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湖南省洞口一中2015-2016学年高二数学下学期期末测试试卷 理



2016-2017 下学期高二年级期末数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、命题“若 ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0 C.若 ab ? 0, 则a ? 0且b ? 0 )

B. 若a ? 0或b ? 0, 则ab ? 0 D. 若a ? 0且b ? 0, 则ab ? 0 )

2、命题 p : ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,若 ? p 是真命题,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, 4? B. ?0, 4? C. (??,0) ? [4,??) D. ? ??,0? ? ? 4, ???

3、设 0 ? a ? b且a ? b ? 1 ,则下列四数中最大的是 A. a 2 ? b 2 B. 2ab C. a D.
1 2

? ? ? ? 4、已知向量 a ? (2 ? x, x ? 1,1), b ? (2, 4, k ) ,若 a 与 b 共线,则
A. k ? 0 B. k ? 1 C. k ? 2 D. k ? 4

b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是 5、在 ?ABC 中, a ,

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

6、设 a ? 0, b ? 0 .若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 ab 的最大值为 A.8 B.4 C.1 1 D. 4

7、已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 3( x ?1) 与 C 交于 A, B ( A 在 x 轴上方)两点. 若

??? ? ??? ? AF ? mFB ,则 m 的值为
A.

3

B.

3 2

C. 2

D. 3

? ? ? ? ? ? ?? ?? 8 、 a, b, c 是 空 间 的 一 个 单 位 正 交 基 底 , p 在 基 底 a, b, c 下 的 坐 标 为 (2,1,5) , 则 p 在 基 底

?

?

?

?

?a ? b, b ? c, a ? c? 下的坐标为(

? ? ? ? ? ?


1

A. (?1, 2,3)

B. (1, ?2,3)

C. (1, 2, ?3)

D. (?3, 2,1)

?x ? 2 ? 0 ? 9、已知点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内运动,则 z ? x ? y 的 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

取值范围是 A.[-2,-1] 10、已知 F1 , F2 是双曲线 B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别 a 2 b2

交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( A .4 B. C.

) D.
f ( x) ? 0 ,若 x

11 、已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,当 x ? 0 时, f ?( x) ?
1 1 a ? f (1) , b ? ?2 f (?2) , c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小关系正确的是( 2 2



A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. c ? a ? b

12、已知 F 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,直线 y ? kx ? 1 与该抛物线交于第一象限内的两点 A,B,若

AF ? 4 FB ,则 k 的值是(
A.
5 4

) C.
17 4

B.

3 2 4

D.

2 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13、由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 .

14、椭圆 ax2 ? by 2 ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 与直线 y ? 1 ? 2 x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的直 线的斜[来源:学科网Z-XK]率为
a 3 ,则 的值为 b 2



15、下列命题:①命题“ 若x2 ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为“ 若x2 ? 1, 则x ? 1”;②命题 “ ?x ? 0, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? 0, x2 ? x ? 1 ? 0 ” ③对于常数 m, n , “ mn ? 0 ”是“方程

mx2 ? ny 2 ? 1 表示的曲线是双曲线”的充要条件;④“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的必要不充分条件;⑤
2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 已知向量 OA, OB, OC 不共面,则向量 OA 可以与向量 OA ? OB 和向量 OA ? OC 构成空间向量的一个
基底.其中说法正确的有 (写出所有真命题的编号) .

16、设 e 1 、 e 2 分别为具有公共焦点 F1 、 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公共点,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且满足 P F ? P F ? F F 1 2 1 2 ,则

e1 e 2 e 12 ? e 22

的值为



三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 10 分) 数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? N * ),且 a1, a2 , a3 成公 比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式. 18、(本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 3a ? 2c sin A (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 c ? 7 ,且 S? ABC ?
3 3 ,求 a ? b 的值. 2

19、(本小题满分 12 分) 如图:直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 900 , AA1 ? AC ? BC ? 2 ,
D 为 AB 中点.

(Ⅰ)求证: BC1 ? 平面A1CD (Ⅱ)求二面角 D ? CA1 ? A 的正切值.

20、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln x(a ? R) , g ( x) ? ? x 3 ?

5 2 x ? 2x ? 6 2

3

(1)若 f ( x) 的一个极值点为 1,求 a 的值; (2)设 g ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 b ,当 x ??1, ??? 时, f ( x) ? b 恒成立,求 a 的取值范围. 21、(本小题满分 12 分) 已知命题 p :k 2 ? 8k ? 20 ? 0 ,命题 q :方程 轴上的双曲线. (Ⅰ)命题 q 为真命题,求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)若命题“ p ? q ”为真,命题“ p ? q ”为假,求实数 k 的取值范围.
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 4 ? k 1? k

22、(本小题满分 12 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴的椭圆过点 E (1,?

2 3 ) ,且焦距为 2,过点 3

P(1,1) 分别作斜率为 k1 , k2 的椭圆的动弦 AB, CD ,设 M , N 分别为线段 AB, CD 的中点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)当 k1 ? k2 ? 1 ,直线 MN 是否恒过定点?如果是,求出定点坐标.如果不是,说明理由.

4

2016-2017 下学期高二年级期末数学试题(理科) 参考答案 DCACC 13.
16 3

DDACB

DA 14.

3

15. ③⑤

16.

2 2

17. (Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 2 ? c, a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1, a2 , a3 成公比不为 1 的等比数列,解得 c=2; ( Ⅱ ) a2 ? a1 ? 2,...,an ? an ?1 ? 2(n ? 1) 累 加 可 得 an ? n2 ? n ? 2 , a1 也 符 合 , 所 以 an ? n2 ? n ? 2 ( n ? N * ). a 2sinA sinA 18. (1)由 3a=2csinA 及正弦定理,得 = = . c sinC 3 ∵sinA≠0,∴sinC= 3 . 2 π . 3

又∵△ABC 是锐角三角形,∴C= (2)c= 7,C= π , 3

1 π 3 3 由面积公式,得 absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 由余弦定理,得 a2+b2-2abcos 即 a2+b2-ab=7.② 由②变形得(a+b)2=3ab+7.③ 将①代入③得(a+b)2=25,故 a+b=5. 19. (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于 O 点,连接 DO,则 O 为 AC1 的中点, ∵D 为 AB 中点,∴DO∥BC1, 又∵DO? 平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. (2)解:以 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=2,D 为 AB 中点.
5

π =7, 3



=(﹣2,2,2) ,

设二面角 D﹣CA1﹣A 的大小为 θ,则 ∵平面 ACA1 的法向量是 =(0,1,0) ∴cosθ= ∴二面角 D﹣CA1﹣A 的正切值是 . = ,∴tanθ= ,

20. 解: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ?

a ,令 f ?(1) ? 2 ? a ? a ? 0 ,则 a=1??????3 分 x

经检验,当 a=1 时,1 是 f ( x) 的一个极值点??????4 分 (2) g ?( x) ? ?3x 2 ? 5x ? 2 ? ?( x ? 2)(3x ? 1) ,所以 g ( x) 在[1,2]上是增函数,[2,4]上是减函数

g ( x) max ? g (2) ? 0

??????7 分

f ( x) ? 0 在 x ??1, ??? 上恒成立,

由 x∈[1,+∞)知,x+ln x>0,

??????8 分

x2 所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤ 在 x∈[e,+∞)时恒成立,??????9 分 x+ln x x2 x?x-1+2ln x? 令 h(x)= ,x∈[1,+∞),有 h′(x)= >0,??????10 x+ln x ?x+ln x?2 所以 h(x)在[1,+∞)上是增函数,有 h(x)≥h(1)=1,所以 a≤1 ??????12 分

?4 ? k ? 0 21. 解: (1)当命题 q 为真时,由已知得 ? ,解得 1 ? k ? 4 ?k ? 1 ? 0
∴当命题 q 为真命题时,实数 k 的取值范围是 1 ? k ? 4
6

???????5 分

(2)当命题 p 为真时,由 k 2 ? 8k ? 20 ? 0 解得 ?2 ? k ? 10 由题意得命题 p 、 q 中有一真命题、有一假命题

???????7 分 ?????????8 分

??2 ? k ? 10 当命题 p 为真、命题 q 为假时,则 ? , ?k ? 1或k ? 4
解得 ?2 ? k ? 1 或 4 ? k ? 10 . ???????????????????10 分

?k ? ?2或k ? 10 当命题 p 为假、命题 q 为真时,则 ? , k 无解. ?1 ? k ? 4
∴实数 k 的取值范围是 ?2 ? k ? 1 或 4 ? k ? 10 . ??????????12 分

22. 解: (1)由题意知 c ? 1, 设右焦点 F ' (1,0)

? 2a ? EF ? EF ' ? (1 ? 1) 2 ? (
? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2
? 椭圆方程为

2 3 2 3 ? 0) 2 ? ? 2 3 ??????2 分 3 3

x2 y2 ? ?1 3 2

??????4 分

(2)由题意 k1 ? k 2 ,设 M ( xM , y M ) 直线 AB : y ? 1 ? k1 ( x ? 1) ,即 y ? k1 x ? k 2 代入椭圆方程并化简得
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ??????5 分

? xM ?

? 3k1k 2 2k 2 , yM ? 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ? 3k1k 2 2k1 , yN ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

??????7 分

同理? x N ?

??????8 分

当 k1k 2 ? 0 时, 直线 MN 的斜率 k ?

y M ? y N 10 ? 6k1k 2 ? ??????9 分 xM ? x N ? 9k1k 2

直线 MN 的方程为 y ?

2k 2 10 ? 6k1k 2 ? 3k1k 2 ? (x ? ) ??????10 分 2 ? 9k1k 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 10 ? 6k1k 2 2 2 x? 此时直线过定点(0, ? ) 3 ? 9k1k 2 3
7

又 k1 ? k2 ? 1 化简得 y ?

当 k1k 2 ? 0 时,直线 MN 即为 y 轴,也过点(0, ? 综上,直线过定点(0, ?
2 ) 3

2 )??????12 分 3

2015 下学期高二期末考试试题答案 1 C 13、 2 D 11.4 D 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 A 9 D 10 ABD 11 BD 12 AC

5.665(5.663--5.667) F (2) 乙 (3)1.5,1.0
q2 L2

14、 (1) B

15..解(1)根据库伦定律,A、B 两点间的库仑力大小为: F ? k 代入数据得:F=9.0×10-3N (2)A、B 点电荷在 C 点产生的场强大小相等,均为: E1 ? k
q L2



② ③

A、B 两点电荷形成的电场在 C 点的合场强大小为: E ? 2E1 cos30o ④ 由③④式并代入数据得 E ? 7.8 ?103 N/C , 场强 E 方向沿 y 轴正方向 ⑤

16、 (1)加磁场时,粒子从 A 到 D 有: 由几何关系有: 加电场时,粒子从 A 到 D 有: ?? ② ③



??



由①~④得:

?? ⑤

(2)粒子在磁场中运动,由几何关系可知:圆心角

圆运动周期:

?⑦

经磁场的运动时间:



8

由①~④得粒子经电场的运动时间:

?⑨

即:

?⑩

17. (1)框架刚要运动时 ab 中的感应电动势:E=BLv??????① MN 中电流
I? E ??②MN 受到的安培力 R1 ? R2

F 安=BIL

?③

对框架,摩擦力:

Ff ? ? (m1 ? m2 ) g ? F安 ??④

由上述各式代入数据解得

v=6m/s ?????⑤
R1 +R 2 Q ???????⑥ R2

(2) 闭合回路中产生的总热量: Q总 ?

1 由能量守恒定律,得: Fx ? m1v 2 ? Q总 ???????⑦ 2

代入数据解得:

x=1.1m ???????⑧

则通过棒 ab 的电荷量为: 代入数据解得 q=0.55C?⑩

?⑨

9



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