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辽宁省大连二十中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版(含解析)



2015-2016 学年辽宁省大连二十中高二(上)期末数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2 2

r />
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 3.已知椭圆 ( A.2 ) B.3 C.5 D.7 上的点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7,则 P 到另一焦点的距离为 )

4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( A. (¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) 5.若双曲线 的离心率为 C. (¬p)∧(¬q) D.p∨q ,则其渐近线的斜率为( ) )

A.±2 B. 6.曲线 A. B. C.

C.

D. 在点 M( D. ,0)处的切线的斜率为( )

7.若椭圆

(a>b>0)的焦点与双曲线
2

的焦点恰好是一个正方

形的四个顶点,则抛物线 ay=bx 的焦点坐标为( A. ( ,0) B. ( ,0) C. (0, )

) D. (0, )

8.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1|=|z2|,则 B.若 ,则



C.若|z1|=|z2|,则 D.若|z1﹣z2|=0,则 9.已知命题“若函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正 确的是( )
x

A.否命题“若函数 f(x)=e ﹣mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题 B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=e ﹣mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题 10.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 11.设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线的倾斜角的取值 范围为,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为( A. B. C. D. 12.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2,若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方 程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为( A.3 B.4 C.5 D.6
2 3 2 2 x







二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设复数 ,那么 z? 等于 . . .

14.f(x)=x3﹣3x2+2 在区间上的最大值是 15.函数 f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,则 f(1)=

16.过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两 点(A 在 y 轴左侧) ,则 = .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 z 是复数,z+2i 和 (Ⅰ)求复数 z; (Ⅱ)求 的模. 均为实数(i 为虚数单位) .

18.已知集合 A={x|(ax﹣1) (ax+2)≤0},集合 B={x|﹣2≤x≤4}.若 x∈B 是 x∈A 的充 分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.设椭圆的方程为 ,点 O 为坐标原点,点 A,B 分别为椭圆的右顶

点和上顶点,点 M 在线段 AB 上且满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设点 C 为椭圆的下顶点,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB. 20.设函数 ,其中 a 为实数.



(1)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知不等式 f′(x)>x ﹣x﹣a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立,求实数 x 的取值范 围. 21.已知椭圆 C1: 的最小值为 ﹣1. 的离心率为 ,且椭圆上点到椭圆 C1 左焦点距离
2

(1)求 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1) (其中常数 a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年辽宁省大连二十中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】先根据 mn>0 看能否得出方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的 方法来验证,再看方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出 mn>0, 即可得到结论. 【解答】解:当 mn>0 时,方程 mx2+ny2=1 的曲线不一定是椭圆, 例如:当 m=n=1 时,方程 mx +ny =1 的曲线不是椭圆而是圆;或者是 m,n 都是负数,曲线表 示的也不是椭圆; 故前者不是后者的充分条件; 当方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆时,应有 m,n 都大于 0,且两个量不相等,得到 mn>0; 由上可得:“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选 B.
2 2 2 2 2 2 2 2

2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 【考点】命题的否定.



【分析】 根据已知我们可得命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命 题,根据全称命题的否定方法,我们易得到结论. 【解答】解:命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”是一个全称命题

其否定一定是一个特称命题,故排除 A,B 结合全称命题的否定方法,我们易得 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定应为 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数” 故选:D

3.已知椭圆 ( A.2 ) B.3 C.5

上的点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7,则 P 到另一焦点的距离为

D.7

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 由椭圆方程找出 a 的值, 根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常 数 2a,把 a 的值代入即可求出常数的值得到 P 到两焦点的距离之和,由 P 到一个焦点的距 离为 7,求出 P 到另一焦点的距离即可. 【解答】解:由椭圆 ,得 a=5,

则 2a=10,且点 P 到椭圆一焦点的距离为 7, 由定义得点 P 到另一焦点的距离为 2a﹣3=10﹣7=3. 故选 B

4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( A. (¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) 【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】由命题 P 和命题 q 写出对应的¬p 和¬q,则命题“至少有一位学员没有降落在指 定范围”即可得到表示. 【解答】解:命题 p 是“甲降落在指定范围”,则¬p 是“甲没降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则¬q 是“乙没降落在指定范围”, 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 “甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围” C. (¬p)∧(¬q) D.p∨q )

或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围” 或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况. 所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)V(¬q) . 故选 A.

5.若双曲线

的离心率为

,则其渐近线的斜率为(



A.±2 B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由双曲线 的离心率为 ,可得 ,解得 即可.

【解答】解:∵双曲线 ∴其渐近线的斜率为 故选:B. .

的离心率为

,∴

,解得



6.曲线 A. B. C.

在点 M( D.

,0)处的切线的斜率为(



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】先求出导函数,然后根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x= 求出切线的斜率. 【解答】解:∵ 处的导数,从而

∴y'=

= y'|x= = |x= =

故选 B.

7.若椭圆

(a>b>0)的焦点与双曲线 ) D. (0,

的焦点恰好是一个正方

形的四个顶点,则抛物线 ay=bx2 的焦点坐标为( A. ( ,0) B. ( ,0) C. (0, )



【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质. 【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线
2

的焦点恰好是一

个正方形的四个顶点,得到 a,b 的关系式;再将抛物线 ay=bx 的方程化为标准方程后,根 据抛物线的性质,即可得到其焦点坐标. 【解答】解:∵椭圆 一个正方形的四个顶点 ∴2a ﹣2b =a +b ,即 a =3b ,
2 2 2 2 2 2 2 2

(a>b>0)的焦点与双曲线

的焦点恰好是

=


2

抛物线 ay=bx 的方程可化为:x = y,即 x = 其焦点坐标为: (0, 故选 D. ) .

y,

8.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1|=|z2|,则 B.若 ,则



C.若|z1|=|z2|,则 D.若|z1﹣z2|=0,则 【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用. 【分析】利用特例判断 A 的正误;复数的基本运算判断 B 的正误;复数的运算法则判断 C 的正误;利用复数的模的运算法则判断 D 的正误. 【解答】解:若|z1|=|z2|,例如|1|=|i|,显然 不正确,A 错误.

B,C,D 满足复数的运算法则, 故选:A.

9.已知命题“若函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正 确的是( )
x

A.否命题“若函数 f(x)=e ﹣mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题 B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题 【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】先利用导数知识,确定原命题为真命题,从而逆否命题为真命题,即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)=e ﹣mx,∴f′(x)=e ﹣m ∵函数 f(x)=e ﹣mx 在(0,+∞)上是增函数 ∴ex﹣m≥0 在(0,+∞)上恒成立
x x x

∴m≤e 在(0,+∞)上恒成立 ∴m≤1

x

∴命题“若函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,是真命题, ∴逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=e ﹣mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
x

∵m≤1 时,f′(x)=e ﹣m≥0 在(0,+∞)上不恒成立,即函数 f(x)=e ﹣mx 在(0,+∞) 上不一定是增函数,∴逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex﹣mx 在(0,+∞)上是增函数” 是真命题,即 B 不正确 故选 D.

x

x

10.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.



【分析】 因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题, 根据互为逆否命题的真假一致 得到:“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好 货”的必要条件. 【解答】解:“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题, 根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题. 所以“好货”? “不便宜”, 所以“不便宜”是“好货”的必要条件, 故选 B

11.设 a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线的倾斜角的取值 范围为,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为( A. B. C. D. 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 【分析】先由导数的几何意义,得到 x0 的范围,再求出其到对称轴的范围. 【解答】解:∵过 P(x0,f(x0) )的切线的倾斜角的取值范围是, ∴f′(x0)=2ax0+b∈, ∴P 到曲线 y=f(x)对称轴 x=﹣ ∴x0∈[ 故选:B. , 的距离 d=x0﹣(﹣ ∈. )=x0+ )

].∴d=x0+

12.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2,若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方 程 3(f(x) )2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 )

3

2

【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 【分析】由函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2,可得 f′(x)=3x2+2ax+b=0 有 两个不相等的实数根,必有△=4a2﹣12b>0.而方程 3(f(x) )2+2af(x)+b=0 的△1=△> 0,可知此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2 解得个数. 【解答】解:∵函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2,

∴f′(x)=3x +2ax+b=0 有两个不相等的实数根, ∴△=4a2﹣12b>0.解得 = ∵x1<x2, ∴ , .

2

. 而方程 3(f(x) )2+2af(x)+b=0 的△1=△>0, ∴此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2. 不妨取 0<x1<x2,f(x1)>0. ①把 y=f(x)向下平移 x1 个单位即可得到 y=f(x)﹣x1 的图象, ∵f(x1)=x1,可知方程 f(x)=x1 有两解. ②把 y=f(x)向下平移 x2 个单位即可得到 y=f(x)﹣x2 的图象,∵f(x1)=x1,∴f(x1) ﹣x2<0,可知方程 f(x)=x2 只有一解. 综上①②可知:方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2.只有 3 个实数解.即关于 x 的方程 3(f(x) )
2

+2af(x)+b=0 的只有 3 不同实根.

故选:A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设复数 ,那么 z? 等于 1 .

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可. 【解答】解:复数 z? = ,那么 = =1.

故答案为:1.

14.f(x)=x ﹣3x +2 在区间上的最大值是 2 . 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】求出函数的导函数,令导函数为 0,求出根,判断根是否在定义域内,判断根左右 两边的导函数符号,求出最值. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2) 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2(舍) 当﹣1<x<0 时,f′(x)>0;当 0<x<1 时,f′(x)<0 所以当 x=0 时,函数取得极大值即最大值 所以 f(x)的最大值为 2 故答案为 2

3

2

15.函数 f(x)=lnx﹣f′(1)x +5x﹣4,则 f(1)= ﹣1 . 【考点】导数的运算. 【分析】先求出 f′(1)的值,代入解析式计算即可. 【解答】解:∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4, ∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5,

2

∴f′(1)=6﹣2f′(1) ,解得 f′(1)=2. ∴f(x)=lnx﹣2x +5x﹣4,∴f(1)=﹣1. 故答案为:﹣1.
2

16.过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两 点(A 在 y 轴左侧) ,则 【考点】抛物线的简单性质. = .

2

【分析】点斜式设出直线 l 的方程,代入抛物线方程,求出 A,B 两点的纵坐标,利用抛物

线的定义得出

=

,即可得出结论.

【解答】解:设直线 l 的方程为:x=y﹣ 由 x=y﹣ ∴y1= ,代入 x =2py,可得 y ﹣3py+ p,y2=
2 2

,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , p =0, p,
2

从而,

=

=



故答案为:



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 z 是复数,z+2i 和 (Ⅰ)求复数 z; (Ⅱ)求 的模. 均为实数(i 为虚数单位) .

【考点】复数求模;复数的基本概念. 【分析】 (Ⅰ) 设 z=a+bi, 分别代入 z+2i 和 则复数 z 可求; (Ⅱ)把 z 代入 ,利用复数代数形式的乘除运算化简,代入模的公式得答案. ,化简后由虚部为 0 求得 b, a 的值,

【解答】解: (Ⅰ)设 z=a+bi,∴z+2i=a+(b+2)i, 由 a+(b+2)i 为实数,可得 b=﹣2, 又∵ 则 z=4﹣2i; (Ⅱ) ∴ 的模为 . , 为实数,∴a=4,

18.已知集合 A={x|(ax﹣1) (ax+2)≤0},集合 B={x|﹣2≤x≤4}.若 x∈B 是 x∈A 的充 分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义,转化为集合的关系进行求解. 【解答】解: (1)a>0 时, 条件, 所以 题意;┅┅┅┅┅┅┅ (2)a=0 时,A=R,符合题意;┅┅┅┅┅┅┅ (3)a<0 时, 所以 不符合题意. 综上 .┅┅┅┅┅┅┅ ,若 x∈B 是 x∈A 的充分不必要条件, , ,检验 , ,检验 符合 ,若 x∈B 是 x∈A 的充分不必要

19.设椭圆的方程为

,点 O 为坐标原点,点

A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,点 M 在线段 AB 上且满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率 为 .

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设点 C 为椭圆的下顶点,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)通过题意,利用 计算即得结论; (2)通过中点坐标公式解得点 N 坐标,利用 ×( )=﹣1,即得结论. =2 ,可得点 M 坐标,利用直线 OM 的斜率为 ,

【解答】 (Ⅰ)解:设 M(x,y) ,已知 A(a,0) ,B(0,b) ,由|BM|=2|MA|, 所以 =2 ,即(x﹣0,y﹣b)=2(a﹣x,0﹣y) ,

解得 x= 所以

a,y=

b,即可得 ,所以椭圆离心率

,┅┅┅┅┅┅┅ ;┅┅┅┅┅┅┅ ,MN 斜率为 ,

(Ⅱ)证明:因为 C(0,﹣b) ,所以 N ┅┅┅┅┅┅┅ 又 AB 斜率为 ,所以 ×(

)=﹣1,所以 MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅

20.设函数 数. (1)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值;

,其中 a 为实

(2)已知不等式 f′(x)>x ﹣x﹣a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立,求实数 x 的取值范 围. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出 f′(x) ,因为函数在 x=1 时取极值,得到 f′(1)=0,代入求出 a 值即 可; (2)把 f(x)的解析式代入到不等式中,化简得到 ,因为 a>0,

2

不等式恒成立即要

,求出 x 的解集即可.

【解答】解: (1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1) 由于函数 f(x)在 x=1 时取得极值, 所以 f′(1)=0 即 a﹣3+a+1=0,∴a=1 (2)由题设知:ax ﹣3x+(a+1)>x ﹣x﹣a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立 即 a(x2+2)﹣x2﹣2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立 于是 对任意 a∈(0,+∞)都成立,
2 2



∴﹣2≤x≤0

于是 x 的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.

21.已知椭圆 C1: 圆上点到椭圆 C1 左焦点距离的最小值为 (1)求 C1 的方程; ﹣1.

的离心率为

,且椭

(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率和最小距离 a﹣c,解方程可得 a= c 的关系,可得 b,进而得到椭圆方程; (2)设出直线 y=kx+m,联立椭圆和抛物线方程,运用判别式为 0,解方程可得 k,m,进而 得到所求直线的方程. 【解答】解: (1)由题意可得 e= 由椭圆的性质可得,a﹣c= 解方程可得 a= 则 b= 即有椭圆的方程为 ,c=1, =1, +y2=1; = ﹣1, , ,c=1,再由 a,b,

(2)直线 l 的斜率显然存在,可设直线 l:y=kx+m, 由 ,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
2 2 2 2

由直线和椭圆相切,可得△=16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣2)=0, 即为 m2=1+2k2,① 由 ,可得 k2x2+(2km﹣4)x+m2=0,
2 2 2

由直线和抛物线相切,可得△=(2km﹣4) ﹣4k m =0, 即为 km=1,②

由①②可得





即有直线 l 的方程为 y=

x+

或 y=﹣

x﹣



22.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ﹣(x﹣1) (其中常数 a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可; (Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论 a 的范围,确定出满足条件的 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ﹣(x﹣1) , (x>0) , f′(x)=﹣ ①a<﹣ 时,0<﹣ <1, ,令 f′(x)>0,解得:﹣ 递减,在 递增; ②﹣ <a<0 时,令 f′(x)<0,解得:x>﹣ , 递减,在 递增; 或 0<x<1,令 f′(x)>0,解 <x<1, ,
2

2

令 f′(x)<0,解得:x>1 或 0<x<﹣ ∴f(x)在

得:1<x<﹣ ∴f(x)在



,f′(x)=﹣

≤0,f(x)在(0,1) , (1+∞)递减;

④a≥0 时,2ax+1>0,令 f′(x)>0,解得:0<x<1,令 f′(x)<0,解得:x>1, ∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减; (Ⅱ)函数恒过(1,0) ,由(Ⅰ)得:a≥﹣ 时,符合题意,

a<﹣

时, )递减,在 递增,不合题意,

f(x)在(0,﹣ 故 a≥﹣ .

2016 年 8 月 11 日



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