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初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习52:换元法


装 订 线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(52) 换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来 代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简,化难为易,沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的 取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换. 倒数方程的特点是:按未知数降幂排列后,与首、末等距离的项的系数相等. 例如:一元四次的倒数方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0. 5. 1 1 )+b(x+ )+c=0. 2 x x 1 1 设 x+ =y, 那么 x2+ 2 = y2-2, x x 两边都除以 x2,得 a(x2+ 原方程可化为 ay2+by+c-2=0. 对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, 必有一个根是-1. 原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0. ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这是四次倒数方程. 形如 ax4-bx3+cx2+bx+a=0 的方程,其特点是: 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等,奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以 x2, 可化为 a(x2+ ) 1 1 -b(x- )+c=0. 2 x x 1 x2 =y2+2, 设 x - 1 =y, 则 x2+ x 原方程可化为 ay2-by+c+2=0. 1 二、例题 例 1. 解方程 x ? 1 ? 解:设 x ? 1 ? x ? 1 ? x 2 ? 1 =x. x ? 1 =y, 那么 y2=2x+2 x 2 ? 1 . y- 原方程化为: 解得 当 y=0 时, 当 y=2 时, 1 2 y =0 . 2 y=0;或 y=2. x ? 1 ? x ? 1 =0 (无解) x ? 1 ? x ? 1 =2, 解得,x= 5 . 4 检验(略). 例 2. 解方程:x4+(x-4)4=626. 解: (用平均值 x? x?4 2 代换,可化为双二次方程.) 设 y= x-2 ,则 x=y+2. 原方程化为 (y+2)4+(y-2)4=626. [((y+2)2-(y-2)2)2+2(y+2)2(y-2)2-626=0 整理,得 y4+24y2-297=0. (这是关于 y 的双二次方程). 2 2 (y +33)(y -9)=0. 2 当 y +33=0 时, 无实根 ; 当 y2-9=0 时, y=±3. 即 x-2=±3, ∴x=5;或 x=-1. 4 3 例 3. 解方程:2x +3x -16x2+3x+2=0 . 解:∵这是个倒数方程,且知 x≠0, 两边除以 x2,并整理 得 2(x2+ 1 1 )+3(x+ )-16=0. 2 x x 1 1 设 x+ =y, 则 x2+ 2 =y2-2. x x 原方程化为 2y2+3y-20=0. 解得 y=-4;或 y= 5 . 2 由 y=-4 得 x=-2+ 3 ;或 x=-2- 3 . 由 y=2.5 得 例 4 解方程组 ? x=2;或 x= 1 . 2 2 2 ? ?2 x ? 5 xy ? 2 y ? x ? y ? 1 ? 0 2 2 ? ? x ? 4 xy ?

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