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高一数学集合间的基本关系


1.1.2集合间的基本关系
思考
实数有相等关系、大小关 系,如5=5,5<7,5>3, 等等,类比实数之间的关系, 你会想到集合之间的什么关 系?

观察下面几个例子,你能发现两个集合之间 的关系吗?
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};

⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,
B为这个班学生的全体组成的集合;

⑶ 设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是 等腰三角形}.

1.子集的概念
一般地,对于两个集合A、B, 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合A为集合B的子集. 记作 A ? B (或B ? A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )

B

A

2.集合相等与真子集的概念
  如果集合 A是集合B的子集(A ? B) ,且集合B是 集合A的子集(B ? A),此时,集合 A与集合B中 的元素是一样,因此, 集合A与集合B相 等,     记作    A=B

如果集合A ? B,但存在元素 x ? B,且x ? A,我 们称集合A是集合B的真 子 集 ,记作 A ? B (或B ? A)

3.空集
 我们知道,方程 x ? 1 ? 0没有实数根,所以,方 程
2

x 2 ? 1 ? 0的实数组成的集合没有 元素.

 我们把不含任何元素 的集合叫做空 集,记为? 并规定:空 集 是 任 何 集 合 的 子 .集

空集是任何非空集合的真子集.

4.集合之间的基本关系.
( 1 )任何一个集合是它本 身的子集,即        A?A ( 2 )对于集合A、B、C,如果A ? B,B ? C,那么 A ? C.
 例3、写出集合{ a, b}的所有子集,并指出 哪些是它 的真子集 .

5.反馈演练
1、下列命题: (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有两个 子休; (3)空集是任何集合的真子 集; (4)若? ? A,则A ? ?.其中正确的有 ( A.0个 ) D.3个 B.1个 C.2个

y-3 2.设x, y ? R,A ? {(x,y) | y - 3 ? x - 2}, B ? {(x,y) | ? 1}, x-2 则A,B的关系是______.

3.已知A ? { x | ?2 ? x ? 5}, B ? { x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, B ? A, 求实数a的取值范围 .

解: ? ? ? A, ?当B ? ?,有a ? 1 ? 2a ? 1, 即a ? 2 ?2 a ? 1 ? a ? 1 ? 当B ? ?时,有?a ? 1 ? -2 ?2 a ? 1 ? 5 ? ?2 ? a ? 3 综上所述,a的取值范围a ? 3.

课堂练习
1 设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集,求实数a的取值范围。
2 设A={1,2},B={x|x?A},问A与B有什 么关系?并用列举法写出B?

4、设集合A ? {x | x 2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1)x ? a 2 - 1 ? 0,a ? R}, 若B ? A,求实数a的值.

解: ? A ? {0, - 4} ,B ? A,于是可分类处理 . (1) 当A ? B时,B ? {0, - 4}. 由此知: 0, - 4是方程x ? 2(a ? 1) ? a ? 1 ? 0的两根,
2 2

由韦达定理得 ?- 2(a ? 1) ? ?4 ? 2 ?a 解得 a ? 1

(2)当B ? A时,又可分为: (a) B ? ?时,即B ? {0} ,或B ? {-4} , ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, 解得a ? ?1
2 2

B ? {0}满足条件; (b)B ? ?时,? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, 解得a ? ?1
2 2

综合(1) 、 (2)知,所求实数 a的值a ? ?1, 或a ? 1.

本节小结
子集、真子集的定义 ? 集合之间的关系 ? 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集
?

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以自强不息;右幅书写:书山有路勤为径,学海无涯苦作舟。在室内的四周摆放了一圈儿一般的桌椅,中间还放了一张特别宽 大的桌子。在喝水活动室内,也沿墙摆放了一圈儿桌椅,桌子上不远不近放了六把水壶和几十个水杯。当然,在孔夫子牌位供 奉室兼备课室和喝水活动室内,也都在相同的位置上修建了和授课学习室完全相同的土制火炉子。大院儿正面的最西一侧是一 套简洁的居室。接受爹和大妹妹的建议,耿正将居室的堂屋加宽了半间,还在东、西厢房内各加建了一个套间式的卧室,并且 将东边的厢房建成了厨房。在居室的西边,另外又盖了四间大开间的储物室。其中的一间留做自家储放杂物用。另外的三间, 一间用来存放煤炭、一间用来存放焦炭,另一间用来存放柴火。平日里除了家用,还得给师生们烧开水,加上学堂冬日里还得 生火炉子,所以,煤炭、焦炭和柴火必须得备足了。在居室前面十几步远的地方,修建时就专门保留了一棵高大的老槐树。这 棵老槐树郁郁葱葱的树冠,在烈日下投下来的树影几乎有小半亩大;而在其大树杈上,则悬挂了一口用响铜铸造的大钟。一条 粗实的拉绳盘两圈拴在大槐树的主干上。小学堂大院的南面正中,是一座相当气派的大戏台。这座戏台不但高大宏伟,而且其 前檐、门面大横梁和两侧的四个粗大的立柱上,还布满了特别漂亮的彩绘。这些彩绘不但构思新颖,色彩亮丽,而且颜色搭配 也非常和谐。在门面横梁正中的一个大大的牌匾式结构上,绘制的是传说中天女散花的图案。只见光彩照人的天女微笑着飘逸 在祥云环绕的天际,她左臂弯里挎着一个装满了各色美丽鲜花的大花篮,右手正在将一大把鲜花撒向人间。在四个粗大的立柱 上,从下到上转圈儿绘制的是远山近水和田野五谷,其间点缀着郁郁葱葱的当地乔木、整洁的乡村房舍和乐呵呵的老少乡民。 这些立柱上所有图案的立体感都很强,天女撒下来的鲜花隐约可见。在门面横梁的其余部分和所有的缘头上,全都绘制成了连 贯的朵朵祥云、或优雅飞翔,或亭亭玉立的仙鸟、蔚蓝色的天空,以及日月星辰什么的。站在台前一看,煞是喜庆喜人;细细 品味,似有花馨鸟语五谷香,如闻风拂杨柳流水潺。一句话:真想与画中的人儿共欢歌!在大院的东南角上,修建了长长的一 排非常整洁的茅房。这一排茅房的中间是隔开的,左侧一边入口处的砖砌墙面上凿刻打磨出了一个大大的“男”字,右侧一边 入口处的同样位置上凿刻打磨出了一个大大的“女”字。打磨得非常光滑整洁的“男”字和“女”字都涂上了橘黄色的颜料。 留下来的木工师傅们继续认真完成了剩下来的所有扫尾工程之后,耿正真诚地谢过大家,并许诺择日请他们回来喝庆功酒,顺 便发放全部工钱。师傅们都高高兴兴地离去了。木工师傅们离去



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