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河南省天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考)2015届高三上阶段性测试(三)数学文试题(解析版)



天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考) 2014-2015 学年高中毕业班阶段性测试(三) 数学(文科)
【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性,很多题目是由多个知识点构成的, 这有利于考查考生对知识的综合理解能力, 有利于提高区分度, 在适当的规划和难度控制下, 效果明显。通过考查知识的交汇点,对考生的数学能力提出了较高的要求,提高了试题的区 分度,这和当前

课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.

第I卷
【题文】一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 【题文】(1)集合 A ? ? x | 0 ? x ? 2? , B ? x | x 2 ? x ? 0 ,则 A (A)(-∞,1]U(2,+∞) (C)[1,2) 【知识点】集合 A1 (B)

?

?

B?

? ??,0 ? ?1, 2 ?

(D)(1,2]

【答案】 【解析】D 解析:

B ? ?x | x ? 0或x ? 1?? A ? B ? (1,2] 所以 D 正确.
?1 ? 3i 在复平面内所对应的点位于 (1 ? i ) 2
(C)第二象限 L4 (D)第一象限

【思路点拨】根据交集的概念可求出正确结果. 【题文】(2)已知 i 是虚数单位,则复数 (A)第四象限 (B)第三象限 【知识点】复数运算;复数的几何意义.

【答案】 【解析】D 解析:因为

?1 ? 3i i 3 1 ?1 ? 3i ?1 ? 3i ? ? ? i ,所以 = 2 2i ?2 2 2 (1 ? i )

?

?

此复数在复平面内所对应的点位于第一象限. 【思路点拨】先把复数化为 a+bi 形式,再由复数的几何意义得结论. 【题文】 (3)已知数列

?an ? 的通项为

则 “ ? ? 0” 是 “ ?n ? N ? , an ?1 ? an ” an ? n 2 ? 2? n ,,

1

的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件;必要条件. A2 【答案】 【解析】A 解析:因为 an ? n 2 ? 2? n ,所以 an?1 ? an ? 2n ?1 ? 0 对于 n∈ N ? 恒 成立,所以 ? ? 0 ”是“ ?n ? N ? , an ?1 ? an ”的充分不必要条件 . 【思路点拨】先求出 an?1 ? an ? 0 的条件,再根据充分性、必要性的判定方法确定结论. 【题文】(4)双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 a 2 b2

X+2y +1 =0 垂直, 则双曲线 C 的离心率为 (A)

3

(B)

5 2

( C)

5

(D)

2

【知识点】双曲线的简单性质 H6

x2 y 2 【答案】 【解析】C 解析:∵双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点在 x 轴上,∴其渐 a b
近线方程为 y= x,∵渐近线与直线 x+2y+1=0 垂直,渐近线的斜率为 2,

∴ =2, 即 b ? 4a , c ? a ? 4a , c ? 5a ?
2 2 2 2 2 2 2

c2 c ? 5, ? 5 双曲线的离心率 e ? 5 2 a a

故答案为 C 【思路点拨】 由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率, 本题中已知渐近线与直线 x+2y+1=0 垂直,而双曲线的渐近线斜率为 线的离心率 ,故 =2,再利用 c =a +b ,e= 即可得双曲
2 2 2

? ?x ?cos ,0 ? x ? 8, 【题文】 (5)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 对, f ( x) ? ? 6 ? log ? 2 x, x ? 8,
f ( f (?16)) ?
(A) ?

1 2

(B) ?

3 2

(C)

1 2

(D)

3 2

2

【知识点】奇函数的性质;分段函数的应用. B4 【答案】 【解析】C 解析:因为 f (16) ? log2 16 ? 4 ,所以 f ( f ( ?16)) ? ? ff (16) ? ? f (4)

? ? cos

4? 2? 1 ? ? cos ? ,故选 C. 6 3 2

【思路点拨】根据奇函数的性质,以及分段函数的函数值的意义求解. 【题文】(6)已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? r 与抛物线 D : y ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,
2 2 2 2

且 AB ? 8 ,则圆 C 的面积为 ( A)5 ? (B)9 【知识点】直线与圆 H4

?

(C)16 ?

(D)25

?

【答案】 【解析】D 解析:由题可知抛物线的准线方程为 x ? ?4 ,圆心坐标为 ? ?1,0? ,所以 圆心到弦 AB 的距离为 3,弦的一半为 4,所以圆的半径为 5,所以圆的面积为 25? . 【思路点拨】由直线与圆的位置关系可求出半径,只需要利用抛物线的准线方程即可.

? y ? 0, ? 【题文】(7)在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, ,表示的平面区域为 D, ?x ? y ? 4 ? 0 ?
在 D 内任取一整点 P(横、纵坐标都是整数)则 P 落在区域 ?

??1 ? x ? 1, 内的概率为 ?0 ? y ? 1
(D)

( A)

4 23
E5

(B)

8 23

(C)

5 12

5 6

【知识点】线性规划

【答案】 【 解 析 】 C 解 析 : 根 据 可 行 域 可 知 在 区 域 D 内 的 整 点 共 有 12 个 点

? ?1, 0 ??

而 0 ,?? 0 0 , 1 ?? 1, 0?? 1, 1 2 2 , 0 ?? 2 , 1 ??2 , 2 1落 4 ,在 0 区 域 ?? ?? 1,?? ?? ?? 3,? 0 ,3,

??1 ? x ? 1, 5 内的点有 5 个 ? ?1,0?? 0,0?? 0,1??1,0??1,1? 所以概率为 ,所以 C 正确 ? 12 ?0 ? y ? 1
【思路点拨】可以通过列举法写出可行域中的点,再求出概率. 【题文】 (8)设 a ? sin(?810 ), b ? tan( ? (A)a<b<c (B)a<c<b 【知识点】三角函数 C2

33? ), c ? lg e ,则它们的大小关系为 8
(C)b<c<a (D)c<a<b

【答案】 【解析】A 解析: a ? sin ? ?810?? ? sin ? ?90?? ? ? sin90? ? ?1,

?? ? ? ? 33? ? ? b ? tan ? ? ? ? tan ? ?4? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ?1 , c ? lg e ? 0 ,所以 8? 8 4 ? 8 ? ? c ? b ? a ,所以 A 为正确选项.

3

【思路点拨】由三角函数的诱导公式及三角函数的单调性可求出结果. (9)函数 f ( x) ?

x3 ? 3 的大致图象是 ex

【知识点】函数图像的确定. B8 【答案】 【解析】C 解析:因为 f(0)= -3,所以排除选项 A、B;又因为 x ? 3 3 时, f ( x) ? 0 , 所以排除选项 D,故选 C. 【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项. 【题文】(10)如图的几何体是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的一部分,其中

AB ? AD ? 3, DD1 ? BB1 ? 2cm 则该几何体的外接球的表面积为

(A 11? cm 2

(B) 22? cm 2 ( D) 11 22? cm
2

(C)

11 22 2 cm 3

【知识点】几何体的结构. G1 【答案】 【解析】B 解析:该几何体的外接球即长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球,而若 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球半径为 R , 则长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体对角线为

4

2R, 所以 (2 R) ? 3 ? 3 ? 2 ? 22 ? R ?
2 2 2 2 2

11 , 所以该几何体的外接球的表面积 22? cm 2 , 2

故选 B. 【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球的关系,进而得 结论. 【 题 文 】 (11) 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 输 出 的 S 为

(A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009 【知识点】算法与程序框图. L1 【答案】 【解析】B 解析:根据程序框图得执行的结果是计算:

S ? ?1 ? ? ?1? 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 4 ?
2 3 4

? ? ?1?

2014

2014

? ? ?1? 2? ? ? ?3 ? 4? ? ? ?5 ? 6? ?

? ? ?2013 ? 2014? =1007,故选 B .

【思路点拨】根据程序框图描述的意义,得其运行结果是计算

S ? ?1 ? ? ?1? 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 4 ?
2 3 4

? ? ?1?

2014

2014 的值.
2

【题文】(12)已知函数 f ( x) ? e ? x ,若 ?x ? ?1,2 ? ,不等式 ? m ? f ( x) ? m ? 4 恒成立,
x 2

则实数 m 的取值范围是 (A)

? ??,1 ? e?

(B)

?1 ? e, e?

( C)

? ?e, e ? 1?

(D)

?e, ?? ?

【知识点】导数 B11

5

【答案】 【解析】 D 解析:根据 f ? ? x ? ? ex ? 2x, x ? R, f ? ? x ? ? 0 恒成立,所以函数在

?x ? ?1, 2? 时单调递增,所以 e ?1 ? f ? x ? ? e2 ? 4 ,不等式 ?m ? f ( x) ? m 2 ? 4 恒成立

? e ? 1 ? ?m ?? 2 ? m ? e ,所以 D 正确. 2 ?e ? 4 ? m ? 4
【思路点拨】根据函数的导数确定函数的单调性,确定在定义域下的取值,最后再求出 m 的取值范围.

第Ⅱ卷
【题文】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 【题文】(13)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次 试验收集到的数据如下表

由最小二乘法求得回归方程为 y =0. 67x+54.9 现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断 出该数据的值为_______. 【知识点】最小二乘法;线性回归方程 I4 【答案】 【解析】68 解析:设表中有一个模糊看不清数据为 m. 由表中数据得: , = ,

由于由最小二乘法求得回归方程 y =0. 67x+54.9. 将 x=30,y= 代入回归直线方程,得 m=68.

故答案为:68. 【思路点拨】根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根据由最 小二乘法求得回归方程 y =0. 67x+54.9.代入样本中心点求出该数据的值 【题文】 (14)某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院 之后发现, 当天正在放映 A,B,C,D,E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片: 小赵说:只要不是 B 就行; 小张说:B,C,D,F 都行;

6

小李说:我喜欢 D,但是只要不是 C 就行; 小刘说:除了 E 之外,其他的都可以 据此判断,他们四人可以共同看的影片为____ 【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】D 解析:小赵可以看的电影的集合为:{A,C,D,E,},小张可以看的电影的集 合为{B,C,D,E},小李可以看的电影的集合为:{A,B,D,E},小刘可以看的电影的集合为: {A,B,C,D},这四个集合的交集中只有元素 D ,故填 D . 【思路点拨】分别找出小赵、小张、小李、小刘四人各自可以看的电影的集合,然后求这些 集合的交集即可. 【题文】 (15)△ABC 中, AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120 , 若 BD ? 2 DC , 则 AD ? BC ? =______________. 【知识点】平面向量的线性运算;向量的数量积. F2 【答案】 【解析】 ?

F3

1 2 解析:因为 BD ? BC , BC ? AC ? AB ,所以 AD ? BC ? 3 3

2 1 1 2 2 2 2 ? ? ?1 ? ? AB ? BC ? ? BC ? ? AB ? AC ? ? AC ? AB ? 3 AC ? 3 AB ? AC ? 3 AB 3 3 ? ? ?3 ? 2 1 1 1 ? ? ? ? 2 ?1? cos120 ? ? . 故填 ? . 3 3 3 3
【思路点拨】先把 AD, BC 用 AB, AC 表示,再用向量数量积的运算性质求解. 【题文】(16)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 n ? a2 n ?1 ? (?1) n , a2 n ?1 ? a2 n ? 3n (n ? N ? ) ,则数 列 ?an ? 的前 10 项的和为____________. 【知识点】数列 D1 【答案】 【解析】 353 解析:由条件可计算

?

?

a2 ? 0, a3 ? 3, a4 ? 4, a5 ? 13, a6 ? 12, a7 ? 39, a8 ? 40, a9 ? 121, a10 ? 120 ? S10 ? a1 ? ? a10 ? 353
【思路点拨】根据条件分别求出各项,再求出前 10 项的和. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 【题文】(17)(本小题满分 10 分)

x x x ,1), n ? (cos ,cos 2 ) ,记 4 4 4 3 2? (I)若 f ( a ) ? ,求 cos( ? a) 的值; 2 3
已知向量 m ? ( 3 sin

f ( x) ? m ? n

7

( Ⅱ ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

2? 个单位得到 y ? g ( x ) 的图象,若函数 3

? 7? ? y ? g ( x) ? k 在 ?0, ? 上有零点,求实数 k 的取值范围 ? 3 ?
【知识点】向量与三角函数 C3 F3

? 3? ? ? 3 x x x ?x ?? 1 f ? x ? ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? ? ? ? (I)由已知 f ? a ? ? 得 2 4 4 4 ?2 6? 2 ?? ? ? 1 3 sin ? ? ? ? ? ,于是 ?2 6? 2 2 2? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? ? 4k? ? , k ? Z ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? 4k? ? ? ?1 3 3 ? ? 3 ? ? 3 2? ?? 1 ?1 (II)将函数 y ? f ? x ? 的图象向右平移 个单位得到函数 g ? x ? ? sin ? x ? ? ? 的图 3 6? 2 ?2 ? 1 ? ?? 1 ?1 象,则 y ? g ? x ? ? sin ? x ? ? ? 因为 ? ? x ? ? ? ,所以 6 2 6 6? 2 ?2 1 ?? ?? 1 3 ?1 ?1 ? 7? ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ,所以 0 ? sin ? x ? ? ? ? ,若函数 y ? g ? x ? 在 ?0, ? 上 2 6? 6? 2 2 ?2 ?2 ? 3 ? 3 的最大值为 ,最小值为 0. 2
【答案】 【解析】(I)1(II) ?0, ? 解析: 2 【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的取值. 【题文】(18)(本小题满分 12 分) 设等差数列 满足 2
an ?1

?an ? 的前 n 项和为

S n , a5 ? a6 ? 24, S11 ? 143 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn

? ?Tn ? (a1 ? 1)(n ? N ? )

(I)求数列

?an ? 的通项公式及数列

? 1 ? ? ? 的前 n 项和; ? an an ?1 ?

(Ⅱ)是否存在非零实数

? ,使得数列 ?bn ? 为等比数列?并说明理由
n (II) 略 解 析 : (I) 设 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d, 由 6n ? 9

【知识点】数列的性质 D3 【答案】 【 解 析 】 (I)

S11 ? 11a6 ? 143,? a6 ? 13, 又 a5 ? a6 ? 24 , 解 得 a5 ? 11, d? 2因 此 ?an ? 的 通 项 公 式 是

8

an ? a5 ? ? n ? 5 ? ? 2 ? 2n ? 1? n ? N * ? 所以

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ,从而前 n 项的和 an an?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?



1 1 ? ? 3? 5 5 ? 7

?
a ?1

1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 3 5 5 7 1

1 1 ? n ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 ? 6 n ? 9
4n ? 2

(II)因为 a1 ? 3,2 n

? ?Tn ? ? a1 ?1? ,?4n ? ?Tn ? 2 , Tn ?

1

?

?

当 n ? 1 时, b1 ?

6

?



当 n ? 2 时,bn ? Tn ? Tn ?1 ?

? 6 12 b 数列, 则有 b2 ? 4b1 而 b1 ? , b2 ? , 所以 2 ? 2与b2 ? 4b1 矛盾, 故不存在非零实数 ? 使 ? ? b1
数列 ?bn ? 为等比数列.

?4 ?

1

n

? 4n ?1 ? ?

3

? 4n ?1 所以 bn?1 ? 4bn ? n ? 2? ,若 ?bn ? 是等比

【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前 n 项和,再通过项的关系判定 ?bn ? 不是等比数 列. 【题文】 (19)(本小题满分 12 分) 已知国家某 5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表:

该景区对 6 月份的游客量作出如图的统计数据:

(I)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求 a,b 的值;

9

(Ⅱ)估计该景区 6 月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (Ⅲ)某人选择在 6 月 1 日至 6 月 5 日这 5 天中任选 2 天到该景区游玩,求他这 2 天 遇到的游客拥挤等级均为优的概率 【知识点】统计与概率 I2 K1

15 1 3 ? (II) 解析:(I)游客人数在 [0,1000) 范围内 30 2 10 15 1 ? 的天数有 15 天,故 a ? 15, b ? 30 2 50 ?15 ? 150 ?10 ? 250 ? 4 ? 350 ?1 =120 (百人) (II)由题可得游客人数的平均数为 30
【答案】 【解析】(I) a ? 15, b ? ( III ) 从 共 10 2 种,其中游客拥挤等级均为优的 , 1 , 2 ??3, 5 3 4 3 5 4 5 ?? 5 ?? , ?? 2,? 4 3 有 ?1 , 4??15 , 5? ,共 3 种,故所求的概率为 . ?? 4, 10 【思路点拨】由题目中的条件可直接求出平均值,再用列举法求出概率的值. 【题文】(20)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AD ? DB,其中三棱锥 P- BCD 的三视图如图所示,且

2, 3 , 1 , 4 ?1,?? ??1,?? ?? ??

5

天 中 任 选 两 天 的 选 择 方 案 方 法 有 :

sin ?BDC ?

3 5

10

(I)求证:AD ? PB (Ⅱ)若 AD=6,求四棱锥 P-ABCD 的体积。 【知识点】空间几何体 G2 【答案】 【解析】(I)略(II)

78 解析:由三视图可知 5 PD ? 平面ABCD,而AD ? 面ABCD ? AD ? PD 又 AD ? DB, 且PD ? BD ? D, PD, BD ? 平面PBD, ? AD ? 平面PBD ,又 PB ? 平面PBD, ? AD ? PB

(II)

?S

1 27 1 ? DC ? DB ? sin ?BDC ? , S ABD ? AD ? DB ? 9 2 10 2 27 117 ? S四边形ABCD ? S BCD ? S ABD ? ?9 ? 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 10 10 1 1 117 78 ? S ABCD ? PD ? ? ?4 ? 3 3 10 5
BCD

?

【思路点拨】由三视图可知线段之间的关系,再用分割求出体积. 【题文】 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? a (a ? 0), g ( x ) ? e , ,其中 e 为自然对数的底数
x

(I)当 a= -1 时,若不等式 f ( x) ? kg ( x) 恒成立,求实数 k 的最大值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 没有实数根,求实数 a 的取值范围 【知识点】函数恒成立问题 【答案】 【解析】(I) ? e 即 k≤
2

B9 B11
2 x

(II) ﹣e <a<0 解析: (1)由题意得,﹣x+1≥ke 恒成立, ,

恒成立;令 F(x)=

则 F′(x)=

;故 F(x)=

在(﹣∞,2)上是减函数,
﹣2

在[2,+∞)上是增函数,故 F(x)≥F(2)=﹣e ; ﹣2 故实数 k 的最大值为﹣e ; (2)方程 f(x)+g(x)=0 没有实数根可化为 x g(x)=e 的图象与 y=﹣f(x)=﹣a(x﹣1)的图象没有交点; x 作 g(x)=e 与 y=﹣f(x)=﹣a(x﹣1)的图象如右图, x x 设 g(x)=e 与 y=﹣f(x)=﹣a(x﹣1)相切于点(x,e ) ; 则e=
x

,解得 x=2;则结合图象可知,

11

故 0<﹣a<e ;故﹣e <a<0.

2

2

【思路点拨】 (1) 不等式 f (x) ≥kg (x) 恒成立可化为 k≤

恒成立; 令F (x) =



求导确定函数的最小值,从而求实数 k 的最大值; x (2)方程 f(x)+g(x)=0 没有实数根可化为 g(x)=e 的图象与 y=﹣f(x)=﹣a(x﹣1) 的图象没有交点;结合图象求实数 a 的取值范围. 【题文】 (22)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 2 ,直线 l 与 E ? 2 ? 1(a ? b ? 0) )过点 Q(1, ? ) ,且离心率 e ? 2 a b 2 2

相交于 M,N 两点, l 与 x 轴、y 轴分别相交于 C,D 两点,0 为坐标原点 (I)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)判断是否存在直线 l ,满足 2OC ? OM ? OD, 2OD ? ON ? OC ?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8 【答案】 【解析】(I) (II) y= 或 y= . 解析: (1)由已

知得:

,解得:a =2,b =1.

2

2

12

∴椭圆 E 的方程为



(2)如图, 假设存在直线 l:y=kx+m(k≠0)交椭圆于 M(x1,y1) ,N(x2,y2)两点,交 x 轴于 C(c, 0) ,交 y 轴于 D(0,d) , 由2 = + ,2 , 即 C、D 为线段 MN 的三等分点. 由 y=kx+m,取 y=0,得 c=﹣ ,即 C(﹣ 取 x=0,得 d=m,即 D(0,m) . ) , = + ,得

联立

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0 ①.

2

2

2





若 C、D 为线段 MN 的三等分点,则

,解得:

,k=



当 k=

时,方程①化为



解得:





,解得:m=



同理求得当 k=

时,m=



∴满足条件的直线 l 存在,方程为: y ? ?

2 5 x? 或 y= 2 5



13

【思路点拨】 (1) 把点的坐标代入椭圆方程, 结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得 a, b 的值,则椭圆方程可求; (2) 把给出的向量等式变形, 得到 C、 D 为 M、 N 的三等分点, 设出直线 l 的方程 y=kx+m (k≠0) , 和椭圆方程联立,利用四个点坐标间的关系求得 k,代入关于 x 的方程后求得 M 的坐标,再 由中点坐标公式列式求得 m 的值,则直线方程可求.

14



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