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【高考调研】2012高考数学 4-4-2 参数方程精品复习课件



高考调研 ·新课标高考总复习

第2课时

参数方程

高考调研 ·新课标高考总复习

2011· 考纲下载
1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 3.了解圆的平摆线、渐开线的形成过程,并能推导出它们的参数方

程.



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请注意!

对本部分的考查,主要是参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参 数方程及参数方程的简单应用,题目难度的设置以中档题型为主,预 测2012年高考中,在难度,知识点方面变化不大.

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?
? 课本导读
1.参数方程的概念

课前自助餐

如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个

?x=f(t) 变量t的函数.? ?y=g(t)



?x=f(t) 反过来,对于t的每个允许值,由函数式? ?y=g(t) ?x=f(t) 所确定的点P(x,y)都在曲线C上,那么方程? ?y=g(t)
叫做曲线C的参数方程,变量t是参数.





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2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程

?x=x0+Rcosθ 为? ?y=y0+Rsinθ
2 2

(θ为参数).

x y (2)椭圆 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 2 a b

?x=acosθ ? ?y=bsinθ

(θ为参数).

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?x= a ? (3)双曲线x -y =1(a>0,b>0)的参数方程为? cosθ ? a b ?y=btanθ ?
2 2 2 2

(t为参数). ?x=2pt2 (4)抛物线y =2px(p>0)的参数方程为? ?y=2pt
2

(t为参数).

3.直线的参数方程 过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为 ?x=x0+tcos ? ?y=y0+tsinα (t为参数),其中t表示直线上以定点M0为起点,

→ → 任意一点M(x,y)为终点的有向线段 M0M 的方向.当t>0时, M0M 的方向向 → 上;当t<0时,M0M的方向向下;当t=0时,M与M0重合.

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教材回归
?x=1+2t, 1.若直线的参数方程为? ?y=2-3t
(t参数),则直线的斜率为( 2 A. 3 3 C. 2 ) 2 B.- 3 3 D.- 2

答案

D

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2.参数方程

?x=cos θ, ? ? ? y=sinθ ?

2

(θ为参数)所

表示的曲线为(

) B.一条抛物线 D.一条双曲线

A.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分
答案 A

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3.把方程xy=1化为以t为参数的参数方程是(

)

A.

?x=sint ? B.? 1 ?y=sint ? ?x=tant ? D.? 1 ?y=tant ?

?x=cost ? C.? 1 ?y=cost ?
答案 D

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?x=1+t, 4.(09·天津)设直线l1的直线方程为? ?y=1+3t (t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为 ________.
答案
3 10 5

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解析

l1:

?x=1+t ? ? ? y=1+3t ?

? l1:y=3x-2,则

l1与l2为两平行直线,再利用两平行线间的距离公 3 10 式,可求得d= . 5

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5.(2010·安徽卷)设曲线C的参数方程为
?x=2+3cos ? ? ?y=-1+3sinθ ?

(θ为参数),直线l的方程为

7 10 x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 的点的 10 个数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

答案

B

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解析 曲线C的标准方程为:(x-2) +(y+1) =9, 它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,因为圆心(2, -1)到直线x-3y+2=0的距离 |2+3+2| 7 10 7 10 7 10 d= = 且3- < ,故过圆心且与l平 10 10 10 10 行的直线与圆相交的两点为满足题意的点.

2

2

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授人以渔
题型一
例1

参数方程化为普通方程
把下列参数方程化为普通方程.

?x=1+1t, ? 2 (1)? 3 y=5+ t ? ? 2
?x=sinθ, (2)? 2 y=cos θ ?
【思路分析】
2

(t为参数);

(θ为参数,θ∈[0,2π]). (1)用代入法消去参数t;
2

(2)利用sin θ+cos θ=1消参.

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【解析】

3 (1)由已知得t=2x-2,代入y=5+ t中 2 3 (2x-2), 2

得y=5+

即它的普通方程为 3x-y+5- 3=0. (2)∵sin θ+cos θ=1,∴x +y=1,即y=1-x . 又∵|sinθ|≤1, ∴其普通方程为y=1-x (|x|≤1).
2 2 2 2 2

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思考题1

将下列参数方程化成普通方程.

(1)

?x=t+1 ? t-1 ? 2t ?y=t -1 ?
3

(2)

?x= P +pt ? ? t ? p ?y=t-pt ?
2 2

【解析】

(1)由x=

t+1 t-1

得t=
2

x+1 x-1

代入y=

(x+1)(x-1) 2t 化简得y= (x≠1). 3 2 t -1 3x +1

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p (2)将y= -pt的两边平方得: t p p 2 2 2 2 2 y = 2+p t -2p =p( 2+pt )-2p , t t
2 2

P 2 2 以x= 2+pt 代入上式,得y =p(x-2p). t

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题型二

直线的参数方程

例2

π 已知直线l经过点A(1,2),倾斜角为 . 3

(1)求直线l的参数方程; (2)求直线l和圆x +y =9的两个交点到点A的距离之积. 【思路分析】 根据直线参数方程中参数t的几何意义,运用
2 2

一元二次方程根与系数的关系求解.

【解析】

?x=1+t, ? 2 (1)直线l的参数方程为 ? 3 ?y=2+ 2 t ?



(t为参数).

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?x=1+t ? 2 (2)将? 3 ?y=2+ 2 t ?
2

代入x +y =9,

2

2

得:t +(1+2 3)t-4=0,∴t1t2=-4. 由参数t的几何意义得直线l和圆x +y =9的两 个交点到点A的距离之积为|t1t2|=4.
2 2

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探究1 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的 参数方程.直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).其中 k=tanα(α≠90°),α为直线的倾斜角,则参数方程

?x=x0+tcosα, 为? ?y=y0+tsinα,

(t为参数).

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思考题2

(1)下列参数方程与方程y =x表 ) (t为参数) (t为参数)

2

示同一曲线的是(
? A.?x=t,?y=t ?
2

?x=sin ? B.? ? y=sin ?

2

t, t

? x=t, ? C.? ? y= |t| ?

(t为参数)

?x=1-cos 2t, ? 1+cost D.? ?y=tan t ?

(t为参数)

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【解析】
2

考查四个选项:对于A,消去t后所
2

得方程为x =y,不符合y =x; 对于B,消去t后所得方程为y =x,但要求0≤x ≤1,也不符合y =x; 对于C,消去t得方程为y =|x|,但要求y≥0,x ∈R,也不符合y =x; 1-cos 对于D,x= 1+cos 即符合y =x. 因此D是正确的,故选D.
【答案】 D
2 2 2 2 2

2t 2sin2 = 2 2t 2cos

t 2 =tan t

t=y

2

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? (2)已知直线 l 过点 P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两 点.求|PA|·PB|的值为最小时的直线l的方程. | ? 【思路分析】 本题可以使用直线的普通方程来解,也可以使用参数方

程来解,但是使用普通方程解,运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角, 写出直线的参数方程来解,就可以把问题转化为三角函数的最小值问题, 便于计算.

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【解析】

设直线的倾斜角为α,显然90°<α<180°,则

cos ?x=3+t α, 它的方程为? (为参数) t . y=2+t i s nα ? 由A 、B是坐标轴上的点知yA =0,xB=0, ∴0=2+t i s nα,即| | t= PA =|| ,0=3+t α, cos si nα 3 2 即| | t=- PB =|| . PA | PB | 故| ·| = · cos α si nα ( - ) =- . cos α si n2α ∵90°<α<180°,∴当2α=270°,即α=135°时, | | PB | PA ·| 有最小值. 3 12 2

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?x=3- 2t, ? 2 直线方程为 ? 2 ?y=2+ 2 t ?
通方程即x+y-5=0.

(t为参数),化为普

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题型三
例3

参数方程的应用
2 2

(x-1) (y+2) 实数x,y满足 + =1, 16 9

试求x-y的最大值与最小值,并指出何时取得最大 值与最小值. 【思路分析】 转化为椭圆的参数方程,应用三角

函数知识求解. 【解析】 由已知可设

?x-1=cosθ, ? 4 ?y+2 ? 3 =sinθ, ?

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?x=4cosθ+1, 即? ?y=3sinθ-2

(θ为参数).

则x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ- 3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3,其中cosα= 3 sinα= . 5 当cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z时, 4 cosθ=cos(2kπ-α)=cosα= , 5 4 , 5

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3 sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=- , 5 4 21 3 19 当x=4× +1= ,y=3×(- )-2=- 5 5 5 5 时,x-y的最大值为8. 11 1 同理,当x=- ,y=- 时,x-y的最小值为-2. 5 5

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? 探究2

本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越

性.运用参数方程显得很简单,运算更简便. ? 本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普 通方程;(2)在使用参数方程运算时不考虑α 的实际取值.

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思考题3

(1)已知点P(x,y)是圆x +y =2y上的动点,

2

2

①求2x+y的取值范围; ②若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】

?x=cosθ, ①设圆的参数方程为? ?y=1+sinθ.

2x+y=2cosθ+sinθ+1= 5sin(θ+φ)+1, ∴- 5+1≤2x+y≤ 5+1.

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x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0, π ∴a≥-(cosθ+sinθ)-1=- 2sin(θ+ )-1. 4 ∴a≥ 2-1. (2)在圆x +y -4x-2y-20=0上求两点A和B,使它 们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长. 【思路分析】 利用圆的参数方程求解.
2 2

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【解析】

将圆的方程化为参数方程:

?x=2+5cosθ ? ?y=1+5sinθ

(θ为参数),则圆上点P坐标为

(2+5cosθ,1+5sinθ),它到所给直线的距离 d= |20cosθ+15sinθ+30| 4 +3
2 2

=|5cos(φ-θ)+6|,

4 3 其中cosφ= ,sinφ= . 5 5 故当cos(φ-θ)=1,即θ=φ时,d最长,这时点A 坐标为(6,4); 当cos(φ -θ )=-1,即θ =φ -π 时,d最短, 这时点B坐标为(-2,2).

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例4

(1)(2010·福建卷)坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

?x=3- 2t, ? 2 ? 2 ?y= 5+ 2 t ?

(t为参数).在极坐标

系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点 O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为 ρ=2 5sinθ.

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求圆C的直角坐标方程; ②设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为 (3, 5),求|PA|+|PB|. 【解析】
2 2

解法一

①由ρ=2 5sinθ,
2 2

得x +y -2 5y=0,即x +(y- 5) =5. ②将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得 (3- 2 2 2 2 2 t) +( t) =5,即t -3 2t+4=0. 2 2

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由于Δ=(3 2 ) -4×4=2>0,故可 设t1, t2是上述方程的两实根,
? ? 1+t2=3 2, t 所以? ? 1·t2=4. t ?

2

又直线l过点P(3, 5), 故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|= |t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 解法二 ①同解法一.

②因为圆C的圆心为(0, 5),半径r= 5,直 线l的普通方程为:y=-x+3+ 5.

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?x2+(y- 5)2=5, 由? ?y=-x+3+ 5
? x=1. ? 解得:? ? y=2+ ?

得x -3x+2=0.
? x=2, ? 或? ?y=1+ ?

2

5

5

.

不妨设A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点P的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.

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(2)(2010·广东卷)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲 线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________. 【解析】 由ρ=2sin θ,得ρ =2ρsin θ,其普通方程为 x +y =2y,ρcos
? 2+y2=2y, x ? 联立 ? ?x=-1 ?
2 2 2

θ=-1的普通方程为x=-1,
? x=-1 ? ,解得 ? ? y=1 ?

,点

3π (-1,1)的极坐标为( 2, ). 4
【答案】 3π ( 2, ) 4

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?

探究3

本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程,然后去解决问

题,这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要 的思路.

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思考题4

(1)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,

以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建 立平面直角坐标系,

?x= 2t+1, ? 2 直线l的参数方程是? ?y= 22t, ?
求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

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【思路分析】

先将极坐标方程和参数方程都转

化为普通方程,然后再求解. 【解析】 曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ,化为
2 2 2 2

直角坐标方程为x +y -4x=0,即( x-2)+y =4.

?x= 2t ? 2 +1, 直线l 的参数方程? 2 ?y= t . 2 ?

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化为普通方程为x-y-1=0. 曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为 1 2 = , 2 2 1 4- = 14. 2

所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为2

(2)(2011·合肥质检)在直角坐标系中圆C的参数方程为

?x=2cosα, ? ?y=2+2sinα

(α为参数),若以原点O为极点,以x

轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的极坐标方程为 ________.

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? 【解析】

由 参 数 方 程 消 去 α 得 圆 的 方 程 为 x2 + (y - 2)2 = 4 , 将 x =

ρ cosθ ,y=ρ sinθ 代入得(ρ cosθ )2+(ρ sinθ -2)2=4,整理得ρ = 4sinθ . ? 【答案】 ρ =4sinθ

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本课总结

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直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义中, 有如下常用结论: ① 直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1, t2,则弦长l=|t1-t2|; ②定点M0是弦M1M2的中点? t1+t2=0; ③设弦M1M2中点为M,则点M对应的参数值tM= 此可求|M2M|及中点坐标). (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的 点,从而讨论最值或距离等问题. t1+t2 2 (由

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课时作业(62)



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