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高中数学必修一至必修五知识点总结人教版



高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结(复习专用)

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富宁一中

必修 1 第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于

一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定 的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算 一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素 是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A , 相反,a 不属于集合 A 记作 a ? A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表 示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: (1) .有限集 含有有限个元素的集合 (2) .无限集 含有无限个元素的集合 (3) .空集 不含任何元素的集合 例: {x | x 2 ? ?5}

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A= {x | x ? 1 ? 0}
2

B={-1,1}

“元素相同”

结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何 一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B
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任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 B ? A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。 记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) (2) 全集: 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合就可以看作一个全集。 通常用 U 来表示。 四、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意 义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数 相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断 方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域 的基础。
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3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 集合 C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象 C 一般的是一条光滑的 连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描 出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中 的错误。 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元 素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射。记作“f:A→ B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对 应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于 映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函 数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域; 化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值. 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相 应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个 函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

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7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a, 当 a<b 时, b, 都有 f(a)<f(b),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调 区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a,b,当 a<b 时,都有 f(a)>f(b),那么就说 f(x)在这个 区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a,b;当 a<b 时,总有 f(a)<f(b) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:任取 a,b∈D,且 a<b;2 作差 f(a)-f(b);3 变形(通常是因式分解和配方) 定号 ;4 (即判断差 f(a)-f(b)的正负) 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ;5 . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能 没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则 -x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原 点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对 称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=〒f(x)比较困难, 可考虑根据是否有 f(-x)〒f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=〒1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间 的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造 时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已 知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本) (1) 、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2) 、利用图象求函数的最大(小)值 (3) 、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);
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第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root) ,其中 n >1,且 n ∈N . 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时, a 的 n 次方根 用符号 n a 表示.式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) a 叫做被 , 开方数(radicand) . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方根用 符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成〒 n a ( a >0) .由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 注意:当 n 是奇数时, n a ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ?a ?
n
*

(a ? 0) ? a (a ? 0) ?

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指 数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a 〃 a ? a (a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r , s ? R) ;
s

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r , s ? R) .
r

(二)指数函数及其性质 1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数 (exponential function) , 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.

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2、指数函数的图象和性质 a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1
函数的定义域为 R 非奇非偶函数 + 函数的值域为 R

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右 看, 图象逐渐 上升 在第一象 限内的图象纵 坐标都大于 1 在第二象 限内的图象纵 坐标都小于 1 图象上升 趋势是越来越 陡 自左向右 看, 图象逐渐 下降 在第一象 限内的图象纵 坐标都小于 1 在第二象 限内的图象纵 坐标都大于 1 图象上升 趋势是越来越 缓

a0 ? 1

增函数

减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1
函数值开 始减小极快, 到 了某一值后减 小速度较慢;

函数值开 始增长较慢, 到 了某一值后增 长速度极快; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; 二、对数函数 (一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: . ..

x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式)
1 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ a x ? N ? loga N ? x ;
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loga N

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3 ○ 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 对数式与指数式的互化

loga N ? x

?

ax ? N

对数式 指数式 ? 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: (1) loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; (2)

log a

M ? loga M - loga N ; (3) loga M n ? n loga M N

(n ? R) .

注意:换底公式 loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a

利用换底公式推导下面的结论
n (1) log a m b ?

n log a b ; m

(2) loga b ?

1 . logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的 定义域是(0,+≦) . 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○ 如: y ? 2 log2 x , y ? log 5

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5

2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

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2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,0) 自左向 右看, 图象逐 渐上升 第一象 限的图象纵 坐标都大于 0 第二象 限的图象纵 坐标都小于 0 三、幂函数 自左向 右看, 图象逐 渐下降 第一象 限的图象纵 坐标都大于 0 第二象 限的图象纵 坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+≦) 非奇非偶函数 函数的值域为 R

loga 1 ? 0

增函数

减函数

x ? 1, loga x ? 0 0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0 x ? 1, loga x ? 0

1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点 时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴.

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第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1 、 函 数 零 点 的 概 念 :对于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实数 x 叫 做 函 数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象 与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,并利用 函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
2 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数

有两个零点.
2 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,

二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

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必修 2 第一章 立体几何初步
'

1.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱锥侧面积 ?
S正棱台侧面积 ?

1 ch ' 2

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆柱侧 ? 2?rh

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

2.柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3 1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
3. 球体的表面积和体积公式:

V求 ?

4 3 ?R S ? 4?R 2 3 ; 球面

4.空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和 宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。
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第二章 直线与平面的位臵关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位臵关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, α · C · · 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. P α · L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位臵关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位臵来确定,与 O 的选择无关, 为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );

?

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位臵关系 1、直线与平面有三种位臵关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点
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指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示

a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P =>β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β => a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a => a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
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2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂直,记作 L ⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L

2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章 直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。 即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
? ? 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;

?

?

? ? ? 当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;
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(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标 都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式: 别为 a , b 。

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分 a b

⑤一般式: Ax ? By ? C 1 注意:○各式的适用范围

? 0 (A,B 不全为 0)
2 ○特殊的方程如: 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C 2 2
A ?B

(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
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C1 ? C 2 A2 ? B 2

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第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位臵关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ?
2 2

?

2

2?

2

当D 当D

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系: 直线与圆的位臵关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆 心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆 (x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为 (x0 ,y0) ,则过此点的切线方程为
2 2 2

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位臵关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位臵关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
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当d

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条;

当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

当 d ? R ? r 时,两圆内含;

当d

? 0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

必修 3

第一章:算法初步
1:算法的概念 (1)算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程 序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. (2)算法的特点: ①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. ②确定性: 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果, 而不应当是模棱两可. ③顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继 步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问 题. ④不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事 先设计好的步骤加以解决. 2: 程序框图 (1)程序框图基本概念: ①程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地 表示算法的图形。
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一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 ②构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不 起止框 可少的。 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法 输入、输出框 中任何需要输入、输出的位臵。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明 判断框 “是”或“Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流 程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类, 一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的 结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 (1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序 进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 A 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如 在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执行 B 框所 指定的操作。 B (2)条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的 算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同 时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 (3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的 情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构 又称重复结构,循环结构可细分为两类: ①一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完 毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成 立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。 ②另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是否成立, 如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环 结构。 处理框

A A P 不成立 p 成立

P
不成立

成立
直到型循环结构

当型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含
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条件结构,但不允许“死循环” 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次 。2 数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。 4:输入、输出语句和赋值语句 (1)输入语句 ①输入语句的一般格式
图形计算器格 INPUT“提示内容” ;变量 式 INPUT “提示内容” ,变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;③“提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是 指程序在运行时其值是可以变化的量;④输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或 表达式;⑤提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 (2)输出语句 ①输出语句的一般格式
图形计算器格 PRINT“提示内容” ;表达式 式 Disp “提示内容” ,变量

②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;③ “提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达 式是指程序要输出的数据;④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 (3)赋值语句 ①赋值语句的一般格式 图形计算器格
变量=表达式 式 表达式 ? 变量

②赋值语句的作用是 将表达式所代表的值 赋给变量;③赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能 对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;④赋值语句左边只能是变量名字,而不是表 达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;⑤对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。 如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、 解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 5:条件语句 (1)条件语句的一般格式有两种:①IF—THEN—ELSE 语句;②IF—THEN 语句。 ①IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。

IF THEN

条 语句 1


满足条件?

否 是
语句 1 语句 2

图 1 ELSE

图2

语句 2 END IF
分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的操作内 容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先 对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的 语句 2。
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②IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。

IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) (图 4)

满足条件?


语句



注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结束程序; END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。 6:循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型 (WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 (1)WHILE 语句 ①WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是
循环体

WHILE 循环体 WEND

条件
是 满足条件?



②当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循 环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不 符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当 型循环有时也称为“前测试型”循环。 (2)UNTIL 语句 ①UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是
循环体

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

满足条件?




②直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一 次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个 过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先 执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环 7:辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步 骤如下:
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①用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 约数;若

S0 和一个余数 R0 ; ②若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公

R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ;③若 R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大

公约数;若

R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;……
Rn?1 即为所求的最大公约数。

依次计算直至

Rn

=0,此时所得到的

(2)更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公 约数的步骤:可半者半之,不可半者,副臵分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为:①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。② 以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得 的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 (3)辗转相除法与更相减损术的区别: ①都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 ②从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差 相等而得到 8:秦九韶算法与排序 (1)秦九韶算法概念: n n-1 f(x)=anx +an-1x +….+a1x+a0 求值问题 n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 f(x)=anx +an-1x +….+a1x+a0=( anx +an-1x +….+a1)x+a0 =(( anx +an-1x +….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次 多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 (2)两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 ①直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入的 数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位臵.将该位臵以及以后的元素向后推 移一个位臵,将读入的新数填入空出的位臵中. (由于算法简单,可以举例说明) ②冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数 放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最 后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相 当气泡上升,所以叫冒泡排序. 9:进位制 (1)概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位臵表示不同的数值。可使用数字符号 的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉 伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进 制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1, a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数

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第二章:统计
1:简单随机抽样 (1)总体和样本 ①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数 叫做总体容量. ④为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: , , , 研究,我们称它

为样本.其中个体的个数称为样本容量. (2)简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全 独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位 之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 (3)简单随机抽样常用的方法: ①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。 (4)抽签法: ①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具,实施抽签; ③对样本中的每一个个体进行测量或调查 (5)随机数表法: 2:系统抽样 (1)系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采 用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规 则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说 明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 (2)系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施 也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大 小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 3:分层抽样 (1)分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个 类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体 的样本。 两种方法: ①先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 ②先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的 方法抽取样本。 (2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样 本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 分层标准: ①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 ②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 ③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 (3)分层的比例问题:抽样比=

样本容量 各层样本容量 ? 个体容量 各层个体容量
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①按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方 法。 ②不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主 要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对 各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围 简 单 抽 样 过 从总体中逐个抽取 总体中的 随机抽样 程中每个个 个体数较少 系 统 体被抽取的 将总体均匀分成几部分,按 再起时部分抽样时 总体中的 机会相等 抽样 事先确定的规则在各部分抽取 采用简单随机抽样 个数较多 分 成 经总体分成几层,分层进行 各层抽样时采用简 总体由差 抽样 抽取 单随机抽样 异明显的几部 分组成 4:用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)样本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

(2)样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一 个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 (3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可以是多个) 。 (4)中位数:在样本数据中,累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值(只有一个) 。 注意: ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 ②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 ③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 5:用样本的频率分布估计总体分布 1:频率分布表与频率分布直方图 频率分布表盒频率分布直方图,是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据 分布规律,它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。 具体步骤如下: 第一步:求极差,即计算最大值与最小值的差. 第二步:决定组距和组数:组距与组数的确定没有固定标准,需要尝试、选择,力求有合适的组 数,以能把数据的规律较清楚地呈现为准.太多或太少都不好,不利对数据规律的发现.组数应与样 本的容量有关,样本容量越大组数越多.一般来说,容量不超过 100 的组数在 5 至 12 之间.组距应最 好“取整” ,它与 极差 有关.
组距

注意:组数的“取舍”不依据四舍五入,而是当 极差 不是整数时,组数=[
组距

极差 组距

]+1.

②频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点,就得到频率分布折线图。 ③总体密度曲线:总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比,它能给我们提供更加精细的 信息。
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2:茎叶图:茎是指中间的一列数,叶是指从茎旁边生长出来的数。 例:例如:为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内 100 名年龄为 17.5~18 岁的男 生的体重情况,结果如下(单位:kg).
56.5 66.5 72 57.5 62 63.5 55 60 64 69 69.5 64 73.5 65.5 68.5 64.5 72 55.5 70.5 71.5 65 64.5 56 68 62.5 67.5 66.5 70 57 73 61.5 76 67 71 66 73 74 64.5 62.5 62 64.5 58.5 70 75 59.5 68 63 58 65 58 76 59.5 68.5 68 57 61.5 59 64.5 65.5 66 71 63.5 64 76 69.5 67 65.5 75.5 58.5 66.5 66 65 55.5 57.5 74 68 62.5 68.5 67.5 70 63.5 70 72.5 60 64.5 63.5 69.5 64 70.5 63 56 74.5 66.5 71.5 59 58 72 62 65 59.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计. 解:按照下列值的差 (1)求最大值与最小计.在上述数据中,最大值是 76,最小值是 55,极差是 76-55=21. (2)确定组距与组数.如果将组距定为 2,那么由 21÷2=10.5,组数为 11,这个组数适合的.于是组 距为 2,组数为 11. (3)决定分点.根据本例中数据的特点,第 1 小组的起点可取为 54.5,第 1 小组的终点可取为 56.5, 为了避免一个数据既是起点,又是终点从而造成重复计算,我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样, 所得到的分组是 [54.5,56.5)[56.5,58.5) , ,…, [74.5,76.5). (4)列频率分布表.
分组 [54.5,56.5) [56.5,58.5) [58.5,60.5) [60.5,62.5) [62.5,64.5) [64.5,66.5) [66.5,68.5) [68.5,70.5) [70.5,72.5) [72.5,74.5) [74.5,76.5) 合计 频数 2 6 10 10 14 16 13 11 8 7 3 100 频率 0.02 0.06 0.10 0.10 0.14 0.16 0.13 0.11 0.08 0.07 0.03 1.00 累计频率 0.02 0.08 0.18 0.28 0.42 0.58 0.71 0.82 0.90 0.97 1.00

(5)绘制频率分布直方图. 频率分布直方如图 2-2-3 所示.
频组 率距 /

5 5 6 8 6 5 2 6. 6 5 857 5 2 7 5 6 体 4 5 55 5 0 6 5 45 6 6. 0 7 5 4 7 5 重 . . . . . . . . . .

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频组 率距 / 07 . 0 06 . 0 05 . 0 04 . 0 03 . 0 02 . 0 01 . 0 0 频组 率距 /

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55 6 5 56 5656 5 6 6 57 57 5 4 体 4 55 8 . . . 0 . 2 . 4 65 8 . . . 0 . 2 75 重 . .

连接频率直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.如图 2-2-4 所示. 例 2:某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下 甲的得分:15,21,25,31,36,39,31,45,36,48,24,50,37; 乙的得分:13,16,23,25,28,33,38,14,8,39,51. 上述的数据可以用下图来表示,中间数字表示得分的十位数,两边数字分别表示两个人各场比赛得分 的个位数.
甲 5 4 5 1 1 6 1 8 5 0 0 1 2 3 4 5 乙 8 3 6 4 3 5 8 3 8 9 1

7 6 9

图 2-2-5 通常把这样的图叫做茎叶图.请根据上图对两名运动员的成绩进行比较. 从这个茎叶图上可以看出,甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是 36;乙运动员的得分情况除 一个特殊得分外,也大致对称,中位数是 25.因此甲运动员发挥比较稳定,总体得分情况比乙好. 用茎叶图表示有两个突出的优点:其一,从统计图上没有信息的损失,所有的信息都可以从这个茎叶 图中得到;其二,茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.但茎叶图只能表示两位的整数,虽然 可以表示两个人以上的比赛结果(或两个以上的记录) ,但没有两个记录表示得那么直观,清晰. 6:变量间的相关关系:自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系交相 关关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。 (1)回归直线:根据变量的数据作出散点图,如果各点大致分布在一条直线的附近,就称这两个变 量之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右上角的区域, 我们就成这两个变量呈正相关;若从左上角到右下角的区域,则称这两个变量呈负相关。 设已经得到具有线性相关关系的一组数据:

x
y

x1 y1

。。。 。。。

xn yn
? ?

所要求的回归直线方程为: y ? b x ? a ,其中,

是待定的系数。

(2)回归直线过的样本中心点 ( x , y )

x
y

x1 y1

。。。 。。。

xn yn

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第三章:概 率

1:随机事件的概率及概率的意义 (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 f n ( A) ?

nA 为事件 A 出现的概率:对于给定的 n

随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 f n ( A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作 P (A) ,称为事件 A 的概率。

nA (6) 频率与概率的区别与联系: 随机事件的频率, 指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n ,
它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我 们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 2:概率的基本性质 (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1 (2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (3)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B= ? ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (4)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (5)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (6)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形:① 事件 A 发生且事件 B 不发生;②事件 A 不发生且事件 B 发生;③事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;④事件 A 发 生 B 不发生;⑤事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3:基本事件 (1)基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,它是试验中不能再分 的最简单的随机事件。 (2)基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成 基本事件的和。 4:古典概型: (1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型满足两个条件: ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;
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②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 p( A) ?

A所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数

5:几何概型 (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: p( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出 现的可能性相等.

注意:几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在 一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位臵无关,值域该区域的大小 有关。如果随即事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0, 但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但他 不是必然事件。 综上可得:必然事件的概率为 1;不可能事件的概率为 0。 概率为 1 的事件不一定为必然事件;概率为 0 的事件不一定为不可能事件。

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必修 4 第一章 三角函数(初等函数二)

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象 限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正 n
*

半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

? 终边所落在 n

l . r

? 180 ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? 57.3? . 180 ? ? ? ?
?
?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,

C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
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r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 y P T v M A x

sin ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?

O

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?
13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
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(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax , 则? ?

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 图 象 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定 义域 值 域 当

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?


??1,1?
x ? 2k? ? k ???
时,

R

x ? 2k? ?
最 值

?
2

? k ??? 时 ,
?
2


ymax ? 1
x ? 2 k? ? ?



当 既无最大值也无最 小值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

? k ???
ymin ? ?1.
周 期性
奇偶 性

? k ???
ymin ? ?1.







2?
奇函数 在

2?
偶函数 在 上 在

?
奇函数

? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? 单 ? ?
调性



?2k? ? ? , 2k? ?? k ???
是 增 函 数 ;

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;


?2k? ,2k? ? ? ?
数.

? k ??? 上 是 增 函
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? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对 称性 对称中心
? ? ? , 0 ? ?k ? ?? ? k? ? 2 ? ?

? k? ,0?? k ???
对称轴
x ? k? ?

对称中心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴

?
2

?k ? ??

x ? k? ? k ???

无对称轴

第二章

平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:

?

?

?

?

?

?

C
? a

? ? ? ? ①交换律: a ? b ? b ? a ; ? ? ? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

③a ?0 ? 0?a ? a .
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? ?

?

?

?

? b
?

?

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

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⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?

? ?

?

?

? ?

??? ?

?a ? ? a ;
? ? ? ?

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时,

?a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的 一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当

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??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?
23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
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⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与

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? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

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x2 ? y 2 .

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设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

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? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2



第三章

三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 ,sin ? ? ) . 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

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必修 5 第一章 解三角形
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径, 则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? ④

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R

a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和 一边,求其余的量。 ) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: C 当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则 B 有两个解。 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况: a 当 a<bsinA,则 B 无解 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 b 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 bsinA 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。 A 1 1 1 D 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? .

2

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 5、余弦定理的推论: cos ? ? b ? c ? a , cos ? ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c .

2bc

2ac

2ab

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,
2 2 2

则 C ? 90 ;
?

B A
2 2 ? 2 2 2 ?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2

正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标 A、B,但不能到达, 在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点,并测得∠ACB=75 , ∠BCD=45 ,
O O O O

C

D

∠ADC=30 , ∠ADB=45 (A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。 本题解答过程略 附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点
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第二章 数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an) . 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an) . 7、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an) . 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 11、 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 则这个数列称为等差数列, 这个常数称为等差数列的公差.符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①

an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数

12、 由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, ? 称为 a 与 b 的等差中项. 则 若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
13、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

14、通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ? ④n ?

an ? a1 n ?1



an ? a m an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d



* 15、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an * 等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an

? ap ? aq ;若 ?an ? 是

? ap ? aq .
n ? a1 ? an ? 2
;②

16 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ①

Sn ?

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d .③ 2

sn ? a1 ? a2 ??? an
* 17 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2n n ? ? , 则

?

?

S2n ? n ? an ? an?1 ? , 且

S偶 ? S奇 ? n d,

S奇 a ? n S偶 an?1



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* ②若项数为 2 n ? 1 n ? ? , S2n?1 ? ? 2n ?1? an , S奇 ?S 偶 ? 则 且 a

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?

?

n



S奇 n (其中 S奇 ? nan , ? S偶 n ? 1

. S偶 ? ? n ?1? an ) 18、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列, 这个常数称为等比数列的公比.符号表示:

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位 an

上的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列.
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1 a n?1 ? 0 )

G b 19、 a 与 b 中间插入一个数 G , a , , 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. G ? ab , 在 使 则 若
2

则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a , G , b ? G ? ab )
2 2

20、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 21、 通项公式的变形: an ①

? amqn?m ; a1 ? an q?? n?1? ; q n ?1 ② ③

?

a n?m an ? n . ; q ④ am a1

* 22、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是 * 等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an

2

? ap ? aq .

23 、 等 比 数 列

?an ?

?na1 ? q ? 1? ? 的 前 n 项 和 的 公 式 : ① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ② ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

sn ? a1 ? a2 ??? an
24、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等 差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ?
? ?d ? ?2? ? d? ?n 2?



d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件 2

→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) ..
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附:几种常见的数列的思想方法:

1、 等差数列的前 n 项和为 S n , d ? 0 时, 在 有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值, 有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ? 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下: 数列 等差数列 等比数列 (指数型函数) 通项公式 对应函数 ( 时为一次函数)
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2

数列 等差数列

前 n 项和公式

对应函数 ( 时为二次函数)

等比数列 (指数型函数) 我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱” ,将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数, 为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例题:1、等差数列 {an } 中 an ? m, am ? n , (n ? m) 则 an?m ? .

分 析: 因为 {an } 是 等 差数列, 所以 an 是 关于 n 的 一次函 数, 一次 函数 图像是一 条直 线, 则 (n,m),(m,n), (n ? m, an?m ) 三点共线,所以利用每两点形成直线斜率相等,即 得 an?m ? 0 (图像如上) ,这里利用等差

an?m ? n n?m , ? m ? n (n ? m) ? m

数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。 例题:2、等差数列 {an } 中, a1 ? 25 ,前 n 项和为 Sn ,若 S 9 ? S17 ,n 为何值时 Sn 最大? 分析:等差数列前 n 项和 Sn 可以看成关于 n 的二次函数 S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 2 2

是抛物线 f (n) ?
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d 2 d n ? (a1 ? )n 上的离散点,根据题意, S 9 ? S17 , 2 2

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则因为欲求 Sn 最大值, 故其对应二次函数图像开口向下, 并且对称轴为 x ? 时, Sn 最大。

9 ? 17 ? 13 , 即当 n ? 13 2

例题:3 递增数列 {an } ,对任意正整数 n, an ? n 2 ? ?n 恒成立,求 ? 分 析 : 1) 构 造 一 次 函 数 , 由 数 列 {an } 递 增 得 到 : an?1 ? an ? 0 对 于 一 切 恒成立, 所以 ? ? ?(2n ? 1) 对一切 恒成立,即

恒成立, f (n) ? ?(2n ? 1) , 设 则只需求出 f (n)

的最大值即可,显然 f (n) 有最大值 f (1) ? ?3 ,所以 ? 的取值范围是: ? ? ?3 。 2)构造二次函数, 看成函数 ,它的定义域是 ,因为是

递增数列,即函数

为递增函数,单调增区间为

,抛物线对称轴

,因为函数

f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位臵。从对应图像上看,对称轴 的左侧,也可以(如图) ,因为此时 B 点比 A 点高。 于是, ,得



2、 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依照等比数 1 1 1 列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2 3、两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相 同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数. 4. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证

an ? an?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

2 2an?1 ? an ? an?2 (an?1 ? an an?2 )n ? N 都成立。

5. 在等差数列 an } { 中,有关 Sn 的最值问题: (1)当 a1 >0,d<0 时, 满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取 ?am?1 ? 0
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最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? 注意转化思想的应用。

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, ?am?1 ? 0

附:数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ? 阶乘的数列等。 例题:已知数列{an}的通项为 an=

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含 ? an an?1 ?
1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

解:观察后发现:an=

1 1 ? n n ?1

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an
?

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 s n 。 解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an
= 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2
1 2 3
1 2 3

n

即 s n = 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2 把①式两边同乘 2 后得

n



2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1
用①-②,即:



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1


① ②

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? sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
? sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

第三章 不等式

1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 (1)整式不等式(高次不等式)的解法
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穿根法(零点分段法) 求解不等式: a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 解法:①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+” ;(为了统一 方便) ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过) ,经过数轴上表示各 根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找 “线”在 x 轴下方的区间.

+ X1 (自右向左正负相间)

+ — X2 — X3 Xn-2

+ Xn-1 — — Xn

+ X

例题:求不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集。
2 2

解:将原不等式因式分解为: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 由方程: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图

+

+ 1

?

-2

?

4

x

由图可看出不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为:
2 2

?x | ?2 ? x ? 1, 或x ? 4?
例题:求解不等式 解:略

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 的解集。 ( x ? 6)( x ? 4)

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一元二次不等式的求解:
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图 象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 (2).分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

2)转化为整式不等式(组)

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

例题:求解不等式: 解:略 例题:求不等式

1 ? ?1 x

x ? 1 的解集。 x ?1

(3).含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a 变型: 其中-c<ax+b<c 等价于不等 | ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c? 解得。
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(a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

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式组 ?

?ax ? b ? c ?ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ?x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 例题:求解不等式 | x ? 2 |? 1 解:略 例题:求解不等式: | x ? 2 | ? | x ? 3 |? 10 解:零点分类讨论法: 分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 解得: x ? ?3和x ? 2 在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图 ①当 x ? ?3 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?3

x 2

11 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 11 ?x ? ? ?? 2 ? ? ? x ? ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? x ? ?3 ?
②当 ?3 ? x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

??3 ? x ? 2 ??3 ? x ? 2 ?? ? ?3 ? x ? 2 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? R
③当 x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?x ? 2 ?x ? 2 9 ? ?? 9 ?2? x? ? 2 ?( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? ? 2
由①②③得原不等式的解集为: ? x | ? 函数图像法: 令 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |

? ?

11 9? ? x ? ? (注:是把①②③的解集并在一起) 2 2?
y

??2 x ? 1 ( x ? ?3) ? ? 则有: f ( x) ? ?5 (?3 ? x ? 2) ? ?2 x ? 1 ( x ? 2) ?
在直角坐标系中作出此分段函数及 f ( x) ? 10 的图像如图 由图像可知原不等式的解集为: ? x | ?
- 42 -

f ( x) =10
5

?

11 ?3 2

o

2

x

9 2

? ?

11 9? ?x? ? 2 2?

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(4).一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: 设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:
2 2

y

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?
o

?
对称轴 x= ?

?
b 2a
y

x

?? ? 0 ? b ? ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ?0 2a ? ? f (0) ? 0 ?

?
对称轴 x= ? ③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0

?
b 2a

o

x

y

y

?

o

x

?

④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 则有 ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? f ( n) ? 0 ?

o

m

?
X= ?

?
b 2a

x n

y

⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?
常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位臵上的参数

o

m

?
X= ?

t

?

n

x

b 2a

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例如:若方程 x2 ? 2(m ? 1) x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。 解:由①型得 ?
?? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

? ?2(m ? 1) ? 0

?4( m ? 1) 2 ? 4( m 2 ? 2m ? 3) ? 0 ? ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ?

? ? m ? ?1

? m ? ?1

? ? m ? ?1, 或m ? 3 ?

?m?3

所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。 又如:方程 x ? x ? m ? 1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。
2 2

解:因为有两个不同的根,所以由

? 5 5 ?( ?1) 2 ? 4( m 2 ? 1) ? 0 ?? ? 0 ? ?m? ?? ?? 2 ?? 2 ? 2 ? ?1 ? m ? 1 2 ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 0 ? f (1) ? 0 ? ??1 ? m ? 1 ? 5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式.
6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有 这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 8、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 9、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . (一)由 B 确定: ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线

?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.
②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线

?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.
(二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向: ①若是“>”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。 ②若是“<”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。 (三)确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测:由上面(一) (二)来确定 ③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

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例题:画出不等式组 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 所表示的平面区域。 ? y ? 3x ? 5 ?2 y ? x ? 5 ? 0 ?

解:略

10、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 11、设 a 、 b 是两个正数,则

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 2

12、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 13、常用的基本不等式: ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;
2 2

② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2

③ ab ? ?

? a?b ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ?
2



a 2 ? b2 ? a ? b ? ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?

14、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s(和为定值) 则当 x ? y 时, xy 取得最大值 , 积 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 例题:已知 x ?

s2 . ⑵若 xy ? p(积为定值) 则当 x ? y , 4

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5
由原式可以化为:

解:≧ x ?

5 ,? 4 x ? 5 ? 0 4

f ( x) ? 4 x ? 5 ? 5 ? 2 ?

1 1 1 1 ? ?(5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?[(5 ? 4 x) ? ] ? 3 ? ? (5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?1 ? 3 ? 2 4x ? 5 5 ? 4x 5 ? 4x 5 ? 4x

当 5 ? 4x ?

1 3 2 ,即 (5 ? 4 x) ? 1 ? x ? 1,或x ? (舍去) 时取到“=”号 5 ? 4x 2

也就是说当 x ? 1 时有 f ( x)max ? 2
- 45 -



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