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上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:复数与极限



上海市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 复数
一、复数 1、(2016 年上海高考)设 Z ?

与极限

3 ? 2i ,期中 i 为虚数单位,则 Im z =______________________ i
. .

2、 (2015 年上海高考)若复数 z 满足 3z+ =1+i,其

中 i 是虚数单位,则 z= 3、(2014 年上海高考)若复数 z ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 ? z ?

? ?

1? ?? z ? z?

4、(虹口区 2016 届高三三模) 已知复数 z ?

2i ( i 为虚数单位 ) ,z 表示 z 的共轭复数,则 1? 3 i

z ? z ? _________.
5、(浦东新区 2016 届高三三模)在复平面内,点 A? ?2,1? 对应的复数为 z ,则 z ? 1 ? 6、(杨浦区 2016 届高三三模)若 2 ? i ( i 虚数单位)是实系数一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的根, 则 p?q ? 7、(崇明县 2016 届高三二模)设复数 z 满足 i ( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位),则复数 z 的虚部 为 8、(奉贤区 2016 届高三二模)若 i ? bi ? 1? 是纯虚数,是虚数单位,则实数 b ? _______. 9 、(虹口区 2016 届高三二模)已知虚数 1+ 2i 是方程 x2 ? ax ? b ? 0 ( a、 b ? R) 的一个根,则

a ? b ? _______ .
10、 (闵行区 2016 届高三二模)若复数 值为 11 、(徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模)若复数 z 满足

1? i 1 ? b ( i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 b 的 1? i 2
1? i ? ?i, 其中 i 为虚数单位,则 z

z ? ________________.
12、(闸北区 2016 届高三二模)如果复数 z 满足 | z |? 1 且 z ? a ? bi ,其中 a, b ? R ,则 a ? b 的
2

最大值是 13、(松江区 2016 届高三上学期期末)若复数 z ? 1 ? ai (i 是虚数单位)的模不大于 2,则实数 a 的取值范围是 ▲
2 14、(徐汇区 2016 届高三上学期期末)设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,

若 x1 是虚数,

x12 是实数, x2
2 4 8 16 32

x ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? 则 S ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? =_______________ x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ?
15、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)已知虚数 z 满足 2z ? z ? 1 ? 6i ,则 z ? __________

i 是虚数单位, 16、 (徐汇区 2016 届高三上学期期末) 设 x 、y 均是实数, 复数 ( x ? 2 y) ? (5 ? 2 x ? y)i
的 实 部 大 于 0 , 虚 部 不 小 于 0 , 则 复 数 z=x+yi 在 复 平 面 上 的 点 集 用 阴 影 表 示 为 下 图 中 的 ---------------------------------------( )

17、(青浦区 2016 届高三上学期期末)复数 z ?

a ?i a?R i ( , 是虚数单位)在复平面上对应的点 1? i

不可能位于………( ). (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2 2 18、(闵行区 2016 届高三二模)复数 z1 ? sin x ? i ? cos2 x , z2 ? sin x ? i ? cos x (其中 x ? R , i 为 虚数单位). 在复平面上,复数 z1 、 z2 能否表示同一个点,若能,指出该点表示的复数;若不能, 说明理由.

二、极限 1、(2016 年上海高考)已知无穷等比数列 ?an ?的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,且 lim S n ? S .下列条
n??

件中,使得 2Sn ? S n ? N ? 恒成立的是( (A) a1 ? 0,0.6 ? q ? 0.7 (C) a1 ? 0,0.7 ? q ? 0.8

?

?



(B) a1 ? 0,?0.7 ? q ? ?0.6 (D) a1 ? 0,?0.8 ? q ? ?0.7 (n∈N )与圆 x +y =2 在第一象限的交点,
* 2 2

2、 (2015 年上海高考)设 Pn(xn,yn)是直线 2x﹣y=

则极限

=(



A.﹣1

B.﹣

C .1

D.2
n ??

3 、( 2014 年上海高考)设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim? a3 ? a4 ? ? ? a n ? ,则

q?

.

a a ? 4, a3 ? a4 ? 3, 则 4、(虹口区 2016 届高三三模)若等比数列 ?an ? 的公比 q 满足 q ? 1 ,且 2 4

lim(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ___________.
n ??

5、(浦东新区 2016 届高三三模)计算: lim

2 Cn ? n ?? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n

4 a1 a3 ? 1 , a2? a3 ? ,则 a 在 正 项 等 比 数 列 中 , ? ? n 6 、 ( 虹 口 区 2016 届 高 三 二 模 ) 3

lim(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ___________.
n ??

7、(黄浦区 2016 届高三二模)计算: lim

3n ? 1 ? n ?? 3n ?1 ? 2 n



8、(静安区 2016 届高三二模)计算: lim

n 2 (n ? 6) ? n ??? 12n 3 ? 7
6

_.

1 ? ? 3 9、 (闵行区 2016 届高三二模)若 ? x ? ? 的展开式中的 x 项大于 15 ,且 x 为等比数列 ?an ? 的公 x? ?
比,则 lim
n ??

a1 ? a2 ? ? ? an ? a3 ? a4 ? ? ? an

.

10、 (徐汇、 金山、 松江区 2016 届高三第二学期学习能力诊断 (二模) ) 若函数 y ? 4 ? ? x2 ? 2x ? 3

a n ? 2b n 的最小值为 a ,最大值为 b ,则 lim n =_________. n ?? 3a ? 4b n

参考答案 一、复数 1、【答案】-3 【解析】

z?

3 ? 2i ? 2 ? 3i, Imz=-3. i

2、 解:设 z=a+bi,则 =a﹣bi(a,b∈R) , 又 3z+ =1+i,∴3(a+bi)+(a﹣bi)=1+i, 化为 4a+2bi=1+i,∴4a=1,2b=1,解得 a= ,b= .

∴z=

.故答案为:


2

3、【解析】:原式= z ? z ? 1 ? z ? 1 ? 5 ? 1 ? 6 4、1 5、【答案】 2 【解析】 z ? ?2 ? i , ?1 ? i ? 2 6、1 7、 ?3 11、 1 ? i 13、 [? 3, 3] 15、 5 16、A 17、a 18、解:设复数 z1 , z2 能表示同一个点,则 cos 2 x ? cos x 解得 cos x ? 1 或 cos x ? ?
2

8、0 12、 2

9、3

10、2

14、-2

……………………3 分

1 , 2

………………………………7 分 ……………9 分 ……………11 分 ……………12 分

当 cos x ? 1 时,得 sin x ? 0 ,此时 z1 ? z2 ? i ; 当 cos x ? ?

3 1 1 3 2 时,得 sin x ? ,此时 z1 ? z2 ? ? i ; 4 2 2 4
3 1 ? i. 4 2

综上,复平面上该点表示的复数为 i 或

二、极限 1、【答案】B 【解析】由题意得: 2a1

1 ? qn 1 1 ? a1 ,(0 ?| q |? 1) 对一切正整数恒成立,当 a1 ? 0 时 q n ? 不恒成 1? q 1? q 2

立,舍去;当 a1 ? 0 时 qn ?

1 1 ? q2 ? ,因此选 B. 2 2
趋近于 2x﹣y=1,与圆 x +y =2 在第一象限的交点无限靠近
2 2 2 2

2、 解:当 n→+∞时,直线 2x﹣y=

(1,1) ,而

可看作点 Pn(xn,yn)与(1,1)连线的斜率,其值会无限接近圆 x +y =2 在点

(1,1)处的切线的斜率,其斜率为﹣1.

∴ 故选:A.

=﹣1.

a3 5 ?1 a1q 2 ?1 ? 5 3、【解析】: a1 ? ,∵ 0 ? q ? 1 ,∴ q ? ? ? q2 ? q ?1 ? 0 ? q ? 2 1? q 1? q 2
4、16 5、【答案】1

n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? Cn 2 【解析】 lim ? lim ? lim ?1 n ?? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n ?? n ? n ? 1? n ?? n ? n ? 1? 2
6、

9 2

7、

1 3

8、

1 12
6 r

9、【参考答案】1
3 6? r ? 1 ? 3 r 6? r ? 1 ? r 2 T ? C x ? ? C x 【试题分析】 ? x ? 的展开式中第 项为 ,令 6 ? r ? 3 得 r ? r ?1 6 6 ? ? 2 x? ? x? ? 2 3 r ? 2 ,所以展开式的第 2 项为 C6 x ? 15x3 ? 15 , x ? 1 ,因为 x 为等比数列 {an } 的公比,所以

lim

? a1 (1 ? x n ) ? a1 ? a2 ? …+an 1? x 1 ? xn ? lim ? ? = lim ? n ?? a ? a ? …+a n ?? ? a1 x 2 (1 ? x n ? 2 ) ? n?? x 2 ? x n 3 4 n ? 1? x ?
n ??

= lim ?1 ?

? 1 10、 2

x2 ?1 ? ? ? 1. xn ? x2 ?



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