葿 羅聿芈蒈蚄羁 膄蒈螇膇蒂 蒇衿羀莈蒆羁 膅芄蒅蚁羈 膀薄螃膄肆 薃袅羆莅薂薅 膂莁薂螇肅 芇薁袀芀膃薀 羂肃蒂蕿蚂 袆莈薈螄肁 芄蚇袆袄膀蚇 薆聿肆蚆蚈 袂蒄蚅袁膈 莀蚄羃羁芆蚃 蚃膆膂蚂螅 罿蒁螁袇膄莇 螁罿羇芃螀 虿膃腿莆袁 羅膅莅羄芁蒃 莄蚃肄荿莄 螆艿芅莃袈肂 膁莂羀袅蒀 蒁蚀肀莆蒀 螂袃节葿羅聿 芈蒈蚄羁膄 蒈螇膇蒂蒇衿 羀莈蒆羁膅芄 蒅蚁羈膀薄螃 膄肆薃袅羆 莅薂薅膂莁 薂螇肅芇薁袀 芀膃薀羂肃 蒂蕿蚂袆莈薈 螄肁芄蚇袆 袄膀蚇薆聿肆 蚆蚈袂蒄蚅 袁膈莀蚄羃羁 芆蚃蚃膆膂 蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿羇 芃螀虿膃腿 莆袁羅膅莅羄 芁蒃莄蚃肄 荿莄螆艿芅莃 袈肂 膁莂羀袅蒀蒁 蚀肀莆蒀螂 袃节葿羅聿 芈蒈蚄羁膄蒈 螇膇蒂蒇衿 羀莈蒆羁膅芄 蒅蚁羈膀薄 螃膄肆薃袅 羆莅薂薅膂莁 薂螇肅芇薁 袀芀膃薀羂肃 蒂蕿蚂袆莈 薈螄肁芄蚇 袆袄膀蚇薆聿 肆蚆蚈袂蒄 蚅袁膈莀蚄羃 羁芆蚃蚃膆 膂蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 腿莆袁羅膅莅 羄芁蒃莄蚃 肄荿莄螆艿 芅莃袈肂膁莂 羀袅蒀蒁蚀 肀莆蒀螂袃节 葿羅聿芈蒈 蚄羁膄蒈螇 膇蒂蒇衿羀莈 蒆羁膅芄蒅 蚁羈膀薄螃 膄肆薃袅羆莅 薂薅膂莁薂 螇肅芇薁袀芀 膃薀羂肃蒂 蕿蚂袆莈薈 螄肁芄蚇袆袄 膀蚇薆聿肆 蚆蚈袂蒄蚅袁 膈莀蚄羃羁 芆蚃蚃膆膂 蚂螅罿蒁螁袇 膄莇螁罿羇 芃螀虿膃腿莆 袁羅膅莅羄芁 蒃莄蚃肄荿莄 螆艿芅莃袈 肂膁莂羀袅 蒀蒁蚀肀莆蒀 螂袃节葿羅 聿芈蒈蚄羁膄 蒈螇膇蒂蒇 衿羀莈蒆羁 膅芄蒅蚁羈膀 薄螃膄肆薃 袅羆莅薂薅膂 莁薂螇肅芇 薁袀芀膃薀 羂肃蒂蕿蚂袆 莈薈螄肁芄 蚇袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂 蒄蚅袁膈莀 蚄羃羁芆蚃蚃 膆膂蚂螅罿 蒁螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿 膃腿莆袁羅 膅莅羄芁蒃莄 蚃肄荿莄螆 艿芅莃袈肂膁 莂羀袅蒀蒁 蚀肀莆蒀螂 袃节葿羅聿芈 蒈蚄羁膄蒈 螇膇蒂蒇衿 羀莈蒆羁膅芄 蒅蚁羈膀薄 螃膄肆薃袅羆 莅薂薅膂莁 薂螇肅芇薁 袀芀膃薀羂肃 蒂蕿蚂袆莈 薈螄肁芄蚇袆 袄膀蚇薆聿 肆蚆蚈袂蒄 蚅袁膈莀蚄羃 羁芆蚃蚃膆 膂蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿羇 芃螀虿膃腿莆 袁羅膅莅羄 芁蒃莄蚃肄 荿莄螆艿芅莃 袈肂膁莂羀 袅蒀蒁蚀肀莆 蒀螂袃节葿 羅聿芈蒈蚄 羁膄蒈螇膇蒂 蒇衿羀莈蒆 羁膅芄蒅蚁羈 膀薄螃膄肆 薃袅羆莅薂 薅膂莁薂螇肅 芇薁袀芀膃 薀羂肃蒂蕿蚂 袆莈薈螄肁 芄蚇袆袄膀 蚇薆聿肆蚆蚈 袂蒄蚅袁膈 莀蚄羃羁芆蚃 蚃膆膂蚂螅 罿蒁螁袇膄 莇螁罿羇芃螀 虿膃腿莆袁 羅膅莅羄芁蒃 莄蚃肄荿莄 螆艿芅莃袈 肂膁莂羀袅蒀 蒁蚀肀莆蒀 螂袃节葿羅 聿芈蒈蚄羁膄 蒈螇膇蒂蒇 衿羀莈蒆羁膅 芄蒅蚁羈膀 薄螃膄肆薃 袅羆莅薂薅膂 莁薂螇肅芇 薁袀芀膃薀羂 肃蒂蕿蚂袆 莈薈螄肁芄 蚇袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂 蒄蚅袁膈莀蚄 羃羁芆蚃蚃膆 膂蚂螅罿蒁螁 袇膄莇螁罿 羇芃螀虿膃 腿莆袁羅膅莅 羄芁蒃莄蚃 肄荿莄螆艿芅 莃袈肂膁莂 羀袅蒀蒁蚀肀 莆蒀螂袃节 葿羅聿芈蒈蚄 羁膄蒈螇膇 蒂蒇衿羀莈 蒆羁膅芄蒅蚁 羈膀薄螃膄 肆薃袅羆莅薂 薅膂莁薂螇 肅芇薁袀芀膃 薀羂 肃蒂蕿蚂袆莈 薈螄肁芄蚇 袆袄膀蚇薆 聿肆蚆蚈袂蒄 蚅袁膈莀蚄 羃羁芆蚃蚃膆 膂蚂螅罿蒁 螁袇膄莇螁 罿羇芃螀虿膃 腿莆袁羅膅 莅羄芁蒃莄蚃 肄荿莄螆艿 芅莃袈肂膁 莂羀袅蒀蒁蚀 肀莆蒀螂袃 节葿羅聿芈蒈 蚄羁膄蒈螇 膇蒂蒇衿羀 膀芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅 羆袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃 虿羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇 膅蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅莇 羄肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄 蚈膀莀薆袃肆 荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁 螂膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈袂 袈蒈蒀蚄膆 蒇薃袀膂蒆 螅蚃肈蒅蒅羈 羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃螁 蝿肅薂蒁羅 羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃膄 螂蚇节膃蒂 袂膈节薄蚅 肄芁蚇袁羀芁 莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇 节膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀羂 芆薅羆袈莅 蚇螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄蚈 膀莀薆袃肆 荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅蒅 羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅膆 蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅 羆袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃 袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈 薃螈袇膇蚆羃 芅膆 蒅螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄蚅 肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆薅 羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈 蚆羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅 蚃肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃 虿羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇 蚆羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇 膅蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃 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羇肆芇蒃螀羂 芆薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂螄 袅芄莁蒄蚈 膀莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈 袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂蒆 螅蚃肈蒅蒅 羈羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃 螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆 蒅螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄蚅 肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆薅 羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈 蚆羂葿莈袂 袈蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅 蚃肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃 虿羆腿蒃螁 蝿肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇 蚆羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇 膅蚀袄羃膄 螂蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅莇 羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄 蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀 蚄膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂 蒁羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节 膃蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿蚁 螂膀芈螃羇 肆芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄 袅芄莁蒄蚈 膀莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈 袂袈蒈蒀蚄膆 蒇薃袀膂蒆 螅蚃肈蒅蒅 羈羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃 螁蝿肅薂蒁羅 羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆 蒅螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃蒂 袂膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅薂 蒁羅 羁膈薃螈袇膇 蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃膄 螂蚇节膃蒂 袂膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁 莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇薃 袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁膈 薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆膁 膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂膈 节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁蒄 蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈蒀 蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿蒃 螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅膆 蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿蚈 蚆羂葿莈袂 袈蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅 蚃肈蒅蒅羈 羄蒄薇螁芃蒃 虿羆腿蒃螁 蝿肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇 蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁肇 膅蚀袄羃膄 螂蚇节膃蒂 袂膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁 莆蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅薂 蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇节 膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃羇 肆芇蒃螀羂 芆薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂螄 袅芄莁蒄蚈 膀莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈 袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂蒆 螅蚃肈蒅蒅 羈羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃 螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆 蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄蚅 肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆薅 羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃 袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈 薃螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁 膆薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇 节膃蒂袂膈 节薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃 袆芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀羂 芆薅 羆袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇 节膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿蚁 螂膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃 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羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁膈 薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆膁 膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂膈 节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆蚃 袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁蒄 蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈蒀 蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅薂 蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿蚈 蚆羂葿莈袂 袈蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅 蚃肈蒅蒅羈 羄蒄薇螁芃蒃 虿羆腿蒃螁 蝿肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇 蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁肇 膅蚀袄羃膄 螂蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁 莆蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃 袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇节 膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿蚁 螂膀芈螃羇 肆芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄 袅芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈袂 袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁 膆薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇 节膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃 袆芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀羂 芆薅羆袈莅 蚇螈膇莅莇 羄肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄蚈 膀莀薆袃肆 荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅蒅 羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁 螂膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈蒀 蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇 节膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀羂 芆薅羆袈莅 蚇螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈袂 袈蒈蒀蚄膆 蒇薃袀膂蒆螅 蚃肈蒅蒅羈 羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃螁 蝿肅薂蒁羅 羁膈薃螈袇膇 蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃膄 螂蚇节膃蒂 袂膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁 莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂膀 芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇薃 袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁膈 薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂膈 节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈莅 蚇螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄蚈 膀莀薆袃肆 荿蚈蚆羂葿莈 袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂蒆 螅蚃肈蒅蒅 羈羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃 螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆 蒅螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃蒂 袂膈 节薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃 袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈莅 蚇螈膇莅莇 羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄 蚈膀莀薆袃肆 荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀 蚄膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂 蒁羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节 膃蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁 螂膀芈螃羇 肆芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄 袅芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿 蚈蚆羂葿莈 袂袈蒈蒀蚄膆 蒇薃袀膂蒆 螅蚃肈蒅蒅羈 羄蒄薇螁芃 蒃虿羆腿蒃 螁蝿肅薂蒁羅 羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁肇 膅蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄 芁蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆 袈莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁 膆薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇 节膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇 袁羀芁莆蚃 袆芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃 羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈莅 蚇螈膇莅莇 羄肃莄葿螇罿 莃蚂肂羅莂 螄袅芄莁蒄 蚈膀莀薆袃肆 荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀蚄 膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈袇 膇蚆羃芅膆蒅 螆膁膆薈肁 肇膅蚀袄羃 膄螂蚇节膃蒂 袂膈节薄蚅 肄芁蚇袁羀芁 莆蚃袆芀蕿 衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆芇 蒃螀羂芆薅 羆袈莅蚇螈膇 莅莇羄肃莄 葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅芄 莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈蚆 羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃虿 羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂 膈节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆 蚃袆芀蕿衿 芄艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃 螀羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅 莇羄肃莄葿 螇罿莃蚂肂羅 莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆袃 肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄薇 螁芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂蒁 羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀莀 薆袃 肆荿蚈蚆羂葿 莈袂袈蒈蒀 蚄膆蒇薃袀膂 蒆螅蚃肈蒅 蒅羈羄蒄薇螁 芃蒃虿羆腿 蒃螁蝿肅薂 蒁羅羁膈薃螈 袇膇蚆羃芅 膆蒅螆膁膆薈 肁肇膅蚀袄 羃膄螂蚇节膃 蒂袂膈节薄 蚅肄芁蚇袁羀 芁莆蚃袆芀 蕿衿芄艿蚁螂 膀芈螃羇肆 芇蒃螀羂芆 薅羆袈莅蚇螈 膇莅莇羄肃 莄葿螇罿莃蚂 肂羅莂螄袅 芄莁蒄蚈膀莀 薆袃肆荿蚈 蚆羂葿莈袂袈 蒈蒀蚄膆蒇 薃袀膂蒆螅蚃 肈蒅蒅羈羄 蒄薇螁芃蒃 虿羆腿蒃螁蝿 肅薂蒁羅羁 膈薃螈袇膇蚆 羃芅膆蒅螆 膁膆薈肁肇膅 蚀袄羃膄螂 蚇节膃蒂袂膈 节薄蚅肄芁 蚇袁羀芁莆蚃 袆芀蕿衿芄 艿蚁螂膀芈 螃羇肆芇蒃螀 羂芆薅羆袈 莅蚇螈膇莅莇 羄肃莄葿螇 罿莃蚂肂 羅莂螄袅芄莁 蒄蚈膀莀薆 袃肆荿蚈蚆羂 葿莈袂袈蒈 蒀蚄膆蒇薃袀 膂蒆螅蚃肈 蒅蒅羈羄蒄 薇螁芃蒃虿羆 腿蒃螁蝿肅 薂蒁羅羁膈薃 螈袇膇蚆羃 芅膆蒅螆膁膆 薈肁肇膅蚀 袄羃膄螂蚇节 膃蒂袂膈节 薄蚅肄芁蚇袁 羀芁莆蚃袆 芀蕿衿芄艿 蚁螂膀芈螃羇 肆芇蒃螀羂 芆薅羆袈莅蚇 螈膇莅莇羄 肃莄葿螇罿莃 蚂肂羅莂螄 袅芄莁蒄蚈膀 莀薆袃肆荿 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历年全国高中数学联赛试题及答案(76 套题) 1988 年全国高中数学联赛试题 第一试(10 月 16 日上午 8∶00——9∶30) 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选 均得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与 第二个函数的图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( ) -- A.y=-φ(x) B.y=-φ(-x) C.y=-φ1(x) D.y=-φ1(-x) 2.已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的 ) A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-1<k<1 D.0<|k|<1 3.平面上有三个点集 M,N,P: M={(x,y)| |x|+|y|<1}, N={(x,y)| (x-2+(y+)2+22(x2+(y-2<22}, 22 P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则 A.M? ? P? ? N . B M? ? N? ? P . C P? ? N? ? M . D A、B、 C 都不成立 4.已知三个平面 α、β、γ,每两个之间的夹角都是 θ,且 α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有 π 命题甲:θ> 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则 A.甲是乙的充分条件但不必要 B.甲是乙的必要条件但不充分 C.甲是乙的充分必要条件 D.A、B、C 都不对 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个 整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中, 正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): b-b1.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那 么= a2-a12.x+2)2n+1 的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为 . DE3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则= BC 4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员比 赛,负者被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,??直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得 胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 三.(15 分)2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋 转体的体积. 四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动点 Z 满足 Z1Z=-1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 11 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且+=1,试证:对每一个 n∈N*, ab (a+b)n-an-bn?22n-2n+1. 1988 年全国高中数学联赛二试题

一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2, ? 5an+1 -3an(an· an+1 为偶数),an+2=? an+1为奇数).? an+1 -an(an· 试证:对一切 n∈N*,an≠0. S? PQR2二. 如图, 在△ABC 中, P、 Q、 R 将其周长三等分, 且 P、 Q 在 AB>. S? ABC9 A H Q BRC 三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,??,ln,?的直线族,它满足条 件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,??); ⑵ kn+1=an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, (n=1,2,3,??); ⑶ knkn+1?0,(n=1,2,3,??). 并证明你的结论.

1988 年全国高中数学联赛解答 一试题 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选 均得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与 第二个函数的图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( ) -- A.y=-φ(x) B.y=-φ(-x) C.y=-φ1(x) D.y=-φ1(-x) --解:第二个函数是 y=φ1(x).第三个函数是-x=φ1(-y),即 y=-φ(-x).选 B. 2.已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的 ) A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-1<k<1 D.0<|k|<1 解:因是椭圆,故 k≠0,以(0,0)代入方程,得 k2-1<0,选 D. 3.平面上有三个点集 M,N,P: M={(x,y)| |x|+|y|<1}, N={(x,y)| (x-2+(y+)2+22(x2+(y-2<22}, 22 P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则 A.M? ? P? ? N . B M? ? N? ? P . C P? ? N? ? M . D A、B、 C 都不成立 解:M 表示以(1,0),(0.1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形命题甲:θ> 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则 A.甲是乙的充分条件但不必要 B.甲是乙的必要条件但不充分 C.甲是乙的充分必要条件 D.A、B、C 都不对 ππ 解:a,b,c 或平行,或交于一点.但当 a∥b∥c 时,θ=.当它们交于一点时,θ<π.选 C. 33 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个 整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中,

正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解:均正确,选 D. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): b4-b31.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列, 那么= a2-a1 b4-b3812 解:a2-a1=y-x),b4-b3=(y-x),?. 43a2-a13 2.x+2)2n+1 的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为 . 解:(x+2)2n+1-(x-2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn1+C2n+125xn2+?+C2n+122n+1). - -1352n+1 1 令 x=1,得所求系数和=(32n+1+1). 2 DE3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则= BC DEAD 解:△AED∽△ABC,==|cosα|. BCAC 4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员比 赛,负者被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,??直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得 胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 解 画 1 行 14 个格子,每个格子依次代表一场比赛,如果某场比赛某人输了,就在相应的 格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别).如果某一方 7 人都已失败则在 后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号. 于是每一种比赛结果都对应一种填表 方法,每一种填表方法对应一种比赛结果.这是一一对应关系.故所求方法数等于在 14 个 格子中任选 7 个写入某一方的号码的方法数. ∴共有 C14 种比赛方式. 三.(15 分)2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋 转体的体积. 解:过轴所在对角线 BD 中点 O 作 MN⊥BD 交边 AD、BC 于 M、N,作 AE⊥BD 于 E, 则△ABD 旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥,底面半径 AE= =6π623V=)2=.同样, 3339 2△BCD 旋转所得旋转体的体积=. 9 其重叠部分也是两个圆锥,由△DOM∽△DAB,DO= 1633∴其体积=()2. 3428 23323∴ 所求体积=-π=3π. 9872 四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动点 Z 满足 Z1Z=-1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 1111111 解 : Z1= - , 故 得 | - - Z0|=| , 即 |ZZ0+1|=1 . |Z+=|| . 即 以 - || 为 半 径 的 圆. ZZZZ0Z0Z0Z0 11 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且 1.试证:对每一个 n∈N*, ab (a+b)n-an-bn?22n-2n+1. 证明: 由已知得 a+b=ab. 又 a+b?2ab, ∴ ab?2ab, 故 a+b=ab?4. 于是(a+b)k=(ab)k?22k. 又 ak+bk?2ab=2(a+b)?2k+1.下面用数学归纳法证明: 1° 当 n=1 时,左=右=0.左?右成立. 2° 设当 n=k(k?1,k∈N)时结论成立,即(a+b)k-ak-bk?22k-2k+1 成立. --则(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-(ak+bk)(a+b)+ab(ak1+bk1)

- - =(a+b)[(a+b)k - ak - bk]+ ab(ak1+bk1) ? 4?(22k - 2k+1)+4?2k=22(k+1) - 4?2k+1+4?2k=22(k+1)-2(k+1)+1.即命题 对于 n=k+1 也成立. 故对于一切 n∈N*,命题成立. 二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2, 3DO· AB6OM==. 2DA423AOC7B ? 5an+1 -3an(an· an+1 为偶数),an+2=? an+1为奇数).? an+1 -an(an· 试证:对一切 n∈N*,an≠0. (1988 年全国高中竞赛试题) 分析:改证 an?0(mod 4)或 an?0(mod 3). 证明:由 a1=1,a2=2,得 a3=7,a4=29,?? ∴ a1≡1,a2≡2,a3≡3(mod 4). 设 a3k-2≡1,a3k-1≡2,a3k≡3(mod 4). 则 a3k+1≡5?3-3?2=9≡1(mod 4);a3k+2≡1-3=-2≡2(mod 4);a3k+3≡5?2-3?1=7≡3(mod 4). 根据归纳原理知,对于一切 n∈N,a3n-2≡1,a3n-1≡2,a3n≡3(mod 4)恒成立,故 an ?0(mod 4)成立,从而 an≠0. 又证:a1≡1,a2≡2(mod 3). 设 a2k-1≡1,a2k≡2(mod 3)成立,则 当 a2k-1?a2k 为偶数时 a2k+1≡5?2-3?1≡1(mod 3),当 a2k-1?a2k 为奇数时 a2k+1≡2- 1≡1(mod 3),总之 a2k+1≡1(mod 3). 当 a2k?a2k+1 为偶数时 a2k+2≡5?1- 3?2≡2(mod 3) ,当 a2k?a2k+1 为奇数时 a2k+2≡1- 2≡2(mod 3),总之,a2k+2≡2(mod 3).于是 an?0(mod 3).故 an≠0. S? PQR2二. 如图, 在△ABC 中, P、 Q、 R 将其周长三等分, 且 P、 Q 在 AB>. S? ABC9 A H Q BRC1 证明:作△ABC 及△PQR 的高 CN、RH.设△ABC 的周长为 1.则 PQ=. 3 则 SPQ· RHPQAR1PQ2=,但 AB<>, CNABAC2AB3S? ABCAB·111111AR1S2AP ?AB- PQ<-,∴ AR=AP>,AC<,故> 236362AC3S? ABC9 三.在坐标平面上,是否 存在一个含有无穷多直线 l1,l2,??,ln,?的直线 族,它满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,??); ⑵ kn+1=an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, (n=1,2,3,??); ⑶ knkn+1?0,(n=1,2,3,??). 并证明你的结论. 证明:设 an=bn≠0,即 kn-1=-1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0,此时 an+1 不存 在,故 kn≠±1. 11 现设 kn≠0, 1, 则 y=kn(x-1)+1, 得 bn=1-kn, an=1- kn+1=kn-knkn+1=kn2-1. knkn ∴ kn>1 或 kn<-1.从而 k1>1 或 k1<-1. 11 ⑴ 当 k1>1 时 , 由 于 0< , 故 k1>k2=k1 - , 若 k2>1 , 则 又 有 k1>k2>k3>0,依此类推,知当 km>1k1k1 111 时,有 k1>k2>k3>??>km>km+1>0,且 0<<?<<1, k1k2km 11112mkm+1=km-km-=km-1-km-1-?<k1-. kmk1k1k1km-1k1

mm 由于 k1-随 m 的增大而线性减小,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1-?1,从而必 存在一个 m 值 k1k1 m=m1?m0,使 km1-1?1,而 1>km1=km1-1- 即此时不存在这样的直线族. 11 ⑵ 当 k1< - 1 时,同样有- 1< ,得 k1<k2=k1 - <0 .若 k2< - 1 ,又有 k1<k2<k3<0,依此类推,知当 k1k1>0,此时 km1· km1+1<0. km1-11 111km<-1 时, 有 k1<k2<k3<??<km<km+1<0, 且 0>>?>>-1, k1k2km 11112mkm+1=km-km-=km-1-km-1-?>k1-. kmk1k1k1km-1k1 mm 由于 k1-随 m 的增大而线性增大,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1-1,从而必存 在一个 mkmk1 值,m=m1(m1?m0),使 km1-1?-1,而-1<km1=km1- 即此时不存在这样的直线族. 综上可知这样的直线族不存在. ,此时 km1· km1+1<0. km1-11 厦门市参加 2010 年福建省高中数学竞赛 暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 贵校教务处转数学教研组: 根据闽科协发【2010】39 号文件《关于举办 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通 知》 ,以及省数学会《关于 2010 年福建省高中数学竞赛暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛 区竞赛的通知》 ,根据我市情况,有关竞赛工作通知如下: 一、赛制、竞赛时间和命题范围 竞赛分预赛和复赛两个阶段。 1.预赛: (1)时间:2010 年 9 月 11 日(星期六)9:00——11:30,在本市考点进行。 (2)试题来源:预赛试题由福建省数学学会组织命题,同时也作为《2010 年福建省高中 数学竞赛》 的试题, 试题类型以全国联赛类型为主, 适当补充少量全国联赛加试部分的内容。 (3)试卷结构:填空题 10 题,每题 6 分,满分 60 分;解答题 5 题,每题 20 分,满分 100 分。全卷满分 160 分。考试时间 150 分钟。 2.复赛 (1)时间与地点:2010 年 10 月 17 日(星期日)8:00——12:10,集中在福州一中旧校 区进行考试。其中联赛时间为 8:00—9:20,加试时间为 9:40—12:10。 (2)试题来源与命题要求:复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试 题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准,加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。 根据现行―高中数学竞赛大纲‖的要求,全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超 过教育部 2000 年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但方 法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合、灵活运 用知识的能力。 全国高中数学联赛加试(二试)与中国数学奥林匹克(冬令营) 、国际数学奥林匹克接轨, 在知识方面有所扩展,适当增加一些教学大纲之外的内容。

(3)试卷结构: 全国高中数学联赛(一试)试卷结构为:填空题 8 题,每题 8 分,满分 64 分;解答题 3 题,分别为 16 分、20 分、20 分,满分 56 分。全卷满分 120 分。考试时间 80 分钟; 全国高中数学联赛加试(二试)试卷结构为:4 道解答题,涉及平面几何、代数、数论、 组合四个方面。每题 50 分。满分 200 分。考试时间 150 分钟。

二、参赛对象 本学年度的在校高中学生均可报名,自愿参加,不影响学校的正常教学秩序。 三、报名、报名费和准考证 采用网上报名。在各校教务处的指导下,由高二年数学备课组长具体负责,组织学生报名 参加竞赛。报名表请参照样表、统一用 Excel 文档并按要求认真填写,根据省数学会要求, 报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交, 为最后评奖、 颁发获奖学生证书以及制作指 导教师证书的依据,务必请各校认真填写报名表,指导教师以报名表上登记的为准(每名学 生只能上报 1 名指导教师) ,赛后不得更改。报名费(按省数学会通知)统一收取每生 18 元。 各参赛学校请将报名表的电子文本用 E.mail 发送至电子油箱 xmczm@126.com;报名费请 直接汇入建设银行活期存折,存折户名:陈智猛,ATM 卡号:4367421930036257416。报名 截止时间是 6 月 25 日,逾期不予受理。 请保留汇款的凭单备查,将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信 形式发送至 13806039993,短信联系进行报名的确认。9 月初召开考务会同时领取准考证,准考证请各 校自行填写,由备课组长保管,考前 30 分钟再发给考生。 四、考号安排 学 校 厦门一中 双十中学 厦门六中 外国语学校 科技中学 厦门二中 湖滨中 学 考号安排 10001——10600 10601——11200 11201——11800 11801——12400 12401——13000 13001——13200 13201——13400 学 校 考号安排 松柏中学 13401——13600 厦门三 中 13601——13800 华侨中学 13801——14000 禾山中学 14001——14200 大同中学 14201——14400 康桥中学 14401——14600 集美中学 20001——20400 英才学校 20401——20600 灌口中学 20601——28000 乐 安中学 20801——21000 同安一中 30001——30600 启 悟 中 学 30601——30800 第 二 外 国 语 学 校 30801——31000 翔安一中 40001——40400 新店中学 40401——40600 40601——40800 诗扳中学 40801——41000 厦门十中 杏南中学 海沧中学 海沧实验中学 东山中学 五显中学 国祺中学 21001——21400 21401——21600 21601——21800 21801——22000 31001——31200 31201——31400 31401——31600

五、考务: 有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。 六、奖项: 按参赛人数的 5%从高分到低分确定复赛入围者;预赛成绩为本区第一名经省数学会审核 无误后也可以直接参加复赛。 另外,符合下列条件之一者可直接进入复赛: (1)2008 年、2009 年全国高中数学联赛(福建赛区)一、二等奖获得者; (2)2010 年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者; (3)2010 年福建省高一数学竞赛(省) 前十五名获得者; (4)2010 年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。 复赛试卷经省数学会评定后,评出(省级)全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省 教育厅审定,获得(省级)全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合 颁发获奖证书。注意:一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。 省数学会评出《2009 年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后,我市在省奖之外再评出 市一等奖、 二等奖、 三等奖, 以及表扬奖若干名。 为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性, 研究决定:按报名人数给学校不低于 10%的市级(以上)获奖名额,鼓励学生。 厦门市教育科学研究院 基础教育研究室 厦门市教育学会 数学教学专业委员会 2010 年 5 月 13 日

(注:报名表的指导教师栏请认真填写,赛后不得更改) 1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 对于每个自然数 n, 抛物线 y? (n +n)x? (2n +1)x+1 与 x 轴交于 An, Bn 两点, 以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1| 2 2 +|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) -9-

(A) (B) (C) (D) 2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( (A)(x+(C)(x+

)

? y2)(y + ? x2)=0 (B)(x? ? y2)(y? ? x2)=0 ? y2)(y? ? x2)=0 (D)(x? ? y2)(y + ? x2)=0 (? Si) i? 14 3. 设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记? = (A)2<??4 (B)3<? <4 (C)2.5<? ?4.5 (D)3.5<? <5.5 /S,则?一定满足( ) ,都是方程 logx=log(4x? 4) 的根, 4. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别记为 a, b, c(b? 1) , 且则△ABC( ) b (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰 直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 5. 设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1? 2z1z2 +z2=0,O 为 坐标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 2 2 (B)4 (C)6 (D)12 6. 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10 + x)? f(10? x) , f(20? x)? ? f(20 +x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函 数 (D)奇函数,但不是周期函数 二.填空题(每小题 5 分共 30 分) ,,? xyz成等差数列,则 zx 的值是______. 1. 设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 2. 在区间[0,? ] 中,三角方程 cos7x? cos5x的解的个数是______. 3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条, 使得其中任意两条线段所在的直线都是 异面直线,则 k 的最大值是 _____. z4. 设 z,z 都是复数,且|z|=3,|z|=5|z+z|=7,则 arg(1)的值是______. 3 1 2 1 2 1 2 5. 设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1? a2? 1 ,a3? 2 ,且对任何自然数 n, 都有 anan+ 1an+2? 1 ,又 anan+1an+2an+3? an +an+1 +an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是__ __. 6. 函数 f(x)= x4? 3x2? 6x? 13? x4? x2? 的最大值是 1 _____. 80 16? ? ? 17

k? 1三、(20 分)求证: . - 10 -

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD=,BE=2CF=,求 l 与 m 的 距离. n? 1? n? 1x? 五、 x (20 分)设 n 是自然数,fn(x)? (x? 0 ,? 1) ,令 y=x+x. 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)? fn -1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明: fn(x)=? y? Cy? ? ? (? 1)Cy? ? ? (? 1),(i? 1,2,? ,,n 为 偶 数 )? n? 1n? 1? n1n? 2iin? 2i,n 为 奇 数)y? Cy? ? ? (? 1)Cy? ? ? (? 1)C,(i? 1,2,? ,? n? 1n? in? 1? n1n? 2n? 1iin? in? 2in2 1993 年全国高中数学联合竞赛试卷 第 一 试 一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 若 M={(x, y)| |tg? y|+sin? x? 0} , N={(x, y)| x+y?2}, 则 M? N 的元素个数是 ( ) 222 (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2. 已知 f (x)=asinx+b+4(a,b 为实数),且 f (lglog310)? 5 ,则 f(lglg3)的值是( ) (A)? 5 (B)? 3 (C)3 (D) 随 a,b 取不同值而取不同值 3. 集合 A,B 的并集 A? B ={a1,a2,a3},当 A? B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的 对,则这样的(A,B)对的个数是( ) (A)8 (B)9 (C)26 (D)27 4. 若直线 x=被曲线 C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦 长为 d,当 a 变化时 d 的最小值是( ) (A) (B) (C) (D)? sin? cos22 的值 5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c? a 等于 AC 边上的高 h,则 是( ) (A)1 (B)2 (C) (D)? 1 - 11 -

(A)(B)(C)(D) 6. 设 m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z? C ,则方程| z+ni|+| z-mi|=n 与| z+ni|-|z -mi|=-m 在同一复平 面 ) 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 二次方程(1-i)x+(?+i)x+(1+i? ) =0(i 为虚数单位, ? ? R) 有两个虚根的充分必要 条件是?的取值范围为 ________. 2 ? ? min__ ___ __. 2. 实数 x, y 满足 4x-5xy+4y=5, 设 S=x+y, 则 max22223. 若

z? C ,arg(z? 4) =62,arg(z+4)=3,则 z 的值是_ _______. 2 ? 93? ? ?. 4 整数? 10? 3? 的末两位数是_______. logx01993? logx11993? logx21993 5. 设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 最大值是_____ __. 123k? logx01993 ?3 恒成立,则 k 的 6. 三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一 个三位数,有的卡片所印的, 倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片则不然,如 531 倒过来看是 , 因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印

张卡片. 三. (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D?,则 D?为三棱锥 S-ABC 的外接球球心. 四. (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y=x 有四个不同 的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹. 2 - 12 -

五. (本题满分 20 分) 设正数列 a0,a1,a2,?,an,?满足 nn? 2? n? 1n? 2? 2an? 1(n ?2)且 a=a=1.求{a} 的通项公式. 01n 1994 年全国高中数学联赛试题 第 一 试 一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx? bcosx? c? 0 都成立的充要条 件是 (A)a , b 同 时 为 0 , 且 c>0 (B)a2? b2? c (C)a2? b2? c (D)a2? b2? c 2.给出下列两个命题: (1)设 a,b,c 都是复数,如果 a2? b2? c2 ,则 a2? b2? c2? ; 0 ? b2? c2? ,则 0 a2? b2? c2 . (2)设 a,b,c 都是复数,如果 a 那么下述说法正确的是 2 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确 3.已知数列{an}满足 3an? 1 的最小整数 n 是 ? an? 4(n? 1) ,且 a1? 9,其前 n 项之和为 Sn ,则满足不等式 |Sn? n? 6|? 1125 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 0? b? 1,0? a? 4.已知 小关系是 ? logbsinay? (cosa)logbcosa , z? (sina)logbcosa的大 4, 则下列三数: x? (sina) , (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5.在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( (A)n? 2n? 1n? 2n? 1? ? ,? )(? ,? )(0,)(? ,? )nnn2 (D)n (B) (C) - 13 -

|x? y||x? y|? ? 12a2b6 .在平面直角坐标系中,方程(a,b 是不相等的两个正数)所代表的 曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(? 1 ,1)和(2,2),若直线 l:x+my +m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是__ ____. ? x3? sinx? 2a? 0x,y? [? ,],a? R? 34y? sinycosy?, a? 则0 cos(x? 2y)=_____ . 442. 已 知且? ? ? 55A? {(x,y )|(x? 3)2? (y? 4)2? ()2}B? {(x,y)|(x? 4)2? (y? 5)2? ()2}223 .已知点集, ,则 点集 A? B

中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____. sin(1? cos? )0? ? ? ?.设,则的最大值是 24 ______. 5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于?,则 sin? =___ ? 6.已知 95 个数 a1,a2,a3,? ,a95 , 每个都只能取+1 或? 1 两个值之一,那么它们的两两 之积的和 a1a2? a1a3? ? ? a94a95 的最小值是_ __. 1995 年全国高中数学联赛 第 一 试 一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列{an}满足 3a8? 5a13且 a1? 0 ,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是( (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 - 14 -

)

2. 设复平面上单位圆 ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如 果某人不亚于其他 99 人,就称 他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 1995,Z21995,1995? ,Z20所 4. 已知方程|x? 2n|? k(n? N) 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围 是( ) (A)k? 0 (B)0? k? 1 1? k? 2n? 1 (C)12n? 1 以上都不是 (D) 5. logsin1cos1,logsin1tg1,logcos1sin1,logcos1tg1 的大小关系是( ) logsin1cos1? logcos1sin1? logsin1tg1? logcos1tg1 logcos1sin1? logcos1tg1? logsin1cos1? logsin1tg1 logsin1tg1? logcos1tg1? logcos1sin1? logsin1cos1 logcos1tg1? logsin1tg1? logsin1cos1? logcos1sin1 (A) (B) (C) (D) 6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心, 过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA, PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式 111? ? PQPRPS (A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. 设? ,? 为一对共轭复数,若|? ? ? |? 23 ,且? ? 2 为实数,则|? |? _____ . 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______. - 15 -

3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg2x? [lgx]? 2? 0 的实根个数是______. ? y? 3x? xy? ? 3? x? y? 1004. 直角坐标平面上, 满足不等式组?的整点个数是______. 5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色, 如果只有 5 种颜

色可使用,那么不同的染色方 法的总数是______. 6. 设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x? A 时,15x? A ,则 A 中 元素的个数最多是______. 一九九六年全国高中数学联合竞赛 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 222 2 1. 把圆 x+ (y –1 ) =1 与椭圆 9x+ (y + 1)= 9 的公共点, 用线段连接起来的图形是 _________. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536, 公比是 q= (A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T13 ? 12 . 用 Tn 表 示它的前 n 项之积,则 Tn(n? N) 最大的是____________ 3.存在在整数 n,使是整数的质数 p . (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D) 有无穷多个 p? n? n 1 4 设 x? ( –2,0),以下三个数: ? 1=cos(sinx? ), ? 2=sin(cosx? ), ? 3=cos(x+1)? 的大小关 系是 __________. (A) ? 3 < ? 2 & lt; ? 1 (B) ? 1 < ? 3 < ? 2 (C) ? 3 < ? 1 < ? 2 (D) ? 2 < ? 3 < ? 1 2 25.如果在区间[1, 2 ]上, 函数 f(x) = x+ px + q 与 g(x) = x + ()在同一点取相同的最小值, 那么 f (x)在该区间上的最大值是__________. 4? (A) 6.高为 8 的圆台 (B)2 (C)3 (D)4 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1. 集 合 {x| –1? log ()10 < – , x? N} 的 真 子 集 的 个 数 是 _____________________. 11512? 44? 2? 41? 2? 422(B) (C) (D) 以上答案都不对 1? 2. 复平面上非零复数 z1、z2 在以 i 为圆心 1 为半径的圆上,z1z1 的实部为零,z1 的辐角 主值为 6,则 z 2 = ____________. 3.曲线 C 的极坐标方程是? = 1 + cos? , 点 A 的极坐标是(2, 0). 曲线 C 在它所在的平面 内 绕 A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________. 4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体, 并且该六面体的最短棱的长为 2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________. 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种 颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种. (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、 左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以 199 为半径的圆周上,整点(即横、纵坐 标皆为整数的点)的个数为

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_______________. 1997 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 5 日上午 8:00? 10:00) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn? 1? xn? xn? 1(n ?2),x? a , x? b , 记 S? x +x+?+x,则下 列结论正确的是 nn1212 (A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100? 2b -a (C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-? a 2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 B (C) (D) ? ? ? (0? ? ? ?, ?) 记 f(? )? ? ? ? ?其中 ? ?? 表示 EF 与 AC 所成的角,? ? 表 示 EF 与 BD 所成的角,则 f(? ) 在(0,? ? 单调增加 ) f(? ) 在(0,? ? 单调减少 ) (A)(B)f(? ) 在 (0,1)单调增加,而在(1,+? ) 单调减少 f(? ) 在(0,+? ) 为常数 23.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97,则这样的数 列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4.在平面直角坐标系中,若方程 m(x2? y2? 2y? 1)? (x? 2y? 3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+? ) (C)(0,5) (D)(5,+? ) 5.设 (A) (C) ? ? arctg,? ? arccos(),? ? arcctg(? )? f(x)? x? ? ,x ? ? arcsin , , 则 2f(? )? f(? )? f(? )? f(? ) (B)f(? )? f(? )? f(? )? f(? ) f(? )? f(? )? f(? )? f(? ) (D)f(? )? f(? )? f(? )? f(? ) 6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条

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二、 填空题(每小题 9 分,共 54 分) ? (x? 1)3? 1997(x? 1)? ? 1? 3(y? 1)? 1997(y? 1)? , 则1 x+y ? .? 设 x,y 为实 数,且满足 y2 x? ? 1过双曲线的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数?使得|AB| ? ? 的直线 l 恰有 3 条,则?= .2 |2z? |? 1已知复数 z 满足,则 z 的幅角主值范围是 . 已知三棱锥 S? ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之 一.若在 5 次之 种. 设 a ? lgz +lg[x(yz)?+1],b ? lgx? +lg(xyz+1),c ? lgy + lg[(xyz)?+1],记 a,b,c 中最大数为 M,则 M 的最小值为 . 111 一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 11 日上午 8∶00—10∶00) 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若 a>1,b>1 且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a? 1)+lg(b? 1) 的值 (A) 等于 lg2 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与 a,b 无关的常数 2. 若非空集合 A={x|2a+1?x?3a? 5},B={x|3 ?x?22},则能使 A? A? B 成立的所有 a 的集 合是( ) (A){a|1?a?9} (B){a|6?a?9} (C){a|a?9} (D)? 3. 各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记为 Sn, 若 S10=10,S30=70, 则 S40 等于( ) (A) 150 (B) ? 200 (C) 150 或? 200 (D)400 或? 50 abc? ? ab2c24 . 设命题 P:关于 x 的不等式 ax+bx+c>0 与 ax+bx+c>0 的解集相同;命 题 Q:222 111222。则命题 Q (A)是命题 P 的充分必要条件 (B)是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C)是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 5. 设 E ,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C? FG? E的大 小是( ) (A)arcsin3? (B)2? arccos3 2 2B D? (C)2 (D) 6 . 在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中 心共 27 个点中,共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 ? 2? ? arcctg 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1. 若 f(x)(x? R) 是以 2 为周期的偶函数,当 x? [0,1] 时, 的排列是_________________. f(x)? x1 ,则 98101104f()f()f(19,17,15 由小到大 2. 设复数 z=cos? ? isin? (0? ???180? ) ,复数 z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分 别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不 共线时,以线段 PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S,则点 S 到原点距离的最大 值是_______.

3. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的取 法有________种. 4. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样 的数列至多有___________项

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5 . 若椭圆 x2? 4(y? a)2? 4与抛物线 x2? 2y 有公共点,则实数 a 的取值范围是 _____________. 6. △ABC 中,∠C=90° ,∠B=30° ,AC=2,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 折 起,使 A,B 两点间的距离为 2 ________. 2,此时三棱锥 A? BCM的体积等于 CB 三、 (本题满分 20 分) ? 已知复数 z=1? sin? +icos? (2? ? ? ? ,求 ) z 的共轭复数 z 的辐 角主值。 四、 (本题满分 20 分) 设函数 f(x)? ax2? 8x? 3(a <0), 对于给定的负数 a, 有一个最大的正数 l(a), 使得在整个区间[0,l(a)] 上,不等式|f(x)|?5 都成立。 问:a 为何值时 l(a)最大?求出这个最大的 l(a),证明你的结论。 五、 (本题满分 20 分) 22(ab? 0,b? 2pa) , M 是抛物线上的点, 设直线 AM,BM 与抛物线 y? 2pxA(a,b) 已知抛 物线及定点,B(? a,0), 的另一交点分别为 M1,M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1,M2 存在且 M1≠M2) ,直线 M1M2 恒过一个定 点,并求出这个定点的坐标。 1999 年全国高中数学联合竞赛 一. 选择题(满分 36 分,每小题 6 分) 1. 给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,?, bn =a3n? 2 +a3n? 1 +a3n,?,则数列{bn}( ) (A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 q 的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数列 2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (| x |-1) +(| y |? 1) <2 的整点(x,223 y)的个数是( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)25

3. 若(log23)? (log53) ?(log23)xx? y? (log53)? ,则 y ( ) (A)x? y ?0 (B)x+y?0 (C)x? y ?0 (D)x+y?0 4. 给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ:若平面?上的直线 a 与平面?上的直线 b 为异面直线,直线 c 是?与?的交线, 那么,c 至多与 a,b 中的一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。

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那么,( ) (A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确 5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部 比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 6. 已知点 A(1,2),过点(5,? 2) 的直线与抛物线 y=4x 交于另外两点 B,C,那么,△ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定 二. 填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 1. 已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这样 的 n 的个数是___________. 2 cos2? ? isin2? 5z? 239?. i2 已知?=arctg12,那么,复数的辐角主值是______ ___. ctgC 3. 在△ABC 中,记 BC=a,CA=b,AB=c,若 9a+9b? 19c =0,则 ctgA? ctgB = __________. 222 x2y2 ? ? 11694 . 已知点 P 在双曲线上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双 曲线的两个焦点的距离的 等差中项,那么,P 的横坐标是_____. 5. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{? 3 ,? 2 ,? 1 ,0,1,2,,3}中的 3 个不同的元素,并且该直线的 倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是__ ____. 6. 已知三棱锥 S? ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂 心,二面角 H? AB? C的平面角等于 30? , SA=2。那么三棱锥 S? ABC的体积为__________. 22xcos? ? x(1? x)? (1? x)sin? ? 恒成立,试求的取值范围. 0 三、(满分 20 分)已知当 x? [0,1] 时,不等式

5x2y2 ??1 四、(满分 20 分)给定 A(? 2,2) ,已知 B 是椭圆 2516 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+3|BF| 取最小值时,求 B 的坐标. 22a? a1n? 1 ?M 的所有等差数列 a,a,a,?.,试求 S=a 五、(满分 20 分)给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 123n+1+an+2 +?+a2n+1 的最大值. - 20 -

2000 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 15 日上午 8:00-9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| ?0},B={x| = },则

是( ) (A){2} (B){-1} (C){x|x?2} (D) 2.设 sina>0,cosa<0,且

sin >cos ,则

的取值范围是( ) (A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z (C)(2kp+

,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z 3.已知点 A 为双曲线 x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等 边三角形,则△ABC 的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p1q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次 方程 bx2-2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线

的距离中的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 6.设

,则以 w,w3,w7,w9 为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0 (C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000° )=__________. - 21 -

8.设 an 是(3- 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,?),则

)=________. 9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. 10.在椭圆

则∠ABF=_________. (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B. 若该椭圆的离心率是

, 11 .一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a ,则这个球的体积是 ________. 12.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a1b,b1c,c1d,d1a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数

的个数是_________. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设 Sn=1+2+3+?+n,n?N,求 f(n)= 的最大值. 14.若函数

在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任 意一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2、命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点; 以上三个命题中正确的有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 2 ? 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,2)上单调递增 的偶函数是 (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60° ,AC=12,BC=k 的⊿ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k=8 (B)0<k?12 (C)?12 (D)0<k? - 22 - ? ? 12? cos? 的短轴长等于 。

3 8、若复数 z,z 满足|z|=2,|z|=3,3z-2z=2-I,则 zz= 。 121212129、正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 的 棱 长 为 1 , 则 直 线 A1C1 与 BD1 的 距 离 是 。 13? 2? log1x2

10、不等式 2 的解集为 。 2y? x? x? 3x? 的值域为 2 。 11、函数 12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一场块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物。 现有 4 种不同的植物可供选择, 则有 种栽种方案。 一、 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) b? a113 、设{a}为等差数列,{b}为等比数列,且 1nn2b? a2 ,22b? a3 ,32(a1<a2), 又 n? ? ? lim(b1? b2? ? ? bn)? 2? ,试求 1 {an}的首项与公差。 x2 ? y2? 1214 、设曲线 C:a(a 为正常数)与 C:y=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 2 12 (1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; 1 (2) O 为原点,若 C 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<2 时,试求⊿OAP 的面积 的最大值(用 a 表示) 。 1 15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 (a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电 阻组装成一个如图的组件, 在组装中应如何选取电阻, 才能使该组件总电阻值最小?证明你 的结论。 2002 年全国高中数学联赛试题及参考答案 试题 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、函数 f (x)=log1/2(x-2x-3)的单调递增区间是( ) 。 (A) (-∞,-1) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3, +∞) 2、若实数 x,y 满足(x+5)+(y-12)=14,则 x+y 的最小值为( ) 。 (A)2 (B)1 (C)√3 (D)√2 3、函数 f(x)=x/1-2-x/2( ) (A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数 4、直线 x/4+y/3=1 与椭圆 x/16+y/9=1 相交于 A,B 两点,该椭圆上点 P,使得 ΔPAB 面积 等于 3,这样的点 P 共有( ) 。

- 23 - 22x222222

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 5、已知两个实数集合 A={a1,a2,?,a100}与 B={b1,b2,?,b50} ,若从 A 到 B 的映射 f 使 得 B 中每个元素都有原象,且 f(a1)?f(a2)???f(a100)则这样的映射共有( ) 。 (A)C50 100 (B)C 24899 (C)C49100 (D)C4999 2222 6、由曲线 x=4y,x=-4y,x=4,x=-4 围成的 图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1;满足 x+y?16,x+(y-2)? 224,x+(y+2)?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则( ) 。 (A)V1=(1/2)V2 (B)V1=(2/3)V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2

2 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、已知复数 Z1,Z2 满足∣Z1∣=2,∣Z2∣=3,若它们所对应向量的夹角为 60° ,则∣(Z1+ Z2)/(Z1+Z2)∣= 。 8、将二项式(√x+1/(2√x) )的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该 展开式中 x 的幂指数是整数的项共有 个。 9、如图,点 P1,P2,?,P10 分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组 (P1,Pi,Pj,Pk) (1<i<j<k?10)有 个。 10、 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)?f(x)+5, f(x+1)?f(x)+1。 若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= 。 11、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是 。 12、使不等式 sinx+acosx+a?1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围是 。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、已知点 A(0,2)和抛物线 y=x+4 上两点 B,C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取 值范围。 14、如图,有一列曲线 P0,P1,P2??,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形, Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向 外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,) 。记 Sn

为曲 - 24 - 2224n

线 Pn 所围成图形的面积。 (1) 求数列{Sn}的通项公式; (2) 求 limSn. n→∞

2003 年全国高中数学联赛 第一试

12 23. 过抛物线 y=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60?的直线.若此直线与抛物线交于 A,B 两 点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点, 则线段 PF 的长等于 15、 设二次函数 f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:(1) 当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x; 2(2) 当 x∈(0,2)时,f(x)?((x+1)/2); (3) f(x)在 R 上的最 小值为 0. 求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)?x。 2 168 (A) (B)3 (C)3 (D)83 5? ? 2? ? ? 4. 若 x? [? 12,? 3] ,则 y= tan(x+3)? tan(x+6)+cos(x+6) 的最大值是 12111112225656(A) (B) (C) (D) 94 225. 已知 x,y 都在区间(? 2,2) (B)11 (C)7 (D)5 ? 6. 在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD=3,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 3,则四 面体 ABCD 的体积等于 311 (A)2 (B)2 (C)3 (D)3 - 25 -

二、 填空题(每小题 9 分,满分 54 分) 327. 不等式|x|? 2x? 4|x|+3 <0 的解集是__________. x2y2 ? ? 1948 . 设 F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△PF1F2 的面积等于__________. 29. 已知 A={x|x? 4x+3 <0,x? R}, B={x|2 ____________. 1? x? a ?0, x2? 2(a+7)x+5 ?0,x? R} .若 A? B, 则实数 a 的取值范围是 35 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 logab=2, logcd=4,若 a? c=9, 则 b? d=________. 11 . 将 八 个 半 径 都 为 1 的 球 分 两 层 放 置 在 一 个 圆 柱 3? x? 5 已 知 2, 证 2x? 1? 2x? 3? ? 3x? 2 1z? ? bi1z? aiz? 1? ci(a,b,c?对应的不共线三点。 R) 02 设 A、B、C 分别是复数,,22. 4224z? zcost? 2zcostsint? zsint(t? R) 与? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点, 并 求出 012 证:曲线 此点。 3. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆一 试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx? bcosx? c? 0. 都成立的充要条件是 22 (A)a,b 同时为 0,且 c>0 (B)a? b? c 2222 (C)a? b? c (D)a? b? c 2、 给出下列两个命题: (1).设 a,b,c 都是复数, 如果 a2? b2? c2, 则 a2? b2? c2? 0.(2). 设 a,b,c 都是复数,如果 a2? b2? c2? 0, 则 a2? b2? c2. 那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确 3、已知数列{an}满足 3an? 1? an? 4(n? 1), 且 a1? 9, 其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式 |Sn? n? 6|? 1 125 的最小整数 n 是 - 26 -

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、已知 0? b? 1,0? a? ? 4,则下列三数:x? (sina)logbsinalogbcosalogbcosaz? (sina)y? (cosa),,的大小 关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 n? 2n? 1n? 2n? 1? ? ,? )(? ,? )(0,)(? ,? )nnnn2 (A) (B) (C) (D) ( |x? y||x? y|? ? 12b6 、在平面直角坐标系中,方程 2a(a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲 线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(? 1,1) 和(2,2), 若直线 l:x? my? m? 0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是______. 3? x? sinx? 2a? 0? ? x,y?,],a [? ? R? 4y3? sinycosy? a? 0442.已 知 且 ? 则 cos(x? 2y)=_____. 55A? {(x,y)|(x? 3)2? (y? 4)2? ()2}B? {(x,y)|(x? 4)2? (y? 5)2? ()2}2, 则点集 2, 3.已知点 集 A? B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____. sin(1? cos? )24. 设 0? ? ? ? 则的最大值是 , ______. ? 5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于? , 则 sin? =___ 6.已知 95 个数 a1,a2,a3,? ,a95, 每个都只能取+1 或? 1两个值之一,那么它们的两两之积的 和 a1a2? a1a3? ? ? a94a95 的最小值是___. 1995 年全国高中数学联赛试题 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) - 27 -

1. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前 n 项和,则 Sn 中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 2. 设复平面上单位圆) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如果 某人不 亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4. 已知方程 |x-2n|=k√x(n∈N)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围 是 ( ) (A)k>0 (B)0<k≤1/√(2n+1) (C)1/(2n+1) <k ≤1/√(2n+1) (D)以上都不是 5. logsin1cos1,logsin1tg1,logcos1sin1,logcos1tg1 的大小关系是 (A)logsin1cos1< logcos1sin1<logsin1 tg1<logcos1tg1 (B)logcos1sin1<logcos1tg1<logsin1cos1 <logsin1tg1 (C)logsin1tg1<logcos1tg1<logcos1sin1 <logsin1cos 1 (D)logcos1tg1<logsin1tg1<logsin1cos1 <logcos1sin 1 6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心, 过 O 的动平面与 PC 交于 S, 与 PA,PB 的延长线 分别交于 Q、R,则和式 1/PQ + 1/PR + 1/PS ( ) (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. 设 α、β 为一对共轭复数,若|α - β|=2 √3,且 α/β2 为实数,则|α|=____。 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为____。 3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg2 x -[lg x]-2=0 的实根个数是____。 4. 直角坐标平面上,满足不等式组 y≤3x y ≥x/3 x+y≤100 { 5. 的整点个数是____。 6. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色, 如果只有 5 种颜 色可使 用,那么不同的染色方法的总数是____。 7. 设 M={1,2,...,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x∈A 时,15x 就不属于 A,则 A 中元素的 个数最多是____。 - 28 -

1996 年全国高中数学联赛试题 【第一试】

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.把圆 x2+ (y –1 )2 =1 与椭圆 9x2 + (y + 1)2 = 9 的公共点, 用线段连接起来所得到的图形 为 (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形 2.等比数列{an}的首项 a1=1536, 公比是 q=? (A)π9 (B)π 3. 存 在 整 数 n 使 11 1. 用 πn 表 示 它 的 前 n 项 之 积 , 则 πn(n? N)最 大 的 是 212 (C)π (D)π13 p? n? n是整数的质数 p (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 14 设 x? (, 0), 以下三个数: ? 1=cos(sinx? ), ? 2=sin(cosx? ), ? 3=cos(x+1)? 的大小关系是 2 (A) ? 3 < ? 2 < ? 1 (B) ? 1 < ? 3 < ? 2 (C) ? 3 < ? 1 < ? 2 (D) ? 2 < ? 3 < ? 1 5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数 f (x) = x2 + px + q 与 g(x) = x + 区间上的最大值是 (A)4+1 在同一点取相同的最小值,那么 f (x)在该 x211512? 4 (B)4-2? 4 (C)1-2? 4 (D)以上答案都不对 422 6.高为 8 的圆台 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 13. 集合{x| –1? log110< – , x? N} 的真子集的个数是_____________________ 2x 12.复平面上非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1z2 的实部为零,z1 的辐 角主值为 ? , 则 6 z2 = ____________. 3.曲线 C 的极坐标方程是? = 1 + cos? , 点 A 的极坐标是(2, 0). 曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________. 4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体, 并且该六面体的最短棱的长为 2, 则最远的两顶点间的距离是__________. 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜 色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种. (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、 左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以 199 为半径的圆周上,整点(即横、纵坐 标皆为整数的点)的个数为_______________. 【第二试】 一、 (本题满分 25 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,?) ,数列{bn }满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1, 2,?) 。求数列{bn }的前 n 项和. - 29 -

二、 (本题满分 25 分) 求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ∈[0,π/2]恒有 (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2?1/8.

三、 (本题满分 35 分) 如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点,并 且 EG、FH 的延长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。 O1。 。O2

CEB 四、 (本题满分 35 分) 有 n(n?6)个人聚会,已知: (1)每人至少同其中? ? 个人互相认识; 2? n? ? ? ? n? (2)对于其中任意? ? 个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识。 ? 2? 2001 年全国高中数学联赛试题 第 1 试 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2.命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点。 以上三个命题中正确的有 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D) 3 个 3. 在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以 π 为周期,在(0,π/2)上单调递增的 偶函数是( ) (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4. 如果满足∠ABC=60° , AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个, 那么 k 的取值范围是( ) - 30 -

(A)k=8√3 (B)0<k?12 (C)k?12 (D)0<k?12 或 k=8√3 5. 若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+?a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+?+a1998 的 值为( ) (A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001 6. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格 之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 ( ) (A)2 枝玫瑰的价格高 (B)3 枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

7. 椭圆 ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于________. 8.若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=3/2-i,则 z1? z2=_________. 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是________. 10.不等式|1/log1/2x+2|>3/2 的解集为__________________. 11.函数 y=x+√(x2-3x+2)的值域为______________. 12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物,相 邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13 . 设 {an} 为 等 差 数 列 , {bn} 为 等 比 数 列 , 且 b1=a12, b2=a22, b3=a32(a1 < a2), 又 (b1+b2+?+bn)的极限=√2+1。 试求{an}的首项和公差。[注意:√2+1 和√(2+1)表示的数字不 相同] 14.设曲线 C1:x2/a2+y2=1(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方仅有一个公共点 P。 (1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示); (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0 <a<1/2 时,试求△OAP 的面积的最大值(用 a 表示)。 15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 的电阻组成一个如图的组件,在组装的过程 中如何选择电阻,才能使该组件的电阻值最小?证明你的结论。

2001 年全国高中数学联赛试题 【第一试】 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知 a 为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的 个数为( ) . A.1 B.2 C.4 D.不确定 - 31 -

2.命题 1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点. 命题 2:长方体中,必存在到各 条棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点. 以上三个命题 中正确的有( ) . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y=lg| sinx|中,以 π 为周期、在(0,π/2)上单调递增的偶函数是( ) . A.y=si n|x| B.y=cos|x| C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx| 4.如果满足∠ABC=60° ,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范 围是( ) . A. B.0<k?12

C.k?12 D.0<k?12 或 5.若(1+x+x2)1000 的展开式为a0+a1x+a2x2+?+a2000x2000,则a 0+a3+a6+a9+?+a1998 的值为( ) . A.3333 B.3666 C.3999 D.32001 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和 小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . A.2 枝玫瑰价 格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆 ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________. 8.若复数z1、z2满足|z1|=2,|z3|=3,3z1-2z2=(3/2)-i, 则z1? z2=______________. ? 9 .正方体ABCD-A1B1C 1 1的棱长为 1 ,则直线A1C1与BD1的距离是 ______________.

10.不等式|(1/log1/2x)+2|>3/2 的解集为______________. 11.函数 的值域为______________.

图3 - 32 -

? 12 .在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图 3) ,要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方 案. ?三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) ? 13 .设{an}为等差数列, {bn}为等比数列,且b1=a12,b2=a22, b3=a32(a1<a2=.又 试求{an}的首项与公差. x2 ? y2? 12 14.设曲线 C1:a(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m) 在 x 轴上方仅有一个公共点 P. ⑴ 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; 1 ⑵ O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<2 时,试求 ΔOAP 的面积的

最大值(用 a 表示) . 15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻 组装成一个如图的组件, 在组装中应如何选取电阻, 才能使该组件总电阻值最小?证明你的 结论.

【第二试】 一. (本题满分 50 分) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M, FD 和 AC 交于点 N. 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE; (2) OH⊥MN. - 33 -

A FDE C N BM 二. (本题满分 50 分) 设 xi? 0 (i=1,2,…,n)且? xi? 1n2i? 1 2? k? j? n? nkxkxj? 1xi? ,求 j i? 1 的最大 值与最小值. 三. (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平 行于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值. DC n

AB 一. 选择题: 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 二.填空题: - 34 -

7.233? 8. 2 73072? i13133)? [2,? ? ) . 96 10.(0,1)? (1,2)? (4,? ? )[1, 11. 12. 732 三.解答题: 13.设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得 22422a(a? 2d)? (a? d)2a? 4ad? d? 0 11111 化简得: 解 得 : d? (? 2? 2)a1 ……………………………………………………… 5分 而 ? 2? 2? ,故 0 a1<0 q? 2a2 若 d? (? 2? 2)a1 ,则 a12 2a2? (2? 1)2 ? (2? 1)2 若 d? (? 2? 2)a1 ,则 但 n? ? ? q? a12 ……………………………… 10 分 2q? (2? 1) 存在,故| q |<1,于 是不可能. lim(b1? b2? ? ? bn)? 2? 1 a12 21? (? 1) 从而? 2? 1? a12? (22? 2)(2? 1)? 2 所以 a1? ? 2,d? (? 2? 2)a1? 22? 2 ……………………………… 分 20 ? x22? 2? y? 1? a? y2? 2(x? m)? .解: 14 (1)由 2222 消去 y 得:x? 2ax? 2am? a? 0 ① 2222f(x)? x? 2ax? 2am? a 设,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只需讨论以下三种情况: a2? 1m? 2 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合; 1° △=0 得: 2° f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 3° f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适合. 22 f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a,由于-a-2a<-a,从而 m≠-a. - 35 -

a2? 1m? 2或-a<m≤a; 综上可知,当 0<a<1 时, 当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………… 10 分 1ayp2 (2)△OAP 的面积 S? 1 22? a? aa? 1? 2m <a, 2 ∵0<a<,故-a<m≤a 时,0< 由唯一性得 xp? ? a2? aa2? 1? 2m ? yp? 2a? a2a2 取值最大,此时,x2p 显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp>0, 从而 yp= 2S? aa? a ∴. 1a2? 12S? a? am? 22 时,xp=-a2,yp=? a ,此时 2 当. 1a? a2 下面比较 aa? a与 2 的大小: 2

令 aa? a2? 11a? a2a? 23 ,得 111a? a2Smax? a? a222 故当 0<a≤3 时,aa? a≤2 ,此时. 111aa? a2? a? a2? a? 2S? aa? amax232 当时, ,此时.……… 20 分 15.解:设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、 R2 是 a1、a2 的任意排列时,RFG 最小 ……………………………………… 5 分 证明如下: 111? ? 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则 RR1R2.故交换二电阻的位置, 不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. - 36 -

2.设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB RAB? RR? R1R3? R2R3R1R2 ? R3? 12 R1? R2R1? R2 显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最 小的—个. 111 ? ? RCDRABR4 ? 3.设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD 若记 S1? S2? 1? i? j? 4 R1R2? R1R3? R1R4? R2R3? R2R4 R1

R2R4? R1R3R4? R2R3R4 ? RR i j , RCD? S2? R1R2R3S1? R3R4 1? i? j? k? 4

? RiRjRk ,则 S1、S2 为定值,于是 只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<Rl,即 得总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………… 15 分 4° 对于图 3 把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3° 必需使 R6<R5;且由 1° 应使 RCE 最小.由 2° 知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3° ,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20 分 2001 年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准 一.证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC 1 又∠OBC=2(180° -∠BOC)=90° -∠BAC ∴OB⊥DF. (2)∵CF⊥MA ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ① ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ④ ∵OC⊥DE - 37 -

∴ CM 2 - CD 2 = OM 2 - OD 2 ⑤ …………………………………… 30 分 ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 MO 2-MH 2=NO 2-NH 2 ∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50 分 另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系, 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),则 y? ? kAC? ? aa,kAB? ? cb ∴直线 AC 的方程为 ac(x? c)y? (x? b)ca ,直线 BE 的 方程为 c? y? (x? b)? ? a? a2c? bc2ac2? abc? y? ? a(x? c),22? c? c2)a2? 由 得 E 点坐 标为 E(a? c a2b? b2cab2? abc,22a2? b2) 同理可得 F(a? b 直线 AC 的垂直平分线方程为 y? acc? (x? )2a2 b? c 2 直线 BC 的垂直平分线方程为 x? acc? y? ? (x? )? ? 2a2? b? cbc? a2? x? b? c,? 22a) 由? 得 O(2 bc? a2 bc? a2? ? b? cac? ab? b2ab2? abcab? ac? 2? 22ab? bca? bckOB,kDF ∵kOBkDF? ? 1 ∴OB⊥DF 同理可证 OC⊥DE. - 38 -

bcc? y? (x? b)a 在直线 BE 的方程中令 x=0 得 H(0,a)

kOH ∴bc? a2bc? a2? 3bc? ? b? cab? ac2 y? ab? acx2a? bc 直线 DF 的方程为 ab? ac? y? x2? ? a? bc? a2c? bc2abc? ac2? y? ? a(x? c),2222? c?由 得 N (a? 2bc? ca? 2bc? c) a2b? b2cabc? ab2 ,2222 同理可得 M (a? 2bc? ba? 2bc? b) kMNa(b2? c2)(a 2? bc)ab? ac? ? ? (c? b)(a2? bc)(a2? 3bc)a2? 3bc ∴ ∵kOH ? kMN =-1,∴OH⊥MN. ( 二.解:先求最小值,因为 n? x)? ? 2ii? 1i? 1nnxi2? 21? k? j? n? kxkxj? 1? j? xi?等号成 1ni≥1 立当且 仅当存 在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i ∴? xi? 1i 最小值为 1. …………………………………………………………… 10 分 再 求最大值,令 xk? kyk ∴k? 1? kyn2k? 21? k? j? n? kyykj? 1 ① M? 设? x? ? k k? 1k? 1nn? y1? y2? ? ? yn? a1? y2? ? ? yn? a2? ? ? ? ? kyk? , yn? 令?an 222a? a? ? ? a? 1 …………………………………………………… 30 分 12n 则① ? - 39 -

令 an? 1 =0,则 ? M? ? k? 1 n k(ak? ak? 1) n n k? 1ak? ? k? 1 n kak? ? k? 1 n kak? 1? ?

k? 1 kak? ? k? 1 ?( k?1 n k? k? 1)ak 由柯西不等式得: M? [ ? k? 1 n (? k? 1)]( 2 1? k? 1 n 2ak) 1 ?[ ? k? 1 n (k? k? 1)2]1 22akana12 ? ? ? ? ? ? 221(k? k? 1)(n? n? 1) 等号成立? 22a12? a2? ? ? an 2 ak ? 1? (2? )? ? ? (n? n? 1) 22 ? (k? k? 1)2 ? ak? k? k? 1[ ? k? 1

n (k? k? 1)2 ]2 1 (k=1,2,…,n) yk? ak? ak? 1? 2k? (k? 1? k? 1)[ n ?0 由于 a1≥a2≥…≥an,从而 [ ?( k? 1 k? k? 1)2] 12 ,即 xk≥0 所求最大值为 ? k? 1 n (k? k? 1)2]1 …………………………………………… 50 分 三.解:记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 ………………………………………… 10 分 事实上,不妨没 m≥n (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn+n -(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m≤k 时,结论成立(k≥1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n <k+1,从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分 法使得所得正方形边长之和恰为 m—n+n—(m-n,n)=m-(m,n),于是原矩形 ABCD 有 一种分法使得所得正方形边长之和为 rn+n-(m, n) ………………………… 20 分 (2) 关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n-(m,n) 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)=rn+n-(m,n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,…,ap - 40 -

不妨 a1≥a2≥…≥ap 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n, 则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 其边界).于是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和.

(或

所以 a1+a2+…+ap≥2m>rn+n-(m,n) 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…ap 的 正方形,由归纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n) 从而 a1+a2+…+ap≥rn+n-(m,n) 于是当 rn=k+1 时,f (m,n)≥rn+n-(m,n) 再由(1)可知 f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50 分 2001 年全国高中数学联赛试题 第 2 试 一. (本题满分 50 分) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N 。 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE (2) OH⊥MN。 二、 (本题满分 50 分) 设 xi ≥ 0 ,i∈N+ ,且 ∑1≤i≤n(xi2) + ∑1≤k≤j≤n( √(k/j)×xkxj ) = 1 。 求:∑1≤i≤n xi 的最小值 。 三. (本题满分 50 分)

- 41 -

将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平 行于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值. 2002 年全国高中数学联赛试题及解答 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数集,若A={x| =10x} ,则A∩是( ) . A. {2} B. {-1} C?. {x|x?2} D. 2.设sinα>0,cosα<0,且sin>cos,则 的取值范围是( ) . A. (2kπ+π/6,2kπ+π/3) ,k∈Z? B. (2kπ/3+π/6,2kπ/3+π/3) ,k∈Z C. (2kπ+5π/6,2kπ+π) ,k∈Z D. (2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π) ,k∈Z

3.已知点 A 为双曲线x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲 线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( ) . A./3 B.3/2 C.3 D.6 ?0} ,B={x| 4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c, q是等差数列,则一元二次方程bx2-2a - 42 -

x+c=0( ) . A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3x+4/5 的距离中的最小值 是( ) . A./170 B./ 85 C.120 D.130 6.设 ω=cos+isin,则以 ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是( ) . A.x4+x3+x2+x+1=0 ?? B.x4-x3+x2-x+1=0 ?? C.x4-x3-x2+x+1=0 ?? D.x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题〖HTK〗 (本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000° )=_______. 8.设an是(3- 则

n)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,?) ,=_______. 9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83 的公比 是______. 10.在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中,记左焦点为 - 43 -

F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 ∠ABF=______. ,则 11 .一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是 ______. 12.如果: (1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4} ; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;

(3)a是a,b,c,d中的最小值,?那么,可以组成的不同的四位数的个数是______. 三、解答题〖HTK〗 (本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设Sn=1+2+3+?+n,n∈N?,求f(n)= 的最大值. 14.若函数f(x)=-1/2x2+13/2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b] . 15.已知C0:x2+y2=1 和C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b >0) ,那么,当且仅当a,b满足什么条件时,对C1 上任意一点 P, 均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与C1 内接的平行四边形?并证明你的 结论. 参考答案或提示 一、1.D;2.D;3.C;4.A;5.B;6.B. 提示:1.易得A={2} ,B={-1,2} , 则A∩=. 2.由 2kπ+π/2<α<2kπ+π, - 44 -

得 2kπ/3+π/6<α<2kπ/3+π/3(k∈Z) . 又由sin>?cos, 得 2kπ+π/4<<2kπ+5π/4(k∈Z) . ∴α∈(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,kπ+π) (k∈Z) . 3.不妨设B点在x轴上方,则AB:y= 入x2-y2=1,得B(2, 同理可得C(2,-) . ) .故S△ABC=3. /3x+/3,代 4.由 2b=p+c,2c=q+b,得b=2p+q3,c=p+2p3.于是

从而 Δ=4a2-4bc<0,方程无实根. 5.整点(x0,y0)到直线 5x-3y+12=0 的距离为d=|25 x0-15y0+12|/5.因 25x0-15y0 是 5 的倍数,所以|25x0-15y0+12|?2,当 x0=-1、y0=-1 时等号成立.故 即为所求. 6.由 ω=cos+isin/85 知,ω,ω2,ω3,?,ω10(=1)是 1 的 10 个十次方根, 则 (x-ω) (x-ω2) (x-ω3)?(x-ω10)=x10- 1. ① 又 ω2,ω4,ω6,ω8,ω10 是 1 的 5 个五次方根,则 - 45 -

(x-ω2) (x-ω4) (x-ω6) (x-ω8) (x-ω10)=x5-1. ② ①÷ ②后,再两边同除以x-ω5(=x+1) ,得(x-ω) (x-ω3) (x-ω7) (x-ω9) =x4-x3+x2-x+1. 二、7.-π/9;8.18;9.1/3;10.90° ;11.a3;12.28. 提示:7.原式= arcsin[sin(-π/9) ]=-π/9. 8.∵an=Cn2? 3n-2, ∴3n/an=?=18( ∴原式=18 9.公比 10.由c/a=) . =?=18. ,由等比定理,得

,得c2+ac-a2=0. 又|AB|2=a2+b2,|BF|2=a2, 故|AB|2+|BF|2=?=3a2-c2. 2 而|AF|2=(a+c)=?=3a2-c2=|AB|2+|BF| 2,故∠ABF=90° . 11 .易知球心 O 为正四面体的中心, O 点与棱的中点连线成为球的半径r,则r= 12.按,故球的体积为V=?=. 中所含不同数字的个数分三类: (1)恰有 2 个不同的 - 46 -

数字时,组成=6 个数; (2)恰有 3 个不同数字时,组成 =16 个数; (3)恰有 4 个不同数字时,组成 =6 个数.故符合要求的四位数 三、13.

共有 6+16+6=24(个) . , 当且仅当n=64/n,即n=8 时,上式等号成立,故f(n)max=1/50. 14.分三种情况讨论: (1)当 0?a<b时,f(a)=2b,f(b)=2a.解得[a, b]=[1,3] . (2)当a<0<b时,f(0)=2b,f(a)=2a或f(b)=2a.解得[a,b] =[-2-,13/4] . (3)当a<b?0 时,f(a)=2a,f(b)=2b.无解. 综上, [a,b]= [1,3]或[-2-,13/4] .

15.所求条件为 1/a2+1/b2=1.证明如下: 必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心. 假设结论成立, 则对点(a,0) ,有(a,0)为顶点的棱形与C1 内接,与C0 外切. (a,0)的相对顶点 为(-a,0) ,由于菱 形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0,b)和(0,-b) .菱形 一条边的方程为x/a+y/b=1,即bx+a ,整理得 1/a2y=ab.由于菱形与C0 外切,故必有 - 47 -

+1/b2=1.必要性得证. 充分性:设 1/a2+1/b2=1,P 是C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦 PR,再过 O 作与PR垂直的弦QS,则 PQRS 为与C1 内接的菱 形.设|OP|=r1,|OQ|=r2,则点 P 的坐标为(r1cos θ,r1sinθ) ,点Q的坐标为(r2cos(θ+) ,r2sin(θ+) ) ,代入椭圆方程, 得

又在Rt△POQ中,设点 O 到 PQ 的距离为h,则

同理,点O到QR,RS,SP的距离也为 1,故菱形 PQRS 与C0 外切.充分性得证. 说明:今年高中数学联赛第 4 题由陕西省永寿县中学安振平老师 - 48 -

提供,第 6 题和第 10 题由西安市西光中学刘康宁老师提供. 2004 年全国高中数学联合竞赛试题(1 试) 第 一 试 时间:10 月 16 日 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

1、设锐角?使关于 x 的方程 x? 4xcos? ? cot? ?有重根,则 0 ?的弧度数为( ) A. 2? 6 B. 2? 122or5? 12C. ? 6or5? 12 D. ? 122 、 已 知 M? {(x,y)|x? 2y? 3},N? {(x,y)|y? mx?。若对所有 b} m? R, 均有 M? N? ? ,则 b 的取值范围是( )

A. ? ? ?

? B. ? ? ??

? C. (

D. ? ? ? ?、 3

A. [2,3) 1log1x3? 2? 0的解集为( ) 22 C. [2,4) D. (2,4] B. (2,3] ???????????? 、设 ?O 4 点在? ABC ) A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 5 3 5、设三位数 n? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆 )

A.

B.

C.

D. 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f(x)? asinax? cosax(a? 0) 在一个最小正周期长的区间

上的图像

与函数 g(x)? ________________ 。 8、设函数 f:R? R, 满足 f(0)? 1 ,且对任意 x,y? R, 都有 f(xy? 1)? f( x)f(y)? f(y)? x? ,则 2 f(x)=_____________________。 - 49 -

9、如图、正方体 ABCD? A1B1C1D1中,二面角 A? BD1? A1的度数是____________。 10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k

也是 一个正整数,则 k=____________。 11、已知数列 a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3? an? 1)(6? an)? 18, 且 a0? 3 ,则 1 的值是 ? i? oain _________________________。 12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移 动,当? MPN取最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项―过关游戏‖规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 2n,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地 静止后,向上一面的点数为出现点数。 ) 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0,),B(? 1,0),C(1,0) ,点 P 到直线 BC 的距离是 该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过? ABC的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。 15、已知? ,? 是方程 4x? 4tx? 1? 0(t? R) 的两个不等实根,函数 f(x)? (Ⅰ) 求 g(t)? maxf(x)? minf(x) ;(Ⅱ) 证明: 对于 ui? (0,2432x? t的定义域为? ? ,? ? 。 x2? 1? 2)(i? 1,2,3) ,若 sinu1? sinu2? sinu3?

1, 则 111? ? ? g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3) 二○○四年全国高中数学联合竞赛试题 参考答案及评分标准 说明: 1、评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中 间档次。 2

、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分 标准适当划分档 - 50 -

次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、解:因方程 x? 4xcos? ? cot? ?有重根,故 0 ? ? 16cos? ? 4cot? ? 0 22 ? 0? ? ? ? 2? ? ? 2,? 4cot? (2sin2? ? 1)? 得 0 sin2? ? 1 2? 6 或 2? ? 5? ? 5? ,于是? ? 。 故选 B。 或 61212 222b22、解:M? N? ? 相当于点(0,b)在椭圆 x? 2y?

3 上或它的解得 0? t? 1 。 故选 C。 4、解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OA? OC? 2OD(1) 则 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2(OB? OC)? 4OE(2) 由 ( 1 ) ( 2 ) 得 ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OA? 2OB? 3OC? 2(OD? 2OE)? , 0 ???????? 即 OD 与 OE 共 线 , ???????? 且 |OD|? 2|OE|? S? AEC3S3? 2? ,? ? ABC?, ?3 故选 C。 S? AOC2S? AOC2 5、解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a,b,c? {1,2,...,9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1,由于三位数中三个数码都相同, 所以,n1? C9? 9 。 (2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2,由于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2C9。但当大数为底时,设 a>b,必须满足

b。此时,不能构成三角形的数码是

21 - 51 -

共 20 种情况。 同 时 , 每 个 数 码 组 ( a , b ) 中 的 二 个 数 码 填 上 三 个 数 位 , 有 C3 种 情 况 。 故 n2? C3(2C9? 20)? 6(C9? 10)? 156 。 综上,

n? n1? n

2? 165 。 6、解:? AB? OB,AB? OP,? AB? PB, 又 OH? PB 2

2 2 2 ?面 PAB?面 POB,? OH? HC,OH? PA 。 C是

PA 中点,? OC? PA ?当 HO? HC 时 S? HOC 最大, 也即 VO? HPC? VP? HCO 最大。 此时,

1HO?故 HO=OP,? ? HPO? 300,? OB

? OP? tan300? ,故选 D。 2

3 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 12? 7 、解:f(x)? ax? ? 其中 ), ? ? arctan ,它的最小正周期为,由 f(x) aa 2?的图像与 g(x)的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为的长方形,故 a 8、解:?对? x,y? R, 有 f(xy? 1)? f(x)f(y)? f(y)? x? 2, ?有 f(xy? 1)? f(y)f(x)? x) f( ? y? 2 ∴f(x)f(y)? f(y)? x? 2=f(y)f(x)? f(x)? y? 2

即 f(x)? y? f(y)

? x, 令 y? 0, 得

f(x)? x? 1 。 9、解:连结 D1

C,作 CE? BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A1B 于 F,则 FE? BD1 ,连结 AE,由对称性知 AE? BD1,? ? FEA 是二面角 A? BD1? A1的平面角。 连结 AC,设 AB=1, 则 AC? AD1?

BD1? 在 Rt? ABD1中,AE? AB? AD1? , BD1- 52 B

4? 21 在? AEC 中,cos? AEC? AE? CE? AC? 2AE? AC? ? ? 2AE? CE2AE22 322222 ? ? AEC? 1200, 而? FEA 是? AEC的补角,? ? FEA? 600 。 2210、

? n,n? N, 则 k? pk? n? 0,k? p? 4n 是平方数,设*22 为 m,m? N, 则(m? 2n)(m? 2n)? p 2*2 ? p2? 1m? ? ? m? 2n? 1? 2? 是质数,且 p p? 3,? ? 解得 , ?2 2? m? 2n? p? n? p? 1 ??4 p? m2p? (p2? 1)(p? 1)2 。 (负值舍去) ? k? ? 故 , k? 244 11、解:设 bn? 111,n? 0,1,2,..., 则(3? )(6? )? 18, anbn? 1bn 即 3bn? 1? 6bn? 1? 0.? bn? 1? 2bn? ,bn? 1? 1 311? 2(bn? ) 33 故数列{bn?是公比为 2 的等比数列, 1 3 111111bn? ? 2n(b0? )? 2n(? )? ? 2n? 1? bn? (2n? 。 1?33a0333 1) nn? 1n? 211i? 11? 2(2n? 1? 1)? b? (2? 1)? ? (n? 1)? ? 2? n? 3? 。 ? ? ? i? ? 3? 2? 1i? oaii? 0i? 03? 3n 12、解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为:(x? a)? (y? 3? a)? 2(1? a) 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当? MPN 取最大值时, 22222 经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2(1? a)? (a? 3), 解得 a=1 或 a=-7。 即对应的切点分别为 P(1,0)和 P(? 7,0) ,而过点 M,N,p‘的圆的半径大于过点 M,N,P 的圆的半‘ 径,所以? MPN? ? MP‘N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标为 1。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6? 4? 2,6? 5?,因此,当 2 n? 5 时,n 次出现的 点数之和大于 - 53 - 45

2n 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关。 5分 (Ⅱ)设事件 An 为―第 n 关过关失败‖,则对立事件 An 为―第 n 关过关成功‖。 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个。 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) , n 22?过此关的概率为:P(A1)? 1? P(A1)? 1? ? 。 63

第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x? y? a当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数 之和。即有 111C1? C2? C3? 1? 2? 3? (个) 6 。 ?过此关的概率为:P(A2)? 1? P(A2)? 1? 65? 。 626 10 分 第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x? y? z? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正 整数解组数之和。即有 C2? C3? C4? C5? C6? C7? 1? 3? 6? 10? 15? 21? (个) 56 。 222222 ?过此关的概率为:P(A3)? 1? P(A3)? 1? 5620 。 ? 6327 2520100 故连过前三关的概率为:P(A1)? P(A2)? P(A3)? ? ? 。 ? 3627243 (说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来) 14、解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y? BC 的距离依次为 d1? 15 分 20 分 44(x? 1),y? ? (x? 1),y? 。点 0 P(x,y)到 AB、AC、 3311|4x? 3y? 4|,d2? |4x? 3y? 4|,d3? 。依设, |y| 55 d1d2? d32, 得 |16x2? (3y? 4)2|? 25y2 , 即 16x2? (3y? 4)2? 25y2? 0, 或 16x2? (3y? 4)2? 25y2?,化简得点 0 P 的轨迹方程为 圆 S:2x? 2y? 3y? 2? 与双曲线 0 T:8x? 17y? 12y? 8? 0 (Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S:2x? 2y? 3y? 2? 0 与双曲线 T:8x? 1 7y? 12y? 8? 0 22222222 5 分 ① ② 因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。 1 由 d1? d2? d3 ,解得 D(0,),且知它在圆 S 上。直线 L 经过 D,? ABC 的内心 D 也是适 合题设条件的点,2 且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为 - 54 y? kx? 1 2 ③ (i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y? 1平行于 x 轴,表明 L 与双曲线有不 2 同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 10 分 (ii)当 k? 0时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只 能有两种情况: 情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的斜率 k? ? 1 ,直线 L 的方程 为 x? ? (2y? 1) 。代入方程 2 ②得 y(3y? 4)? 0 ,解得 E(,)或 F(-)。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 k? ? 543354331 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 15 分 21 情况 2:直线 L 不 经过点 B 和 C(即 k? ? ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 与双曲线 T 有 2 ? 8x2? 17y2? 12y? 8? 0? 且只有一个公共点。即方程组?有且只有一组实数解,消去 y 并化简得 1? y? kx? ? 2 (8? 17k2)x2? 5kx? 25? 0 4 2 该方程有唯一实数解的充要条件是 8? 17k? 0 或(? 5k)? 4(8? 17k)22⑤

④ 25? 0 4 解方程④得 k? ?

,解方程⑤得 k? 17 1,? ? 。 2172 2 综合得直线 L 的斜率 k

的 取 值 范 围 是 有 限 集 {0,? 2 20 分 15 、 解 : ( Ⅰ ) 设 ? ? x1? x2? ? 则 , 4x1? 4tx1? 1? 0,4x2? 4tx2? 1? 0, 2? 4(x12? x2)? 4t(x1? x2)? 2? 0,? 2x1x2? t(x1? x2)? 1? 0 2 则 f(x2)? f(x1)? 2x2? t2x1? t(x2? x1)? t(x1? x2)? 2x1x2? 2? ? 2? 222x2? 1x1? 1(x2? 1)(x1? 1) 又 t(x1? x2)? 2x1x2? 2? t(x1? x2)? 2x1x2? 故 f(x)在区间? ? ,? ? 上是增函数。 1? 0? f(x2)? f(x1)? 0 2 分 5 1? ? ? ? ? t,? ? ? ? , 4 - 55 -

? g(t)? maxf(x)? minf(x)? f(? )? f(? )? (? ? ? )? t(? ? ? )? 2? ? ? 2? ? 2? 2? ? 2?

? 2? 1 5? t2? ? 22? t? 5) ? ? 216t? 252t? 16 (Ⅱ)证: 10 分

8216(2? 3)? 24cosuicosuicosui cosuig(tanui)? ? ? ? (i? 1,2,3)22216? 9cosui16? 9cosui16 ?

9cosui? 92cosui 3132? ? ? (16? 9cosui)? ? 3? 9? 3? 9)? sin2ui) 分15 i? 1i? 1g(tanui)i? 1 33 ? ? sinui? 1, 且 ui? (0,),i? 1,2,32i? 1 等号不能同时成立,

?而均值不等式与柯西不等式中,? 3? sinui? (? sinui)2? , 12i?1i? 133 ? 1111? ? ? ? 9? )? g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)3 分 20 2004 年全国高中数学联赛加试试卷

一、 (50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K。已知 BC=25,BD=20, BE=7,求 AK 的长。 解:由题设可知:? ADB? ? AEC? 90? ,? ? ADB? ? AEC , ? ADBDAB ① ???????10 分 ? ? AECEAC 又 BC=25,BD=20,BE=7,故 CD=15,CE=24. 由①可解得:AD=15,AE=18. ??????20 分 于是点 D 是 Rt? AEC 的斜边 AC 的中点,DE=15. 连接 DF,因为点 F 在以 DE 为直径的圆上,? DFE? 90? , 故点 F 为线段 AE 中点,AF=9. ??????30 分 因为 G、F、E、D 四点共圆,D、E、B、C 四点共圆, 所以? AFG? ? ADE? ? ABC ,于是 FG? BC ,延长 AH 交 BC 于 P, 故:P AKAF ② ??????????????40 分 ? APAB 又 H 为? ABC 的垂心,故 AP? BC ,BA? BC? 25,? ? ABP? ? CBE ,AP=CE=24, 于是 AK? AF? AP9? 24216 ??????????????50 分 ? ? AB2525 - 56 -

二、 (50 分)在平面直角坐标系 XOY 中,y 轴正半轴上的点列? A

n?与曲线 y?满足 OAn? OBn? x? 0? 上的点列? Bn? 1* ,直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n? N 。 n * (Ⅰ)证明 an? an? 1? 4,n? ; N (Ⅱ)证明有 n0? N ,使得对? n? n0 都有 * bbb2b3 ? ? ? ? n? n? 1? n? 2004 。

b1b2bn? 1bn (Ⅰ)证明:依题设有:An? 0, ? ? 1? 1 ,由得: ,Bb,b? 0OB? ? n? n? nn n? n ?

bn? 2bn? 2 1* ,? b? 1,n? N , n2n1? ? 1? ? 0? ? ? ? ? bn? 0? n? ? n?

又直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an 满足?

an? 0? an? ???????????????10 分 ?

2n2bn? 1? n2bn2? 0,bn? 2? 1 2 nbn ? an? ? bn1? 1? 2n2bn ?

? 1? bn? 2?

??20 分

n2bn? an? 1?, 显然,对于 11 ??0 ,有 an? an? 1? 4,n? N* bn? 1 ,n?N*,则

???????30 分 nn? 1

bn (Ⅱ)证明:设 cn? 1? cn? ? 11? n? 2? ? n?

n? 1? 2? 2

? ? ? 2n? 1? 12n? 1 ? ? ? ? 22

? n? 1? ? 22? n? 1? ?? - 57 -

? ? 2n? 1? ? n? 2? ? 2? n? 1? ? n? 0,? cn? k21,n? N* ??????40 分 n? 2* 设 Sn? c1? c2? ? ? cn,n? , N 则 当 n? 2? 2? 1k? N? *? 时, ?? ? 1111? 11? ? 11 ? ? 11Sn? ? ? ? ? k? k? ? ? ? ? ? 2? ? ? 3? ? ? k? 1? ? ? k342 ? 122? ? 2? 12? 34? ? 2? 1 ? 2? 1k? 121k? 11 。 ? 2? ? ? ? 2? ? 22232k2 4009 所以,取 n0? 2? 2 ,对? n? n0都有: ? bn? 1? ? b2? ? b3? 4009? 11? ? 1? ? ? ? 1? ? S? S? ? 2004 ? ? ? ? ? ? nn0bbb2? 1? ? 2? n? ? 故有 bbb2b3? ? ? ? n? n? 1? n? 2004 成立。 ?????????50 分 b1b2bn? 1bn 三、 (50 分)对于整数 n? 4 ,求出最小的整数 f? n? ,使得对于任意正整数 m,集合 ? m,m? 1,? ,m? n? 1? 的任一个 f? n? 元子集中,均有至少 3 个两两互素的元素。 解:当 n? 4时,对集合 M? ? m,m? 1,? ,m? n? 1? : 若 2m,则 m? 1,m? 2,m? 3 两两 互素;若 2m,则 m,m? 1,m? 2两两互素。于是 M 的所有 n 元子集中,均有至少 3 个两两 互素的元素,于是 f? n? 存在且 f? n? ? 。 n ??10 分 设 Tn? tt? n? 1, 且 2t,或 3t,则 Tn 是 集 合 ? 2,3,? ,n? 1? 的子集,且该集合中任意 3 个元素均不能两两互素,因此 f?n? ? Tn? 。 1 ?? ???? 由容斥原理知:Tn? ? ,从而必有: ? ? ? 236? ? ? ? ? ? ? n? 1? ? n? 1? ? n? 1? f? n? ? ? ? ? ? ? ? 1 ??????????20 分 ? ? ? 236? ? ? ? ? ? 因此,f? 4? ? 4,f? 5? ? 5,f? 6? ? 5,f? 7? ? 6,f? 8? ? 7,f? 。下证 9? ?f8 ? 6? ? 5 设 x1,x2,x3,x4,x5 为? m,m? 1,? ,m? 5? 中的 5 个数元素,若这 5 个数中有 3 个奇数,则 它们两两互素;若这 5 个数中有两个奇数,则必有 3 个偶数,不妨设 x1,x2,x3 为偶数,x4,x5 为奇数,当 1? i? j? 3 时,? n? 1? ? n? 1? ? n? 1? xi? xj? ? ,所以 2,4? x1,x2,x3 中至 多有一个能被 3 整除,至多有一个能被 5 整除,即至少有一个既不能 - 58 -

被 3 整除又不能被 5 整除,不妨设此数为 x3,则 x3,x4,x5 两两互素,这就是说这 5 个数 中有 3 个数是两两互素,即 f? 6? ? 。 5 ????30 分

又由? m,m? 1? ,m,? ? n? ? m,m? ? 1,m,? ? ? n? 1? , ? m? : nf? n? 1? ? f? n? ? 1 , 所 以 知 因 此 , 当 f? 4? ? 4, f? 5? ? 5,f? 6? ? 5,f? 7? ? 6,f? 8? ? 7,f? 9? ? 84? 时, n? 9 n? 1? ? ? n1? n? 1? ? ? f? n? ? ? ?。 ??1 ② ??????????????40 分 ? ? ? ? ? 3? 2? ? ? ? ? 6 假设当 n? k? k? 9? 时②式成立,那么当 n? k? 1时: ? m,m? 1,? ,m? k? ? ? m,m? 1,? ,m? k? 6? ? ? m? k? 5,? ,m? k? 5? 5? 由归纳假设知 n? 6,n? k? 5 时②式成立,故: ? k? 2? ? k? 2? ? k? 2? f? k? 1? ? f? 6? ? f? k? 5? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ③ ? ? ? ? 2? ? 3? ? 6? 由①③知,当 n? k? 1 时也成立。 综上可知, 对于任意整数 n? 4 , 都有 f? n? ? ? ? n? 1? ? n? 1? ? n? 1? ? ? ? 。? ? 1 ? ? ? ? 2? ? 3? ? 6? 2004 年全国高中数学联赛河南省预赛试卷 高中一年级 (2004 年 5 月 23 日上午 9:00---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分)本题共有六个小题,每小题后面给出了 A、B、 C、D 四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号) A. [m,n] B. [m-1,n-1] C. [f(m? 1),f(n? 1) ] D.无法确定 ?2 .设等差数列{an}满足 3a8? 5a13 ,且 a1? 0,Sn 为其前 n 项和,则 Sn(n? N) 中最大的 是( ) A. S10 B. S11 C. S20 D. S21 3.方程 log2x=3cosx 共有( )组解. A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知关于 x 的一元二次方程 x2? a 2? 1x? a? 2? 的一个根比 0 1 大,另一个根比 1 小, 则( - 59 - ? ?

) A.? 1? a? 1 C.? 2? a? 1 B.a? ? 1 或 a? 1 D.a? ? 2 或 a? 1 5.已知? ,? 为锐角,sin? ? x,cos? ? y,cos(? ? ? )? ,则 ? y 与 x 的函数关系为( ) 3 5 3 5 3B.y? ? 5 3C.y? ? 5 3D . y? ? 5A . y? ? 43x (? x? 1) 554? x2? x (0? x? 1) 543? x2? x (0? x? ) 554? x2? x (0? x? 1) 5? x2? 6 .函数 y? sinx 的定义域为 ? a,b?,值域为 ? ? 1,? ,则 b? a 的最大值是( ) 2? ? 1? ?

A. ? B. 2? C.4? 5? D. 33 二、填空题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本题要求直接把结果写在横线上. 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期为 2,则 f(-1)的值为_______________. 2. 集 M? {x|x? 2? 2,其中 n, k∈N, 且 n>k}, 集 P={x|1912?x?2004 且 x∈N}, 则集合 M∩P 中所有元素的和等于________. 3.已知 nkf(x)=1 2? 2 1 99x, 则 f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________. 4.已知 数列{an},其中 a1? 99 5.设函数 f(x)?,an? (an? 1)a1 ,则 an 为整数时最小的正整数 n 是________. x? 3 x? a若使 f(x)在(1,? ? 上为增函数,则 ) a 的取值范围为______________. (a? R) , 6.函数 f(x)? sinxsinx? xcosx的值域是______________.

三、 (本题满分 20 分) - 60 -

四、 (本题满分 20 分)

五、 (本题满分 20 分) 锐 角 △ ABC 的 外 心 为 O , 线 段 OA,BC 的 中 点 分 别 为 M 、 N? ABC? 4? OMN , ? ACB? 6? OMN .求? OMN . - 61 - ,

六、 (本题满分 20 分) 是否存在定义在实数集 R 上的函数 f(x),使得对任意 x? R ,有 f(f(x))? x且 f(f(x)? 1)? 1? x.

若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,请说明理由. 2004 年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案 高中一年级 (2004 年 5 月 23 日上午 9:00---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题、填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各题的 评阅,请严格按照本评分标准规定的档次给分,不要再增加其它中间档次. 2.如果考生的解答与本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标 准划分的评分档次,给予相应的分数. 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分.本题共有六个小题,每小题后面给出了 A、B、 C、D 四个 - 62 -

结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号) A. [m,n] B. [m-1,n-1] C. [f(m? 1),f(n? 1) ] D.无法确定 解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选 A. 2.设等差数列{an}满足 3a8? 5a13 ,且 a1? 0,Sn 为其前 n 项之和,则 Sn(n? N) 中最大的 是( ) A. S10 B. S11 C. S20 D. S21 解:设等差数列的公差为 d,由题意知 3(a1+7d)=5(a1+12d),即 d=∴an= a1+( n-1)d= a1-? 2a1, 392412a1(n -1)= a1(-n),欲使 Sn(n? N? 最大,只须 ) an?0,即 n ?393939 20.故应选 C. 3.方程 log2x=3cosx 共有( )组解. A.1 B.2 C.3 D.4 解:画出函数 y=log2x 和 y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有 3 组解.应选 C. 4.已知关于 x 的一元二次方程 x2? a2? 1x? a? 2?的一个根比 0 1 大,另一个根比 1 小, 则( ) A.? 1? a? 1 C.? 2? a? 1 2? ? 2 B. a? ? 1 或 a? 1 D. a? ? 2 或 a? 1 解:令 f(x)= x? a? 1x? a?,其图像开口向上,由题意知 2 f(1)<0,即 1? a? 1? 1? a? < 20, 整理得 a2? a? 2? ,解之得 0 ? 2? a? ,应选 1 C. 5.已知? ,? 为锐角,sin? ? x,cos? ? y,cos(? ? ? )? ,则 ? y 与 x 的函数关系为( ) 2? ? ? 2? 3 5 3 5 3B.y? ? 5

3C.y? ? 5 3D.y? ? 5A .y? ? 43x (? x? 1) 554? x2? x (0? x? 1) 543? x2? x (0? x? ) 554? x2? x (0? x? 1) 5? x2? 解 : y? cos? ? co? s(? ? ? )? ? ? ? cos? (? ? )co? s? sin? (? ? ? 34? )? sin ? ? ? x2? x5 5 - 63 -

343 ? ? x2? x? 1 , 得 x? (,1). 故应选 A. 555 ? 1? 6.函数 y? sinx的定义域为? a,b? ,值域为? ? 1,? ,则 b? a的最大值是( ) ? 2? 而 y? (0,1) ? 0? ? A. ? B. 2? 4? 5? C. D. 33 解:如右图,要使函数 y? sinx在定域为? ? 1,? ,则 b? a的最大值是 2 义域? a,b? 上,值 ?? 1? ? ? 6 ? (? 7? 4? .故应选 C. )? 63 二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分)本题要求直接写出结果. 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期 2,则 f(-1)的值为_______________. 解: f(x? 2)? f(x) 令 x? ? 1 ∴f(? 1? 2)? f(? 1). 即 f(1)? f(? 1)? ? f(1) n k ? f(? 1)? 0. 应填 0. 2. 集 M? {x|x? 2? 2,其中 n, k∈N, 且 n>k}, 集 P={x|1912?x?2004 且 x∈N}, 则集合 M∩P 中所有元素的和等于________. 解:∵2? 1024 ,211=2048,∴集合 M∩P 中所有元素必为 211-2k(其中 k∈N)的形式, 又 1912?211-2k?2004,故 44?2k?136,符合条件的 k 只能等于 6 和 7,所以集合 M∩P 中只 有两个元素,即为 211-26=1984 和 211-27=1920,其和为 1984+1920=3904.本题应填 3904. 3.已知 f(x)= 10 12? 2 x ,则 f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?

+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________. 解:利用 f(x)+f(1-x)= 2 ,可得结果为 10022.应填 10022. 2 199 4.已知数列{an},其中 a1? 99 ,an? (an? 1)a1 ,则 an 为整数时最小的正整数 n 是________. a 解:显然对任意的正整数 n,均有 an>0,由 an? (an? 1)1 两边取对数得 lgan? a1lgan? 1 , 故{lgan}是以 lga1 为首项,a1 为公比的等比数列,所以 lgan? a1 a1n? 1 11(n? 1)999999 n? 1 lga1, 得 an? a1 ? (99) ,欲使 an 为整数,必有 n-1=99k,(k 为正整数),故所求的最小的正整 数 n 是 100.应填 100.

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5.设函数 f(x)? x? 3 x? a若使 f(x)在(1,? ? 上为增函数,则 ) a 的取值范围为______________. (a? R) , 解:设 t? t2? 3? a3? ax? ,则原函数化为 a f(t)?,因为 f(x)在(1,? ? 上为增函数,所 ) ? t? tt 以 f(t)在(? a,? ?上为增函数 ) .当 3? a? 0 即 a? ? 3 时显然符合;当 3? a? 0 时,因为 f(t) 在(? a,? ?上为增函数,所以 ) 3? a? ?,即 a ? 3? a? ?,综上可知所求 1 a 的取值范围为 (? ? ,? 1]. 应填(? ? ,? 1]. 6 . 函 数 f(x)? sinxsinx? xcosx 的 值 域 是 ______________. 解 : 由 函 数 f(x)? sinxsinx? cosxcosx , 当 x 的终边落在第一象限时,f(x)? sinx? cosx? 1; 当 x 的终边落在第二象限时,f(x)? sinx? cosx? ? cos2x? (? 1,1); 当 x 的终边落在第三象限时,f(x)? ? sinx? cosx? ? 1; 当 x 的终边落在第四象限时,f(x)? ? sinx? cosx? cos2x? (? 1,1); 当 x 的终边落在两个坐标轴上时,f(x)? ? 1或 1; 综上所述 f(x)的值域是 [-1,1] .应填[-1,1]. 三、 (本题满分 20 分)

2222222222 解:∵条件可化为 an? an? 1? 6an? 6an? 1? ,配方,得 7 (an? 3)2? (an? 1? 3)2? . 7---------10 分 ?∴(an? 3)? (a1? 3)? 7(n? 1)? 7n?

3, 22 四、 (本题满分 20 分)

- 65 -

五、 (本题满分 20 分) 锐角△ ABC 的外心为 O ,线段 OA,BC 的中点分别为 M 、 N , ? ABC? 4? OMN , ? ACB? 6? OMN .求? OMN . 解:设? OMN? ? ,则? ABC? 4? ,? ACB? 6? ,

? BAC? 180? ? (? ABC? ? ACB)? 180? ? 10? ---5 分 1 又 ? NOC? ? BOC? ? BAC? 180? ? 10? 2 ? MOC? ? AOC? 2? ABC? 8? 从 而 ? MON? 8? ? 80 (1 ? ? 10? )? 180? ? 2? ----------10 分 ? ONM? 180? ? (? MON? ? OMN)? 180? ? (180? ? 2? ? ? )? ? ? ? OMN

即? OMN 为等腰三角形,ON? OM? 11OA? OC -------15 分 22 ∵? ONC? 90? ,∴? NOC? 60? , 又∵? NOC? 180? ? 10? ,∴? OMN? ? ? 12? ---------------20 分 六、 (本题满分 20 分) 是否存在定义在实数集 R 上的函数 f(x),使得对任意 x? R ,有 f(f(x))? x且 f(f(x)? 1)? 1? x 若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,说明理由. 解:这样的函数不存在.--------------------------5 分 下面用反证法证明: 若存在 f(x)使得(1) 、 (2)均成立.先证 f(x)是一一映射. 对于任意的 a,b? R,若 f(a)? f(b),由( 1 )有 a? f(f(a))? f(f(b))? ,即 b f(x) 是一一映 射.-------------------10 分 - 66 -

将 x? 0代入(1) ,则有 f(f(0))? 0 --------------- (3) 将 x?1 代入(2) ,得 f(f(1)? 1)? 0 ----------------------(4) 由(3) 、 (4)得:f(f(0))? f(f(1)? 1) ----------------------------------15 分 因为 f(x)是一一映射, 所以 f(0)? f(1)? 1 ---------------------(5) 同 理 , 分 别 将 x? 1 与 x? 0 代 入 ( 1 ) 、 (2) , 得 f(f(1))? f(f(0)? 1) 所 以 f(1)? f(0)? 1 ------------------------------------------(6) 将(5)与(6)相加得 0=2,矛盾.--------------------------------------20 分 2004 年全国高中数学联赛模拟试卷 试题 第一试 一、选择题(满分 36 分,每小题 6 分

)

- 67 -

二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分

) 三、解答题(满分 60 分,每小题 20 分)

加试题

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答案或提示 第一试

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加试题答案 - 73 -

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2004 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1 . 设 锐 角 ? 使 关 于 x 的 方 程 x2+4xcos? +cos? =0 有 重 根 , 则 ? 的 弧 度 数 为 ( ) ? ? 5? ? 5? ? . A B. C或 D. 6121261212

2. 已知 M={(x, y)|x2+2y2=3}, N={(x, y)|y=mx+b}. 若对于所有的 m∈R, 均有 M∩N? ? , 则 b 的 取 值 范 围 是 ( ) A.[-66662232323 B.(-,) C.(-, D.[- 22223333 - 75 -

13.不等式 log2x-1+1 x3+2>0 的解集为 22 A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] →→→→4.设点 O 在? ABC的 ) 35 A.2 B. C.3 D. 23 5.设三位数 n=? ? ? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这 样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 6.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆 ) 525626 A. B. C. D 3333 二.填空题(本 题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间 上的图像与函数 g(x)= a+1 的图像所围成的封闭图形的面积是 8.设函数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则 f(x)= 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1—A1 的度数 是 ; D1 10.设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k-pk 也是一个正整数,则 k= 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3, 1 则∑ ; ai=0inC1A11ABC 12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ; 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.一项―过关游戏‖规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数的和 大于 2n,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少? 414.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0, ,B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的距离是该 3 点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过? ABC 的内心(设为 D),且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围. 2x-t15.已知?,?是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)=的定义域为

[?,? ] . x+1 ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 11136? ⑵ 证 明 : 对 于 ui ∈ (0 , i=1 , 2 , 3) , 若 sinu1+sinu2+sinu3=1 , 则 + 2g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4 - 76 -

二试题 一.(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的 高 BD 相交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长. 二.(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中,y 轴正半轴上的点列 1{An}与曲线 y=2x(x?0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=AnBn 在 x 轴 n 上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n∈N*. ⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*; b2b3bnbn+1⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有?+n-2004. b1b2bn-1bn 三.(本题满分 50 分)对于整数 n?4,求出最小的整数 f(n),使得对于任何正整数 m,集合 {m, m+1, ?, m+n-1}的任一个 f(n)元子集中, 均至少有 3 个两两互素的元素. AGKFBCDH - 77 -

2004 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1 . 设 锐 角 ? 使 关 于 x 的 方 程 x2+4xcos? +cot? =0 有 重 根 , 则 ? 的 弧 度 数 为 ( ) ? ? 5? ? 5? ? . A B. C或 D. 6121261212 1 解:由方程有重根,故=4cos2?-cot? =0 , 4 ? ? 5? ∵ 0<? <? 2sin2? =1 ,? ? =B . 21212 2. 已知 M={(x, y)|x2+2y2=3}, N={(x, y)|y=mx+b}. 若对于所有的 m∈R, 均有 M∩N? ? , 则 b 的 取 值 范 围 是 ( ) A.[-66662232323 B.(-,) C.(-, D.[- 22223333 ]. 选 A.22 解: 点(0, b)在椭圆 B. (2, 3] C. [2, 4) D. (2, 4] 3 解:令 log2x=t?1 时,t-1>t-2.t∈[1,2),? x ∈[2,4),选 C. 2 →→→→4.设点 O 在? ABC的 ) 35 A.2 B. C.3 D. 23 解:如图,设? AOC=S ,则? OC1D=3S ,? OB1D=? OB1C1=3S , ? AOB=? OBD=1.5S .? OBC=0.5S ,? ? ABC=3S .选 C. 1 5.设三位数 n=? ? ? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个

解:⑴等边三角形共 9 个; ⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为 a,b),有 36 种取法,以小数为底时总能 构成等腰三角形,而以大数为底时,b<a<2b.a=9 或 8 时,b=4,3,2,1,(8 种);a=7, 6 时,b=3,2,1(6 种);a=5,4 时,b=2,1(4 种);a=3,2 时,b=1(2 种),共有 20 种不能 取的值. 共有 236-20=52 种方法, 而每取一组数, 可有 3 种方法构成三位数, 故共有 523=156 个三位数 即可取 156+9=165 种数.选 C. 6 .顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, A 是底面圆周上的点, B 是底面圆 ( ) A.525626 B. C. D 3333 解:AB⊥OB,? PB ⊥AB,? AB ⊥面 POB,?面 PAB⊥面 POB. OH⊥PB,? OH ⊥面 PAB,? OH ⊥HC,OH⊥PC,

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又,PC⊥OC,? PC ⊥面 OCH.? PC 是三棱锥 P-OCH 的高.PC=OC=2. 而? OCH 的 面积在 OH=HC=2 时取得最大值(斜边=2 的直角三角形). 26 当 OH=2 时,由 PO=22,知∠OPB=30?,OB=POtan30? = 31 又解:连线如图,由 C 为 PA 中点,故 VO-PBC=VB-AOP, 2PHPO2 而 VO-PHC∶VO-PBC==(PO2=PH· PB). PBPB 记 PO=OA=22=R,∠AOB=?,则 111 VP—AOB=3sin? cos? =R3sin2? ,VB-PCO=3sin2?. 61224 PO2R212sin2? 13 .? VO -PHC=? R . =PBR+Rcos? 1+cos? 3+cos2? 3+cos2? 12 2cos2? (3+cos2? - ) (-2sin2? )sin2? sin2? 13 ∴ 令 y=,y? ==0 ,得 cos2? = -? cos? = , 333+cos2? (3+cos2? )2 6 ∴ OB=D. 3 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间 上的图像与函数 g(x)= a+1 的图像所围成的封闭图形的面积是 2? 2? 解:f(x)= a+1sin(ax+? ) ,周期=,取长为 2a+1 的矩形,由对称性知,面积之半即为所 aa2?求.故填 a+1.

a ACBP 又解: ∫ ? 1a+12pa+1[1 -sin(ax+? )]dx=a+1 . (1-sint)dt=aa? 00 ? 8.设函数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则 f(x)= 解:令 x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,? f(1)=2 . 令 y=1,得 f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即 f(x+1)=2f(x)-x.① 又 , f(yx+1)=f(y)f(x) - f(x) - y+2 , 令 y=1 代 入 , 得 f(x+1)=2f(x) - f(x) - 1+2 , 即 f(x+1)=f(x)+1.② 比较①、②得,f(x)=x+1. D19.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 二面角 A-BD1—A1 的度数是 ; A 1 C1 解 : 设 AB=1 , 作 A1M ⊥ BD1 , AN ⊥ BD1 , 则 BN? BD1=AB2 , ? BN=D1M=NM=6? A1M=AN= . 3 3. 3 A M 1 CB 22121 ∴ AA12=A1M2+MN2+NA2-2A1M? NAcos?,? 12=+ -2? cos? ,? cos? = . 33332? ? =60? . 10.设 p 是给定的奇质数,正整数 kk-pk 也是一个正整数,则 k= ; p22p21 解:设 k-pk=n,则(k-)-n=,? (2k -p+2n)(2k-p-2n)=p2,? k=(p+1)2 . 244 - 79 -

1 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则∑的值 是 ; aii=0 n+1 211122n12-111 解:=?令 bn=b0=,bn=2bn-1,? bn=2 .即=? ∑(2n+2 -n-3). an+1an3an333an3a3i=0i n 1 n 12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动,当

∠MPN 取最大 值时,点 P 的横坐标为 ; 解:当∠MPN 最大时,⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 x 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠MP? N更大).于是,延长 NM 交 x 轴于 K(-3,0),有 KM? KN=KP2,? KP=4 .P(1,0),(-7,0), 但(1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点 P 的横坐标=1.

三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.一项―过关游戏‖规则规定:在第 n 关要抛 掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少? 解:⑴ 设他能过 n 关,则第 n 关掷 n 次,至多得 6n 点, 由 6n>2n,知,n?4.即最多 能过 4 关. ⑵ 要求他第一关时掷 1 次的点数>2,第二关时掷 2 次的点数和>4,第三关时掷 3 次的点数和>8. 42 第一关过关的概率==; 63 第二关过关的基本事件有 62 种,不能过关的基本事件有为不等式 x+y?4 的正整数解的个 数,有 C4 个 (亦 65 可枚举计数:1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计 6 种,过关的概率=1 -; 66 第三关的基本事件有 63 种,不能过关的基本事件为方程 x+y+z?8 的正整数解的总数,可 连写 8 个 1,5672038? 7? 6 从 8 个空档中选 3 个空档的方法为 C8=56 种,不能过关的概率==,能过关的概率=; 627273? 2? 1 2520100 ∴连过三关的概率=? ? = . 3627243 4 14.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0, ,B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的 距离是该 3 点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过? ABC的 ① -14BC 方程:y=0, ② AC 方程:4x+3y-4=0, ③ ∴ 25|y|2=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|, ? 25y2+16x2 -(3y-4)2=0,? 16x2+16y2+24y -16=0, ? 2x2+2y2+3y -2=0. 或 25y2-16x2+(3y-4)2=0,? 16x2 -34y2+24y-16=0, ? 8x2 -17y2+12y-8=0.

- 80 2

∴ 所求轨迹为圆:2x2+2y2+3y-2=0, ④ 或双曲线:8x2-17y2+12y-8=0. ⑤ 但应去掉点(-1,0)与(1,0). 11⑵ ? ABC的 ⑥ 22 (a) 直线 x=0 与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点; 1151(b) k=0 时, 直线 y=与圆④切于点(0, , 与双曲线⑤交于(± 2, ), 即 k=0 满足要求. 2282 1(c) k=± 1 个公共点,与双曲线⑤也至多有 1 个公共点,故舍去. 2 125(c) k? 0时, k?时, 直线⑥与圆有 2 个公共点, 以⑥代入⑤得: (8-17k2)x2-5kx-0.24 2342 当 8-17k2=0 或(5k)2-25(8-17k2)=0,即得 k=± 与 k=± . 172 2342∴ 所求 k 值的取值范围为{0,± ,± }. 172 15.已知?,?是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)= ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 11136? ⑵ 证 明 : 对 于 ui ∈ (0 , i=1 , 2 , 3) , 若 sinu1+sinu2+sinu3=1 , 则 + 2g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4 1 解:⑴ ? +? =t ,? ? = -? <0 ,? >0 .当 x1,x2∈[?,? ] 时, 4 2(x2+1)-2x(2x-t)-2(x2-xt)+2∴ f ? (x)= x ∈[?, ?] 时, x2-xt<0, 于是 f ? (x)>0 , 即 f(x)在[?,(x+1)(x+1)2x-t 的定义域为[?,? ] . x+1 ?] 上单调增. 2? - t2? - t(2? - t)(? 2+1)- (2? - t)(? 2+1)(?- ? )[t(? +?- ) 2? ? +2] ∴ g(t)= = ? +1? +1(? +1)(? +1)? ? +? +? +1 5t+1(t2+28t2+5) == 16t+25225t+168secu(2sec2u+3)16+24cos2u166 ⑵ g(tanu)= = ? 16secu+916cosu+9cosu16+9cosu ∴ 11111 ? ? 3+9(cos2u1+cos2 u2+cos2u3)]= [75 - 9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)] g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)166166 1sinu+sinu+sinu2 而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)?(),即 9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)?3. 33 ∴ 111136+?-3)= g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)1664 - 81 -

二试题 一. (本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H, 以 DE 为直径的圆分别交 AB、 AC 于 F、 G 两点, FG 与 AH 相交于点 K, 已知 BC=25, BD=20, BE=7,求 AK 的长. 解:∵ BC=25,BD=20,BE=7, C∴ CE=24,CD=15. 6 ∵ AC· BD=CE· AB,? AC=AB , ①

5∵ BD⊥AC,CE⊥AB,? B 、E、D、C 共圆, 66 ? AC(AC -15)=AB(AB-7),? AB( -15)=AB(AB-18), 55∴ AB=25,AC=30.? AE=18 ,AD=15. 1 ∴ DE=AC=15. 2 延长 AH 交 BC 于 P, 则 AP⊥BC. ∴ AP· BC=AC· BD, ? AP=24 . 连 DF, 则 DF⊥AB, 1 ∵ AE=DE,DF⊥AB.? AF=9 . 2 ∵ D、E、F、G 共圆,?∠AFG=∠ADE=∠ABC,? ? AFG ∽? ABC , ∴ 二. (本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中, y 轴正半轴上的点列{An}与曲线 2x(x?0) 上的点列 1 {Bn}满足|OAn|=|OBn|=,直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n∈N*. n ⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*; bbbb⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有?+n-2004. b1b2bn-1bn11 解:⑴ 点 An(0, ,Bn(bn,2bn)?由|OAn|=|OBn|,? bn2+2bn=(2 ,? bn= nn1n ∴ 0<bn<bn 递减,? n2bn=n(n+1 -n)= = 2nn+1+n 11 .?令 tn=2 且 tn 单调减. 2nbn 1 1+()2-1(bn>0). n AKAF9? 24216= ,? AK= APAB2525 A F 1815 2425 P 7 B 121+(+1n ∴ 0<nbn< bn2bn 由截距式方程知,1,(1-2n2bn=n2bn2) an1 n bb(1+n2b)1+n2b1212121 ∴ an===()+2()=tn2+2tn=(tn+2-?(2+)2-. nbn22221-n2bn1-2nbnnbnnbn 且由于 tn 单调 减,知 an 单调减,即 an>an+1>4 成立.

11 亦可由=bn+2.=bn+2,得 an=bn+2+2bn+2, . nbnnbn∴ 由 bn 递减知 an 递减,且 an>0+2+2? 2=4 . - 82 -

b⑵ 即证∑(1-)>2004. bkk=1 1+(2-k1+()2k+11+()2+1k 1+(2+k1+()2k+1nbbk - bk+11 - =bkbk1+()2 - 1k11=k2(()2 - ()2)kk+11+(2+1k2k+12k+111 ?> ? (k+1)2(k+1)2k+221+()k b1111111111∴∑(1-∑++)+?+>++?. bkk=1k+2345678222k=1 b 只要 n 足够大,就有∑(1-成立. bkk=1 三.(本题满分 50 分)对于整数 n?4,求出最小的整数 f(n),使得对于任何正整数 m,集合 {m,m+1,?,m+n-1}的任一个 f(n)元子集中,均至少有 3 个两两互素的元素. 解:⑴ 当 n?4 时,对集合 M(m,n)={m,m+1,?,m+n-1}, 当 m 为奇数时,m,m+1,m+2 互质,当 m 为偶数时,m+1,m+2,m+3 互质.即 M 的 子 集 M 中 存 在 3 个 两 两 互 质 的 元 素 , 故 f(n) 存 在 且 f(n) ? n. ① 取集合 Tn={t|2|t 或 3|t,t?n+1},则 T 为 M(2,n)={2,3,?,n+1}的一个子集,且其中任 3 个数无不能两两互质.故 f(n)?card(T)+1. n+1n+1n+1n+1n+1n+1 但 card(T)=[-[].故 f(n)?[]+[]-[. ② 236236 由①与②得,f(4)=4,f(5)=5.5?f(6)?6,6?f(7)?7,7?f(8)?8,8?f(9)?9. 现计算 f(6),取 M={m,m+1,?,m+5},若取其中任意 5 个数,当这 5 个数中有 3 个奇 数时,这 3 个奇数互质;当这 3 个数中有 3 个偶数 k,k+2,k+4(k? 0(mod 2)) 时,其中至多 有 1 个被 5 整除,必有 1 个被 3 整除,故至少有 1 个不能被 3 与 5 整除,此数与另两个奇数 两两互质.故 f(6)=5. 而 M(m, n+1)=M(m, n)∪{m+n}, 故 f(n+1)?f(n)+1. ③ ∴ f(7)=6,f(8)=7,f(9)=8. n+1n+1n+1∴ 对于 4?n?9,f(n)= []+[]-[成立. ④ 236 设对于 n?k,④成立,当 n=k+1 时,由于 M(m,k+1)=M(m,k-5)∪{m+k-5,m+k-4,?,m+k}. 在{m+k-5,m+k-4,?,m+k}中,能被 2 或 3 整除的数恰有 4 个,即使这 4 个数全部取 出,只要在前面的 M(m,k-5)中取出 f(n)个数就必有 3 个两两互质的数.于是 当 n?4 时,f(n+6)?f(n)+4=f(n)+f(6)-1. k+2k+2k+2 故 f(k+1)?f(k-5)+f(6)-1=[]+[]-[]+1, 236 比较②, 知对于 n=k+1, 命题成立. n+1n+1n+1∴对于任意 n∈N*,n?4,f(n)= [-[]+1 成立. 236 又可分段写出结果: - 83 - nnn 4k+1,(n=6k, k∈N*), 4k+2,(n=6k+1,k∈N*), 4k+3,(n=6k+2,k∈N*),f(n)= 4k+4,(n=6k+4,k∈N*),

4k+4,(n=6k+3,k∈N*),

4k+5,(n=6k+5,k∈N*). 【第一试】 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 21、设锐角 q 使关于 x 的方程 x? 4xcos? ? cot? ?有重根,则 0 q 的弧度数为 ? 5? ? 5? ? 或或 ? A.6 B。1212 C。612 D。12 答:[ ] 2、已知 M=? (x,y)|x2? 2y2? , 3 N=? (x,y)|y? mx? b? ,若对于所有的 m? R ,均有? M? N? ? 则 , b 的取值范围是 A.[? 6622232,? ,? ,? ,22] 。 B (22)C。 (33) D。[33] 答:[ ] 1log2x? 1? log1x3? 222 3、不等式>0 的解集是 A.[2,3] B。 (2,3) C。[2,4] D。 (2,4) 答:[ ] 4、设 O 点在△ABC B。2 C。3 D。3 答:[ ] 5、设三位数 n? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个 等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有 A.45 个 B。81 个 C。165 个 D。216 个 答:[ ] 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆 B。3 C。3 D。3 答:[ ] - 84 -

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f(x)? asinax? cosax(a? 0) 在一个最小正周期长的区间 2g(x)? a? 1的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。 上的图像与函数 8、设函数 f:R? R, 满足 f(0)? 1 ,且对任意的 x,y? R ,都有 f(xy? 1)= f(x)f(y)? f(y)? x? ,则 2 f(x)? ________________ 。 9、 如图, 正方体 ABCD? A1B1C1D1中, 二面角 A? BD1? A1的度数是______________。 k2? pkpk 10 、设是给定的奇质数,正整数使得也 是一个正整数,则 k=________________。 11、已知数列 a0,a1,a2,...,an...,满足关系式 1? (3? an? 1)(6? an)? 18a0? 且,则 3 i? 0ai的值是______。 n 12、在平面直角坐标系 xoy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动, 当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标是___________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项―过关游戏‖规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 2,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地 静止后,向上一面的点数为出现点数。 ) 4

14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0,3) ,B(-1,0) ,C(1,0) 。点 P 到 n 直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中顶。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过△ABC 的 15、已知?、?是方程 4x? 4tx? 1? ( 0 t? R )的两个不 等实根,函数 f(x)? - 85 2x? t x2? 1的定义域为[?,? ] 。 (Ⅰ)求 g(t)? maxf(x)? minf(x); ui? (0,)2(i? 1,2,3) ,若 sinu1? sinu2? sinu3? ,则 1 1113? ? ? 6g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4 。 ? 【第二试】 一、 (本题满分 50 分) 在锐角△ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相 交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点, FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长。 二、 (本题满分 50 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列? An? 与曲线 y? 2x (x?0)上的点列 ? Bn? 满足 n? N? 。 OAn? OBn? 1n ,直线 AnBn 在 X 轴上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn, (Ⅰ)证明? anan? 1>>4 ,n? N 。 bnbn?1b2b3? ? ...? ? n0? N? ? n? n0bn? 1bn<n?。 2004 (Ⅱ)证明有,使得 对都有 b1b2 三、 (本题满分 50 分) 对于整数 n?4, 求出最小的整数 f(n), 使得对于任何正整数 m, 集合 ? m,m? 1,...,m? n? 1? 的任一个 f(n)元子集中,均有至少 3 个两两互素的元素。 - 86 -

(Ⅱ)证明:对于

第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)参考答案 221、解:因方程 x? 4xcos? ? cot? ?有重根,故 0 ? ? 16cos? ? 4cot? ? 0 ? 0? ? ?? 2,? 4cot? (2sin2? ? 1)? 0得 sin2? ? 1 2 ? 2? ? ?

6 或 2? ? 5? ? 5? ?或 ?6,于是 1212。 故选 B。 222、解:M? N? ? 相当于点(0,b)在椭圆 x? 2y? 3上或它的 331logx? ? ? 02222? logx? 1?、 03 故选 A。

解:原不等式等价于? 2

? 321? t? t? ? 0? 则有 t, ? 22? ? t? 设 0 解得 0? t? 1 。 即 0? log2x? 1? 1,? 2? x? 。4 故选 C。 4、解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OA? OC? 2OD(1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 2(OB? OC)? 4OE(2) 由(1) (2)得, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OA? 2OB? 3OC? 2(OD? , 2OE)? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?与 OD OE 即共线, - 87 -

? ? ? ? ? ? ? ? |OD|? 2|OE| ? 且 S? AEC3S3? 2 ? ,? ? ABC? ? 3S? AOC2S? AOC2 , 故选 C。 5、解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a,b,c? {1,2,...,9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1,由于三位数中三个数码都相同, 所以, 1 n1? C9? 9 。 (2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2,由于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 当大数为底时,设 a>b,必须满足 b? a? 2b 。此时,不能构成三角形的数码是

共 20 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有故 6、解:? AB? OB,AB? OP,? AB? PB, 又 OH? PB n2? C32(2C92? 20)? 6(C92? 10)? 156 2C92 。但

C32 种情况。 。 。 综上, n? n1? n2? 165 ?面 PAB?面 POB,? OH? HC,OH? PA 。C 是 PA 中点,? OC? PA ?当 HO? HC 时 S? HOC 最大, 也即 VO? HPC? VP? HCO 最大。 此时, 1 HO?故 HO=OP,? ? HPO? 300 2 ? OB? OP? tan 300? 3, 故选 D。 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) - 88 -

12?

f(x)? ax? ? 其中 ), ? ? aa7 、

解: ,它的最小正周期为 2?

由 f(x)的图像与 g(x)的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为 a、宽为

8、解:?对? x,y? R, 有 f(xy? 1)? f(x)f(y)? f(y)? x? 2, ?有 f(xy? 1)? f(y)f(x)? f(x)? y? 2 ? f( x)f(y)? f(y)? x? 2=f(y)f(x)? f(x)? y?即 2 f(x)? y? f(y)? x, 令 y? 0, 得 f(x)? x? 1 。 9、解:连结性知 D1C,作 CE? BD1 A1B FE? BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A? BD1? A1 于 F,则,连结 AE,由对称 AE? BD1,? ? FEA 是二面角 的平面角。 连结 AC,设 AB=1,

则 AC? AD1? BD1? AB? AD1 AE? ? 在

Rt?ABD1BD1 中, , ?2 AE? CE? AC2AE? AC1? AEC 中,cos? AEC? ? ? ? ? 42AE? CE2AE2

23 在 2 2 2

2 2 B ? ? AEC? 1200, 而? FEA 是? AEC的补角,? ? FEA? 600 。 ? n,n? N, 则 k? pk? n? 0,k? 22 p? 4n10 、 ,从而是平方数, * 2 2 2*2 m,m? N, 则(m? 2n)(m? 2n)? p 设为 - 89 -

?p 2? 1m? ? ? m? 2n? 1? 2? 是质数,且 p p? 3,? ? 解得 , ? 22? m? 2n? p? n? p? 1 ??4 p? m2p? (p2? 1)(p? 1)2 ? k? ?故 , k? 244 。 (负值舍去) bn? 111,n? 0,1,2,..., 则(3? )(6? )? 18,anbn? 1bn 11 、解:设 1113bn? 1? 6bn? 1? 0.? bn? 1? 2bn? ,bn? 1? ? 2(bn? )333 即 1{bn? 3是公比为 2 的等比数列, 故数列 bn? n111111? 2n(b0? )? 2n(? )? ? 2n? ?1 bn? (2n? 1? 1)33a0333 。 nn? 1n? 211i? 11? 2(2n? 1? 1)? b? (2? 1)? ? (n? 1)? ? ? i? 2? 1? ? 3? 2? n? 3? a33 i? oii? 0i? 0? ? 。 12、解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 222S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为:(x? a)? (y? 3? a)? 2(1? a) 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当? MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须 满足 2(1? a2)? (a? 3)2, 解得 a=1 或 a=-7。 ?P(1,0)和 P(? 7,0) ,而过点 M,N,p‘的圆的半径大于过点 M,N,P 的 即对应的切点 分别为 圆的半径,所以? MPN? ? MP‘N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标为 1。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 456? 4? 2,6? 5? (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 2 6,而,因此,当 n? 5时,n 次出现的 点数 之和大于 2 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关。 .......5 分 - 90 - n

(Ⅱ)设事件 An 为―第 n 关过关失败‖,则对立事件 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个。 nAn 为―第 n 关过关成功‖。 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) , P(A1)? 1? P(A1)? 1? 22? 。 63 ?过此关的概率为: 第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x? y? a当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数 之和。即有 111C1? C2? C3? 1? 2? 3? (个) 6 。 65? 266。 ........10 分 ? 过 此 关 的 概 率 为 : P(A2)? 1? P(A2)? 1? 第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x? y? z? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正 整 数 解 组 数 之 和 。 即 有 2222C2? C32? C4? C52? C6? C7? 1? 3? 6? 10? 15? 21? 56 (个) 。 ?过此关的概率为:P(A3)? 1? P(A3 )? 1? 5620? 3627 。 .........15 分 2520100P(A1)? P(A2)? P(A3)? ? ? ? 3627243 。 ........20 分 故连过前三关的概率为: (说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来) 44y? (x? 1),y? ? (x? 1),y? 03314 、解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为。点 P(x,y) 到 11d1? |4x? 3y? 4|,d2? |4x? 3y? 4|,d3? |y|55AB 、AC、BC 的距离依次为。依设, d1d2? d32, 得 |16x2? (3y? 4)2|? 25y222216x2? (3y? 4)2? 25y2? 0, , 即 16x? (3y? 4)? 25y? 或 0, 化简得点 P 的轨迹方程为 22222x? 2y? 3y? 2? 与双曲线 0 T:8x? 17y? 12y? 8? 0 ......5 分 圆 S: (Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 222x? 2y? 3y? 2? 0 ① 圆 S: 228x? 17y? 12y? 8? 0 ② 与双曲线 T: 因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。 - 91 -

1D(0,)d? d? d23 ,解得? ABC 的 ③ y? 1 2 平行于 x 轴,表明 L 与(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k? 0时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只 能有两种情况: 情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的斜率 k? ? 1 2,直线 L 的方程为 x? ? (2y? 1) 。代 5454E(,)或 F(-)33。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E;入方程②得 y(3y? 4)? 0 , 解得 33 直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 k? ? 1 2 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......15 分

k? ? 1 2) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 与 情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 ? 8x2? 17y2? 12y? 8? 0? ? 1y? kx?双曲线 ? 2 T 有且只有一个公共点。即方程组?有 且只有一组实数解,消去 y(8? 17k2)x2? 5kx? 25? 04 并化简得 2 该方程有唯一实数解的充要条件是 8? 17k? 0 ④ 或(? 5k)2? 4(8? 17k2)25? 04 ⑤

解方程④得 k? ?

k? ? 2 。 17,解方程⑤得 1{0,? ,? ,? 2172 。 ......20 分 综合得直线 L 的斜率 k

的取值范围是有限集 - 92 -

2? ? x1? x2? ? 则 , 4x12? 4tx1? 1? 0,4x2? 4tx2? 1? 0,15 、 解 :( Ⅰ ) 设 2? 4(x12? x2)? 4t(x1? x2)? 2? 0,? 2x1x2? t(x1? x2)? 1? 02 f(x2)? f(x1)? 则 2x2? t2x1? t(x2? x1)? t(x1? x2)? 2x1x2? 2? ? 2? 22x2? 1x1? 1(x2? 1)(x12? 1) 1? 0? f(x2)? f(x1)? 02 又 t(x1? x2)? 2x1x2? 2? t(x1? x2)? 2x1x2? ? ? ,? ? 上是增函数。 .......5 分 故 f(x)在区间 1? ? ? ? ? t,? ? ? ? ,4 ? g(t)? maxf(x)? minf(x)? f(? )? f(? )? (? ? ? )? t(? ? ? )? 2? ? ? 2? ? 2? 2? ? 2?

? 2? 1 5? t2? ? 22? t? 5)? ? 22516t? 252t? 16 (Ⅱ)证: 8216(2? 3)? 24cosuicosuicosuicosuig(tanui)? ? 21 616?

......10 分

9cosui? ? (i? 1,2,3)? 9iicos2ui

3132? ? ? (16? 9cosui)? ? 3? 9? 3? 9)? sin2ui)i? 1i? 1g(tanui)i? 分 1....15 33 ? ? sinui? 1, 且 ui? (0,),i? 1,2,32i? 1? ? 3? sinui? (? sinui)2? 12i? 1i? , 而均值不等 133 式与柯西不等式中,等号不能同时成立,

? - 93 - 1111? ? ? ? 9? )? g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)3 ......20 分

2005 年高中数学联赛第 13 题的背景及解法讨论 广东深圳市育才中学 王 扬

探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作, 它即可挖掘知识之间的纵横联 系,又可以培养学生发现问题、解决问题的能力,同时可激发学生学习数学的兴趣,还可以 揭示命题人的思维方法, 为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的模式, 让他们也能享受 到做科学研究的乐趣,使他们以后在科学研究的道路上走的更好些,更远些。 下面我们对 2005 年的一道全国高中数学联赛 13 题的解法及来历作以探讨, 供感兴趣的读 者参考。 一.题目。2005 年全国高中数学联赛 13 题为: 数列? an? 满足: a0? 1,an? 1? ( 121) 对任意 n∈N, an 为整数。 (2) (7an? 45an? 36),n? N, 证明:2 对任意 n∈N,an+1an-1 为一个完全平方数。 二.先看本题的解法。 (1) 一般有三种解法。 解法一:递推并利用根与系数关系。 对原递推式移项,再两边平方整理便得 an? 1? 7an ? 1an? an? 9? 0 ① 再递推得 an? 7anan? 1? an? 1? 9? 0 改换一种叙述方式得 an? 1? 7an? 1an? an? 9? 0 ② 可以看出,an? 1,an? 1 为下面关于 x 的一元二次方程:x? 7xan? an? 9? 0 的两个 根,所以 22222222 an? 1? an? 1 ? 7an , 即 an? 1 ? 7an-an-1 ③ 据 a0? 1及原递推式知 a1? 5 ,再结合数学归纳法知对于任意 n? N ,an 都是整数。 解法二:递推并分解因式。 对原递推式移项,再两边平方整理便得 an? 1? 7an? 1an? an? 9? 0 再递推得 an? 7anan? 1? an? 1? 9? 0 ,这两式作差并分解因式,得 2222 (an? 1? an? 1)(an? 1? an? 1? 7an)? 0 ④ 但据原递推式 an? 1? 以下同解法一 。 解法三:解方程法 对原递推式移项,再两边平方整理便得 an? 1? 7an? 1an? an? 9? 0 再递推得 an? 7anan? 1? an? 1? 9? 0 ,视为 an-1 的方程,求出 an-1 得到

22227an? an? an? ,∴ 1 由(4)知 an? 1? an? 1? 7an? , 02 - 94 an? 1? 12(7an? 45an? 36), (an-1< an 由条件知求根公式取负号) ⑤ 2 联立原递推式与⑤,知 an? 1? an? 1 ? 7an ,??。 (2) 有两种方法。 解法一:由(1)的解法一的①知 7an? 1an? an? 1? an? 9 再配方得 9(an? 1an? 1)? (an? 1? an),即 an? 1an? 1? (222an? 1? an2) ⑥ 3 据(1)的结论知: 对任意 n? N ,an 都是整数,所以 ⑥的左端为整数,从而右端也是 整数,即 3│(an+1+an), 即 an? 1an? 1是一个完全平方数。 解法二:由①知对于任意 n∈N,有 1? an? 1an? (an? 1? an2 ,所以递推得 ) 3 an? 1? an2 )3 a? a n? 12? anan? 1? (n)3 a1? a02? ? ? ? ? a1a0? ()3 1? 52? 5? ()31? na ? 1an? ( 这表明 an+1an-1 为一个完全平方数。 说明: 找到数列相邻几项的递推式是解决第一小题的关键, 而配方是完成第二小题的根本, 值得我们记取。 三.本题的背景探索 1. (第 9 届全俄中学生数学竞赛题之一)已知 2x0? 1,xn? 1? 5xn? 24xn? 1(n? 0,1,2,....) ,证明:对一切自然数 n,xn 均为整数。 2. (英国 2001 年数学奥林匹克(第二轮) )证明:数列 y0? 1,yn? 1? 12(3yn? 5yn? 41)(n? 0,1,2,....) (n?0)是整数数列。 2 3.(第 19 届巴尔干地区数学奥林匹克)已知数列: a1? 20,a2? 30,an? 2? 3an? 1? an,n? 求所有正整数 1, n, 使得 1+5anan+1 为一个完全平方 数。 4. (2002 年,罗马尼亚为 IMO 和巴尔干地区数学奥林匹克选拔考试供题(第一轮) )设数 列? an? (n? 0) 如下定义: a0? a1? 1,an? 1? 14an? an? 1(n? , 1) 证明: 对所有的正整数 n, 2an? 1是完全平方数。 本题可以看做是今年这道竞赛题经过转化得到递推式后的情形。反过来,今年的这道竞赛 题便可以看作是上述题 2、3 的合成(串联) 。 5.(26 届 IMO 备选题) - 95 -

设 a0? 20,an? 1? (k? 1)an? k(an? 1)? 2k(k? 1)(an? 1),n? (n∈ 1 N,k∈N) ,证明对于一 切自然数 n,an 均为整数。 四.几个类似题 1. (22 届 IMO 侯选题)已知数列? an? 满足 x1? 1, 且 xn? 1? 1(1? 4xn? ? 24xn) (n?1),求数列{xn}的通项公式。 16 22an? 1? 3an? 1? 9,a0? 1,a1? 所确定的数列各项都是整数。 5 2.试证由 an? 2an? 2 3.设 a1? a2? a3? 1, an? 2? 1? an? 1an(n?, 2) 求证: 对于任意的 n? N,an均为整数。an? 1 以上几道题目都可以用前面解竞赛题的方法求解,供感兴趣的读者练习。 2005 年全国高中数学联赛

报 名 通 知 各县(市)教研室: 市本级各有关学校: 接省数学会通知,2005 年全国高中数学联赛定于 10 月份进行。从 2005 年起,因浙江省举 办全国高中数学联赛预赛, 只有取得决赛资格的学生才能参加全国联赛加试, 并由省数学会 确定集中竞赛地点。嘉兴市考点只设全国联赛一试考试。现将具体事项通知如下: 1.竞赛时间 高中数学联赛一试:2005 年 10 月 16 日(星期日)8:00—9:40 (高中数学联赛加试:2005 年 10 月 16 日(星期日)10:00—12:00) 2.命题范围与竞赛办法 全国高中数学联赛一试的命题范围,完全按照全日制中学《数学教学大纲》 (02 年版)中 所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其 中概率和微积分初步不考。试题包括 6 道选择题,6 道 - 96 -

填空题和 3 道解答题,全卷 150 分. (―全国高中数学联赛加试‖命题范围以现行《高中数学竞赛大纲》为准,试卷包括 3 道解 答题,其中一道是平面几何题,全卷 150 分. ) 3.设奖办法 2005 年团体成绩与个人一等奖成绩根据考生一、 二试成绩总和划定。 只参加全国联赛一试 的考生可以获全国二等奖和浙江省一、二等奖以及嘉兴市一、二等奖。 4.报名办法 所有准备参加全国联赛的学生均需向所在学校报名。 各学校报名工作在 5 月 20 日前完成, 并将参赛人数电话上报所在县(市)教研室,数字要确切,不要事后更动,请同时收取报名 费,收费标准:10 元/人。各县(市)教研室于 5 月 25 日前将参赛人数报嘉兴市数学会。 嘉 兴 市 数 学 会 2005 年 5 月 11 日 2005 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间:2005 年 9 月 11 日上午 8:00~10:30 一、选择题:每题 6 分,满分 36 分 1、设函数 f(x)的定义域为 R,且对任意实数 x? (? ? ?, ,)f(tanx)? sin2x ,则 f(2sinx)的最 大值为 22 ( )A 0 B 21 C D 1 22 2a? an? 1? 2an,n? 2,3,? ,a1? 1,a9? 则7, a5 的值为( ) 2、实数列{an}定义为 an? n an? 1? 1 A 3 B -4 C 3 或-4 D 8 3、正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 是△ABC ) 22 - 97 -

A 1 B 57 C D 2312 4、数列 x1,x2,? ,x100 满足如下条件:对于 k? 1,2,? 100,xk比其余 99 个数的和小 k,已知 x50? n是互质的正整数,则 m+n 等于( ) A 50 B 100 C 165 D 173 5、若 sinx? siny? m ,m,n26,则 sin(x? y) 等于( ) ,cosx? cosy? 22 A 236 B C D 1 222 x2y2 6、P 为椭圆? ? 1在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x2? y2? 9的两条切线 PA、PB,切 点分别为 169 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S? MON的最小值为( ) A 927279 B D C 3 2442 222222 二 、 填 空 题 : 每 小 题 9 分 , 满 分 54 分 7 、 实 数 x,y,z 满 足 x? 2y? 7,y? 4z? ? 7,z? 6x? ? 14, 则 x? y? z =. 8、设 S 是集合{1,2,?,15}的一个非空子集,若正整数 n 满足:n? S,n? S? ,则称 S n 是子集 S 的模范数,这里|S|表示集合 S 中元素的个数。对集合{1,2,?,15}的所有非 空子集 S,模范数的个数之和为 . 1? x? 1 ,当(1? x)5(1? x)(1? 2x)2 取得最大值时,x=2 f(x)f(y)? f(xy)10 、 函数 f(x)满足: 对任意实数 x,y, 都有? x? y? , 2 则 f(36)? . 3 11、正四面体 ABCD 的体积为 1,O 为为其中心. 正四面体 A? B? C? D? 与正四面体 ABCD 关于点 O 对称, 则 9、 对于这两个正四面体的公共部分的体积为 . 12、在双曲线 xy=1 上,横坐标为 nn? 1的点为 An,横坐标为的点为 Bn(n? N? ). 记坐标 为(1,1)n? 1n 的点为 M,Pn(xn,yn)是三角形 AnBnM 的外 心,则 x1? x2? ? ? x100? 三、解答题:每小题 20 分,满分 60 分 13、如图,已知三角形 ABC 的内心为 I,AC≠ BC,内切圆与边 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,S? CI? EF,连结 CD 与内切圆的另 一个交点为 M,过 M 的切线交 AB 的延长线于 点 G.求证: (1)? CDI ∽? DSI ; (2)GS? CI

14、设 a,b,c 是正整数,关于 x 的一元二次方程 ax? bx? c? 0 的两实数根的绝对值均小于 21,求 a? b? c3 的最小值. 15、设集合 A 和 B 都是由正整数组成的集合,|A|=10,|B|=9,并且集合 A 满足如下条 件:若 x,y,u,v? A,x? y? u?,则 v {x,y}? {u,v}. 令 A? B? {a? b|a? A,b? B} 求证:|A+B|?50. (|X|表示集合 X 的元素个数) 2005 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案 1 、 D 由 f(tanx)? 当 sinx? 2tanx2x4sinx , 知 , 所 以 f(x)? f(2sinx)? ? 1 , 1? tan2x1? x21? 4sin2x1 时,等号成立.故 f(2sinx)的最大值为 1. 2

22bn? bn? 1bn2? ? 1,? bn? bn? 1bn? ,2 1 、 A 设 bn? an? 1 , 则 bn? 1? 1? bn? 1bn? 1 故 b5? b1b9? 16,b5? , 4(-4 舍去)所以 a5? 3. 2 3、D 点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和就是△ABC 的高,即为 又 VABCD? VE? DAB? VE? DBC? VE? DCA , 即 3 , 故 x? , 221111S? ABCh? S? DABy1? S? DBCy2? S? DCAy3 , 3333 6, 3 这里的 h 是正四面体的高,y1,y2,y3 点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离,于是 h? 16161722y1? y2? y3? ,所以 y ? ? ? ?, y y?,于是 x? y? 34334312 4、D 设 S? x1? x2? ? ? x100 ,则 xk? S? xk? k,k? 2xk? ,对 S k 求和得 (1? 2? ? ? 100)? 2S? 100S ,所以 S? 2525S? 5075 ,于是 x50?,故 m+n=173 ? 49298 5、B 把两个式子分别平方相加得 cos(x? y)? 0 把两个式子相乘得(sinxcosy? sinycosx)? (sinxcosx? sinycosy)? 3 2 所以 sin(x? y)? sin(x? y)cos(x? y)? 6、C 设 P(4cos? ,3sin? ),? ? (0, 故 OM? 33


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