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空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路



空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围是 (0,

?
2

] 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动

直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下

: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊 的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用解三角形来求角。简称为“作,证,求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是 [0,

?
2

] 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
D

具体步骤如下: (若线面平行,线在面内,线面垂直,则不用此法,因 为角度不用问你也知道) ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角; ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作,证,求” 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线所成的一切角 中的最小角,即若 θ 为线面角, ? 为斜线与平面内任何一条直线所成的角,

?

A B

C

则有 ? ? ? ; (这个证明,需要用到正弦函数的单调性,请跳过。在右图的解释为 ?BAD ? ?CAD ) ) 2.1 确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分 线上; 已知:如图, ?BAC 在一个平面 ? 内,

PN ? AC, PM ? AB, 且PN=PM (就是点 P 到角
两边的距离相等)过 P 作 PO ? ? (说明点 O 为 P 点 在面 ? 内的射影) 求证: ?OAN=?OAM ( ?OAN=?OAM ,所以 AO 为 ?BAC 的角 平分线,所以点 O 会在 ?BAC 的角平分线上) 证 明 : ? PA = PA , PN = PM ,

?PNA=?PMA=90? ??PNA ? ?PMA (斜边直角边定理) ? AN=AM ①

1

PO ? ? ? ? ? NO ? MO(斜线长相等推射影长相等) PN=PM ?
AN=AM ? ? AO=AO ? ? ?AMO ? ?ANO ? ?NAO=?MAO OM=ON ? ?
所以, 点 P 在面的射影为 ?BAC 的角平分

线上。 ③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线 上; 已知:如图, ?BAC 在一个平面 ? 内 ?PAN=?PAM ( 斜 线 AP 与 ?BAC 的 两 边 AB , AC 所成角相等)

PO ? ? 求证:?OAM=?OAN (说明点 O 在角 MAC 的角平
分线上。 ) 证明: 在 AB 上取点 M, 在 AC 上取点 N, 使 AN=AM (这步是关键,为我们自已所作的辅助线点,线)

? ? AP=AP ? ?? PAN ?? PAM ? PN=PM ?PAN=?PAM ? ? AM=AN

PO ? ? ? ? ? NO ? MO(斜线长相等推射影长相等) PN=PM ?
AN=AM ? ? AO=AO ? ? ?AMO ? ?ANO ? ?NAO=?MAO , 所以, 点 P 在面的射影为 ?BAC 的角平分 ? OM=ON ?
线上。 ④两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上; (这 是两面垂直的性质) ⑤利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心;

PO ? 面ABC 已知: 如图, 三棱锥 P-ABC 中, PA=PB=PC,
求证:O 点为 ?ABC的外心 (即证 OA=OB=OC) (注:外心为三角形的外接圆的圆心,也是三边中垂线的交 点)

2

b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等, 那么顶点落在底面上的射影是底面三角 形的内心(或旁心); 已知:如图, PF ? AB,PD ? BC,PE ? AC

PF=PD =PE PO ? 面ABC 求证:O 为 ?ABC的内心
(注:内心为三角形的内切圆的圆心,也为三角形 的三个内角的角平分线的交点) 证明:连结 BO,CO 易证 ?DBO ? ?FBO ? ?DBO=?FBO 所以 BO 为角 DBF 的角平分线,即点 O 在角 DBF 的角平分线上。同理可证点 O 为角 DCE 的角平分线, 所以 O 为两内角平分线交点,从而为内心。 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心; 已知:如图, PA ? BC,PB ? CA

AE ? BC,CD ? AB

PO ? 面ABC 求证: (1) PC ? AD (就是三棱锥中有两组对棱垂直,
则可以推出第三组对夫棱垂直) (所以, 条件中各组对棱垂直, 实际是有多了一组) (2)点 O 为三角形 ABC 的垂心 (注:垂心为三角形的三高交点,O 为垂心,相当于证明 AE ? BC,CD ? AB ,两高交点即可)

3、二面角 (4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 (0, ? ] ,解题时要注意图形的位置和题目的要求。作 二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法: 在棱上任取一点, 过这点在两个平面内分别引棱的垂线, 这两条射线所成的角, 就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 (即垂足) ,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角;边是最常用的方法 ③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是 二面角的平面角。 备注:还有一个投影法求二面角,高考不作要求, 所以此处略去。
3

配套练习: (练习难度不大,所以只给简答,见最后一页) 1、两个对角面都是矩形的平行六面体是 A、正方体 B、正四棱柱 C、长方体 D、直平行六面体

2、正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,异面直线 AC 与 B1C1 所成的角是 A、300 B、600 C、900 D、1200

3、已知一个正六棱柱的底面边长是 2 3 ,最长的对角线长为 8,那么这个正六棱柱的高是 A、 2 3 B、 3 C、4 D、 4 3

4、正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是 A、锐角 B、钝角 C、直角 D、以上均有可能

5、一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面 积之比是 1:2,则此棱锥的高(自上而下) 被分成两段长度之比为 A、1: 2 B、1:4 C、1: ( 2 ? 1) D、1: ( 2 ? 1)

6、在四棱锥的四个侧面中,可 以是直角三角形的个数最多是 A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个

7、三棱锥 P-ABC 中,若 PA=PB=PC,则顶点 P 在底面三角形的射影是底面三角形的 A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

8、四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件是 A、底面是矩形 C、有一个侧面为矩形 B、底面是平行 四边形 D、两个相邻侧面是矩形

9、已知 AD 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边上的高,沿 AD 将△ABC 折成直二面角后,点 A 到 BC 的距 离为 A、

3 2

B、

7 2
0

C、

14 2

D、

14 4
0

10、已知异面直线 a、b 所成 的角为 50 ,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是 30 的直线 有且仅有 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条

11、二面角 ? ? ? ? ? 是直二面角, A ? ? , B ? ? , A, B ? ? ,设直线 AB 与 ? , ? 所成的角分别为 ? 1 、

?2 则
4

A、 ?1 ? ? 2 ? 900 C、 ?1 ? ? 2 ? 900

B、 ?1 ? ? 2 ? 900 D、 ?1 ? ? 2 ? 900

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=3,BC=1,CC1= 3 , 则平面 A1BC 与平面 ABCD 所成的角的度数是 ____________ 14、正三棱锥 V-ABC 的各棱长均为 a,M,N 分别是 VC,AB 的中点,则 MN 的长为______ 15、有一个三角尺 ABC, ?A ? 300 , ?C ? 900 ,BC 贴于桌面上,当三角尺与桌面成 450 角时,AB 边 与桌面所成角的正弦值是________. 19、在三棱锥 D-ABC 中,DA⊥平面 ABC,∠ACB=900,∠ABD=300,AC=BC,求异面直线 AB 与 CD 所成的角 的余弦值。 (注,题目未配图,请自行画图)

20、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,P,Q,R 分别为棱 AA1,AB,BC 的中点,试求二面角 P-QR-A 的正弦 值。 分析:求二面角,主要思路就是作,证,求。
A1 D1 C1

作二面角的基本方法,主要用三垂线法,明显有,

B1

PA ? 面ABCD ,所以只要过点 A 作 AH ? QR ,
P D

垂足为 H,则 ?PHA为所求的平面角 ,要过 A 作 QR 的垂线,
Q

C R

可以底面 ABCD 分离出来,从而变成一个平面问题。

A

B

5

一、选择题:1.D

2.B 3.C

4.B

5.D

6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C

二、填空题: 13.300 14.

2 a 2
20.

15.

6 4

三、解答题:

19.

30 10

6 3

6



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