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物理竞赛电学讲义



静电场
一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律:[内容]条件:⑴点电荷,⑵真空,⑶点电荷静止或相对静止。事实上,条件 ⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制, 因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般 带电体,非真空介质可以通过介电常数将 k 进行修正(如果介质分布是均匀和“充分宽广” 的,一般认为 k′= k /ε r)。只有条件⑶,它才是静电学的基本前提和出发点(

但这一点又 是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的)。 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义(使用高斯定理) 电场的概念;试探电荷(检验电荷);定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段; 电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性)。 b、不同电场中场强的计算:决定电场强弱的因素有两个,场源(带电量和带电体的形状)和 空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出—— ⑴点电荷:E = k
Q r2

结合点电荷的场强和叠加原理,我们可

以求出任何电场的场强 ⑵均匀带电环,垂直环面轴线上的某点 P:E = 中 r 和 R 的意义见图。 ⑶均匀带电球壳 内部:E 内 = 0 外部:E 外 = k
Q ,其中 r 指考察点到球心的距离 r2

kQr (r ? R 2 )
2 3 2

,其

如果球壳是有厚度的的(内径 R1 、外径 R2),在壳体中(R1<r<R2): E =
3 4 r 3 ? R1 ?? k ,其中 ρ 为电荷体密度。这个式子的物理意义可 2 3 r

以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解 〔 ? ?(r 3 ? R 3 ) 即为图中虚线以内部分的总电量〕 。 ⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为 λ ):E =
2 k? r 4 3

⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为 σ ):E = 2π kσ 二、电势 1、电势:把一电荷从 P 点移到参考点 P0 时电场力所做的功 W 与该电荷电量 q 的比值, 即U=
W 参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样,电势是属于场本 q

身的物理量。W 则为电荷的电势能。 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点,U = k b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点,U 外 = k
Q r

Q Q ,U 内 = k r R

3、电势的叠加:由于电势的是标量,所以电势的叠加服从代数加法。很显然,有了点电荷

电势的表达式和叠加原理,我们可以求出任何电场的电势分布。 4、电场力对电荷做功 WAB = q(UA - UB)= qUAB 三、静电场中的导体 静电感应→静电平衡(狭义和广义)→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义 a、导体内部的合场强 为零;表面的合场强 不为零且一般各处不等,表面的合场强 方向总是 ... ... ... 垂直导体表面。 b、导体是等势体,表面是等势面。 c、导体内部没有净电荷;孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽 导体壳(网罩)不接地时,可以实现外部对内部的屏蔽,但不能实现内部对外部的屏蔽;导体 壳(网罩)接地后,既可实现外部对内部的屏蔽,也可实现内部对外部的屏蔽。 四、电容 1、电容器:孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式 C =
Q U

b、决定式。决定电容器电容的因素是:导体的形状和位置

关系、绝缘介质的种类,所以不同电容器有不同的电容—— (1)平行板电容器 C= ε =
1 ),ε 4?k?
r

? rS ?S = ,其中 ε 4?kd d

为绝对介电常数(真空中 ε 0=

1 ,其它介质中 4 ?k

则为相对介电常数,ε r=
? r R1R 2 k (R 2 ? R1 )

? ?0

(2)球形电容器:C=

3、电容器的连接 a、串联

1 1 1 1 1 = + + + ? + C C1 C 2 C3 Cn

b、并联 C = C1 + C2 + C3 + ? + Cn

4、电容器的能量 用图表征电容器的充电过程,“搬运”电荷做功 W 就是图中阴影的面
2 积,这也就是电容器的储能 E= q0U0= C U0 =

1 2

1 2

2 1 q0 2 C

电场的能量:电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场?正确 答案是后者,因此,我们可以将电容器的能量用场强 E 表示。对平行 板电容器 E 总 = 电场储能 w =
Sd 2 E 认为电场能均匀分布在电场中,则单位体积的 8 ?k

1 2 E 。而且,这以结论适用于非匀强电场。 8 ?k

五、电介质的极化 重要模型与专题 一、场强和电场力 【物理情形 1】试证明:均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面,电荷的面密度为 σ ,试求球心处的电场强度。

〖思考〗如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷,面密度仍为 σ ,那么,球 心处的场强又是多少?

【物理情形 2】有一个均匀的带电球体,球心在 O 点,半径为 R ,电荷体密度为 ρ ,球体 内有一个球形空腔,空腔球心在 O′点,半径为 R′, OO? = a ,试求空腔中各点的场强。

二、电势、电量与电场力的功 【物理情形 1】 如图所示, 半径为 R 的圆环均匀带电, 电荷线密度为 λ , 圆心在 O 点,过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点, PO = r ,以无穷远 为参考点,试求 P 点的电势 UP 。

〖思考〗将环换成半径为 R 的薄球壳,总电量仍为 Q ,试问:(1)当电量均匀分布时,球心 电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少?(2)当电量不均匀分布时,球心电势为多 少?球内(包括表面)各点电势为多少?

【相关应用】 如图所示, 球形导体空腔内、 外壁的半径分别为 R1 和 R2 , 带有净电量+q ,现在其内部距球心为 r 的地方放一个电量为+Q 的点 电荷,试求球心处的电势。

〖练习〗如图所示,两个极薄的同心导体球壳 A 和 B,半径分别为 RA 和 RB ,现让 A 壳接地,而在 B 壳的外部距球心 d 的地方放一个 电量为+q 的点电荷。试求:(1)A 球壳的感应电荷量;(2)外球壳 的电势。

【物理情形 2】图中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘 细棒, 每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全 相同。点 A 是 Δ abc 的中心,点 B 则与 A 相对 bc 棒对称,且 已测得它们的电势分别为 UA 和 UB 。试问: 若将 ab 棒取走, A、 B 两点的电势将变为多少?

〖练习〗电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面半径为 R ,CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线,如图所示。P、Q 为 CD 轴线 上相对 O 点对称的两点,已知 P 点的电势为 UP ,试求 Q 点的电 势 UQ 。

【物理情形 3】如图所示,A、B 两点相距 2L ,圆弧 OCD 是以 B 为圆心、L 为半径的半圆。 A 处放有电量为 q 的电荷,B 处放有电量为-q 的点电荷。试问:(1)将单位正电荷从 O 点沿 ? OCD 移到 D 点,电场力对它做了多少功?(2)将单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到无穷远处去,电场力对它做多少功?

?

【相关应用】在不计重力空间,有 A、B 两个带电小球,电量分别为 q1 和 q2 ,质量分别为 m1 和 m2 ,被固定在相距 L 的两点。试问:(1)若解除 A 球的固定,它能获得的最大动能是多 少?(2)若同时解除两球的固定, 它们各自的获得的最大动能是多少?(3)未解除固定时, 这 个系统的静电势能是多少?

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为 q1 、q2 和 q3 ,两两相距为 r12 、r23 和 r31 ,则这个点 电荷系统的静电势能是多少?

〖反馈应用〗如图所示,三个带同种电荷的相同金属小球,每个球的 质量均为 m 、电量均为 q ,用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着,系统 放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断,三个球将开 始运动起来,试求中间这个小球的最大速度。

三、电场中的导体和电介质 【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B,面积都是 S ,间距为 d(d 远小于金属 板的线度),已知 A 板带净电量+Q1 ,B 板带尽电量+Q2 ,且 Q2<Q1 ,试求:(1)两板内外表 面的电量分别是多少;(2)空间各处的场强;(3)两板间的电势差。

【模型变换】如图所示,一平行板电容器,极板面积为 S ,其上半部为真 空,而下半部充满相对介电常数为 ε r 的均匀电介质,当两极板分别带上+Q 和?Q 的电量后,试求:(1)板上自由电荷的分布;(2)两板之间的场强;(3) 介质表面的极化电荷。

〖思考应用〗一个带电量为 Q 的金属小球,周围充满相对介电常数为 ε r 的均匀电介质,试 求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

四、电容器的相关计算 【物理情形 1】由许多个电容为 C 的电容器组成一个如图所示的多级网络,试问:(1)在最 后一级的右边并联一个多大电容 C′,可使整个网络 的 A、B 两端电容也为 C′?(2)不接 C′,但无限地增 加网络的级数,整个网络 A、B 两端的总电容是多少?

【物理情形 2】如图所示的电路中,三个电容器完全相同,电源电 动势 ε 1 = 3.0V ,ε 2 = 4.5V,开关 K1 和 K2 接通前电容器均未带电, 试求 K1 和 K2 接通后三个电容器的电压 Uao 、Ubo 和 Uco 各为多少。

【练习】 1. 把两个相同的电量为 q 的点电荷固定在相距 l 的地 方,在二者中间放上第三个质量为 m 的电量亦为 q 的点 电荷,现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动,证

明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期 T.

2. 均匀带电球壳半径为 R,带正电,电量为 Q,若在球面上划出很小一块,它所带电量为 q.试求球壳的其余部分对它的作用力.

3. 一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环,其中心电势为 U0.将此环 靠近半径为 b 的接地的球,只有环中心 O 位于球面上,如图.试求球 上感应电荷的电量 .

4. 半径分别为 R1 和 R2 的两个同心半球相对放置,如图所示,两个 半球面均匀带电,电荷密度分别为 σ1 和 σ2,试求大的半球面所对应 底面圆直径 AOB 上电势的分布

5. 如图,电场线从正电荷+q1 出发,与正点电荷及负点 电荷的连线成 α 角,则该电场线进入负点电荷-q2 的角度 β 是多大?

6. 如图,两个以 O 为球心的同心金属球壳都接地,半径分别是 r、R.现在离 O 为 l(r<l<R)的地方放一个点电荷 q.问两个球 壳上的感应电荷的电量各是多少?

7. 半径为 R2 的导电球壳包围半径为 R 的金属球,金属球原来具有电 势为 U,如果让球壳接地,则金属球的电势变为多少?

8. 两个电量 q 相等的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧, 且与板 的距离均为 d,两点电荷之间的距离为 2d.求在两点电荷联线的中点处电 场强度的大小与方向.

9. 在极板面积为 S,相距为 d 的平行板电容器内充满三种不同的介质, 如图所示.⑴如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同,这种介 质的介电常数应是多少?⑵如果在 ε3 和 ε1、 ε2 之间插有极薄的导体薄片, ⑴问的结果应是多少?

10. 球形电容器由半径为 r 的导体球和与它同心的球壳构成,球 壳内半径为 R,其间一半充满介电常数为 ε 的均匀介质,如图所示,求 电容.

11. 如图所示的两块无限大金属平板 A、B 均接地,现在两板之间放 入点电荷 q,使它距 A 板 r,距 B 板 R.求 A、B 两板上的感应电荷电量各 如何?

12. 如图所示的电路中,C1=4C0,C2=2C0,C3=C0, 电池电动势为,不计内阻,C0 与为已知量.先在断开 S4 的 条件下,接通 S1、S2、S3,令电池给三个电容器充电;然后 断开 S1、S2、S3,接通 S4,使电容器放电,求:放电过程中, 电阻 R 上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时, R 上的电流 .

13. 如图所示,一薄壁导体球壳(以下简称为球壳)的球心 在 O 点.球壳通过一细导线与端电压 U ? 90 V 的电池的正极相 连,电池负极接地.在球壳外 A 点有一电量为 q1 ? 10 ?10-9 C 的 点电荷, B 点有一电量为 q2 ? 16 ?10-9 C 的点电荷。 OA 之间的 距离 d1 ? 20 cm ,OB 之间的距离 d2 ? 40 cm .现设想球壳的半径从 a ? 10 cm 开始缓慢地增 大到 50 cm ,问:在此过程中的不同阶段,大地流向球壳的电量各是多少?己知静电力恒 量 k ? 9 ?109 N ? m2 ? C-2 .假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。

稳恒电流
一、欧姆定律 1、电阻定律 a、电阻定律 R = ρ
l S

b、金属的电阻率 ρ = ρ 0(1 + α t) 2、欧姆定律 a、外电路欧姆定律 U = IR ,顺着电流方向电势降落 b、含源电路欧姆定律 在如图所示的含源电路中,从 A 点到 B 点,遵照原则:①遇电阻,顺电流方向电势降落(逆 电流方向电势升高)②遇电源,正极到负极电势降落,负极到正 极电势升高(与电流方向无关),可以得到关系式:UA ? IR ? ε ? Ir = UB 这就是含源电路欧姆定律。 c、闭合电路欧姆定律 在图中,若将 A、B 两点短接,则电流方向只可能向左,含源电 路欧姆定律成为 UA + IR ? ε + Ir = UB = UA 即 ε = IR + Ir 或 I=
? 这就是闭合电路欧姆定律。值得注意的的是:①对 R?r

于复杂电路,“干路电流 I”不能做绝对的理解(任何要考察的一条路均可视为干路);②电 源的概念也是相对的,它可以是多个电源的串、并联,也可以是电源和电阻组成的系统;③ 外电阻 R 可以是多个电阻的串、并联或混联,但不能包含电源。 二、复杂电路的计算 1、戴维南定理:一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络,可以用一个电压 源和电阻串联的二端网络来等效。(事实上,也可等效为“电流源和电阻并联的的二端网 络”——这就成了诺顿定理。) 应用方法: 其等效电路的电压源的电动势等于网络的开路电压, 其串联电阻等于从端钮看进 去该网络中所有独立源为零值 时的等效电阻。 ... 2、基尔霍夫(克希科夫)定律

a、基尔霍夫第一定律:在任一时刻流入电路中某一分节点的电流强度的总和,等于从该点 流出的电流强度的总和。 例如,在上图中,针对节点 P ,有 I2 + I3 = I1 基尔霍夫第一定律也被称为“节点电流定律”,它是电荷受恒定律在电路中的具体体现。 对于基尔霍夫第一定律的理解, 近来已经拓展为: 流入电路中某一“包容块”的电流强度的 总和,等于从该“包容块”流出的电流强度的总和。 b、基尔霍夫第二定律:在电路中任取一闭合回路,并规定正的绕行方向,其中电动势的代 数和,等于各部分电阻(在交流电路中为阻抗)与电流强度乘积的代数和。 例如,在上图中,针对闭合回路① ,有 ε 3 ? ε 2 = I3 ( r3 + R2 + r2 ) ? I2R2 基尔霍夫第二定律事实上是含源部分电路欧姆定律的变体 3、Y?Δ 变换 在难以看清串、并联关系的电路中,进行“Y 型?Δ 型”的相互转换常常是必要的。在图所示的电路中 Rc = Ra =
R1R 3 R1 ? R 2 ? R 3 R 1R 2 R1 ? R 2 ? R 3 R a R b ? R bR c ? R cR a Rb

Rb =

R 2R 3 R1 ? R 2 ? R 3

Y→Δ 的变换稍稍复杂一些,但我们仍然可以得到 R1 = R2 =
Ra R b ? R bRc ? RcRa Rc

R3 =

Ra R b ? R bRc ? RcRa Ra

三、电功和电功率 1、电源:使其他形式的能量转变为电能的装置。如发电机、电池等。发电机是将机械能转 变为电能;干电池、蓄电池是将化学能转变为电能;光电池是将光能转变为电能;原子电池 是将原子核放射能转变为电能; 在电子设备中, 有时也把变换电能形式的装置, 如整流器等, 作为电源看待。 电源电动势定义为电源的开路电压,内阻则定义为没有电动势时电路通过电源所遇到的电 阻。 据此不难推出相同电源串联、 并联, 甚至不同电源串联、 并联的时的电动势和内阻的值。 例如,电动势、内阻分别为 ε 内阻 r 分别为 ε
? r ?? r = 12 21 r1 ? r2
1

、r1 和 ε

2

、r2 的电源并联,构成的新电源的电动势 ε 和

rr r = 12 r1 ? r2

2、电功、电功率:电流通过电路时,电场力对电荷作的功叫做电功 W。单位时间内电场力 所作的功叫做电功率 P 。 计算时,只有 W = UIt 和 P = UI 是完全没有条件的,对于不含源的纯电阻,电功和焦耳热 重合,电功率则和热功率重合,有 W = I Rt =
2

U2 U2 2 t和P = IR = 。 R R

对非纯电阻电路,电功和电热的关系依据能量守恒定律求解。 重要模型和专题 一、纯电阻电路的简化和等效 1、等势缩点法:将电路中电势相等的点缩为一点,是电路简化的途径 之一。至于哪些点的电势相等,则需要具体问题具体分析 【物理情形 1】在图所示的电路中,R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ,试求

A、B 两端的等效电阻 RAB 。

【物理情形 2】 在图所示的有限网络中, 每一小段导体的电阻均为 R , 试求 A、B 两点之间的等效电阻 RAB 。

3、电流注入法 【物理情形】对图所示无限网络,求 A、B 两点间的电阻 RAB 。

4、添加等效法 【物理情形】在图 8-11 甲所示无限网络中,每个电阻的阻 值均为 R ,试求 A、B 两点间的电阻 RAB 。

【综合应用】在图所示的三维无限网络中,每两个节点之间 的导体电阻均为 R ,试求 A、B 两点间的等效电阻 RAB 。

二、含源电路的简化和计算 1、戴维南定理的应用 【物理情形】在如图所示电路中,电源 ε = 1.4V,内阻不计, R1 = R4 = 2Ω ,R2 = R3 = R5 = 1Ω ,试用戴维南定理解流过电阻 R5 的电流。

用基尔霍夫定律解所示电路中 R5 的电流(所有已知条件不变)。

2、基尔霍夫定律的应用

【物理情形 1】在图所示的电路中,ε 1 = 32V,ε 2 = 24V,两 电源的内阻均不计,R1 = 5Ω ,R2 = 6Ω ,R3 = 54Ω ,求各支路 的电流。

【物理情形 2】求解图所示电路中流过 30Ω 电阻的电流。

练习: 1. 如图所示,一长为 L 的圆台形均匀导体,两底面半径分别 为 a 和 b ,电阻率为 ρ.试求它的两个底面之间的电阻.

2. 如图所示,12 个阻值都是 R 的电阻,组成一立方体框架,试求 AC 间的电阻 RAC 、AB 间的电阻 RAB 与 AG 间的电阻 RAG.

3. 如图所示的一个无限的平面方格导线网,连接两个结点的导 线的电阻为 r0,如果将 A 和 B 接入电路,求此导线网的等效电阻 RAB.

4. 有一无限大平面导体网络,它有大小相同的正六边形网眼组成,如 图所示,所有六边形每边的电阻均为 R0,求间位结点 a、b 间的等效电 阻.

5. 如图是一个无限大导体网络,它由无数个大小相同的正三角形 网眼构成,小三角形每边的电阻均为 r,求把该网络中相邻的 A、B 两点接入电路中时,AB 间的电阻 RAB.

6. 如图所示的平行板电容器极板面积为 S,板间充满两层均 匀介质,它们的厚度分别为 d1 和 d2,介电常数为 ε1 和 ε2,电 阻率分别为 ρ1 和 ρ2,当板间电压为 U 时,求⑴通过电容器的 电流;⑵电容器中的电场强度;⑶两介质交界面上自由电荷面 密度.

7. 有两个电阻 1 和 2,它们的阻值随所加电压的变化 而改变,从而它们的伏安特性即电压和电流不再成正比 关系(这种电阻称为非线性电阻) 。假设电阻 1 和电阻 2 的伏安特性图线分别如图所示。 现先将这两个电阻并联, 然后接在电动势 E=9.0V、内电阻 r0=2.0Ω 的电源上。试 利用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数 据,进而分别求出电阻 1 和电阻 2 上消耗的功率 P1 和 P2.要求: i.在题图上画出所作的图线. (只按所画图线评分,不 要求写出画图的步骤及理由) ii.从图上读下所需物理量的数据(取二位有效数字) , 分别是: iii.求出电阻 R1 消耗的功率 P1= 电阻 R2 消耗的功率 P2= ; , 。

8.

如图所示,电阻 R1 ? R2 ? 1 k? ,电动势 E ? 6 V ,两个相同的二极管 D 串联在电路中,

二极管 D 的 I D ? U D 特性曲线如图所示。试求: 1. 2. 通过二极管 D 的电流。 电阻 R1 消耗的功率。

9. 在图所示的网络中,仅知道部分支路 上电流值及其方向、某些元件参数和支路 交点的电势值(有关数值及参数已标在图 上) 。 请你利用所给的有关数值及参数求出 含有电阻 R x 的支路上的电流值 I x 及其方 向。
Rx ε 1=7V 10Ω 5Ω

I1=3A

I2=6A 10Ω 10V 7V C1=5μ F

0.2Ω ε 3=7V 5V

C2=4μ F ε 2=10V 6V 1Ω 10Ω

6V

ε 5=2V

ε 6=10V I3=2A ε 4=2V 2V

图复15 - 6

10. 如图 1 所示的电路具有把输人的交变电压变 成直流电压并加以升压、输出的功能,称为整流 倍压电路。 D1 和 D2 是理想的、点接触型二极管 (不考虑二极管的电容) ,

C1 和 C 2 是理想电容器,它们的电容都为 C,初始
时都不带电,G 点接地。现在 A、G 间接上一交 变电源,其电压 u A ,随时间 t 变化的图线如图 2 所示.试分别在图 3 和图 4 中准确地画出 D 点的 电压 u D 和 B 点的电压 u B 在 t=0 到 t=2T 时间间隔内随时间 t 变化的图线, T 为交变电压 u A 的周期。

图2

图3

图4

11. 如图所示的电路中,各电源的内阻均为 零,其中 B、C 两点与其右方由 1.0Ω 的电阻 和 2.0Ω 的电阻构成的无穷组合电路相接.求 图中 10μF 的电容器与 E 点相接的极板上的电 荷量.

10? 20V 30?

1.0?

1.0? 1.0?

1.0? ?

20?F B D 20?F 10?F 10V

2.0?

2.0?

2.0? ?

A

18? 24V

E

C

磁场
一、磁场与安培力 1、磁场 a、永磁体、电流磁场→磁现象的电本质 b、磁感强度、磁通量 c、稳恒电流的磁场:毕奥·萨伐尔定律(Biot-Savart law)对于电流强度为 I 、长度为 dI 的导体元段,在距离为 r 的点激发的“元磁感应强度”为 dB 。矢量式 d B =k
?
?

? ? ? Id l ? r ,(d l 表 3 r

示导体元段的方向沿电流的方向、r 为导体元段到考查点的方向矢量); 或用大小关系式 dB = k
Idlsin ? 7 2 结合安培定则寻求方向亦可。其中 k = 1.0×10? N/A 。应用毕萨定律再结合矢量 2 r

叠加原理,可以求解任何形状导线在任何位置激发的磁感强度。 毕萨定律应用在“无限长”直导线的结论:B = 2k
I r

毕萨定律应用在“无限长”螺线管内部的结论:B = 2π knI 。其中 n 为单位长度螺线管的 匝数。 2、安培力 ? ? ? a、对直导体,矢量式为 F = I L ? B ;或表达为大小关系式 F = BILsinθ 再结合“左手定 则”解决方向问题(θ 为 B 与 L 的夹角)。 b、弯曲导体的安培力 整体合力:折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体(电流不变)的的安培力。

二、洛仑兹力 1、概念与规律 ? ? ? ? ? a、 f =q v ? B ,或展开为 f = qvBsinθ 再结合左、右手定则确定方向(其中 θ 为 B 与 v 的夹 角)。安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现。 ? ? ? ? ? b、能量性质:由于 f 总垂直 B 与 v 确定的平面,故 f 总垂直 v ,只能起到改变速度方向的 作用。结论——洛仑兹力可对带电粒子形成冲量,却不可能做功(或洛仑兹力可使带电粒子

的动量发生改变却不能使其动能发生改变) 问题:安培力可以做功,为什么洛仑兹力不能做功?

2、仅受洛仑兹力的带电粒子运动 a、 v ⊥ B 时,匀速圆周运动,半径 r=
?
?

?

?

2?m mv ,周期 T= qB qB
m v sin ? qB

b、 v 与 B 成一般夹角 θ 时,做等螺距螺旋运动,半径 r=

,螺距 d=

2?mvcos ? qB

3、磁聚焦 a、结构:如图,K 和 G 分别为阴极和控制极,A 为阳 极加共轴限制膜片,螺线管提供匀强磁场。 b、原理:由于控制极和共轴膜片的存在,电子进磁场 的发散角极小, 即速度和磁场的夹角 θ 极小, 各粒子 做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等 ( 半径可以不 等),故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的 P 点。 4、回旋加速器 a、结构&原理(注意加速时间应忽略) b、磁场与交变电场频率的关系:因回旋周期 T 和交变电场周期 T′必相等,故 c、最大速度 vmax =
qBR = 2π Rf m

2?m 1 = f qB

典型例题解析 一、磁场与安培力的计算 【例题 1】两根无限长的平行直导线 a、b 相距 40cm, 通过电流的大小都是 3.0A,方向相反。试求位于两根 导线之间且在两导线所在平面内的、与 a 导线相距 10cm 的 P 点的磁感强度。

【例题 2】半径为 R ,通有电流 I 的圆形线圈,放在磁感强度大小为 B 、方向垂直线圈平 面的匀强磁场中,求由于安培力而引起的线圈内张力。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动 【例题 3】电子质量为 m 、电量为 q ,以初速度 v0 垂直磁场进入

磁感强度为 B 的匀强磁场中。某时刻,电子第一次通过图 9-12 所示的 P 点,θ 为已知量, 试求: (1)电子从 O 到 P 经历的时间 (2)O→P 过程洛仑兹力的冲量。

三、带电粒子在电磁复合场中的运动 一般考虑两种典型的复合情形:B 和 E 平行,B 和 E 垂直。 对于前一种情形,如果 v0 和 B(E)成 θ 角,可以将 v0 分解为 v0τ 和 v0n ,则在 n 方向粒子做 匀速圆周运动,在 τ 方向粒子做匀加速运动。所以,粒子的合运动是螺距递增(或递减)的 螺线运动。 对于后一种情形(垂直复合场), 难度较大, 必须起用动力学工具和能量(动量)工具共同求解。 一般结论是,当 v0 和 B 垂直而和 E 成一般夹角时,粒子的轨迹是摆线(的周期性衔接)。 【例题】在三维直角坐标中,沿+z 方向有磁感强度为 B 的匀强磁场,沿?z 方向有电场强度 为 E 的匀强电场。在原点 O 有一质量为 m 、电量为?q 的粒子(不计重力)以正 x 方向、大小 为 v 的初速度发射。试求粒子再过 z 轴的坐标与时间。

【例题】在相互垂直的匀强电、磁场中,E、B 值已知,一个质量为 m 、电量为+q 的带电微 粒(重力不计)无初速地释放,试定量寻求该粒子的运动规律。

电磁感应
一、楞次定律 1、定律:感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 注意点:阻碍“变化”而非阻碍原磁场本身;两个磁场的存在。 2、能量实质:发电结果总是阻碍发电过程本身——能量守恒决定了 楞次定律的必然结果。 【例题 1】在图所示的装置中,令变阻器 R 的触头向左移动,判断移 动过程中线圈的感应电流的方向。

二、法拉第电磁感应定律 1、定律:闭合线圈的感应电动势和穿过此线圈的磁通量的变 化率成正比,即 ε = N
?? ?t ?? 有瞬时变化率和平均变化率之 ?t

物理意义:N 为线圈匝数;

分,在定律中的 ε 分别对应瞬时电动势和平均电动势。 图象意义:在 υ -t 图象中,瞬 时变化率
?? 对应图线切线的斜率。 ?t

【例题】面积为 S 的圆形(或任何形)线圈绕平行环面且垂直磁场的 轴匀速转动。已知匀强磁场的磁感应强度为 B ,线圈转速为 ω ,试 求:线圈转至图所示位置的瞬时电动势和从图示位置开始转过 90° 过程的平均电动势。

2、动生电动势:磁感应强度不变而因闭合回路的整体或局部运动形成的电动势成为动生电 动势。 在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,当长为 L 的导体棒一速度 v 平动切割磁感线,且 B、L、v 两两垂直时,ε = BLv ,电势的高低由“右手定则”判断。这个结论的推导有两种途径—— ①设置辅助回路,应用法拉第电磁感应定律 ②导体内部洛仑兹力与电场力平衡。导体两端形成固定电势差后,导体内部将形成电场,且 自由电子不在移动,此时,对于不在定向移动的电子而言,洛仑兹力 f 和电场力 F 平衡,即 F=f 即 qE=qvB 而导体内部可以看成匀强电场,即
? =E 所以 ε = BLv L

当导体有转动,或 B、L、v 并不两两垂直时,我们可以分以下四种情况讨论(结论推导时建 议使用法拉第电磁感应定律)—— ①直导体平动,L⊥B ,L⊥v ,但 v 与 B 夹 α 角(如图所示),则 ε = BLvsinα ②直导体平动,v⊥B ,L⊥B ,但 v 与 L 夹 β 角(如图所示),则 ε = BLvsinβ 推论:弯曲导体平动,端点始末连线为 L ,v⊥B ,L⊥B ,但 v 与 L 夹 γ 角(如图所示), 则 ε = BLvsinγ

③直导体转动, 转轴平行 B、 垂直 L 且过导体的端点, 角速度为 ω (如图所示), 则 ε = Bω L

1 2

2

推论:直导体转动,转轴平行 B、垂直 L、但不过导体的端点(和导体一端相距 s),角速度 为 ω (如图所示),则 ε 1=BLω (s+
1 2
2

L )(轴在导体外部) 2 L ? 2s )(轴在导体内部) 2

ε 2= Bω (L -2s)=B(L-2s)ω (s +

④直导体转动, 转轴平行 B、 和 L 成一般夹角 θ 、 且过导体的端点, 角速度为 ω (如图所示), 则 ε = Bω L sin θ
1 2
2 2

推论:弯曲导体(始末端连线为 L)转动,转轴转轴平行 B、和 L 成一般夹角 θ 、且过导体的 端点,角速度为 ω (如图所示),则 ε = Bω L sin θ 统一的结论:种种事实表明,动生电动势可以这样寻求——即 ε =BLv ,而 B、L、v 应彼此 垂直的(分)量。
1 2
2 2

【例题】一根长为 L 的直导体,绕过端点的、垂直匀强磁场的转轴 匀角速转动, 而导体和转轴夹 θ 角, 已知磁感应强度 B 和导体的角 速度 ω ,试求导体在图所示瞬间的动生电动势。

一、感生电动势 造成回路磁通量改变的情形有两种:磁感应强度 B 不变回路面积 S 改变(部分导体切割磁感 线);回路面积 S 不变而磁感应强度 B 改变。对于这两种情形,法拉第电磁感应定律都能够 求出(整个回路的)感应电动势的大小(前一种情形甚至还可以从洛仑兹力的角度解释 )。但 是,在解决感应电动势的归属 问题上,法拉第电磁感应定律面临这前所未有的困难(而且洛 .. 仑兹力角度也不能解释其大小)。因此,我们还是将两种情形加以区别,前一种叫动生电动 势,后一种叫感生电动势。 感生电动势的形成通常是用麦克斯韦的涡旋电磁理论解释的。 1、概念与意义 根据麦克斯韦电磁场的理论,变化的磁场激发(涡旋)电场。涡旋电场力作用于单位电荷,使 之运动一周所做的功,叫感生电动势,即 ε


=

W涡 q

值得注意的是,这里的涡旋电场力是一种比较特殊的力,它和库仑电场力、洛仑兹力并称为 驱动电荷运动的三大作用力,但是,它和库仑电场力有重大的区别,特别是:库仑电场力可 以引入电位、电场线有始有终,而涡旋电场不能引入电位、电场线是闭合的(用数学语言讲, 前者是有源无旋场,后者是有旋无源场)。 2 、感生电动势的求法:感生电动势的严谨求法是求法拉第电磁感应定律的微分方程即
? ? ? ? ?B ? ?B ? d S = - 在一般的情形下,解这个方程有一定的难度。但是, 具有相对涡旋 E ? d l ?? ? 感 ?t S ?t L

中心的轴对称性,根据这种对称性解体则可以是问题简化。 【例题】半径为 R 的无限长螺线管,其电流随时间均匀增加时,其内部的磁感应强度也随时 间均匀增加,由于“无限长”的原因,其外部的有限空间内可以认为磁感应强度恒为零。设

内部

?B = k ,试求解管内、外部空间的感生电场。 ?t

【应用】半径为 R 螺线管内充满匀强磁场,磁感应 强度随时间的变化率
?B 已知。 求长为 L 的直导体在 ?t

图中 a、b、c 三个位置的感应电动势大小分别是多 少?

二、电势、电流、能量和电量 1、只要感应电路闭合,将会形成感应电流,进而导致能量的转化。关于感应电路的电流、 能量和电量的计算,可以借助《稳恒电流》一章中闭合电路欧姆定律的知识。但是,在处理 什么是“外电路”、什么是“内电路”的问题上,常常需要不同寻常的眼光。我们这里分两 种情形归纳:如果发电是“动生”的,内电路就是(切割)运动部分; 如果发电是“感生”的,内、外电路很难分清,需要具体问题具体分析,并适当运用等效思 想。(内电路中的电动势分布还可能不均匀。) 【例题】如图所示,均匀导体做成的半径为 R 的 Φ 形环,内套半径 为 R/2 的无限长螺线管,其内部的均匀磁场随时间正比例地增大, B=kt,试求导体环直径两端 M、N 的电势差 UMN。

【例题】在图所示的装置中,重 G = 0.50N、宽 L = 20cm 的 П 型导体置于水银槽中, 空间存在区域很窄(恰好覆盖 住导体)的、磁感应强度 B = 2.0T 的匀强磁场。现将开关 K 合上后,导体立即跳离水银槽,且跳起的最大高度 h = 2 3.2cm ,重力加速度 g = 10m/s ,忽略电源内阻。 若通电时间 t = 0.01s ,忽略导体加速过程产生的感应电 动势,求通电过程流过导体的电量;

【例题】在图所示的电路中,ε =12V,r=1.0Ω ,R1=2.0Ω ,R2=9.0Ω ,R3=15Ω ,L=2.0H。 现让 K 先与 A 接通,然后迅速拨至 B ,求自感线圈上可产生 的最大自感电动势。

练习: 1. 长直圆柱形载流导线内磁场具有轴对称性,离轴 r 处的磁感应强度 B ?

?0
2

? j ? r 。现

有半径为 a 的金属长圆柱体内挖去一半径为 b 的圆柱体,两圆柱体的轴线平行,相距 d,如 图所示.电流 I 沿轴线方向通过,且均匀分布在柱体的截面上,试求空心部分中的磁感应强 度 .

2. 在半径为 a 的细长螺线管中,均匀磁场的磁感应强度随时间均 匀增大,即 B=B0+bt.一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路 ABCDA, 上底长为 a,下底长为 2a,总电阻为 R,放置如图所示:试求:⑴ 梯形各边上的感生电动势,及整个回路中的感生电动势;⑵B、C 两 点间的电势差.

3. 两个同样的金属环半径为 R,质量为 m ,放在均匀 磁场中,磁感应强度为 B0,其方向垂直于环面,如图所 示.两环接触点 A 和 C 有良好的电接触,角 α=π/3.若 突然撤去磁场,求每个环具有的速度.构成环的这段导 线的电阻为 r,环的电感不计,在磁场消失时环的移动 忽略不计,没有摩擦 .

4. 如图所示为一“电磁枪” ,它有一轨距为 l、电阻可以忽略的水平导轨,导轨另一端与一 个电容为 C、所充电压为 U0 的电容器相连接,该装置的电感可以忽略,整个装置放入均匀 的竖直的磁感应强度为 B 的磁场中,一根无摩擦的质量为 m、电阻为 R 的导体棒垂直于轨 道放在导轨上,将开关翻转到 b,求导体棒获得 的最大速度 vmax 及这个“电磁枪”的最大效率.

5. 如图所示, Ml M2 和 M3 M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列 成的导线排横截面,两导线排相交成 120°,O O ’为其角平分线.每根细导线中都通有电 流 I ,两导线排中电流的方向相反,其中 Ml M2 中电流的方向垂直纸面向里.导线排中单 位长度上细导线的根数为 λ.图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片 的横截面, ( ab 《 bc ) ,长直半导体片与导线 排中的细导线平行,并在片中通有均匀电流 I0,电流方向垂直纸面向外.已知 ab 边与 O O ’垂直, bc =l,该半导体材料内载流子密 度为 n ,每个载流子所带电荷量的大小为 q . 求此半导体片的左右两个侧面之间的电势 差. 已 知 当 细的 无 限长 的 直导 线 中 通有 电 流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处的 磁感应强度的大小为 B ? k 常量.

I ,式中 k 为已知 r

6. 如图所示,在正方形导线回路所围的区域 A1A2A3A4 内 分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场, 磁感应强度 B 随时间以恒定的变化率增大,回路中的感应电流为 I= 1.0mA.已知 A1A2、A3A4 两边的电阻皆为零; A4A1 边的 电阻 R1=3.0kΩ,A2A3 边的电阻 R2=7.0kΩ。 1.试求 A1A2 两点间的电压 U12、A2A3 两点间的电压 U23、A3A4 两点间的电压 U34、A4A1 两点间的电压 U41 2.若一内阻可视为无限大的电压表 V 位于正方形导线 回路所在的平面内,其正负端与连线位置分别如图左、图中和图右所示,求三种情况下电压 表的读数 V1、V2、V3

7. 环形金属丝箍围在很长的直螺线管的中部,箍的 轴与螺线管的轴重合,如图所示.箍由两部分组成, 每部分的电阻 R1、R2 不同且未知.三个有内阻的伏特 表接到两部分接头处 A 点和 B 点, 并且导体 A—V3—B 严格地沿箍的直径放置,而导体 A—V1—B 和 A—V2—B 沿螺线管任意两个不同方位放置, 交变电流 通过螺线管,发现这时伏特表 V3 的读数 u0=5 V,伏 特表 V1 的读数 u1=10 V. 问伏特表 V2 的读数是多少? 螺线管外的磁场以及回路电感不计.

8. 如图所示,均匀磁场的方向垂直纸面向里,磁感 应强度 B 随时间 t 变化,B ? B0 ? kt( k 为大于 0 的常 数) . 现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固 定在图中所示位置,环面处于图中纸面内。圆环的半 径为 R ,电阻为 r ,相交点的电接触良好.两个环的 接触点 A 与 C 间的劣弧对圆心 O 的张角为 60?。求 t ? t0 时,每个环所受的均匀磁场的作用力,不考虑感 应电流之间的作用.

9. 如图所示, 水平放置的金属细圆环半径为 a, 竖直放置的金属细圆柱(其半径比 a 小得多) 的端面与金属圆环的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 o.一质量为 m,电 阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑.棒的一 端有一小孔套在细轴 o 上, 另一端 A 可绕轴线沿圆环作圆 周运动.棒与圆环的摩擦系数为μ .圆环处于磁感应强度 大小为 B=Kr、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大 于零的常量,r 为场点到轴线的距离.会属细圆柱与圆环 用导线 ed 连接. 不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦。 也不 计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场.问 沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的 A 端才能 使棒以角速度ω 匀速转动. 注:(x+Δ x)3=x3+3x2Δ x+3x(Δ x)3+(Δ x)3



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