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2.3.1平面向量基本定理(1)



人教A版 必修四 第二章《平面向量》----2.3平面向量基本定理

2.3.1平面向量基本定理
C
D

e2
A

a
e1
B

宣威市第六中学

高一数学

2011.5.15

、复习回顾
向量的数乘运算:
一般地, 规定实数?与向量a的积是一个向量 , 这种运算 叫做向量的数乘 , 记作? a , 它的长度与方向规定如 下:

(1) | ? a |?| ? || a |;
( 2)当? ? 0时, ? a的方向与 a相同 ;当? ? 0时, ? a的方向与 a相反;

(3)? ? 0时, ? a ? 0.

向量的数乘运算律 : (1)? ( ? a ) ? (??)a; (2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a;
(3)? (a ? b) ? ? a ? ? b.
特别地, 我们有(?? )a ? ?(? a) ? ? (?a)

? (a ? b) ? ? a ? ? b.
共线向量定理:
向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一一个 实数? , 使b ? ? a .

二、新课引入
作向量3e1+2e2和e1-2e2? e2 e1
问题1: 给定平面内任意两个向量e1,e2,如何求

e1-2e2
2 e2

B

3e1+2e2
C

O

e1 D

3 e1 A

问题2: 问题 2 : 平面内的任一向量是否 都可以用形如

?1 e1 ? ?2 e2的向量表示呢?

问题3: 在下列两图中,向量OA,OB,OC不共线,能否在 直线OA、OB上分别找一点M、N使OM+ON=OC?

B

B

N

C

N

C

O

问题4: 在上图中,设 OA=e1 , OB=e2 , OC=a,则向量 OM ,
ON分别与e1,e2的关系如何?从而向量a与e1,e2

A

M

A

O

M

的关系如何? OM=?1e1

OM=?2e2

a =? 1 e 1 + ? 2 e 2

问题5: 问题 4:若上述向量e1,e2,a都为定向量,且 e1,e2不共线,则实数?1,?2是否存在?是否 唯一? 问题 6: 问题 5 :若向量a与e1或e2共线,a还能用?1e1+?2e2 表示吗?

e2

e1

a a?0e ?? e
1 2

2

a a=? e +0e
1 1

2

?1 e1 ? ?2 e2 ? 0(e1 , e2不共线) ? ?1 ? ?2 ? 0.

平面向量基本定理
如果 e1 、e2是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任一向量 a

有且只有一对实数 ?1、?2 使得:

a ? ?1 e1 ? ?2 e2
我们把不共线的向量 e 、e 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。
2 1

思考: 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组?不同基 ? 2是否相同? 底表示对应向量 a 的 ?1、

OC = OF + OE OC = 2OA + OE OC = 2OB + ON

F

M

C

A
O

B

a N E

两向量的夹角:

不共线的向量有不同的方向,对于两个 非零向量a和b,作a=OA ,b=OB,称 ∠AOB= ? 为向量a与b的夹角. B 同向 (1)当? ? 0时, a与b ____; ? ? [0, ? ] b (2)当? ? ?时, a与b 反向 ____; ? ? A O a 垂直. (3)当? ? 时, a与b ____
2

注意:两个向量共起点时形成的角叫作夹角

1、给出下面三种说法: (1)一个平面内只有一对不共线的非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底; (2)一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底; (3)零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( B ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)

已知向量 e1 、e2 求做向量-2.5 e1 +3 e2
e2

e1

C
e2

B
3 e2

A

-2.5 e1

O

e1

例、如图, 平行四边形ABCD的 两条对角 线相交于点M, 且AB ? a,AD ? b,试用 a,b 表示MA,MB,MC,MD.
D

C
M

b
A

a

B

变式1 : 上题中, 若N在AC上, 且 AN ? 3 NC , P为BC的中点, 求 PN .

变式2、 已知平行四边形ABCD的边BC , CD的中点 为M , N , AM ? e1 , AN ? e2 , 试用e1 , e2 表示BC , CD .

D
A

N M B

C

1 平行四边形OACB中 ,BD ? BC,OD与BA相交于E, 3 1 D B 求证 :BE ? BA. C 4 E
O A

例.用向量的方法证明 :



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