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合肥九中2014-2015学年高二第二学期期中考试



合肥九中 2014-2015 学年度第二学期高二期中考试数学(理)试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 i 是虚数单位,则复数 ( A. 3 ? 4i

3?i 2 ) ?( 1? i

) C

. 3 ? 4i D. ?3 ? 4i

B. ?3 ? 4i

2.用数学归纳法证明不等式 1 ? 证不等式( A. 1 ? ) B. 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? n ? n ( n ? N * 且 n ? 1 )时,第一步应验 2 3 2 ?1

1 ?2 2

1 1 ? ?2 2 3

C. 1 ? )

1 1 ? ?3 2 3

D. 1 ?

1 1 1 ? ? ?3 2 3 4

3.函数 y ? 2 ? x 2 ? x3 的极值情况是( A.有极大值,没有极小值 C.既无极大值也无极小值

B.有极小值,没有极大值 D.既有极大值也有极小值 )

4.函数 f ( x) ? x cos x 的导函数 f ?( x ) 在区间 [ ?? , ? ] 上的图像大致是(

A.

B.

C.

D. )

3 5.若关于方程 x ? 3x ? m ? 0 在 [0, 2] 上有根,则实数 m 的取值范围是(

A. [?2,0]

B. [0, 2]

C. [?2,2]

D. (??, ?2) ?(2, ?? ) )

6.设 x ? 3 ? 4i ,则复数 z ? x ? x ? (1 ? i) 在复平面上的对应点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

7.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? ln x ,则 f (1) ? ( A. ?2 B. ?1 C.1 D. 2



8.正弦曲线 y ? sin x 上一点 P ,以点 P 为切点的切线为直线 l ,则直线 l 的倾斜角的范围是 ( A. [ )

] 4 4 4 4 2 4 1 1 9.在区间 [ , 2] 上函数 f ( x) ? x2 ? px ? q 和函数 g ( x) ? 2 x ? 2 在同一点取得相同的最小 2 x 1 值,那么 f (x) 在 [ , 2] 上的最大值是( ) 2 13 5 A. B. C. 4 D. 8 4 4
10.已知函数 f ( x ) 满足 f ?( x) ? f ( x) ,则以下正确的是( A. 2 f (ln 3) ? 3 f (ln 2) C. 2 f (ln 3) ? 3 f (ln 2) )

? 3?
,

]

B. [0, ? )

C. [0,

?

]?[

3? ,? ) 4

D. [0, ] ?[ ,

?

? 3?

B. 2 f (ln 3) ? 3 f (ln 2) D. 2 f (ln 3) ? 3 f (ln 2)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中的横线上) 11.若 f ( x) ? ln x ?

1 ,则 f ?(1) ? x

12.已知数列 {an} 满足 a1 ? 2 , a2 ? 3 , an?2 ? an?1 ? an ,则 a2015 ? 13.如图为函数 f ( x ) 的图像, f ?( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数,则不等式 xf ?( x) ? 0 的解集为 .

14.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 15.在等比数列 {an} 中,若前 n 项之积为 Tn ,则有 T3n ? ( 前 n 项之和为 Sn ,用类比的方法得到的结论是

T2 n 3 ) .那么在等差数列 {bn} 中,若 Tn
.

三、解答题(本大题 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分)已知复数 z ? (1 ? i)2 ? 1 ? 3i . (1)求 z ; (2)若 z 2 ? az ? b ? z ,求实数 a , b 的值。 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b (a ? 0) , 且曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切。 (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极大值和极小值。

b、 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 . 18. (本题满分 12 分) 已知 a 、 且 a ? b ? c ? 1, 求证: c 为正数,
19.(本题满分 13 分)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点。 其中 m, n ? R , m ? 0 . (1)求 m, n 之间的关系式 n ? g (m) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间(用 m 表示) 20.(本题满分 13 分)如图,设点 P 从原点沿曲线 y ? x2 向点 A(2, 4) 移动,记直线 OP 、 曲线 y ? x 及直线 x ? 2 所围成的面积分别记为 S1 、 S2 ,若 S1 ? S2 ,求点 P 的坐标.
2

1 a

1 b

1 c

21.(本题满分 13 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x 2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2) 若a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根, 求实 2 2

数 b 的取值范围。

高二期中考试数学(理)试卷答案
一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A

二、填空题 11.2 12.0 13. (??,0) 14. 5 15. S3n ? 3(S2n ? Sn )

三、解答题 16.

17.

18.

19.

20.

21.



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