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高中数学排列组合与概率统计习题[1]



高中数学必修 排列 组合和概率练习题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1) 已知集合 A={1,3,5,7,9,11}, B={1,7,17}.试以集合 A 和 B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐 标系中所确定的不同点的个数是 (A) 32 解 (B) 33 (C) 34 (D) 36 分别以 ? 1, 3, 5, 7, 9, 11 7, 11 ?

和 ?1, ? 的元素为 x 和 y 坐标, 不同点的个数为 P61 P31 分别以 ? 1, 3, 5, 7, 9, 11 7, 11 ? 和 ?1, ? 的元素为 y 和 x 坐标, 不同点的个数为 P61 P31
1 1 1 1 不同点的个数总数是 P (个) 6 P 3 ?P 6 P 3 ? 36

(2) 从 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可以得到不同的对 数值的个数为 (A) 64 (B) 56 (C) 53 55 (D) 51

解 ①从 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为 2P92 ; ②1 不能为底数,以 1 为底数的“对数式”个数有 8 个,而应减去; ③1 为真数时,对数为 0,以 1 为真数的“对数式”个数有 8 个 ,应减去 7 个;

1 ,应减去 2 个 2 2 所示求不同的对数值的个数为 2C9 ? 8 ? 7 ? 2 ? 55(个)
④ log 2 4 ? log3 9 ? 2 , log 4 2 ? log9 3 ? (3) 四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一起,则不同 的排法数有 (A)3600 解 (B)3200
2 3

(C)3080

(D)2880

①三名女生中有两名站在一起的站法种数是 P ; ②将站在一起的二名女生看作 1 人与其他 5 人排列的排列种数是 P66 ,其中的三名女生排在一起的
5 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作 1 人与 4 名男生作全排列,排列数为 P5 ,站在

1 5 一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是 P2 P5 。

符合题设的排列数为:
2 6 1 5 P ( P ? 6? (6 ? 5 ? 4 ? 3? 2 ? 2 ? 5? 4 ? 3? 2) ? 24 ? 5? 4 ? 3? 2 ? 2880 (种) 3 6 ?P 2P 5)

(4) 由 ( 3x ? 3 2)100 展开所得 x 多项式中,系数为有理项的共有 (A)50 项 解
3 100 0 100 100

(B)17 项
1 100 100?1 3 1
100? r r ? 2 3

(C)16 项

(D)15 项
100?r 3 100 3 ( 2)r + +C100 100 ( 2)
r x100?r ? C100 6 300 ? r 6 ( 3 100? r) 2 r ? 6 6

( 3x ? 2) =C ( 3x) +C ( 3x)
可见通项式为: C100 ( 3x)
r 100? r

( 2) + +C ( 3x)
r x100?r ? C100 6

r 100

r ( 3 2)r ? C100 6

x100?r

6 12 , 18 , , 96 时,相应项的系数为有理数,这些项共有 17 个, 故系数为有理项的共有 17 个. 且当 r=0,,

(5) 设有甲、 乙两把不相同的锁,甲锁配有 2 把钥匙,乙锁配有 2 把钥匙,这 4 把钥匙与不能开这两 把锁的 2 把钥匙混在一起,从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是 (A) 4/15 解 (B) 2/5
2 6

(C) 1/3

(D) 2/3

从 6 把钥匙中任取 2 把的组合数为 P ,若从中任取的 2 把钥匙能打开 2 把锁,则取出的必是甲锁 的 2 把钥匙之一和乙锁的 2 把钥匙之一。假设分二次取钥匙,第一次取到甲锁的钥匙,第二次取到
1 1 乙锁的钥匙,取法的种数为 P 2 P 2 ;当然,第一次取到乙锁的钥匙,第二次取到甲锁的钥匙,取法 1 1 的种数也为 P 2 P 2 。这二种取法都能打开 2 把锁。故从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是:

1

2P21 P21 4 ? 15 P62
(6) 在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是 解 (A) 5/6 (B) 4/5 ①所有两位数的个数为 90 个; (C) 2/3 (D) 1/2

②能被 2 或 3 整除的二位数的个数 60个 :能被 2 整除的二位数的个数是有 90 ?

5 ,能被 3 =45 (个) 10

6, 9 中选 2 的排列 P32个 , 1, 2、 1, 5、 1, 8、 2, 4、 2, 7、 4, 5、 4, 8、 5, 7、 7, 8 整除的二位数的个数为有 24 个(从 3,
2 18、 24、 42、 54、 72、 48、 84、 78 ) 九组中各选 2 的排列有 9P 2 个 ),能被 3 整除的二位数中有 9 个( 12、 2 2 也能被 3 整除,故能被 2 或 3 整除的二位数的个数是 45 ? 9 ? P 3 ? 9P 2 ? 60个 ;

所有的两位数中,能被 2 或 3 整除二位数所占比例是 数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是

60 2 = .因此, 在所有的两位数中,任取一个 90 3

2 3
(C) 7/8 (D 5/8

(7) 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 (A)1/8 (B)3/8

1 3?1 3 1 1 1 解 恰好出现一次正面的概率为 P( 1) =C ( ) ( 1? ) = 3 2 2 8 1 3?2 3 2 1 2 恰好出现二次正面的概率为 P( 1) =C ( ) ( 1? ) = 3 2 2 16 1 1 1 3 3 3?3 恰好出现三次正面的概率为 P( 1) =C ( ) ( 1? ) = 3 2 2 8 3 3 1 5 至少出现一次正面的概率是 P= + + = 8 16 8 8
(8) 在四次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是

(0, 0.6) [0.4, 1) (0, 0.4] (C) (A) ? (B) 解 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 x ,由题设得

1) (D [0.6,
y

C (x) ( 1 ? x) ? C(x) ( 1 ? x)
1 4 1 2 4 2

4 ?1

4?2

4 x ? 4 x 2 ? 6 x3 5x2 ? 2 x ? 0 2 对于 5x ? 2x=0 ,有 x1 ? 0, x2 ? 0.4
对于 5 x ? 2 x ? 0 ,有 x1 ? 0,x2 ? 0.4
2

x
2 2

[0.4, 1] 根据概率的性质, x 的取值范围为
(9) 若 (2x ? 3)100 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 100 x100 ,则(a0+a2+a4+?+a100) -(a1+a3+?+a99) 的值为 (A)1 解 (10) 从集合 A x 1 ? x ? 7,x ? N 解 从集合 A x 1 ? x ? 7,x ? N (B)-1 (C) 0 (D)2

?

+

? 中任取 3 个数,这 3 个数的和恰好能被 3 整除的概率是
(C) 4/13
3 7

?

(A) 19/68
+

? 中任取 3 个数的取法种数为 P ;

(B) 13/35

(D) 9/34

取到的数含 3 或 6 时,其余二数为 12、15、24、27、45、57,能被 3 整除的数的个数为 6P2 2P3 ;
3 取到的数不含 3 或 6 和能被 3 整除的三个数是 1、4、7,取法种数有 P3 种;

1

1

2

因此,所求概率为:

6P21 2P31 ? P33 12 ? 2 ? 3 ? 6 13 ? 6 13 ? ? ? 3 7 ? 6 ? 5 7 ? 6 ? 5 35 P7
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(11) 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元

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70 元的单片软件和盒装磁盘, 根

据需要至少买 3 片软件,至少买 2 盒磁盘,则不同的选购方式共有 (A)5 种 解 (B)6 种 (C)7 种 D)8 种

设选购 x 片软件, y 盒磁盘,则: ? 500 - 60 x ? 2( x ? 3) ? 70 ?6 ? x ? 3 ,解得: ? , ? 500 - 70 y ?2 ? y ? 4 ? ? 3( y ? 2) ? 60 软件和磁盘数量的选购方式分别为 (3,2)、(3, ,共 7 种。 3)(3, 4)(4, 2)(4, 3)(5, 2)(6, 2)

(12) 已知 xy ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,而 ( x ? y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,T2≤T3,则 x 的取值范围是 1 4 4 (A) (??, ) (B) [ , ??) (C) (1 , ??) (D) (?? , ? ] 5 5 5 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13) 已知 A、B 是互相独立事件,C 与 A、B 分别是互斥事件,已知 P(A)=0.2 , P(B)=0.6 , P(C)=0.14 , 则 A、B、C 至少有一个发生的概率 P(A+B+C) ____________ 解 A、B 同时发生的概率 P(A B)=P(A) ? P(B)=0.2 ? 0.6=0.12 A 发生而 B 没有发生的概率 P(A B)=P(A) ? P(B)=0.2 ? 0.4=0.08 A 没有发生而 B 发生的概率 P(A B)=P(A) ? P(B)=0.8 ? 0.6=0.48 C 发生的概率 P(C)=0.14
A、 B 、 C 至少有一个发生的概率
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P(A+B+C) =P(A B)+P(A B)+P(A B)+P(C)=0.12+0.08+0.48+0.14=0.82
(14) (| x | ?
1 ? 2) 3 展开式中的常数项是 ?20 |x|
3
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1 ? ? 解 ?| x | ? ? 2? | x | ? ?
3 3

1 ? ? 1 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? = | x | +? ? +? ?2? +3x 2 ? ? 2 ? +3? ? ? x ? 2? +12? x ? +6 ?| x | ? ? ??2?? ? | x |? ? | x| ?| x |? ?| x | ? ?| x |? ? ? 3 6 12 ? 1 ? =x 3 +? ? ? 8+3 x ? 6x 2 + ? 2 +12 x + ? 12 x x x ?| x |? 15 6 ? 1 ? =x +? ? +15 x ? 6x 2 + ? 2 ? 20 | x | x x ? ? 1 1 1 2 1 3 1 10 0 (15) 求值: C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ? C10 = ____________ 2 3 4 11 1 1 1 2 1 3 1 10 0 解 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ? C10 2 3 4 11 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 =C10 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 10 =C10 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C1 10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? 2 3 4 5 5 4 3 2 11 0 1 1 = C10 = 11 10 11
3
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2

3

3

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3

(16) 5 人担任 5 种不同的工作,现需调整,调整后至少有 2 人与原来工作不同,则共有多少种不同的调 整方法?________________
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解法一 设该 5 人分别为 ABCDE ,调整前的工作分别是 abcde ,当他们的排列为 BACDE 时, 工作也 分别是 abcde ,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他 们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去 1 即为不同的调整方法.故不同的调整 方法种数为:

P55 ? 1=119(种)
解法二 设该 5 人分别为 ABCDE ,调整前的工作分别是 abcde 。
2 ①求恰有 2 人调整工作的种数: C5 =10(种)

②求恰有 3 人调整工作的种数: 从 5 人中选 3 人的组合数为 C3 5 =10 ,这 10 组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

ABC:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,有2种调整方式 ? ABD:ABD,ADB,BAD,BDA,DAB,DBA,有2种调整方式 ? ? ABE:ABE,AEB,BAE,BEA,EAB,EBA,有2种调整方式 ? BCD:BCD,BDC,CBD,CDB,DBC,DCB,有2种调整方式 ? ? BCE:BCE,BEC,CEB,CBE,EBC,ECB,有2种调整方式 ? ? CDE:CDE,CED,DCE,DEC,ECD,EDC,有2种调整方式 ? CDA:CDA,CAD,ACD,ADC,DCA,DAC,有2种调整方式? DEA:DEA,DAE,EDA,EAD,ADE,AED,有2种调整方式 ? ? DEB:DEB,DBE,EDB,EBD,BDE,BED,有2种调整方式 ? DEC:DEC,DCE,CED,CDE,DCE,DEC,有2种调整方式 ? ?

1 3 1 (种) 恰有 3 人调整工作的种数: 2 ? 10=20 [P ] ( ? =20) 5 2! 3!
③求恰有 4 人调换工作的种数:
4 从 5 人中选 4 人的组合数为 C5 =5 ,这 10 组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

? ? ?ABCD:ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB? ? ? ? ? BCDA:BCDA,BCAD,BACD,BADC,BDCA,BDAC ? ?ABCD ? ? ?有9种调整方式? ? ? ?CDAB:CDAB,CDBA,CADB,CABD,CBDA,CBAD ? ? ? DABC : DABC , DACB , DBAC , DBCA , DCAB , DCBA ? ? ? ? ? ? ?BCDE:BCDE,BCED,BDEC,BDCE,BECD,BEDC ? ? ? ? ? ? ?CDEB:CDEB,CDBE,CBDE,CBED,CEDB,CEBD ? ? ?BCDE ? ? 有 9 种调整方式 ? ? ? ?DEBC:DEBC,DECB,DBCE,DBEC,DCBE,DCEB ? ? ? EBCD : EBCD , EBDC , ECBD , ECDB , EDBC , EDCB ? ? ? ? ? ? ?CDEA:CDEA,CDAE,CADE,CAED,CEAD,CEDA? ? ? ? ? ? ? ? ?DEAC:DEAC,DECA,DACE,DAEC,DCAE,DCEA ? ? ?CDEA ? ?有9种调整方式 ? EACD : E ACD , EADC , ECAD , ECDA , EDAC , EDCA ? ? ? ? ? ? ? ?ACDE:ACDE,ACED,ADCE,ADEC,AECD,AEDC ? ? ? ? ?DEAB:DEAB,DEBA,DABE,DAEB,DBAE,DBEA? ? ? ? ? ? ?EABD:EABD,EADB,EBAD,EBDA,EDAB,EDBA ? ? ?DEAB ?ABDE:ABDE,ABED,ADBE,ADEB,AEBD,AEDB ?有9种调整方式 ? ? ? ? ? ? ? ? ?BDEA:BDEA,BDAE,BADE,BAED,BEAD,BEDA ? ? ? ? EABC : EABC , EACB , EBAC , EBCA , ECAB , ECBA ? ? ? ? ? ? ?EABC ?ABCE:ABCE,ABEC,ACBE,ACEB,AEBC,AECB ?有9种调整方式 ? ? ? ? ? BCEA:BCEA,BCAE,BAEC,BACE,BEAC,BECA ? ? ? ? ?CEAB:CEAB,CEBA,CABE,CAEB,CBAE,CBEA ? ? ? ? ? ? ?
4

1 1 4 1 (种) 恰有 4 人调换工作的种数: 9 ? 5=45 [ P( ] ? + =45) 5 2! 3! 4!
④求恰有 5 人调换工作的种数:

B 换任 A 的工作的排列: ?BCDEA:BCDEA,BCDAE,BCADE,BCAED,BCEAD,BCEDA ? ? ?BDEAC:BDEAC,BDECA,BDACE,BDAEC,BDCAE,BDCEA ? ? B ????? ? 11 种调整方式 ?BEACD:BEACD,BEADC,BECAD,BECDA,BEDAC,BEDCA? ?BACDE:BACDE,BACED,BADCE,BADEC,BAECD,BAEDC? ? ?
C 换任 A 的工作的排列:

?CDEAB:CDEAB,CDEBA,CDABE,CDAEB,CDBAE,CDBEA ? ? ?CEABD:CEABD,CEADB,CEBAD,CEBDA,CEDAB,CEDBA ? ? C ????? ? 11 种调整方式 CABDE : CABDE , CABED , CADBE , CADEB , CAEBD , CAEDB ? ? ? ? CBDEA : CBDEA , CBDAE , CBADE , CBAED , CBEAD , CBEDA ? ?

D 换任 A 的工作的排列:
?DEABC:DEABC,DEACB,DEBAC,DEBCA,DECAB,DECBA ? ? ?DABCE:DABCE,DABEC,DACBE,DACEB,DAEBC,DAECB ? ? D ????? ? 11 种调整方式 DBCEA : DBCEA , DBCAE , DBAEC , DBACE , DBEAC , DBECA ? ? ?DCEAB:DCEAB,DCEBA,DCABE,DCAEB,DCBAE,DCBEA ? ? ?

E 换任 A 的工作的排列: ?EABCD:EABCD,EABDC,EACBD,EACDB,EADBC,EADCB ? ? ?EBCDA:EBCDA,EBCAD,EBACD,EBADC,EBDCA,EBDAC? ? E ????? ? 11 种调整方式 ECDAB : ECDAB , ECDBA , ECADB , ECABD , ECBDA , ECBAD ? ? ? ?EDABC:EDABC,EDACB,EDBAC,EDBCA,EDCAB,EDCBA ? ?
恰有 5 人调换工作的种数共有 11 ? 4=44(种) [ 5!(

1 1 1 1 ? ? ? ) ? 44 ] 2! 3! 4! 5!

故后至少有 2 人与原来工作不同工作的调整方法的种数是:10+20+45+44=119(种) 三、解答题 (17)在二项式 ( 3 x ?

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(Ⅰ)求展开式的第四项; (Ⅱ)求展开式的常数项; (Ⅲ)求展开式中各项的系数和 解 二项式 ( 3 x ?
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1 2 x
3

) n 展开式的通项为
n?r 3

r n?2r ?? 1 1 r (? )r ( x) 3 ? (? )r Cn x 3 , r ? 0,1,2,3, , n 2 2 1 0 0 1 1 1 2 2 由已知得: (? ) Cn , ( )Cn , ( ) Cn 成等差数列 2 2 2 ? n(n ? 1) ?n1 ? 8 1 1 1 ∴ 2 ? Cn ? 1 ? Cn2 , n ? 1 ? , n2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 ? 2 4 8