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广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文



湛江一中 2015-2016 学年度第二学期第一次大考考试 高 二 级 文科数学试卷
满分:150 分

考试时间:120 分钟

? 参考公式: .用最小二乘法求线性回归方程系数公式, b ?

?x y
i ?1 n i

n

i 2

>? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ?bx

?

?

i

一、选 择题(本题共 12 小题 ,每小题 5 分,总分 60 分;每个小题仅有一个最恰当的选项, 请将你的答案填涂在答题卡上) 1.复数 A. 1+2i ( ) C.-1+2i ) D.-1-2i

B.1-2i

4 2.已知 x ? 0 ,函数 y ? ? x 的最小值是( x

A.5 B.4 C.8 D.6 3.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,那么 cos C ? ( A..



1 4

B.

2 3

C. ?

2 3

D.

?

1 4


4.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 1 ? n ? N? ? ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 18 ,则 a 5 的值为( A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 5.下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1 ,则 x≠1” 2 2 B.命题“? x≥0,x +x-1<0”的否定是“? x0<0,x0+x0-1≥0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“ p ? q ”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 6.“ x ? 1 ? 2 成立”是 x(3-x)﹥0“成立”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充 分也不必要条件 7. 等 比 数 列

?an ?
?

的 各 项 均 为 正 数

, 且 a5a ? , 则 6 a a 4? 18 7

l o3 a g? 1
A. 12

la g 3o ? 2
B. 10

. . a 3. ? 1l 0o g
C. 1 ? log3 5 D. 2 ? log3 5 )

8.下列各对双曲线中,既有相同的离心率,又有相同渐近线的是( A.
x x y ? y2 ? 1 与 ? ?1 3 9 3
2 2 2

B.

x x ? y2 ? 1 与 y2 ? ? 1 3 3
1

2

2

C . y2 ?

x2 y2 ? 1 与 x2 ? ?1 3 3

D.

x2 ? y2 ? 1 与 3

y 2 x2 ? ?1 3 9 9.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图,则导函数 ) y ? f ?( x) 的图象可能为下图中的(

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.由不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 确定的平面区域记为 M,若直线 3x ? 2 y ? a ? 0 与 M 有公 ? x ?1 ? 0 ?
共点,则 a 的最大值为( A. ?3 B.4 ) C.2 D.1

11.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为( A. 1∶4 B . 1∶6 C. 1∶ 8 D. 1∶9 ) )

1 2 .函数 f ( x ) ? x ?

1 在 (??,?1) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ax
B.(-∞,0)∪(0,1] D. (-∞,0)∪[1,+∞)

A. (-∞,- 1]∪[1,+∞) C. (0,1]

二、填空题 (每空 5 分,共 20 分) 13.已知 x 与 y 之间的几组数据如右表:则由表数据 所得线性回归直线必过点__________________. 14.抛物线 y = 4x 的焦点坐标为____________. 15.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

2

11 12 13 14 15 ? 根据以上规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是__________. 16.如图,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆(a>b>0)的右焦 点 F,且两条曲 线的交点连线也过焦点 F,则该椭圆的离心率为 .
2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 (1)求 sinA; (2)若 a ?
3 2 ,△ABC 的面积 S= ,且 b>c,求 b,c. 2 2

3(b 2 ? c 2 ) ? 3a 2 ? 2bc

18.(本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 1 ,求证:若数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,则 ? sn ? 3 2 an an ?1

19. (本小题满分 12 分) 某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名 学生某次考试成绩,若单科成绩在 85 分以上(含 85 分),则该科成绩为优秀. (1)请完成下面的 2×2 列联表(单位:人) 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀
3

数学成绩不优秀

总计 7

5

总计

14

20

(2)根据(1)中表格的数据计算,是否有 99%的把握,认为学生的数学成绩与物理之间有关系? 参考公式:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

20. (本小题满分 12 分) 如图, 椭圆 C: 直线 l 的方程为 y=4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 1 离心率 e= , ? 2 ? 1 (a>b>0)经过点 P(2,3), 2 2 a b

(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦(不经过点 P) .设直 线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB, 1 1 ? ? ? PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ ,使得 ?若存在, k1 k2 k3 求 λ 的值. l M y P B

O A

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (1)求函数 F(x)=f(x)-x 的极值;

1 2 ax ? bx , 设 h(x) ?f (x) g ?(x) 2



(2)若 g(2)=2,若 a ? 0 ,讨论函数 h(x)的单调性; (3)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1 , x2 , 求 b 的取值范围.

4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. (本小题满分 10 分) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,DC 是∠ACB 的平分线并交 AE 于点 F,交 AB 于 D 点, (1)求∠ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求 AC:BC.

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,过点 p(1,-2)的直线 L 倾斜角为 45.以坐标原点为极点,x 轴正 2 半轴为极坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin θ =2cosθ ,直线 L 和曲线 C 的交点为 A,B. (1) 求直线 L 的参数方程; (2) 求|PA||PB|.

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=︱2x+1︳+︱2x-3︳ (1)求不 等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 ︱a-1︳﹤f(x)的解集为 R,求实数 a 的取值范围. .

5

2015-2016 学年度第二学期第一次大考考试 文科数学答案 一、选择题 1-12 ABDCD BBADC CD

二、填空题 13. (4.5,3.5) 14. (0, 16
1

)

15.

2 ?1 16.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.解:(1) ∵ 3(b 2 ? c 2 ) ? 3a 2 ? 2bc,

∴ ∴ ∴

b2 ? c2 ? a2 1 ? 2bc 3
1 cosA= 3 sinA= 又 ∴ ∠A 是三角形内角 2 2 . 3 ?????????(6 分)

(2)∵S= ∵ ∴
a?

2 1 2 3 ,∴ bcsinA= ,∴bc= , ① 2 2 2 2
3 ,∴由余弦定理可得 2 3

3 1 ( ) 2 ? b 2 ? a 2 ? 2bc ? 3 2

b2 ? c2 ? ( )2 + 1 2

,



∵b>c>0,∴联立①②可得 b=3/2,c=1. ????????????(12 分) 18. 解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ?1)c ∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c . 又 a 1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2
2

当 c ? 0 时 , an?1 ? an 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 ∴ bn ?

?????????(5 分)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
6

∴ Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 n )? < S n ? (1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1 2 1 由单调性可知,当 n=1 是时 S n 有最小值 3


1 >0, 2n ? 1

∴ 3 ≤Sn< 2 ????????????(12 分) 19、解:(1) 数学成绩优秀 物理成 绩优秀 物理成绩不优秀 总计 5 1 6 数学成绩不优秀 2 12 14 总计 7 13 20

1

1

?????????(4 分) (2)根据列联表可以求得:,

所以,我们有 系

的把握认为:学生的数学成绩与物理成绩之间有关
M y B P l

?????????(12 分) 9 ?4 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 20.解:(Ⅰ)由已知得 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , 解得 a=4,b= 3 ,c=2. ?c 1 ? ? , ? ?a 2 x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.???????(4 分) 16 12

O A

x

7

(Ⅱ)当直线 AB 不存在斜率时,A(0,-2 3 ),B(0,2 3 ),M(0,4), 此时 k2=
2 3 ?3 3?2 3 ?2 3 ? 3 3 ? 2 3 4?3 1 = ,k1= = ,k3= =- , 0?2 2 0?2 2 2 0?2

1 1 + =-4,可得λ =2.----------------(6 分) k1 k2

当直线 AB 存在斜率时,可设为 k(k≠0),则直线 AB 的方程为 y=kx+3. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线 AB 与椭圆的方程,得
? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 消去 y,化简整理得,(4k +3)x +24kx-12=0, ?16 12 ? y ? kx ? 3, ? ?24k ?12 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k ? 3 4k ? 3 1 1 x ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 4k 而 + = 1 + = + = = . kx1 kx2 k1 k2 y1 ? 3 y2 ? 3 kx1 x2 k 1 ?2 1 k 1 1 ? 2k 又 M 点坐标为( ,4),所以 = = . k3 4 ? 3 k k 1 1 ? 故可得λ =2. ?因此, 存在常数 2, 使得 + = 恒成立. -----------------------k1 k2 k3

(12 分) 21. 解 : ( 1 ) ∵

F ?( x) =

x ? (0,1) F ?( x) ? 0, x ? (1,??) F ?( x) ? 0, ? x ? 1时F ( x)有极大值F (1) ? ?1

1 x

-1, 令

F ?( x) =0, 即

x=1 , 又

???? 2 分

1 (2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ∴ h( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 1) x ,其定义域为(0,+ ? ). 2

h?(x) ?

1 ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ?(ax ? 1)( x ? 1) ? ax ? (a ? 1)= ? , x x x
1 , x2 ? 1 . a

又 a ? 0 ,令 h?(x) ? 0 ,得 x1 ? ?

1?. 当 a ? ?1 时,则 0 ? ?
. 递增;在区间( ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间( 0, ? )和(1,+ ? )上单调 a a

1 ,1)上单调递减. a
8

2 ?. 当 a ? ?1 时, h / ( x) ? 0 ,数 h( x) 在区间(0,+ ? )单调递增 3?. 当 ? 1 ? a ? 0 时,则 ?
增;在区间(1, ? (综上所述略)

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间(0,1)和( ? ,+ ? )上单调递 a a

1 )上单调递减. a
??7 分

(3)∵函数 g ( x) 是关于 x 的一次函数 ,∴ h( x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ). ∵h(x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,∴b<0

1 1 ? bx 1 ?b ? , 令h?( x) ? 0, x ? ? x x b 1 1 ? x ? (0,? )时h?( x) ? 0, x ? (? ,??)时, h?( x) ? 0, b b 1 1 1 ? x ? ? 是极大值点, ? h(? )是最大值,? h(? ) ? 0 b b b h?( x) ?
1 ∴ b 的取值范围是( ? ,0). e

??12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请 写清题号

22.(1) ? AC为圆O的切线, ? ?B ? ?EAC,又 ? DC是?ACD的平分线? ?ACD ? ?DCB, ? ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?AC, 即?ADF ? ?AFD, 又 ? BE为圆的直径, ? ?DAE ? 90?, ?ADF ? 1 (180? ? ?DAE) ? 45?????5分 2

(2)?B ? ?EAC, ?ACB ? ?ACB ? ?AEC ? BAC ?

AC AE ? ,连接OA,又 ? AB ? AC BC AB AC AE 3 OA ? OB,? ?B ? ?BAO ? ?ACB, ?B ? 30?, 在直角?ABE中 ? ? BC AB 3

23. (Ⅰ)由条件知,直线 l 的倾斜角 ? ? 45? , cos ? ? sin ? ?

2 ???10 分 2

设点 M ( x, y ) 是直线 l 上的任意一点,点 P 到点 M 的有向距离为 t ,则

9

? 2 t ? x ? 1? ? 2 . ? ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2

???5 分 ? ?

(Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2 x ,由此得 (?2 ? 即

2 2 2 t ) ? 2(1 ? t) , 2 2

t 2 ? 6 2t ? 4 ? 0, 设 t1 , t2 为此方程的两个根,t1t2=4 因为 l 和 C 的交点为 A, B ,所以

t1 , t2 分别是点 A, B 所对应的参数,由韦达定理得

PA ? PB =4

???10 分 ? ?

24. (1)原不等式等价于:



或 ???5 分

解得不等式

3 {x ? 1 ? x ? } 的解集为: 2

(2)因为,
10

所以,︱a-1︳﹤4 ,解得 —3﹤a﹤5 ???10 分 ? ?

11



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