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2014-2015学年福建省泉州市晋江二中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析



2014-2015 学年福建省泉州市晋江二中高二(下)期末数学试卷 (理科)
一.选择题(每小题 5 分共 60 分) 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个,则三种粽子各取到 1 个的 概率是( ) A.
2

B.

/>
C.

D.

2.函数 y=x sinx 的导数为( 2 A. y′=2xcosx+x sinx 2 C. y′=2xsinx+x cosx

) B. y′=2xcosx﹣x sinx 2 D. y′=2xsinx﹣x cosx
2

3.“|x﹣1|<2 成立”是“(x+2) (x﹣3)<0 成立”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数 f(x)=x﹣sinx 在(﹣∞,+∞)内是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 有增有减

D. 不能确定

5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次 摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( ) A. B. C. D.

6.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方 程为 =0.7x+0.35,那么表中 t 的值为( x y A. 3 3 2.5 B. 3.15 4 t ) 5 4 C. 3.5 6 4.5 D. 4.5

7.已知 ξ 的分布列如下: ξ012 P 并且 η=3ξ+2,则方差 Dη=( )

A.

B.

C.

D. 7

8.来晋江旅游的外地游客中,若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为 ,且他们 的选择互不影响,则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为( A. B. C. ) D.

9.设 A. 12

,则二项式 B. 6

的展开式的常数项是( C. 4

) D. 2

10.数字“2015”中,各位数字相加和为 8,称该数为“如意四位数”,则用数字 0,1,2,3, 4,5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”有( )个. A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 11. 设 y=f( ″ x) 是 y=f ( ′ x) 的导数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数( f x) =ax +bx +cx+d (a≠0) 都有对称中心 (x0, ( f x0) ) , 其中 x0 满足 f″ (x0) =0. 已知 ( f x) = 则 A. 2012
n k 3 2

﹣ ) D. 2015



=( B. 2013 C. 2014

1+x) 的展开式中,x 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个的方法总数.下列各式 8 的展开式中 x 的系数恰能表示从重量分别为 1,2,3,4,…,10 克的砝码(每种砝码各一 个)中选出若干个,使其总重量恰为 8 克的方法总数的选项是( ) 2 3 10 A. (1+x) (1+x ) (1+x )…(1+x ) B. (1+x) (1+2x) (1+3x)…(1+10x) C. (1+x) (1+2x ) (1+3x )…(1+10x ) 2 2 3 2 10 D. (1+x) (1+x+x ) (1+x+x +x )…(1+x+x +…+x )
2 3 10

二.填空题(每小题 4 分共 20 分) 13.计算 = .

14.已知随机变量 X~N(3,σ ) ,若 P(X<a)=0.8,则 P(6﹣a<X<a)= 15.函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为
x

2





16.现有 5 种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块 区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是 (用数字作答) .

17.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中 虚线所示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

三.解答题(共 70 分) 18.已知( ﹣ ) 二项展开式中,第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为
n

8:3 (1)求 n 的值; 3 (2)求展开式中 x 项的系数 (3)计算式子 C ﹣2C +4C ﹣8C +…+1024C 的值.

19.已知直线 l:

(t 为参数) .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系,曲线 C 的坐标方程为 ρ=2cosθ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, ) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|?|MB|的值. 20.已知两个正数 a,b 满足 a+b=1 (1)求证: + ≥4 (2)若不等式|x﹣2|+|2x﹣1|≤ + 对任意正数 a,b 都成立,求实数 x 的取值范围.

21.某校高一年级有四个班,其中一、二班为数学课改班,三、四班为数学非课改班.在期 末考试中,课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表. 优秀 非优秀 总计 课改班 50 非课改班 20 110 合计 210 (1) 请完成上面的 2×2 列联表, 并判断若按 99%的可靠性要求, 能否认为“成绩与课改有关”;

(2)把全部 210 人进行编号,从编号中有放回抽取 4 次,每次抽取 1 个,记被抽取的 4 人 中的优秀人数为 ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 22.道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒 驾车”, 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量, 单位是毫克/100 毫升) , 当 20≤Q<80 时,为酒后驾车;当 Q≥80 时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路 段的一次拦查行动中, 依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量, 其中查处酒后驾车的有 6 人,查处醉酒驾车的有 2 人,依据上述材料回答下列问题: (Ⅰ)分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数; (Ⅱ)从违法驾车的 8 人中抽取 2 人,求取到醉酒驾车人数的分布列和期望,并指出所求期 望的实际意义; (Ⅲ) 饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故, 假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的 概率分别是 0.1 和 0.25,且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的.依此计算被查处的 8 名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率. (精确到 0.01)并针对你的计算结果对驾驶 员发出一句话的倡议. ﹣2alnx+(a﹣2)x,a∈R.

23.已知函数 f(x)=

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1≠x2,有 a,恒成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. >

2014-2015 学年福建省泉州市晋江二中高二(下)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分共 60 分) 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个,则三种粽子各取到 1 个的 概率是( ) A. B. C. D.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:从 10 个中任意选取 3 个, 共有 C10 =120, 其中三种粽子各取到 1 个有 C2 C3 C5 =30, 根据古典概型的概率公式进行计算即可. 3 解答: 解:从 10 个中任意选取 3 个,共有 C10 =120,其中三种粽子各取到 1 个有 1 1 1 C2 C3 C5 =30, 故从中任意选取 3 个,则三种粽子各取到 1 个的概率是 = ,
3 1 1 1

故选:C. 点评:本题考查了古典概率问题以及排列组合的问题,属于基础题. 2.函数 y=x sinx 的导数为( 2 A. y′=2xcosx+x sinx 2 C. y′=2xsinx+x cosx
2

) B. y′=2xcosx﹣x sinx 2 D. y′=2xsinx﹣x cosx
2

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据导数的运算法则求导即可. 2 2 2 2 解答: 解:y′=(x sinx)′=(x )′sinx+x (sinx)′=2xsinx+x cosx, 故选:C. 点评:本题考查了导数的运算法则,属于基础题. 3.“|x﹣1|<2 成立”是“(x+2) (x﹣3)<0 成立”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可. 解答: 解:由|x﹣1|<2 得﹣2<x﹣1<2,即﹣1<x<3,

由(x+2) (x﹣3)<0 得﹣2<x<3, ∵(﹣1,3)?(﹣2,3) , ∴“|x﹣1|<2 成立”是“(x+2) (x﹣3)<0 成立”的充分不必要条件, 故选:A. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据不等式的解法求出不等式的解集是解 决本题的关键. 4.函数 f(x)=x﹣sinx 在(﹣∞,+∞)内是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 有增有减 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:求出函数的导数,判断导数的符号,然后判断函数的单调性. 解答: 解:函数 f(x)=x﹣sinx, 可得 f′(x)=1﹣cosx≥0, 所以函数 f(x)=x﹣sinx 在(﹣∞,+∞)内是增函数. 故选:A. 点评:本题考查函数的单调性的判断,导数的应用,考查计算能力. 5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次 摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( ) A. B. C. D.

D. 不能确定

考点:条件概率与独立事件. 专题:计算题;概率与统计. 分析:事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概 率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率.根据这个原理,可以 分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率,再用公 式可以求出要求的概率. 解答: 解:先求出“第一次摸到红球”的概率为:P1= = ,

设“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率是 P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为 P= 根据条件概率公式,得:P2= = , = ,

故选:D. 点评:本题考查了概率的计算方法,主要是考查了条件概率与独立事件的理解,属于中档 题.看准确事件之间的联系,正确运用公式,是解决本题的关键. 6.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方 程为 =0.7x+0.35,那么表中 t 的值为( )

x y A. 3

3 2.5 B. 3.15

4 t

5 4 C. 3.5

6 4.5 D. 4.5

考点:回归分析的初步应用. 专题:计算题. 分析:先求出这组数据的样本中心点,样本中心点是用含有 t 的代数式表示的,把样本中心 点代入变形的线性回归方程,得到关于 t 的一次方程,解方程,得到结果. 解答: 解:∵ 由回归方程知 = ,

解得 t=3, 故选 A. 点评:本题考查回归分析的初步应用,考查样本中心点的性质,考查方程思想的应用,是一 个基础题,解题时注意数字计算不要出错. 7.已知 ξ 的分布列如下: ξ012 P 并且 η=3ξ+2,则方差 Dη=( A. B. ) C. D. 7

考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析:由题意及随机变量 ξ 的分布列,可以先利用期望定义求出期望 Eξ 的值,最后根据方 差的定义求出其方差即可. 解答: 解:由于 Eξ=0× +1× +2× = 则 Dξ= ×(0﹣ ) + ×(1﹣ ) + ×(2﹣ ) = 又由 η=3ξ+2,Dη=3 Dξ 故方差 Dη=9× =7 故选:D. 点评:本题主要考查了离散型随机变量的期望公式与方差公式,同时考查了分布列等知识, 属于中档题.
2 2 2 2

8.来晋江旅游的外地游客中,若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为 ,且他们 的选择互不影响,则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,设“三人中至多有两人选择去五店市游览”为事件 A,则 A 的对立事件 为 “三人都选择去五店市游览”,由相互独立事件的概率公式可得 P( ) ,结合对立事件的概率 公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,设“三人中至多有两人选择去五店市游览”为事件 A, 则 A 的对立事件 为“三人都选择去五店市游览”, 又由甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为 ,且他们的选择互不影响, 则 P( )= × × = 则 P(A)=1﹣P( )= , ;

故选:D. 点评:本题考查互斥事件的概率计算,解题时利用对立事件的概率特点,先求出 A 的对立 事件的概率.

9.设 A. 12

,则二项式 B. 6

的展开式的常数项是( C. 4

) D. 2

考点:二项式定理;定积分. 专题:计算题. 分析:利用微积分基本定理求出 n,利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数等于 0,求出常数项. 解答: 解: ∴ =
2

=4

=4
r r 4﹣2r

展开式的通项为 Tr+1=(﹣1) C4 x

令 4﹣2r=0 得 r=2 故展开式的常数项是 C4 =6 故选 B 点评:本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 10.数字“2015”中,各位数字相加和为 8,称该数为“如意四位数”,则用数字 0,1,2,3, 4,5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”有( )个. A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 考点:计数原理的应用.

专题:应用题;排列组合. 分析:分类讨论,利用排列知识,即可得出结论. 解答: 解:卡片上的四位数字之和等于 8,四个数字为 0,1,2,5;0,1,3,4. 0,1,2,5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”有,共 1+2+2+ 0,1,3,4 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”有,共 2 =11 个;

=12 个;

故共 23 个. 故选:C. 点评:本题考查计数原理的应用, 考查分类讨论的数学思想, 考查学生分析解决问题的能力, 比较基础. 11. 设 y=f( ″ x) 是 y=f ( ′ x) 的导数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数( f x) =ax +bx +cx+d (a≠0) 都有对称中心 (x0, ( f x0) ) , 其中 x0 满足 f″ (x0) =0. 已知 ( f x) = 则 A. 2012 B. 2013 C. 2014 =( ) D. 2015 ﹣ ,
3 2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令 f (x)=0,解得函数 f(x)的对称中心为 M


.设 P,Q 是函数 f(x)

的图象上关于 M 准线对称的两点,则 f(x)+f(1﹣x)=2,即可得出. 解答: 解: f( ′ x) =x ﹣x+3, f(x) =2x﹣1, 令 f(x) =0, 解得 x= , ﹣ +3× ﹣ =1, .
2 ″ ″

=

∴函数 f(x)的对称中心为 M

设 P,Q 是函数 f(x)的图象上关于 M 中心对称的两点,则 f(x)+f(1﹣x)=2, ∴ + = +…+

= =2014. 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究三次函数的中心对称性、 函数求和, 考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

1+x) 的展开式中,x 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个的方法总数.下列各式 8 的展开式中 x 的系数恰能表示从重量分别为 1,2,3,4,…,10 克的砝码(每种砝码各一 个)中选出若干个,使其总重量恰为 8 克的方法总数的选项是( ) 2 3 10 A. (1+x) (1+x ) (1+x )…(1+x ) B. (1+x) (1+2x) (1+3x)…(1+10x) 2 3 10 C. (1+x) (1+2x ) (1+3x )…(1+10x ) 2 2 3 2 10 D. (1+x) (1+x+x ) (1+x+x +x )…(1+x+x +…+x ) 考点:二项式定理的应用;排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分析:x 是由 x、x 、x 、x 、x 、x 、x 、x 、x 、x 中的、指数和等于 8 的那些项的乘 8 积构成,有多少种这样的乘积,就有多少个 x .而各个这样的乘积,分别对应从重量 1、2、 3、…10 克的砝码(每种砝码各一个)中,选出若干个表示 8 克的方法,从而得出结论. 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答: 解:x 是由 x、x 、x 、x 、x 、x 、x 、x 、x 、x 中的、 指数和等于 8 的那些项的乘积构成, 8 有多少种这样的乘积,就有多少个 x . 各个这样的乘积,分别对应从重量 1、2、3、…10 克的砝码(每种砝码各一个)中, 选出若干个表示 8 克的方法. 故“从重量 1、2、3、…10 克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个. 使其总重量恰为 8 克的方法总数”, 就是“(1+x) (1+x ) (1+x )…(1+x )”的展开式中 x 的系数”, 故选 A. 点评:本题主要考查排列、 组合、 二项式定理的应用, 体现了转化的数学思想, 属于中档题. 二.填空题(每小题 4 分共 20 分) 13.计算 = 120 .
2 3 10 8

n

k

考点:组合及组合数公式. 专题:计算题. 分析:直接利用组合数公式求解即可. 解答: 解: = = = =120.

故答案为:120. 点评:本题考查组合数公式的应用,基本知识的考查. 14.已知随机变量 X~N(3,σ ) ,若 P(X<a)=0.8,则 P(6﹣a<X<a)= 0.6 . 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 2 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,σ ) ,得到曲线关于 x=3 对称,根据曲线的对称性得 到结果. 2 解答: 解:随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ ) , ∴曲线关于 x=3 对称,
2

∵P(X<a)=0.8, ∴P(6﹣a<X<a)=1﹣2(1﹣0.8)=0.6, 故答案为:0.6. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 考查概率的性质, 是一个基础题, 这种题目可以出现在选择或填空中,是一个送分题目.
x

15.函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为

y=﹣



考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程. 解答: 解:依题解:依题意得 y′=e +xe , 令 y′=0,可得 x=﹣1, ∴y=﹣ . 因此函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为 y=﹣ . 故答案为:y=﹣ . 点评:本小题主要考查直线的斜率、 导数的几何意义、 利用导数研究曲线上某点切线方程等 基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 16.现有 5 种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块 区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是 260 (用数字作答) .
x x x

考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题;分类讨论. 分析:首先分析题目求 5 种不同颜色, 对四个不同区域进行着色, 要求有公共边的两块区域 不能使用同一种颜色的着色种数,故可以根据使用颜色的多少分情况讨论.情况 1:用到 4 种颜色,情况 2:用到 3 种颜色,情况 3:用到 2 中颜色,分别求出它们的种数相加即可得 到答案. 4 4 解答: 解,情况 1:用到 4 种颜色:C5 ?A4 =24×5=120 3 3 情况 2:用到 3 种颜色即 AC 或 BD 有一对同色:2×C5 A3 =120 2 2 情况 3:用到 2 中颜色即 AC 同色,BD 也同色:C5 ×A2 =20 故有 120+120+20=260 种着色的方法. 故答案为 260. 点评:此题主要考查排列组合及简单的计数原理在实际中的应用问题, 对于此类对图形着色 问题,在近几年的高考中多次出现,同学们需要很好的掌握做题方法.

17.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中 虚线所示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2 .

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:创新题型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:建立直角坐标系,求出抛物线方程,然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积,求 出梯形面积,即可推出结果. 解答: 解:如图:建立平面直角坐标系,设抛物线方程为:y=ax ,因为抛物线经过(5, 2) ,可得 a= , ,
2

所以抛物线方程:y=

横截面为等腰梯形的水渠,泥沙沉积的横截面的面积为: 2× 等腰梯形的面积为: =2( )= ,

=16,当前最大流量的横截面的面积 16﹣ , =1.2.

原始的最大流量与当前最大流量的比值为:

故答案为:1.2.

点评:本题考查抛物线的求法,定积分的应用,考查分析问题解决问题的能力,合理建系是 解题的关键. 三.解答题(共 70 分) 18.已知( ﹣ ) 二项展开式中,第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为
n

8:3 (1)求 n 的值; 3 (2)求展开式中 x 项的系数 (3)计算式子 C ﹣2C +4C ﹣8C +…+1024C 的值.

考点:二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析: (1)直接利用条件可得 = ,求得 n 的值.

(2)在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 03,求出 r 的值,即可求得展开式中 x 项的系数. (3)在( 8C ﹣ ) 二项展开式中,令 x=1,可得式子 C 的值.
10 3

﹣2C

+4C



+…+1024C

解答: 解: (1)由第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 8:3,可得

= ,

化简可得 (2)由于(

= ,求得 n=10. ﹣ ) 二项展开式的通项公式为 Tr+1=(﹣2) ?
3 2 n r

?x

5﹣r



令 5﹣r=3,求得 r=2,可得展开式中 x 项的系数为(﹣2) ?

=180.

(III)由二项式定理可得 所以令 x=1 得


10

=(1﹣2) =1.

点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,注意根据题意,分析所给 代数式的特点,通过给二项式的 x 赋值,求展开式的系数和,属于基础题.

19.已知直线 l:

(t 为参数) .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系,曲线 C 的坐标方程为 ρ=2cosθ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, ) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|?|MB|的值. 考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 2 分析: (1)曲线的极坐标方程即 ρ =2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得 2 2 x +y =2x,即得它的直角坐标方程; (2)直线 l 的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论. 2 2 2 解答: 解: (1)∵ρ=2cosθ,∴ρ =2ρcosθ,∴x +y =2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1) 2 2 +y =1;

(2)直线 l:

(t 为参数) ,普通方程为
2 2

, (5,

)在直线 l 上,

过点 M 作圆的切线,切点为 T,则|MT| =(5﹣1) +3﹣1=18, 2 由切割线定理,可得|MT| =|MA|?|MB|=18. 点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题. 20.已知两个正数 a,b 满足 a+b=1 (1)求证: + ≥4 (2)若不等式|x﹣2|+|2x﹣1|≤ + 对任意正数 a,b 都成立,求实数 x 的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法;不等式的证明. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)由条件利用基本不等式证得结论. (2)由题意可得|x﹣2|+|2x﹣1|≤4,分类讨论,去掉绝对值,求得它的解集. 解答: 解: (1)证明:∵两个正数 a,b 满足 a+b=1,∴ + = 当且仅当 a=b= 时,取等号, ∴ + ≥4 成立. (2)由题意结合(1)可知,只须|x﹣2|+|2x﹣1|≤4, 而当 当 时,解不等式 2﹣x+1﹣2x≤4 得 时,解不等式 2﹣x+2x﹣1≤4 得 , . , , + =2+ + ≥2+2=4,

当 x≥2 时,解不等式 x﹣2+2x﹣1≤4 得 综上|x﹣2|+|2x﹣1|≤4 的解集为

点评:本题主要考查基本不等式的应用,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数 学思想,属于基础题. 21.某校高一年级有四个班,其中一、二班为数学课改班,三、四班为数学非课改班.在期 末考试中,课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表. 优秀 非优秀 总计 课改班 50 非课改班 20 110 合计 210 (1) 请完成上面的 2×2 列联表, 并判断若按 99%的可靠性要求, 能否认为“成绩与课改有关”;

(2)把全部 210 人进行编号,从编号中有放回抽取 4 次,每次抽取 1 个,记被抽取的 4 人 中的优秀人数为 ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 考点:离散型随机变量及其分布列;独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 专题:应用题;概率与统计. 2 分析: (1)确定 2×2 列联表,计算 K ,与临界值比较,即可得出结论; (2)随机变量 ξ 的所有取值为 0,1,2,3,4,求出相应的概率,可得 ξ 的分布列及数学期 望 Eξ. 解答: 解: (1) 优秀 非优秀 总计 课改班 50 50 100 非课改班 20 90 110 合计 70 140 210 (2 分) K=
2

=23.86>6.635, (5 分)

所以按照 99%的可靠性要求,能够判断成绩与课改有关. (6 分) (2)随机变量 ξ 的所有取值为 0,1,2,3,分) 由于是有放回的抽取,所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为 P(ξ=0)=C4 ( ) ( ) = P(ξ=2)=C4 ( ) ( ) = P(ξ=4)=C4 ( ) ( ) = 所以 ξ 的分布列为: ξ 0 P (10 分) Eξ=0× +1× +2× +3× +4× = . (12 分)
4 4 0 2 2 2 0 0 4

= , (8 分) ; ;

;P(ξ=1)=C4 ( ) ( ) = ;P(ξ=3)=C4 ( ) ( ) = .
3 3 1

1

1

3

1

2

3

4

点评:本题考查了独立性检验、分布列及其数学期望,正确计算是关键,属于中档题. 22.道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒 驾车”, 其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量, 单位是毫克/100 毫升) , 当 20≤Q<80 时,为酒后驾车;当 Q≥80 时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路 段的一次拦查行动中, 依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量, 其中查处酒后驾车的有 6 人,查处醉酒驾车的有 2 人,依据上述材料回答下列问题: (Ⅰ)分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数; (Ⅱ)从违法驾车的 8 人中抽取 2 人,求取到醉酒驾车人数的分布列和期望,并指出所求期 望的实际意义;

(Ⅲ) 饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故, 假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的 概率分别是 0.1 和 0.25,且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的.依此计算被查处的 8 名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率. (精确到 0.01)并针对你的计算结果对驾驶 员发出一句话的倡议. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意知检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量,其中查处酒后驾车的有 6 人,查处醉酒驾车的有 2 人,违法驾车发生的频率为 数为 ×100%. (Ⅱ)由题意得到醉酒驾车的人数为随机变量 ξ,从违法驾车的 8 人中抽取 2 人,8 人中最 多有 2 人醉驾,得到 ξ 可能取到的值有 0,1,2,根据古典概型概率公式得到结果. (Ⅲ)被查处的 8 名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故, 由相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率得到要求的概率 解答: 解: (Ⅰ)由题意知检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量, 其中查处酒后驾车的有 6 人,查处醉酒驾车的有 2 人, ∴违法驾车发生的频率为 = , ,醉酒驾车占违法驾车总数的百分

醉酒驾车占违法驾车总数的百分数为 ×100%=25% (Ⅱ)解:设取到醉酒驾车的人数为随机变量 ξ, 则 ξ 可能取到的值有 0,1,2, p(ξ=0)= = ,

p(ξ=1)=

= ,

p(ξ=2)=

=



则分布列如下: ξ0 12 P Eξ=1× +2× = ,实际意义:在抽取的两人中平均含有 0.5 个醉酒驾车人员.

(Ⅲ)被查处的 8 名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故, 由相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率得到 6 2 p=1﹣0.9 ?0.75 ≈0.70 一句话倡议:远离酒驾,珍爱生命.

点评:考查运用概率知识解决实际问题的能力, 相互独立事件是指, 两事件发生的概率互不 影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. ﹣2alnx+(a﹣2)x,a∈R.

23.已知函数 f(x)=

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1≠x2,有 a,恒成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值; 函数单调性的判断与证明; 利用导数研究函数的单 调性. 专题:综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,当 a=1 时,求导函数 ,确定函数的单调性,从而可得 f(x)的最小 值; (Ⅱ)∵ 据 a≤0,将﹣a 与 2 进行比较,分类讨论,从而可确定函数 f(x) 的单调性; (Ⅲ) 假设存在实数 a 使得对任意的 x1, x2∈ (0, +∞) , 且 x1≠x2, 有 ,根 >

恒成立,不妨设 0<x1<x2,只要

,即:f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣

ax1,构建函数(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数,即使 g'(x)≥0 在 (0,+∞)恒成立,从而可确定是否存在实数 a 解答: 解: (Ⅰ)由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,…(1 分) 当 a=1 时, …(2 分)

∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞) ,f'(x)>0. ∴f(x)在 x=2 时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=﹣2ln2…(4 分) (Ⅱ) ∵ 分) ∴(1)当﹣2<a≤0 时,若 x∈(0,﹣a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(﹣a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; , … (5

x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. (2)当 a=﹣2 时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数; (3)当 a<﹣2 时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(2,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(﹣a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数…(9 分) (Ⅲ) 假设存在实数 a 使得对任意的 x1, x2∈ (0, + ∞) , 且 x1≠x2, 有 恒成立, 不妨设 0<x1<x2,只要 ,即:f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1

令 g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数 又函数 .

考查函数 要使 g'(x)≥0 在(0,+∞)恒成立,只要﹣1﹣2a≥0,即 故存在实数 a

…(10 分) ,…(12 分)

时,对任意的 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1≠x2,有

恒成立,…(14 分) 点评:本题考查导数知识的运用,考查利用导数确定函数的单调区间,考查是否存在问题, 考查分类讨论的数学思想,正确运用好导数工具是关键.



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