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河南省2014年高中数学优质课:函数的概念-作课课件


人教版 高中数学 必修一《集合与函数的概念》

1.2.1

函数的概念

主讲人:赵莉

初中时函数是如何定义的呢
一般地,设在一个变化过程中有两 个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都 有唯一的值与它对应,那么就说x是自变 量,y是x的函数.

思考:
y=1是函数吗?

§1.2.1函数的概念

(1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中 目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的 高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律 2 是h=130t-5t .

A={t|0≤t≤26}
B={h|0≤h≤845}

§1.2.1函数的概念

(2) 近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少, 因而出现了臭氧层空洞问题 . 下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从 1979~2001 年 的变化情况:

§1.2.1函数的概念

根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集 A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积 S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}. 对于数集 A 中的每一个时刻 t, 按照图中的曲 线,在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.

实例3 (3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.表中恩 格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计 划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
时间(年) 恩格尔系数( % )
1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

A={1991,1992,1993,1994, 1995, 1996, 1997,1998,1999,2000,2001} B={53.8,52.9, 50.1,49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}

对于数集A中的每一个时间按表格,在数集 B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.

实例1 (1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标. 炮弹的射高为

845 m,且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规 律是h=130t-5t2.

A={t|0≤t≤26}

B={h|0≤h≤845}

实例2 (2)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞

问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况.

A={t|1979≤t≤2001}

B ={S|0≤S≤26}
实例3 (3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

系数越低,生活质量越高.表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表 明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
2001

时间(年) 恩格尔系数 (%)

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

A={1991,1992,1993,1994, 1995, 1996, 1997,1998,1999,2000,2001}
B={53.8,52.9, 50.1,49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}

以上三个实例的共同特点是: 对于数 集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f, 在数集B中都有唯一的y和它对应.

1.2.1函数的概念

1.函数的定义
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对 集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应,那么就称?:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function) 记作: y=f(x),x?A
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).

1.2.1函数的概念

注意:
(1)A, B 都是非空数集;
(2)A中任意,B中唯一;

A
a1

f

B
b1

A
a1 a2

f

B
b1

a2

b2

b2

a3

b3

a3

b3

(3)函数的定义域为 A;函数的值域 {f(x)|x∈A}? B;

2.函数的三要素:定义域,对应关系和值域
如果两个函数的定义域,对应关系完全 3.函数相等: 一致,则两个函数相等,这是判断两函 数相等的依据.

1.2.1函数的概念

设a,b为实数,且a<b
定义 名称
闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间

符号
[a,b] (a,b) (a,b] [a,b)

数轴表示

{x | a ? x ? b}

{x | a ? x ? b}
{x | a ? x ? b}
{x | a ? x ? b}

另外:

R (-∞,+ ∞)

{x|x≥a} [a,+ ∞)

{x|x>a} (a,+ ∞)

{x|x≤b} (- ∞,b]

{x|x<b} (- ∞,b)

数集都可以用区间表示吗?
例如: {1,2,3,4…}

{1}

【展讲要求】 1、教态自然,面向同学;
2、声音宏亮,吐字清楚,语速适中; 3、讲解思路清晰。
函 数 的 概 念

例题分析
题型一 函数概念的应用

AD 例1 (1)下列图象具有函数关系的是______.
y y o

y o 1 x

x

o

x

A
y 1 x o

y

B
x

o

y 1 o

C
x

-1

D

E

F

例题分析
(2)已知A={x|0≤x≤4},B={y|1≤y≤2},下列图形中 不能表示从A到B的函数的是( A )
y

y
4
2 1 o °

2

o
A y
2 1
? ° 2

x

4

x

y
? 4

B

2

o

x

1?

C

o

D

4

x

例题分析
变式:已知A={x|0≤x≤4},B={y|1≤y≤2},下列图形中 表示以A为定义域,以B为值域的函数的是( D )
y

y

2

o y A
? ° 2

4

x ?

2 1 o

°

4 o D (3)与函数y=x+1相等的函数是( B ). 0

o

2 1

y 2

B

4

x

4

C

x

1? x

A.y ? ( x ? 1) B.y= 3 ( x ? 1)3 C. y ? ( x ?1)2

D.y=|x+1|

题型二

求函数的定义域

例2 求下列函数的定义域:
( x ? 1) 2 x 0 ? x 2 ? 2x ? 1 ? x (2) y ? (1)y ? x ?1 ? 2 x ?1
解:(1)由 ? x ? 1 ? 0

? x ? ?1 得:? ? ?x ? 1 ?1 ? x ? 0

∴定义域为(-∞,-1)∪(-1,1] ?x 2 ? 2x ? 0 ? x ? ?2或x ? 0 (2)由 ? 得: ? ?x ? 0 ?x ? 0 ? x ?1 ? 2 ? 0 ? x ? 1且x ? ?3 ? ? ∴定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2]∪(0,1)∪(1,+∞)

如何确定函数的定义域?
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不 为0的实数的集合; (3)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根 号内的式子大于或等于0的实数的集合; (4)如果f(x)是0次方式,那么函数的定义域是底数不为0的 实数的集合; (5)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么 函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的 集合 (6)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外, 还要符合实际情况.

1 , 例3 已知 f ( x) ? x ? 3 ? x?2 2

?求 f (?3), f ( 3 ) 的值; ?当a>0时,求 f(a),f(a-1) 的值.
1 ? ?1; 解:① f (?3) ? ? 3 ? 3 ? ?3? 2 2 2 1 3 33 f ( ) ? ?3 ? ? ? . 2 3 3 8 3 ?2 3 ②因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义.
f [ g (3)]

f (a) ? a ? 3 ?

1 ; a?2

f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ?

1 1 ? a?2? . (a ? 1) ? 2 a ?1

注:在函数定义中,我们用符号y=f(x)表示函数,其中f(x)表示
x对应的函数值,不是f乘x;而f(a)是指x=a时的函数值。

易错题:函数 y ?

x 的定义域为R,则实数k的 kx 2 ? kx ? 1

取值范围是( B )
A、k<0或k>4 B、0≤k<4 C、0<k<4 D、k≤0或

k≥4

注意分类讨论思想的应用

思考:
y=1是函数吗?

? 一个概念,二种语言,三个要素。 ? 四项注意: 1、函数问题首先考虑定义域; 2、f(x)含对x的一种操作规定,不是f与x的乘积; 3、f(a)表示当x=a时数f(x)的函数值,应注意复 合函数以及分段函数的求值问题; 4、注意分类讨论思想的应用。

若函数f(x)的定义域为[0,1],求 g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的 定义域.

解:∵f(x)的定义域为[0,1]

?0 ? x ? m ? 1 ?? m ? x ? 1 ? m ?? 即: ? ?0 ? x ? m ? 1 ?m ? x ? 1 ? m
1 ?当1-m=m,即m= 2

1 时,x= 2 ; 1 ?当1-m>m,即0<m< 2 时,得:m≤x≤1-m ; 1 ?当1-m<m,即m> 2 时,得: x∈Ф. 1 综上所述:当0<m≤ 2 时,g(x)的定义域为 1 当m>2 ,函数g(x)不存在.

[m,1-m];

1、课时练第4课时 2、课本P16 练习2

宇宙之大,粒子之微,火箭之速, 化工之巧,地球之变,生物之谜, 日用之繁,无处不用数学。 -----华罗庚

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