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【数学】2.2.4《平面与平面平行的性质》课件(人教A版必修2)1



2.2.4 平面与平面 平行的性质

复习提问、引入新课

复习:如何判断平面和平面平行? 答:有两种方法,一是用定义法,须 判断两个平面没有公共点;二是用 平面和平面平行的判定定理,须判 断一个平面内有两条相交直线都和 另一个平面平行.
思考:如果两个平面平行,会有哪些 结论呢?

探究新知

探究1. 如果两个平面平行,那么一个平 面内的直线与另一个平面有什么位置关 系?
a

?
?

答:如果两个平面平行,那么一个 平面内的直线与另一个平面平行.

探究新知

探究2.如果两个平面平行,两个平面内的直 线有什么位置关系?

借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行,那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.

探究新知

探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时,两条交 线有什么关系?为 什么? 答:两条交线平行.

α

a

β

b

下面我们来证明这个结论

结论:当第三个平面和两个平行平面都 相交时,两条交线平行
如图,平面α ,β ,γ 满足α ∥β ,α ∩γ = a,β ∩γ =b,求证:a∥b 证明:∵α ∩γ =a,β ∩γ =b ∴a?α ,b?β ∵α ∥β ∴a,b没有公共点, 又因为a,b同在平面γ 内, 所以,a∥b

这个结论可做定理用

定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理: ? / /? ? a//b ? ? ? ? a, ? ? ? ? b

?

想一想:这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行

例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化 为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β ,AB//CD,且A? α, C? α,B? β ,D? β. 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ ,且平面γ 与平 面α和β 分别相交于AC和BD. 因为 α//β ,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平 行四边形. 所以 AB=CD.

练习巩固

1.如果一条直线与两个平行平面中的 一个相交,那么它与另一个也相交。
l β
A

α

已知:如图,α ∥β ,l∩α =A l 求证:l与β 相交。 a A β 证明:在β 上取一点B, 过l和B作平面γ , b · B α 由于γ 与α 有公共点A, γ γ 与β 有公共点B, 所以,γ 与α ,β 都相交, 设γ ∩α =a,γ ∩β =b, 因为α ∥β ,所以a∥b, 又因为l,a,b都在平面γ 内,且l与相a交于点A, 所以l与b相交, 所以l与β 相交。

小结归纳: 1、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行

⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交, 那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等

小结归纳: 2、线线平行?线面平行?面面平行,要注意这 里平行关系的互相转化. 3、在应用相关定理时要注意辅助线、辅助面 的作法



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