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2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一(下)期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高一(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1. (2014 春?新疆校级期末)某扇形的半径为 1cm,它的弧长为 2cm,那么该扇形圆心角为 ( ) A. 2° B. 2rad C . 4° D. 4rad 考点: 弧长

公式. 专题: 计算题. 分析: 由已知得到 l=2,r=1 代入扇形的弧长公式:l=r|α|,得到答案. 解答: 解:因为扇形的弧长公式为 l=r|α|, 由已知,l=2,r=1, 所以 α= 弧度

故选 B. 点评: 本题考查扇形的弧长公式:l=r|α|,但注意弧长公式中角的单位是弧度,属于基础 题. 2. (2015 春?南安市校级期中)在如图所示的平面图形中, 则向量 + ﹣ 可表示为( ) 、 为互相垂直的单位向量,

A. 3 +2

﹣2

B. ﹣

+2

C. ﹣

﹣2

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 求出向量 , 互相垂直的单位向量所在的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立直角坐标系,

的终点坐标以及 的终点坐标,即可得到结论. . , 互相垂直的单位向量所在的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立直角坐

解答: 解:以 标系, 则 =(1,0) ,

=(0,1) ,

则向量 =(1,2) , =(1,﹣2) , =(1,2) , 则向量 + ﹣ =(1,2)+(1,﹣2)﹣(1,2)=(1,﹣2) , 即可表示为 ﹣2 ,

故选:A. 点评: 本题考查两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义, 向量坐标的运算, 比较基础.

3. (2015 春?南安市校级期中)已知 α,β 都是锐角,cosα= ,cos(α+β)=﹣ 的值为( A. ) ﹣ B. C.

,则 cosβ

D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据题意和平方关系求出 sinα、sin(α+β)的值,利用 β=(α+β)﹣α 和两角差的 余弦公式求出 cosβ 的值. 解答: 解:∵α,β 都是锐角,cosα= ,cos(α+β)=﹣ ∴sinα= = ,sin(α+β)= , = ,

∴cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =﹣ × + × = ,

故选:B. 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,两角差的余弦公式,以及三角函数的符号,注 意角之间的关系,属于基础题.

4. (2015 春?南安市校级期中)函数 y=sin(2x﹣ A. ,kπ+ C. ,kπ+ ](k∈Z) ](k∈Z) [kπ+ [kπ﹣

)的单调递减区间是( ,kπ﹣ ](k∈Z)

) B. [kπ﹣

,kπ+

](k∈Z)

D. [kπ﹣

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由 2kπ+

≤2x﹣

≤2kπ+

, k∈z, 由此求得 x 的范围即是函数的单调递减区间. ,k∈z, ,

解答: 解:由 2kπ+ 可得 故函数

≤2x﹣

≤2kπ+

的单调递减区间是[kπ+

,kπ+

](k∈Z) ,

故选:C. 点评: 本题主要考查正弦函数的单调区间的求法, 根据正弦函数的单调性建立不等式是解 决本题的关键.属于中档题.

5. (2012 秋?昭觉县校级期末)函数 y=sin(2x+ 作以下平移得到( A. 向左平移 ) 向右平移

)的图象可看成是把函数 y=sin2x 的图象

B.向左平移

C. 向右平移

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把函数 y=sin2x 的图象向左平移 的图象,由此得出结论. 解答: 解:由于函数 y=sin(2x+ 故把函数 y=sin2x 的图象向左平移 )=sin2(x+ ) , )的图象, 个单位可得函数 y=sin2(x+ )=sin(2x+ )

个单位可得函数 y=sin(2x+

故选 D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题. 6. (2015 春?南安市校级期中)己知 θ∈(0,π) ,且满足 sinθ+cosθ= ,则 sinθ﹣cosθ 等于 ( ) A. ﹣ B. ﹣ C. D.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出 2sinθcosθ 的值,再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系计算即可求出 sinθ﹣cosθ 的值.

解答: 解:把 sinθ+cosθ= ,两边平方得: (sinθ+cosθ) =1+2sinθcosθ= , 即 2sinθcosθ=﹣ , ∴sinθ>0,cosθ<0, 即 sinθ﹣cosθ>0, ∴(sinθ﹣cosθ) =1﹣2sinθcosθ= 则 sinθ﹣cosθ= ,
2

2



故选:D. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 7. (2015 春?南安市校级期中)如图,过点 M(1,0)的直线与函数 y=sinπx(0≤x≤2)的图 象交于 A,B 两点,则 ?( + )等于( )

A.

1

B.

2

C.

3

D. 4

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: 利用三角函数的图象的性质设出 A(x1,sinπx1) ,B(2﹣x1,﹣sinπx1) , = (x1, sinπx1) , = (2﹣x1, ﹣sinπx1) , 根据 M (1, 0) 是 AB 的中点, 得出 =( ) ,

利用向量的数量积求解即可. 解答: 解:∵过点 M(1,0)的直线与函数 y=sinπx(0≤x≤2)的图象交于 A,B 两点 ∴根据三角函数的对称性得出;A(x1,sinπx1) ,B(2﹣x1,﹣sinπx1) ∴ =(x1,sinπx1) , =(2,0) ∵M(1,0)是 AB 的中点, ∴ = ( ) , =(2﹣x1,﹣sinπx1)



?(

+

)=

= =2,

故选:B.

点评: 本题考察了三角函数图象的性质, 平面向量的运用, 考察了学生对于数形结合的思 想的运用,属于中档题.

8. (2015 春?南安市校级期中)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为( )



A. +4 C. +2

y=2cos( ﹣

)+4

B. y=2cos( +



y=4cos( ﹣

)+2

D. y=4cos( +



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先根据函数的最大值和最小值求得 A 和 B,然后利用图象中 数的周期,求得 ω,最后根据 x= 时取最大值,求得 φ,即可得解. ﹣(﹣ )求得函

解答: 解:如图根据函数的最大值和最小值得|A|+B=6,|A|﹣B=﹣2, 、 ∵A>0, ∴A=2,B=4, 函数的周期为[ 又∵ω>0, ∴ω= , 当 x= 时取最大值,即 cos(2× ,k∈Z, +φ)=1,2× +φ=2kπ,k∈Z, ﹣(﹣ )]×4=4π,

∴φ=2kπ﹣

∵|φ|< ∴φ=﹣

, , )+4.

∴解析式为:y=2cos( x﹣

故选:A. 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了学生基础知 识的运用和图象观察能力,属于基本知识的考查.

9. (2015 春?南安市校级期中) 函数 y=2sin (x﹣ A. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴﹣ ﹣2﹣

) (0≤x≤π) 的最大值与最小值之和为 ( +2 C. 0 D . 2



B. ﹣

正弦函数的图象. 三角函数的图像与性质. 求出角的范围,结合三角函数的性质进行求解. 解:∵0≤x≤π, ≤x﹣ ≤ , )≤sin ,

则 sin(﹣ 即 ﹣

)≤sin(x﹣

≤sin(x﹣ ≤2sin(x﹣

)≤1, )≤2,

即函数的最大值为 2,最小值为﹣ , 最大值与最小值之和为﹣ +2, 故选:B 点评: 本题主要考查三角函数的最值的求解,根据三角函数的单调性是解决本题的关键.

10. (2015 春?南安市校级期中)设函数 f(x)= (n∈N ) ,若向量 an= tanθ1+tanθ2+tanθ3 等于( A.
*

,点 A0 表示坐标原点,点 An(n,f(n) ) ,θn 是 an 与 i 的夹角(其中 i=(1,0) ) .则

+ ) B.

+…+

C.

D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用;平面向量及应用;直线与圆. 分析: 化简 an= 的值,从而解得. + +…+ = , 从而可由斜率公式求 tanθ1, tanθ2, tanθ3

解答: 解:∵an=

+
*

+ …+

=



∵点 An(n,f(n) ) (n∈N ) , ∴点 A1(1, ) ,点 A2(2, ) ,点 A3(3, ) ; ∵θn 是 an 与 i 的夹角(其中 i=(1,0) ) , ∴tanθ1= = ,

tanθ2= = ,

tanθ3= =

, = ,

∴tanθ1+tanθ2+tanθ3= + +

故选:C. 点评: 本题考查了平面向量与函数的应用, 同时考查了斜率公式及斜率的定义应用, 属于 基础题. 11. (2015 春?南安市校级期中)如图,某大风车的半径为 2m,每 6s 旋转一周,它的最低 点 O 离地面 0.5 m.风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始,运动 t(s)后与地面的距离为 h (m) ,则函数 h=f(t)的关系式( )

A. C.

y=﹣2cos y=﹣2cos

+2.5 B. y=﹣2sin +2.5 D. y=﹣2sin

+2.5 +2.5

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据实际问题建立三角函数模型,求出函数的周期和最值分别进行判断即可. 解答: 解:设 h=f(t)=Asinωt+k 或 Acosωt+k, ∵大风车每 6s 旋转一周, ∴周期 T=6,即 T= 则 f(t)=Asin ,解得 ω= t+k, = ,排除 A,B.

t+k 或 Acos

∵大风车的半径为 2m,它的最低点 O 离地面 0.5 m, ∴函数的最小值为 0.5,最大值为 4.5, 则 A+k=4.5,﹣A+k=0.5, 解得 A=2,k=2.5, 当 t=0 时,f(0)=0.5 为最小值, 若 y=﹣2cos 若 y=﹣2sin +2.5,则当 t=0 时,y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5 满足条件. +2.5,则当 t=0 时,y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5 不满足条件.排除 D,

故选:C 点评: 本题主要考查三角函数解析式的确定, 根据条件分别求出三角形的周期和最值是解 决本题的关键. 12. (2015 春?南安市校级期中)在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且满足 BD= DC,过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若 =m , =n ,则( )

A. 值为 3 C. 为3 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据条件 便得到 ,同理可由条件 ,及 正确. 解答: 解:连接 DA,由 ; 得: ∥ 即可得到 1

m+n 是定值,定值为 2 B. 2m+n 是定值,定 + 是定值,定值为 2 D. + 是定值, 定值

,从而得到 得到 ,从而得到 ,这样由 ,从而选项 D

∴ 同理,由 ∴ ∵ ; :

; ; ;

∴DC=2BD; ∴ ∴ 和 ∴ ∴ ∴ ∴ ; 是定值,定值为 3. ; 共线,∴存在实数 λ,使 = ; ; ; ;

故选:D.

点评: 考查向量减法的几何意义,共线向量基本定理,以及平面向量基本定理. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. (2015 春?南安市校级期中)已知直角坐标平面内的两个向量 =(1,2) , =(m﹣1, m+3) ,使得平面内的任意一个向量 都可以唯一分解成 =λ +μ ,则 m 的取值范围 {m|m≠5} .

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知条件便知 范围即可. 解答: 解:由题意知向量 , 不共线; ∴m+3≠2(m﹣1) ; 解得 m≠5; ∴m 的取值范围为{m|m≠5}. 故答案为:{m|m≠5}. 点评: 考查平面向量基本定理, 注意平面向量基本定理成立的条件, 知道两向量共线时坐 标的关系. 不共线,从而 m 应满足 m+3≠2(m﹣1) ,从而解出 m 的

14. (2012 秋?淄博期末) 不等式 tanx>﹣1 的解集是



考点: 正切函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由不等式结合正切函数的图象,可得 kπ﹣ <x<kπ+ ,k∈z,从而得到答案.

解答: 解:由于正切函数是周期等于 π 的周期函数,由不等式 tanx>﹣1,结合正切函数 的图象, 可得在一个周期(﹣ , )上,不等式的解集为(﹣ , ) . , .

故在 R 上,不等式 tanx>﹣1 的解集是 故答案为

点评: 本题主要考查正切函数的图象和性质,三角不等式的解法,属于中档题. 15. (2015 春?南安市校级期中)设函数 f(x)=sinx+ (x)≤f(x2)成立,则|x1﹣x2|的最小值为 π . cosx,若对任意 x∈R 恒有 f(x1)≤f

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得 f(x1)为函数的最小值,f(x2)为函数的最大值,故|x2﹣x1|的最小值 为半个周期,再根据正弦函数的周期性可得结论. 解答: 解:∵f(x)=sinx+ ∴T= =2π, cosx=2sin(x+ ) ,

∵若 f(x1)≤f(x)≤f(x2) ,对?x∈R 成立,

∴可得 f(x1)为函数的最小值,f(x2)为函数的最大值, 故|x1﹣x2|的最小值为半个周期,即 T=π. 故答案为:π. 点评: 本题主要考查正弦函数的周期性和值域, 三角函数中的恒等变换应用, 属于基本知 识的考查. 16. (2015 春?南安市校级期中)如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚 动,小正六边形的边长是大正六边形边长的一半.当小正六边形沿着大正六边形的边滚动 4 周后返回出发时的位置,记在这个过程中向量 形的中心) ,则 sin 等于 ﹣ . 围绕着点 O 旋转 θ 角(其中 O 为小正六边

考点: 归纳推理. 专题: 三角函数的求值;推理和证明. 分析: 小正六边形在大六边形边上转动时转动 60°的角, 在过大正六边形的角时转动 120°, 进而可求得小正六边形沿着大正六边形的边滚动 4 周后返回出发时的位置时,θ 的值,代入 原式即可. 解答: 解:如图可知,向量 转了 4×6=24 个 60°的角,4×6=24 个 120°,

∴θ=﹣4×6=24×60°﹣4×6=24×120°=﹣4320° ∴sin =sin(﹣120°)=﹣sin120°=﹣sin60°=﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了三角函数的化简求值. 考查了观察图形特点的能力, 解题的关键是 弄明白正六边形的中心角 60°,内角为 120°. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 请在指定区域内作答,否则该题计为零分. 2 17. (2015 春?南安市校级期中)已知函数 f(x)=2sinxcosx+2cos x﹣1. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)= 由周期公式即可得解. (Ⅱ)由﹣ +2kπ≤2x+ +2kπ≤2x+ ≤ ≤ +2kπ,k∈Z 可求函数 f(x)的单调递增区间;由 sin(2x+ ) ,

+2kπ,k∈Z 可求函数 f(x)的单调递减区间. sin(2x+ ) ,…

解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)=sin2x+cos2x= 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. …(6 分) (Ⅱ)由﹣ +2kπ≤2x+ ≤

+2kπ,k∈Z 有:﹣ +kπ, +kπ≤x≤

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,

即函数 f(x)的单调递增区间为:[﹣ 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 有:

+kπ], (k∈Z) ; …(9 分) +kπ,k∈Z,

即函数 f(x)的单调递减区间为:[

+kπ,

+kπ], (k∈Z) .…

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 三角函数的周期性及其求法, 正弦函 数的单调性,属于基本知识的考查. 18. (2015 春?南安市校级期中) 在△ ABC 中, 已知 tanA, tanB 是 x 的方程 x +p (x+1) +1=0 的两个根. (Ⅰ)求 A+B; (Ⅱ)若 α∈[0,π],且满足 sin(α﹣ )=sinC,求 α 的值.
2

考点: 两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由条件利用韦达定理可知 tanA+tanB 和 tanA,tanB 的值,可得得 tan(A+B) = 的值,从而求得 A+B 的值. ,由 α∈[0,π],可得 α﹣ )的值,可得 α 的值.
2

(Ⅱ)由三角形内角和求得 C= (α﹣ )=sinC 求得 sin(α﹣
2

∈[﹣



],再根据 sin

解答: 解: (Ⅰ)方程 x +p(x+1)+1=0,即 x +px+p+1=0. 由条件可知 tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=p+1. 所以 tan(A+B)= (Ⅱ)在△ ABC 中,由 A+B= = ,可得 C= =1,∴A+B= . .

因为 α∈[0,π],所以,α﹣ 可得 sin(α﹣ ∴α= 或 α= )=

∈[﹣ =



],故由 sin(α﹣ = ,

)=sinC,

,∴α﹣ .

,或 α﹣

点评: 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式、正弦函数的定义域和值域,属于基础 题.

19. (2015 春?南安市校级期中)已知 sinθ=﹣ (Ⅰ)求 cosθ,tanθ 的值; (Ⅱ)求[sin( +π)+sin( + )]?[cos(

,π<θ<





)+cos(

﹣5π)]的值.

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据 θ 的范围确定出 cosθ<0,由 sinθ 的值,利用同角三角函数间基本关系 求出 cosθ 的值,即可确定出 tanθ 的值; (2)原式利用诱导公式及平方差公式化简,再利用二倍角的余弦函数公式变形,将 cosθ 的 值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵π<θ< ∴cosθ<0, ∵sin θ+cos θ=1,sinθ=﹣ ∴cosθ=﹣ , 则 tanθ= =2 ;
2 2





(Ⅱ)∵cosθ=﹣ , ∴原式=(﹣sin +cos ) (﹣sin ﹣cos )=sin
2

﹣cos

2

=﹣cosθ= .

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 20. (2015 春?南安市校级期中)函数 f(x)=Acosωx(A>0,ω>0)部分图象如图所示, 其中 M、N(12,0) 、Q 分别是函数图象在 y 轴右侧的第一、二个零点、第一个最低点,且 △ MQN 是等边三角形. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x0+2)= ,求 sin x0 的值.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由周期求得 ω 的值,可得 M(4,0) 、N(12,0) 、Q(8,﹣1) .再利用等 边三角形的性质求得 A 的值,可得 f(x)的解析式. (Ⅱ)由 f(x0+2)=4 =﹣cos( x0+ cos( x0+ )= ,求得 cos( x0+ )的值,再根据 sin x0

) ,利用二倍角的余弦公式计算求得结果. =12,∴T=16,ω= ,∴M(4,0) 、N(12,0) 、

解答: 解: (Ⅰ)依题意有 T= ? Q(8,﹣1) .

因为△ MQN 是等边三角形,所以|﹣A|=8?sin60°=4 (Ⅱ)∵f(x0+2)=4 ∴sin x0 =﹣cos( cos( x0+ x0+ )=
2

,∴A=4 x0 +

,f(x)=4 )= ,

cos

x.

,∴cos( x0 +

)=﹣[2cos (

)﹣1]= .

点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,余弦函数的图象特征, 诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.

21. (2015 春?南安市校级期中)已知向量 =(sin2x,﹣ = ? .

) , =( ,cos2x) ,函数 f(x)

(Ⅰ)试用五点作图法画出函数 f(x)在一个周期内的图象(要求列表) ; (Ⅱ)求方程 f(x)=m(0<m<1)在[﹣ , ]内的所有实数根之和.

考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: (Ⅰ) 利用向量的数量积求出 f (x) 的表达式, 然后利用五点作图法画出函数 f (x) 在一个周期内的图象; (Ⅱ)利用函数 f(x)=m 在[﹣ , ]内对称性,求出相应的对称轴,进行求解即可. cos2x=sin(2x﹣ ) ,…(2 分)

解答: 解: (Ⅰ)f(x)= ? = sin2x﹣ 列对应值表如下: 2x﹣ x f(x) 0 1 0 ﹣1 0 0 π



… 通过描出五个关键点,再用光滑曲线顺次连接作出函数 f(x)在一个周期内的图象如下图 所示: …(6 分) (Ⅱ)∵y=sin(2x﹣ ∴y=sin(2x﹣ 令 2x﹣ ∴x= + =kπ+ )的周期 t=π, , ]内有 3 个周期. …(7 分)

)在[﹣ ,k∈Z,

,k∈Z, )的对称轴为 x= ∈[﹣ , , + ,k∈Z.…(8 分) ],且 0<m<1,

即函数 y=sin(2x﹣ 又 x∈[﹣ ,

],则 2x﹣

∴f(x)=m(0<m<1)在[﹣

]内有 6 个实根,…(9 分)

不妨从小到大依次设为 xi, (i=1,2,3,4,5,6) , 则 , = , =

即 x1+x2=

,x3+x4=

,x5+x6=

, + + = .…

∴所有实数根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6=

点评: 本题主要考查三角函数的图象做法, 要掌握五点法作图, 同时利用三角函数的对称 性是解决本题的关键. 22. (2015 春?南安市校级期中)如图,曲线 Γ:x +y =1 分别与 x、y 轴的正半轴交于点 A、 B,点 C(﹣2,0) ,角 α、β 的终边分别与曲线 Γ 交于点 P、Q. (Ⅰ)若 与 共线,求 tan(α+ )的值; , ) ,求 在
2 2 2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 Q(

方向上的投影;
2

(Ⅲ)有研究性小组发现:若满足 β=α+

,则(yP) +(xQ) +yP?xQ 是一个定值,你认

为呢?若是,请求出定值,若不是,请说明理由.

考点: 任意角的三角函数的定义;两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用 求 tan(α+ )的值; 在 方向上的投影; 与 共线,转化为斜率之间的关系,利用两角和差的正切公式即可

(Ⅱ)根据向量投影的定义即可求

(Ⅲ)求出 yP,xQ 的坐标,利用两角和差的正弦公式进行整理即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)若 与 共线,

则 CB∥OP,

则 kOP=kCB=tanα= ,则 tan(α+

)=



(Ⅱ)由(1)得 tanα= ,

∴得





则 P( ∴ 设 则 ? 与 在 =



)或 P(﹣ .

,﹣

) ,

的夹角为 θ, 方方向上的投影是| |cosθ= = .

(Ⅲ)由三角函数的定义可知 yP=sinα,xQ=cosβ, 若 β=α+
2

,则 xQ=cosβ=cos(α+
2 2

) ,
2

则(yP) +(xQ) +yP?xQ=sin α+cos (α+ =sin α+(
2 2

)+sinα+cos(α+



cosα﹣ sinα) +sinα(
2

2

cosα﹣ sinα) sinαcosα﹣ sin α
2

=sin α+ cos α﹣
2 2

sinαcosα+ sin α+

2

= sin α+ cos α= , 故结论正确,定值为= . 点评: 本题主要考查向量数量积的应用, 两角和差的正弦公式和两角和差的正切公式的应 用,综合考查公式的应用.



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