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探讨椭圆的离心率问题



探讨椭圆的离心率问题 摘要:圆锥曲线的离心率,是描述曲线形状的重要参数,也是描述圆锥曲线特 性的一个重要概念,很多解析几何的试题都与此相关,应用离心率主要有求离 心率的值及离心率的取值范围,本文对椭圆的离心率的有关解法、结论,及其 几何意义进行研究。 关键词:椭圆,离心率,解法,结论,几何意义 一、知识要点 1.椭圆的定义为: 平面内与 2 个定点 F1, F2 的距离之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆
【1-38】

。反之,椭圆上任意一点 P,到 2 个定点 F1,F2 的距离

、 为|PF1|,|PF2|,均有|PF1|+|PF2|=2a(其中 2a>|F1F2|) .

2.椭圆的标准方程(焦点在 x 轴上) :

x2 y2 ? ? 1(其中a ? b ? 0, 且a 2 ? b 2 ? c 2 ) a2 b2 c 称为椭圆的离心率,用 e 表示, a

3.椭圆的离心率:椭圆的焦距和长轴长的比 即e ?

c 【1-45】 。 因为 a>c>0,所以 0<e<1。 a 4.椭圆离心率的意义:椭圆的离心率可以形象的理解为,在椭圆的长轴长不变

的 前 提 下 , 两 个 焦 点 离 开 中 心 的 程 度 【 1-45 】。 同 时 , 椭 圆 的 离 心 率
b c ?b? e ? ? 1 ? ? ? ?0 ? e ? 1? ,反映了椭圆的扁平程度,e 越大, 越小,椭圆越 a a ?a? b 扁;反之 e 越小, 越大,椭圆就越圆。而在求解离心率的过程中,常常就是 a b c 把 和 看成一个整体进行解答。 a a 【2-151】 5.椭圆离心率相关的结论:三角函数看椭圆的离心率的相关结论如下 :
2

? ?

?

椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,设 F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上任一 a2 b2

点。则:

? ?? 2 ,如上左图 若 ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则e ? ? ?? cos 2
cos

若 PF1 ? PF2,且OP与x轴的夹角为 ?,则e ?

1 。如右上图。 1 ? sin ?
【4】

二、根据求离心率的题型探讨离心率的问题 1.求椭圆的离心率的值



(1)利用方程思想即建立关于 a,b,c 之间的等式或关于 e 的方程来求解,其 方法是把 b 2 ? a 2 ? c 2 代入后,等式两边同除以 a 2 将得到关于 e 的方程。 例题 1、椭圆
x2 y2 (0,-b),A(a,0),F 为 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其中,B(0,b),B’ a2 b2

椭圆的右焦点,若直线 AB ? B ' F ,求椭圆的离心率。 b b 解: k B 'F .k AB ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? b 2 ? ac ? a 2 ? c 2 ? ac ? 0 ? e 2 ? e ? 1 ? 0 c a (2)直接利用定义即根据焦点弦和其他已知量的位置和数量关系列出关于 a c 和 c 的等式,再用 e ? 求解。 a 例题 2、 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形, 求椭圆的离心率。 解:依题意得: c ? a cos 30? ? e ? 2.求椭圆的取值范围: (1)建立关于 a,b,c 或 e 的代数不等式,其方法把 b 2 ? a 2 ? c 2 代入后,同时 除以 a 2 将得到一个关于 e 的不等式: ?利用点与曲线的位置关系,根据此点的横、纵坐标必须满足的条件列出不等 式。 例题 3、已知椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,短轴顶点 B(0,b),若椭圆内接三角 a2 b2 c 3 ? a 2

形 BCD 的重心是椭圆的左焦点,求椭圆离心率的范围。

, F (?c,0),由重心公式得x1 ? x2 ? ?3c 解: 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )且已知B(0,b)
y 1 ? y 2 ? ? b , 故弦 CD 的中点为 E( ? 3c b ,? ) , 由 E 在椭圆内部,则 2 2

? ? 3c ? ? ? b ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1, 整理得e 2 ? 1 , 从而e ? ? ? 0, 3 ? 2 2 ? 3 ? a b 3 ? ?

2

2

?利用点在曲线上的位置关系,根据此点的横、纵坐标必须满足的条件列出不 等式。 例 题 4 、 设 椭 圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a2 b2 P , Q 若 ? PF 2 Q 为锐角 , 则椭圆的离心率

F1 , F2 , 过 F1 做 x 轴的垂线交椭圆于点

取值范围是多少? 解:依题意,设点 P 的坐标为 P(-C, y p ),由点 P 在椭圆上,代入椭圆方程, 可 解 得
yp ? b2 a







?PF2Q













b2 ? PF 2 F1 ? 45 ? , 从而 | PF 2 |? | F1 F 2 | ,即 ? 2 c , 消去 b 2 , 得 a 2 ? c 2 ? 2 ac a

解得 e ? 2 ? 1或e ? ? 2 ? 1(舍去) _ ,故 2 - 1 ? e ? 1 . ?用均值不等式变形建立不等式,即先根据题设条件建立等式,再根据均值不 等式转化为不等式,建立关于 a,c 的不等式。 例题 5、设椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 , 问离心率 e 在什么范 a2 b2

围内取值时,椭圆上恒存在点 P 使 ?F1 PF2 ? 120? ? 解 : 设 椭 圆 的 焦 距 为 2c , 即 | F1 F2 | =2C, 由 椭 圆 的 定 义 , 知
| PF 1 | ? | PF 2 |? 2 a , 在 ? F1 PF 2中,由余弦定理,得 | F 1 F 2 | 2 ? | PF
1

| 2 ? | PF

2

| 2 ? 2 | PF

1

|| PF

2

| cos F 1 PF

所以,
| PF1 | . | PF2 | ? 2 ?2c ? ? ?2a ? ? | PF1 | . | PF2 | , 4a ? 4c1 ?| PF1 | . | PF2 |? ? ? ? ? a ,即 2 ? ?
2 2 2 2 2

3a 2 ? 4c 2 ,所以

3 ? e ? 1。 2

④利用两曲线的关系建立不等式。

例题 6、椭圆

b x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 (c是椭圆的半焦距 ) 有 2 2 a b b b ? c ? a, 则由 b ? ? c 可推 2 2

四个不同的交点,求椭圆的离心率范围。 解:因为椭圆和圆有四个不同的交点,所以, b ? 出b
2

b2 b 2 ? 4 c 2 ? a 2 ? c 2 ? 4c 2 ? a 2 ? 5c 2 。由 ? c ? a 可推出 ? ?a ? c ? ,整 4 2

3 5 3 3a 2 ? 8ac ? 5c 2 ? 0 ,即 5e 2 ? 8e ? 3 ? 0 解得,e< 或e ? 1(舍去),即 ?e? . 5 5 5

⑤利用直线与曲线的位置关系。 例题 7、已知 A 为椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一个动点,直线 AB、AC 分别 a2 b2

过焦点 F1、 F2, 且与椭圆交于 B、 C 两点, 若当 AC 垂直于 x 轴时, 恰好有|AF1|∶ |AF2|=3∶1,求该椭圆的离心率. 解:设|AF2|=m,则|AF1|=3m,所以 2a=|AF1|+|AF2|=4m. 又在 Rt△AF1F2 中,|F1F2|= |AF1|2-|AF2|2=2 2m. 所以 e= 2c |F1F2| 2 2m 2 = = = . 2a 2a 4m 2

(2)建立关于 ? 为自变量的三角不等式,其方法是利用参数方程和有关定理、 三角函数的公式、性质等得到 e 的取值范围。
x2 y2 例题 8、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴的正半轴交于 A 点,如果在这个椭圆 a b

上总存在点 P,使 OP ? AP ,O 为原点,求离心率 e 的范围。

x ? a cos ? x2 y2 解: 2 ? 2 ? 1 的参数方程为 y ? b sin ? ( ? 为参数) , 依题意知, ? ? 0且? ? ? a b b sin ? ? b sin ? . ? ?1 设 P (a cos ? , b sin ? ), 依题意得 k OP .k AP ? ?1 ,即 a cos ? a ? a cos ?
所以, b 2 sin ? ? a 2 cos ? ? a 2 cos 2 ? ,所以,
b2 cos ? 1 ? ? 2 a 1 ? cos ? 2

a2 ? c2 1 1 2 ? , 即1 - e 2 ? , 所以, ? e ? 1 所以, 2 a 2 2 2
【3】 三、根据关有知识点探讨离心率问题。

1、根据参数 a,b 的几何意义 例题 9、若一个椭圆长轴的长度和短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的 离心率是多少? 解:由 2a,2b,2c 成等差数列,得 2b=a+c,又因为 b
2

? a

2

? c

2

所以

?a ? c ?2 ? 4?a 2 ? c 2 ? ,所以 e ? c ? 3
a 5

2、根据椭圆的定义
x2 y2 例题 10、设 F1 , F2分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 做 a b

斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 | AF1 | 、 | AB | 、 | BF2 | 成等差数列,求 E 的离心率。 解:由椭圆的定义知:
| AB |? | AF2 | ? | BF2 | ? | AB |? 4a , 又2 | AB |?| AF1 | ? | BF2 | ,所以, 4a 3

y? x?c 2 2 直线 l的方程为 y ? x ? c, 设A(x1 , y1) , B ( x2 , y2 ) 则 A、B 两点的方程组 x ? y ? 1 a2 b2

化简得 ?a 2 ? b 2 ?x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 (c 2 ? b 2 ) ? 0 ,所以,有 x1 ? x2 ?
x1.x2 ? a 2 (c 2 ? b 2 ) ,又因为直线 AB 的斜率为 1,所以 a2 ? b2

? 2a 2 c , a2 ? b2

4 4ab 2 2 所以可得 a 2 ? 2c 2 | AB |? 2 | x1 - x2 |? 2[? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ] ,可得, a ? 2 2 3 a ?c

则 E 的离心率为

2 。 2

3、利用数行结合 例题 11、在平面直角坐标系中设椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c,以点 O a2 b2

a2 为圆心,a 为半径做圆 M,若过点 P( ,0 )所做圆的两条切线互相垂直,求椭 c

圆的离心率。 解:设切线 PA、PA 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,故 ?OAP 是等腰直角三角

c 2 a2 ? 2a ,解得 e ? ? 形,所以 a 2 c

4、根据正余弦定理
?ABC中,AB ? BC , cosB ? 例题 12、 7 ,若以A, B为焦点的椭圆经过点 C,则该 18
2

椭圆的离心率 e 为多少? 解:设 AB=BC=m,根据余弦定理有 AC
? AB
2

? BC

2

? 2 AB . BC cos B

5 ? 7 ? 25 2 m , 所以,AC ? m = 2m 2 ? 2m 2 .? ? ? ? 3 ? 18 ? 9 AB m 3 ? ? AC ? BC m ? 5 m 8 3 5、利用向量知识

所以, e ?

例题 13、设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 椭圆 C a2 b2

相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60?, AF ? 2 BF ,求椭圆 C 的离心率。 解: 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),由题意知, y1 ? 0, y2 ? 0 .因为 AF ? 2 BF , 所以, - y 1 ? 2 y2
y? 3(x?c) ? y
2 2 2

且直线 l的方程为 y ? 3 ( x ? c) ,联立方程组得

x a

b2

?1

得:

?3a

2

? b 2 y 2 ? 2 3b 2 cy ? 3b 4 ? 0, 解得:y1 ?

?

? 3b 2 (c ? 2a ) ? 3b 2 (c ? 2a ) y ? , 2 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2

3b 2 (c ? 2a ) ? 3b 2 (c ? 2a ) c 2 ? 2. 由 ? y1 ? 2 y2 得, ,解得, e ? ? 。 2 2 2 2 3a ? b 3a ? b a 3

以上全部是我探讨研究的全部内容。 参考文献: 【1】人民教育出版社,课程教材研究所,等,普通高中课程标准实验教科书数 学选修 2-1A 版【G】人民教育出版社,2011 【2】 《平面解析几何方法与研究》 ,刘连璞,北京大学出版社 1999 【3】周霞,求椭圆、离心率的若干方法,高中数学教与学,解题方法研究 2011 (3)37-39 【4】张惜招,浅析“椭圆和双曲线”的离心率问题,数学学习研究,解题技巧

与方法,2015(3) :86 【5】 许昌满, 运用定义巧解题--探讨一类椭圆离心率的通性方法, 中学教研 (数 学)高考试题解析 2015(08) :17-20



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