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2009年全国高中数学联赛加试题另解



1  2
r 一   —  — 一 ^  1

中 等 数 学 

t.题新解: 赛   . 。   t .~ . .、.一   、    .
2 0 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试 题 另 解  0 9

第 一 题  如 图 1 M、 分 别 为 锐 角  , N
△   C

(   < B)    

PN = C =M B =M 1   =NC =N1=NA. M 。,  

又 L  A 大 J NT= A   MT= 1     MT.
/ A N = NBC = T     C MN 
=  

的外 接 圆 网 厂 上 
/  、   、  

弧B A C、 C的 中点 .  

PNM =  

PT = M  

IM . T  

过点 c作 尸 /M   c/ N
交 圆 厂 于 点 尸,  , 为 △ A C 的内心 , B   联 结 P 并 延 长 交  , 圆 厂于点  求证 :  
(1) MP‘ T=NP? M NT;  
、  

所以, A ∽△ I . △ NT MT  

则A 祈  A     N 而 T= T N=
. 

于是 , P 7= P? 1   ? 1 N N’ .  

网1  

注 : 样 利 用 △ ,   ∽ A  MT 或  同 , v B
△ P ,   ∽△ Ⅳ   可证结论 ( ) 1.  

( ) 图 2 联 结 4 l曰 2, 、 2 2如 , , 、,、, , . 。 ,  易知 Q、lⅣ及 Q、 、 分 别三点共线 . ,、 ,  2  
由引理得 
AN = NI 1=NI=NC = PM ,   BM =M I 2=M I=M C = P~ .  

( ) 弧A 不 含 点 C) 任 取 一 点 Q 2存 B( 上  

(  、 、 , △ A C A  C 的内心分另  Q≠ 7 B) 记   Q 、 QB 0
为 ,、 , Q、 、2 四点 共 圆.   则   , ,、       证 法 1 为了证 明该题 , : 先给 出一个 引理 .   引理 设 , △ A C内一点 , , 在 直  为 B A所 则 线交 △ A C的外 接 圆于点 D . , △ A C B 则 为 B  内心 的充要 条件是 B D=D =D . I C 
证 明略.  
回到 原 题 .  

又  A I = A N 。   NQ= A   MQ= 删 2   ,  
A = BMI / iNl   B 2  Nl   , I = MI ,

△ M 1 △  ,, ,N ∽ △ 1 ∽ 2△ lI 2   MB,
AN|C9 I B . /  M  

从 而 ,  = I   i AN A l 面 =I 而 l A I

. 

( )如 图 2  1 .

故 △ Al △ II i∽   B2  
/ T I= Al   T I. I2  



1I   A  =

Bl,  I.

联结 T A N   A、N、 C、 C 、 B .易知  M MB、 T
A、 、 及 8、 、   lM lN

叉  I AT=   IM = P   N P = BI   f   T,

分 别  点共 线.   由于 P / M   C / N,
则 P、 M、 四点  C、 N

A T=   I 由( ) 1 所证知  = N 于是 ,  A 1 而 A
. .  

则△ ,T∽ △ ,  l , 2 闵2  

/ A I =/ , . T1    

故  ,T2   A I   A P  I = T= T 
=  

共 圆.  

MQ = ,Q 2 N     ,.  

故 四边形P MN是等腰 梯形 . C   结合 引理得 

因此 , ,、 、T Q、l, 7四点共 圆. 2  

( 李耀文

山东枣庄第十八 中学, 70 ) 2 20  7

20 09年 第 l 期  2

l  3

证法 2 ( ) 然 , ,M 及  、、 分 别  : 1显 A、、 ,~


三点共 线.   对 △ 跗 Ⅳ及点 , 由角元 塞 瓦定 理得 
sn i  NPI i   sn PMI sn   i  MNI  


1 l > 

+ ) >l 2 一1 n  

,  

L nn   即 ∑  + 1一 l  > 一 1, kl z = k

sn i 

I   i  PM sn

I N sn M i 

I NP 

1 ①  .

丽由 C ,M 易褥 P P . P/ N. / A= 8  
因 此 , P =/ I P    MI N .
. 

白 ÷  <+砉   +       塞 寺


= 

+ 

丢 + n <  , n   
一.    n n< .  

式① …  T:s - N  n- i
:  

CN
: 

M P 


k= l    

Sl n 

综 合 ( ) ( ) 得  1 、2 可
( 2川 -前 奋 . J年  

( 齐
第二题
一  



湖北省 武汉 二 中 ,300  4 00 )

n≤

丢 .  

求 证 : 等式  不

( 继 忠  山东省 东营胜 利一 中,5 0 0 王 270   王 书爽  陈静

k= l    



骞 -≤( ,)   - 吉  2 . n   ,  …

<  < 

湖北省 荆 州 中学 ,3 0 0   442 )

证法 1 首先 证 明 : :  

证法 2 注意到  :

寺 .   这 凶 函 ) 与 轴   1 是 为 数 =   及 =  ÷ 、
:  

nI - 

> 南   

=  

南… ,   

_ _

所 同成 的面积 S满 足 
, 1   1  





1  

)  

() 于以 1  , , i小 , … 
矩 形 面积 和 ;   (iJ I 1 i  ̄ L ) (


为高 、 l为宽 的 


!【 ± ± 二!       !  
1  。  



3, , 为 高 、 …  1为 宽 的 

则  k 1 上   2+

n  

矩形 面积 和.  

则 + ++ 丢 ÷ … 


> 

攀 
: 一 1 +1 — > n e 二





"1 d < 1 +      1
?

+  
/ - 2

(  >1 , )  

>  

> 丁 一 一   —
当 n=l时 ,  

1 ’ .  

即  1+ 1+.   ln 1  .+ 了 . +1<n < +1+.  1 -   ?
. 


下面证 明 : < 一1
k= l  



k 2+ 1  
k= l

n:  

=  

;  

kll≤ . 2— 吉 +n    

当n ≥2时 ,  

(当 =时骞 k=, 等 1   1,   原   )   1不
式 成立.   ( ) n 2时 , 2当 1 >  


塞 <南      


! !  2    ± :二 (
2   ‘  

塞 =    

故 

~ 

1  4
<- < = +— . —         —、 — — — 一 一I n 一’      n

中 等 数 学 



 

: 

+  

[ ( )I     ]n + +  

> 2   一 )   +  (    


告  +
+   <  ‘  

--   - …
> 一I   n 2> 一1  .



 

故  
302 ) 10 3  

n丢. ≤.  

故l _<  
( 舒金根
第 三题

~≤ ? 寺 

( 乐新  广 东 省 珠 海 市 第 一 中 学 , 傅  
5 9 0   朱 g 华  浙 江省 杭 州 外 国语 学校 , 10 0 -   证 法 3 先证 明一 个引理. :  
引理


浙 江省衢 州第二 中学 ,200   34 0 )
设 k 1 给定 的两 个 正 整 数. 、是  

证明: 有无 穷多个 正 整数 m( m≥k , 得 c )使  
与Z 互质.   证 法 1 若质数 P与 c 互质 , :   由于 c 中质   
设  > . 0 则 

等 l1 )芄 <(  < n+  
) n 1  )  , :I( + 一  

因 p次 为 [ 一 ]  ] 数 的数 ( ]  一 )   [ 【 ,  
因此 ,  


引理 的 证 明 :   设
’ 

g )l1 ) +   ( =(  一 等.   n+  
则厂   ): 1   g )= 1    


【 】 l ,)       ,…’ 2 ①

即 k+( m—k m 在 P进制 下不发 生进 位. )=   设 f 质 因 数 为 P , : … ,  不 妨 设  的  P , P , P< 2 1 p <… <   贝  在 P ( =1 2 … , ) p. 0   i , , 凡 进  制 的表达 方式 下 , k在 P 进 制 的表 达 式 的数    位 最长 , 为  =a  , 中 , 整数 o r 设 p +r其 正 、 满 
足 1 ≤p —10 ≤p 一1 ≤0 1 , ≤r   .  

1=  

<0,  



1 = >  +南 0   .

从而 , 当  > 0时 ,   ) ,0 ,( < ( ) g )> ( )  go ,

即  一   l( + < . 5 < n 1  )   -  
() 1 当  =1 , 时  
一  

故可构造出如下满足式①的无数个 m:  
m=k+   ( E N) t   .    

这样 的 c 均与 2 质.   互  


< 

吉 ;  

( 李



天 津 师 范 大学数 学科 学 学 院 

0 7级 研 究 生 。0 3 7   30 8 )

() n 2 当 ≥2时 ,  
~  

证法 2 当 f : =1时 , 任 意 的 m E N+  对    ,
结论 均成 立.  

当Z >1时 , m =P? 令 Z  +k n> P E (  ,   


号 【 + 

+ 

(  )   ] +  

N .  ) 则  ,(   m一1 ( 2 …( — ), n一 ) m k+1  )




吉 [ 一 + +     
<  ,  

]  

Q(  ? +k , 1) 1   !  

其中, ( ) Q   为整系数多项式.  
又 因 m>k 所 以 , ,  

= 

20 09年第 1 2期 
c  

1  5



引理 的 证 明 : 表 示 (  ) 中  的  c 1+   系数.  

是整数 . 因此 ,!Q f)  对任 意 的 r∈ N+ k I (  ? t  
成立.  

而(+ ) Ⅱ( +)   1戈  = 1  .
因为 c p y ̄i- 1l ( ≤ ≤p  =   1    一1 , 以 , )所  
.  


当 r大于 k 的标 准 分 解 式 中质 因数 的  t ! 最 高次 幂时 , 有 
Q( ? +k :(l ) k ( ∈ N+ .  )  ! t+i ? ! t )   于是 , c ,):(l ,)=1 ( z t+1  .   因为 满足条 件 的 n p有 无穷 多个 , 以 , . 所   结论 成立.   ( 利民 张 黑龙 江省 大庆 一 中 ,6 4 8 13 5   陈 超 湖 南省 岳 阳县 第 一 中学 高 2 1班 , 7   4 4 0 指 导教 师  米 小 渊) 1 10   证 法 3 对 任意 的正整 数 t令  : ,
m =k+t? . lk!  

i P的幂 次小 于 , ~为整数 , PI  的 c-。 iI 故 c

则(+)兰 (+ I   Ⅱ 1 
回到原题  

(op. o rd )  


而 右边 中  的 系数为 c n -.c .  CnI ?   b b .   
取出 Z 的所 有 质 因子 :。P , ,  p ,  … p

设 J的 P 进制 的位 数为  +1 即  }   , k=(     1 lo   6 6 一…bb) .

构造 m 为 同余 方 程 组 m差k m dp   ( o  )
( m>k i , … ,) , =12, f 的解.  

接 下来证 明 : c z (  ,)=1 .  
注 意到 
r  一

由中国剩余 定 理 知 , 同余 方 程 组 有 无  该
穷 多个 解.   而对每 一个解 , 由引理 c  兰1 m dP )  ( o   ,

u   m一

[ (:! 二 二2: 二2  :  ] (  ]:     [   : (  
1 … . 1. ? 2 f 1k  一  

’  

二( 二 一 ± : .        墨
i —   i  

故 c  与 z 互质.   ( 齐 博 湖 北省武 汉二 中,300  400 ) 证 法 5 不 妨 设 Z p‘;…p 其 中 ,。 : =     :, p P,   P , , 为质数 , 1 , ,t为 正整数 . 2… P O, … O /  2   则 
(  ,) 铸 (   P):1 i , , , . c z =l c ,  ( =12 …  )  

:1+  

( 1 2 一,)      .  

因 ik ( :1 2 … , , 以 , l! i , ,  ) 所  

即证 (  ,  c P )=1对 无 穷 多 个 正 整 数 
m≥|成 立. j }  

是 正整 数.  

又 掣 是z 倍 则1  的 数, +
质. 故  二  与z 互质.  

与f   互
为 

而c :   可 

, c 故  中p 的幂次   

因 ,  此立
班 ,0 0 0   305 )

与互 . z质  

s 【  专_   】     【  [ , 卜 】  
即证 S= 0对 无穷 多个 正整 数 m≥k成立 .  

( 刘  淼  天 津 耀 华 中 学 实验 四年 二  证法 4 先证 明一 个 引理. :   引理
分 别 为  m=( nn 1 lo p  a a 一…a a ) ,
k:( n  1 10 。 bb 一…6b ) ,  

不妨 设 P ≤k<  ( ∈ N+ , 中 ,   i   p   )其   由 P、 一 确 定 . 任 意 的 Y, 其 满 足   k唯 取  使 Y≥ Y ∈ N+ . i  (   )令  m  pl = mI 2    ( =   m c m …m + c∈ N) y , .  

设 m、 P进制 表示 ( k的 p为质数 )  

下证对于任意的 t, i均有 S 0 t :.  
当  ≤  时 , Im 一 ,   (  ) 则  ∈ N. 故 

不 足 的位 置用 0补齐 .   贝 C - b   1  c m0 ) Ⅱ  一 n b    。 n …c  ( dp .     u  



[=   嗜 】

专  】 +

1  6

中 等 数 学 

















法  

冯 俊 利 
( 江苏省南京市宁海 中学分校 ,106) 203  

第 5届 女 子 数 学 奥 林 匹 克 的 第 8题 是 :  

因此 , 在唯一 的正整 数 2, 存   使得 
2 32<       I< × ‘ 南3 ?     ×    


设 P为大 于 3的质数 . 求证 : 存在若 干个  整数 n ,  … ,t 足条件    口 , a满
一  

< l0< <  譬, 0<2 ?口<  
?   …‘ ?   是3 的某个 正 



直做 下去 , 造 了整 数 列 。 ,  ? 构 。口 ? 满 
1从而 , . 存 

足 0< I   , n = 3   < 且   p一   使得乘 积 
整数 次幂 .  

在 i   使 得 』  =l  , l … l 1 Ⅲ I <, n I   l且 口 n ,0   ,   I 互不相 同. 故 


,  

文 [ ] 已经 给 出 了两 种 证 法 . 文 再  1中 本 给 出一个新 的证 法.  

二竺 . 二      

…. .  

I l 1f I 。+ I 0+       2
3 。   3 … I 。   I  l   。+


I, ⅡI  
. 

证明: 取整数a满足0 l I 譬 .   0 < n < 则存 。
在 唯一 的正整数 l, 。使得 


=  

I  I   a  
3 f l   .f + +

l 2 0 + 
0- -
. 

    l I

赤   <  

?  

将 。 ,  , ,  照从 小 到大 的顺 序    口 … n按
排 列一下 , 原命题 得证 .  

令 n = 3  0 . 0 1 p一  l   贝    l < . 0 I 0<I       n1

因此 , 唯一 的正 整数 2, 存在  使得 
2 ×3    <l   < 2 ×3     ?  

注上 的 整 £ 以 于   :述 正 数 可 小 号.
参考文献 :  
l ] 20     0 7年 I 中国 国 家集 训 队教 练 组 编 . 向 I 数   1 MO 走 MO: 学 奥 林 匹 克试 题 集 锦 (0 7 [ . 海 : 东 师范 大   2 0 ) M] 上 华
学 出版 社 ,0 7 9 2 0 ,.  

令 口 = 3  l. 0 2 p一  I   贝   2 < . n I 0<l       0l

= 



[ ]   '  


6≤  

<  

< 6+ 1  

p  l



p  



 

【 ]0   = .  

[  

当 > 时 , < 。  <     后 p  x ≤p  .

显,寺 ,f 。 然<< [= 0 I 即i . p L         】 J  
不妨设 J y + , m — =   0且 k=(p  ) , b +    

j ][][ ]  [ 一 一  =     m 。 一
S =0.  

因此 , =c m2 m  ( m ml …  十 c∈ N) 足  满
题 意.  

其中, 0≤O≤ 一1 1 ≤p 一1 O 0 b∈ l  , ≤b   (l 、   、 N) 故  . p≤m一 (  <m=(p + p    b   )j十
<b  p +( 十1 p ≤ (   )   b+1  )

显 然 ,  , m有 无穷 多个. m≥ 且  
( , 徐 刚  湖 南 省 岳 阳 县 第 一 中 学 高  
2 1班 , 1 10 指 导教 师 7 44 0 米 小渊 )  



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