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向量的直角坐标运算



向 量 7.3.2 向量的直角坐标运算

向量 向量

1.在平面直角坐标系内,点 A 可以用什么来表示?

2.平面向量是否也有类似的表示呢?

y
b

a

A (a , b)

O

a

r />x

3. 平面向量分解定理的内容是什么?

(一)向量的直角坐标
在直角坐标系内,我们分别 (1)取基向量: 与 x 轴, y 轴方向相同的 ? ? e e 2 作为基向量. 两个单位向量 1 , ? (2) 得到实数对:任作一个向量 a , 由平面向量基本定理,有且只有一对实数 ? ? ? a1 a2,使得 a ? a1e1 ? a2e2 、
? 我们把(a1 ,a2)叫做向量 a 的坐标,记作

y
? a
? e2

O

? e1

x

? a ? (a1 , a2 ) (1) ? ? a2 叫做 a 在 y 轴上的坐标. 其中 a1叫做 a 在x轴上的坐标, ? ? e1 , e 2叫做直角坐标平面上的基向量.
(1)式叫做向量的坐标表示.

? ? e 2是直角坐标平面上的基向量,你能写出 1 .如图: e1, ? ? ? e1, e 2 的坐标吗? 0,
? ? ? 0 ? (0,0) , e1 ? (1,0), e2 ? (0,1).
y

A( x, y )
? e2

? 2 .向量的坐标与点的坐标之间有何关系? ye2
设点 A 的坐标为 A( x, y ) ? ? 则 OA ? xe1 ? ye2 ? ( x, y ) 结论: 向量 OA 的坐标
一一对应
0
? e1

? xe1

x

点 A( x, y )

? ? ? ? ? ? e 2 分别表示向量 a, b , c , d 例1 如图,用基向量 e1 ,

并求出它们的坐标.
y

? b
c

? a
? 0 e ? 1
? e2

? d

? ? ? 解:a ? 2e1 ? 3e2 ? (2,3); ? ? ? b ? ?2e1 ? 3e2 ? (?2,3); ? ? ? c ? ?2e1 ? 3e2 ? (?2,?3); x ? ? ? d ? 2e1 ? 3e2 ? (2,?3).

? ? b ? (b1 , b2 ) ,则 设a ? (a1 , a2 ), ? ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b 1 , b2 )

(二)向量的直角坐标运算

? ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b 1 , b2 )

? (a1 ? b1 , a2 ? b2 );

? ?a ? ? (a1 , a2 ) ? (?a1 , ?a2 ).

? (a1 ? b1 , a2 ? b2 );

结论1:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和与差.
结论2:数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.

? ? b ? (b1 , b2 ) ,则 设a ? (a1 , a2 ), ? ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b 1 , b2 )
? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ).

(二)向量的直角坐标运算

证明:由向量坐标的定义有 ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a1e1 ? a2e2 ) ? (b1e1 ? b2e2 ) ? ? ? (a1 ? b1 )e1 ? (a2 ? b2 )e2
? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ).

其他两式同理可以得到.

? ? 1), 例2 已知 a ? (2, b ? (?3, 4), ? ? ? ? ? ? 求 a ? b ,a ? b , 3a ? 4b .
? ? 解: a ? b ? (2, , 1 ? 4) 1) ? (?3 , 4) ? (2 ? 3 ? (?1 , 5); ? ? , 1 ? 4) a ? b ? (2, 1) ? (?3 , 4) ? (2 ? 3 ? ? 3) ? (?12 , 16) 3a ? 4b ? 3(2, 1) ? 4(?3 , 4) ? (6, ? (?6, 19).

? (5 , ? 3);

B( x2,y 2 ) , 求向量 AB的坐标. 例3 已知点 A( x1,y1 ),
解: AB ? OB ? OA
? ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).

结论:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的 相应坐标.

? ? ? ? ? ? 1.已知 a , b 的坐标 , 求 a ? b , a ? b . ? ? ⑴ a ? (4,3), b ? (?3,8) ? ? ⑵ a ? (3,0),b ? (0,4)
2.已知 A,B 两点的坐标 , 求 AB, BA坐标 .

4), B ? (6, ⑴ A ? (?3, 3) 6), B ? (?8, ? 7) ⑵ A ? (?3,

1), 例4 已知点 A(?2, B(1 , 3) , 求线段 AB 中点 M 的坐标.

, 3) ? (?2, 1) ? (3 解:因为 AB ? OB ? OA ? (1 , 2).

所以 OM ? OA ? AM

1 ? OA? AB 2
1 ? (?2 , 1) ? (3 , 2) 2 1 ? (? , 2). 2

y

B 1

A

M

O

1

x

因此

M (?

1 , 2). 2

(三)用向量的坐标表示向量平行的条件 温故知新
1、平行向量基本定理 ? ? ? ? ? ? 若 b ? 0, 则 a // b ?存在唯一实数 ? ,使 a ? ?b. 2、数乘向量

已知 b ? ?b1 , b2 ?

? ,则 ?b ? (?b1, ?b2 ).

问题
在直角坐标系中,向量可以用坐标表示,那么,能否 用坐标表示两个向量的平行呢?

(三)用向量的坐标表示向量平行的条件
探索新知 ? ? 设 a ? (a1,a2 ),b ? (b1,b2 ) ? ? 则 a ? ?b,可化为 (a1,a2 ) ? ? (b1,b2 ) ? (?b1,?b2 ), 即

a1 ? ?b1 ① a2 ? ?b2 ②

① ②两式的两边分别乘以b2,b1, 得
③- ④得:a1b2

a1b2 ? ?b1b2 a2b1 ? ?b2b1

③ ④

所以

? a2b1 ? 0. ? ? 若向量 a ? (a1,a2 ),b ? (b1,b2 ), ? ? 则 a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0.

例5 判断下列两个向量是否平行: ? ? ⑴ a ? (?1 , 3),b ? (5, ?15); ? ? ⑵ e ? (2, 0),f ? (0, 3). 解: ⑴ 因为(-1)×(-15)-3×5=0, ? ? 所以 a与 b平行. ⑵ 因为2×3-0×0=6≠0, ? ? 所以 e 与 f 不平行.

? 例6 已知点 A(-2,-1),点 B(0,4)和向量 a ? (1, y ) ? ? 并且 AB // a, 求 a 的纵坐标 y.

解:由已知条件得

AB ? (0, 4) ? (?2, ?1) ? (2, 5), ? 因为 AB // a, 所以 1? 5 ? 2 ? y ? 0. 5 解得:y ? . 2

例7 已知点 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5), 求证:A,B,C 三点共线. 证明:由已知条件得

AB ? (0 , 1) ? (?2 , ? 3) ? (2 , 4),
AC ? (2 , 5) ? (?2 , ? 3) ? (4 , 8), 因为 2 ? 8 ? 4 ? 4 ? 0,
所以 AB // AC . 又因为线段 AB 和线段 AC 有公共点 A, 所以 A,B,C 三点共线.

? ? ? ? 1.已知 a ? (?3,?4),b ? (2, y), 并且 a // b ,求 y.

2.已知点 A(-1,-3),B(0,-1),C(1,1), 求证:A,B,C 三点共线.

1.向量的直角坐标

? ? ? a ? a1e1 ? a2e2 ? (a1 , a2 )
2.向量的直角坐标运算 ⑴两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和与差.

⑵数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积. ⑶一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的 相应坐标.
3.用向量的坐标表示向量平行的条件 ? ? 若向量 a ? (a1,a2 ),b ? (b1,b2 ), ? ? 则 a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0.

教材 P49,练习 A 组第 1 题 ⑴⑶;
第 2 题 ⑴⑶; 教材 P51,练习 A 组第 3 题.



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