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用二分法求方程近似解 (1)



二分法求方程的近似解

高一数学组 李华

复习思考:
1.函数的零点 2.零点存在的判定

思考问题:
请同学们观察下面的两个方程,说一说你会用 什么方法来求解方程.

(1) x ? 2 x ? 1 ? 0
2

(2)ln x ? 2 x ?

6 ? 0
对于方程(1),可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于方程(2) ,我们却没有公式可 用来求解.

高次多项式方程公式解的探索

尼耳期· 亨利克· 阿贝尔 (1802-1829)

埃瓦里斯特· 伽罗瓦 (1811~1832)

根据阿贝尔和伽罗瓦的研究,人们认识到高于 4次的代数方程不存在求根公式。 对于高次多项式方程和超越方程,有必要寻求 其函数零点的近似解的方法,这是一个在计算数学 中十分重要的课题。

例1:求方程lnx+2x-6 =0的近似解
问题一:该方程是否有实数解?

2 3

例1:求方程lnx+2x-6 =0的近似解
问题二:能否确定该方程的一个实数解

所在的区间?

2 3

例1:求方程lnx+2x-6 =0的近似解
问题三:你准备采用什么方法进一步的缩小

这个区间? 设函数f (x)=lnx+2x-6,作出函数图像

例1:求方程lnx+2x-6 =0的近似解
(精确度为0.01) 问题四:怎样停止这个可能无限的缩小过程? 给定精确度 ?,对于零点所在区间 [a, b], 当 a ? b ? ? 时,我们称达到精确度。 此时,区间 [a, b] 内任何一个值都是零点

的满足精确度的近似值。
一般地,我们就取区间的端点a(或b) 作为方程的近似解。

例1:求方程lnx+2x-6 =0的近似解
区间 [a, b] (2,3) 中点 2.5
f (a )
f( a?b ) 2

f (b)







区间长度 1

(2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 2.5625 (2.5,2.625) (2.5,2.5625) 2.53125 (2.53125,2.5625) 2.546875 (2.53125,2.546875) 2.5390625 (2.53125,2.5390625)

- - - - - -

+ + + - + +

+ + + + + +

0.5 0.25 0.125 0.0625
0.03125 0.015625 0.0078125

? 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.0078125 ? 0.01
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点 近似值,也即方程lnx=-2x+6的近似解x1≈2.53。

y

二分法概念
0

a b x

对于在区间? a , b ? 上连续不断且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函
数y ?

f ? x ?,通过不断地把函数 f ? x ?的零点所在的区

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1、 确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ; 2、求区间(a,b)的中点x1, 3、计算f(x1)
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;

(2)若f(a).f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a, x1) ); (3)若f(x1).f(b)<0,则令a= x1(此时零点x0∈( x1,,b));

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|<ε, 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4

想一想
二分法能否求解所有有解方程的近似解?
y y

O

x

O

x

变号零点

不变号零点

口 诀 定区间,找中点,
同号去,异号算, 周而复始怎么办?

中值计算两边看.
零点落在异号间. 精确度上来判断.

练习1: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求其零点的是 ( C ) y
0

y x
0

y x
x

y

0

x

0

x

A

B

C

D

练习2:已知 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 ,利用二分法求方 程 2 x ? 3x ? 7 ? 0的近似解,计算得 f (1) ? f (2) ? 0 ,则近似解所在的下一区间 应为 (1,1.5)

数形结合

函数与 方程 二分法 求方程近似解
算 法 思 想

转化 思想

逼近 思想

课后作业:
课本 第92页 习题1,2

拓展作业:
搜集二分法在实际 生活中的应用实例



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