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2011届高考数学二轮复习课件5.2 平面向量基本定理及坐标表示


§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
要点梳理

基础知识 自主学习

1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个非零 向量a和b,作 OA =a, 向量a AOB= 叫做向量a OB =b,则∠AOB=θ叫做向量a 与b的夹角. 的夹角. (2)范围 180° 同向时, 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180°a与b同向时, , 180° 反向时, 夹角θ= 0°a与b反向时,夹角θ= 180°. ;

(3)向量垂直 90° 如果向量a与b的夹角是 90° 则a与b垂直,记作a⊥b . 如果向量a , 垂直, 2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量, 向量, 定理:如果e 那么对于这一平面内的任意向量a 那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实 数 , ,使a= λ1e1+ λ2e2 . 其中,不共线的向量e 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 .

λ 1 λ2

(2)平面向量的正交分解 (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量 的向量, 正交分解. 正交分解. (3)平面向量的坐标表示 (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同 在平面直角坐标系中,分别取与x 的两个单位向量i 作为基底, 的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向 量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 有且只有一对实数x (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) 其中 x叫a在x 叫做向量a的坐标,记作a , 轴上的坐标, 轴上的坐标. 轴上的坐标, y 叫a在y轴上的坐标. 的坐标( ②设 OA =xi+yj,则向量OA 的坐标(x,y)就是 终 (x,y),反之亦成立.(O是坐标原点) 反之亦成立. 是坐标原点) 点A的坐标 ,即若 OA =(x,y),则A点坐标为 ),则

3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. 加法、减法、数乘运算. (2)向量坐标的求法 已知A =(x 已知 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2) , 则 AB =(x2-x1,y2y1),即一个向量的坐标等于该向量 终点的坐标减去 ),即一个向量的坐标等于该向量 始点 的坐标. 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 ),b=(x ),其中 其中b 共线? 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线? a= =(x ? λ b ? x 1 y 2 - x2 y1 = 0 . ?

基础自测
1.(2008·辽宁文,5)已知四边形ABCD的顶点 2008·辽宁文, 已知四边形ABCD的顶点 ABCD A(0,2)、B(-1,-2)、C(3,1),且 BC = 则顶点D 2 AD, 则顶点D的坐标为 1 7 A. (2, ) B.(2,? ) 2 2 C.(3,2) D.(1,3) 解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ),B ),C ( A )

∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). =(3 )=(4 =(x 设D(x,y),∵AD =(x,y-2),BC =2 AD , 7 ∴(4 )=(2 ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y= . 2

2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x等于( B ) 已知a=(4 ),b=(x ),且 等于( A.9 解析 B.6 C.5 D.3 ∵a∥b,∴12-2x=0,∴x=6. 12( )

已知两点A 3. 已知两点 A ( 4 , 1 ) , B ( 7 , -3 ) , 则与 AB 同向 的单位向量是 A

3 4 A. ( , ? ) 5 5 C. ( ? 4 , 3 ) 5 5
解析

∵A(4,1),B(7,-3), =(3, AB
| AB | 5 5

3 4 5 5 D. ( 4 , ? 3 ) 5 5
B. ( ? , )

-4), ∴与 AB 同向的单位向量为 AB = ( 3 ,? 4 ).

2008· 安徽理, 在平行四边形ABCD ABCD中 4. ( 2008· 安徽理 , 3 ) 在平行四边形 ABCD 中 , AC 为一条对角线, 为一条对角线 , 若 AB = ( 2 , 4 ) ,AC= ( 1 , 3 ) , 则 BD 等于 A.(-2,-4) C.(3,5) 解析 B.(-3,-5) D.(2,4) ( B )

如图所示, = BC = AC ? AB =(-1,-1), 如图所示, AD

所以BD = AD ? AB = -3,-5). (

1 =(x 其中x 5.已知向量a=(8, x),b=(x,1),其中x>0,若(a已知向量a 2 )∥(2 2b)∥(2a+b),则x的值为 4 . 1 =(16 16+ a-2b=(8-2x, x-2),2a+b=(16+x,x+1), 2 由已知( )∥(2 ),显然 显然2 故有( 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0,故有(8-2x,

解析

1 16+ x-2)= λ (16+x,x+1) 2 16+ ? 8-2x= λ (16+x) ? x=4 (x>0). ? 1 x -2= λ(x +1)? 2

题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理 【例1】如图所示,在平行四边形ABCD中, 如图所示,在平行四边形ABCD中 ABCD M,N分别为DC,BC的中点,已知 AM =c, 分别为DC,BC的中点, DC 的中点
AN =d,试用c,d表示 AB , . 试用c AD

直接用c 思维启迪 直接用c、d表示AB、 有难度,可换一 AD有难度, 个角度, 个角度 , 由 AB、AD 表示 AM 、 , 进而解方程组可 AN 求 AB 、 AD .

设 AB =a, AD =b, 1 ? b) 则a= AN + NB=d+( 2 1 b= AM + MD =c+( ? a) 2 1 1 代入① 将②代入①得a=d+( ? ) [ c + (? a)] 2 2 代入② ? a = 4 d ? 2 c ,代入②得 ? 3 3 1 4 2 4 2 b = c + (? ) ( d ? c) = c ? d. 2 3 3 3 3 解 方法一

① ②

方法二

设 AB =a, =b. AD

因M,N分别为CD,BC的中点, 分别为CD,BC的中点, CD 的中点
1 1 所以BN = b, = a, DM 2 2 2 1 c=b+ a a= (2d-c) 3 2 ? 因而 1 2 d=a+ b? b= (2c-d), 2 3 2 2d-c), = 2 2c-d). 即 AB = ( ( AD 3 3

探究提高 平面向量基本定理从理论上说明平面内任 何一个向量都可以用一组基底表示. 何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说 AB 、 一定能用c 表示. AD 一定能用 c 、 d 表示 . 本题用方程的思想使问题得 以解决. 以解决.

知能迁移1 如图所示, ABC中 知能迁移1 如图所示,在△ABC中,点 O是BC的中点,过点O的直线分别交 BC的中点,过点O 的中点 直线AB、AC于不同两点M 直线AB、AC于不同两点M、N, AB 于不同两点 若 AB = m AM , AC = n AN , 则m+n的值 为 .
2

解析 设AB =a, =b, = AO ? AM = 1(a+b)AC MO
1 1 1 1 a = ( ? ) a + b, m 2 m 2

同理 NO = 1 a + ( 1 ? 1 ) b
2 2 n

由 MO∥ NO 得 MO= λ NO ?1 1 1 ?2 ? m = 2 λ ? 即? ?( 1 ? 1 )λ = 1 ? 2 n 2 ? ①×②整理得 整理得m ①×②整理得m+n=2. 答案 2

① ②

题型二

向量的坐标运算

【例2】已知点A(1,0)、B(0,2)、C(-1, 已知点A 求以A - 2),求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个 顶点D的坐标. 顶点D的坐标. 思维启迪 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可 为顶点的平行四边形” 以有三种情况: ABCD; ADBC; 以有三种情况 : ( 1 ) ? ABCD ; ( 2 ) ? ADBC ; (3)?ABDC. ABDC. 解 设D的坐标为(x,y). 的坐标为( (1)若是?ABCD,则由 AB = DC得 若是?ABCD, (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), )=(即(-1,2)=(-1-x,-2-y), )=(∴ -1-x=-1, -2-y=2.

∴x=0,y=-4. ∴D点的坐标为(0,-4)(如图中的D1). 点的坐标为( 如图中的D (2)若是?ADBC,则由 AD = CB 得 若是?ADBC, (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2), 即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4. )=(1 解得x ∴D点坐标为(2,4)(如图中的D2). 点坐标为( 如图中的D (3)若是?ABDC,则由 AB = CD 得 若是?ABDC, (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0. )=(x 解得x ∴D点的坐标为(-2,0)(如图中的D3). 点的坐标为( 如图中的D 综上所述, 综上所述,以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个 顶点D的坐标为( 顶点D的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).

探究提高 用.

( 1 ) 要加强对向量的坐标与该向量起

终点的关系的理解, 点、终点的关系的理解,以及对坐标运算的灵活应 向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式, (2)向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式, 更能利用代数知识解决, 更能利用代数知识解决,也是向量被广泛应用的基 础.

知能迁移2 2009·辽宁文, 13) 知能迁移 2 ( 2009· 辽宁文 , 13 ) 在平面直角坐标系 xOy中 四边形ABCD的边AB DC,AD∥BC. ABCD的边AB∥ xOy 中 , 四边形 ABCD的边 AB∥DC , AD∥BC. 已知 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐 标为(0,-2) . 解析 设D点的坐标为(x,y),由题意知BC = AD, 点的坐标为( 即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,∴D(0,-2). =(x 所以x ,∴D

题型三

平行向量的坐标运算

12分 平面内给定三个向量a=(3 ),b 【例3】 (12分)平面内给定三个向量a=(3,2),b= (-1,2),c=(4,1). 回答 下列 问题 : ( 1 ) 若 ( a+kc ) ),c=(4 ∥(2b-a),求实数k; 求实数k (2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d. =(x 满足( )∥(a |=1 思维启迪 ( 1 ) 由两向量平行及两向量平行的条件 得出关于k的方程,从而求出实数k的值. 得出关于k的方程,从而求出实数k的值. 由两向量平行及| |=1得出关于x (2)由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方 程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d. 解方程组即可得出x 的值,从而求出d



( 1 ) ∵ ( a + kc ) ∥ ( 2 b - a ) , 2分 4分 6分

又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), =(3 ),2 =(∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, )=0 ∴ k= 16 . 13

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), =(x ),a =(2 )∥(a |=1 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, ∴ 4(x-4)-2(y-1)=0 )=0 +(y (x-4)2+(y-1)2=1, 8分

? 5 ? 5 ?x = 4 + ?x = 4 ? ? 5 5 解得 ? . 或? ? ?y = 1+ 2 5 ?y = 1? 2 5 ? ? 5 5 ? ?

10分 10分

20 + 5 5 + 2 5 20 ? 5 5 ? 2 5 12分 ∴d = ( , )或 d = ( , ). 12分 5 5 5 5
探究提高 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转 化为实数的运算问题. 化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方 程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程 通过解方程或方程组求得参数, 思想在向量中的应用. 思想在向量中的应用.

知能迁移3 知能迁移3

已知点O 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,

5)且 OP = OA + t AB, (1)求点P在第二象限时,实数t的取值范围; 求点P在第二象限时,实数t的取值范围; 四边形OABP能否为平行四边形?若能, OABP能否为平行四边形 ( 2 ) 四边形 OABP能否为平行四边形 ? 若能 , 求出 相应的实数t 若不能,请说明理由. 相应的实数t;若不能,请说明理由. 解 ∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), ∴ OA =(1,2), =(4-1,5-2)=(3,3). AB

若点P (1)设P(x,y),则 OP =(x,y),若点P在第二 象限, 象限, 则 x<0 y>0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), )=(1 )+t



x=1+3t y=2+3t

, ∴

1+3t <0 2+3t >0,

2 1 ∴? <t < ? . 3 3
3-3t =1

(2)因为 OA (1,2), PB = OB ? OP =-3t,3-3t), = (3 若四边形OABP为平行四边形, OABP为平行四边形 若四边形OABP为平行四边形,则
OA = PB.

∴ 四边形OABP不可能为平行四边形. OABP不可能为平行四边形 ∴四边形OABP不可能为平行四边形.

3-3t=2,无解, 无解,

思想方法 感悟提高
方法与技巧
坐标的引入使向量的运算完全代数化, 1.坐标的引入使向量的运算完全代数化,成了数形结 合的载体,也加强了向量与解析几何的联系. 合的载体,也加强了向量与解析几何的联系. 2.中点坐标公式:P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2中点 中点坐标公式: ),则 P的坐标为 (

x1 + x 2 y1 + y 2 , ). 2 2 ABC中 在△ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),

ABC的重心 的重心G C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为 ( x1 + x 2 + x3 , 3 y1 + y 2 + y 3 ). 3

失误与防范
要区分点的坐标与向量的坐标的区别, 1.要区分点的坐标与向量的坐标的区别,尽管在形式 上它们完全一样,但意义完全不同, 上它们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中 同样有方向与大小的信息. 同样有方向与大小的信息. 2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分 在处理分点问题比如碰到条件“ 是线段AB AB的分 PA|= PB|” |=2 |”时 可能是AB的内分点, AB的内分点 点,且|PA|=2|PB|”时,P可能是AB的内分点,也 可能是AB的外分点,即可能的结论有: AP = 2 PB. 可能是AB的外分点,即可能的结论有: AB的外分点 数学上的向量是自由向量, 向量x=(a 3. 数学上的向量是自由向量 , 向量 x=(a,b) 经过平移 后得到的向量的坐标仍是( 后得到的向量的坐标仍是(a,b). 或 AP = ?2 PB.

定时检测
一、选择题 1.(2009·湖北文,1)若向量a=(1,1),b=(-1,1), 2009·湖北文, 若向量a=(1 ),b=(c=(4,2),则c= =(4 ),则 A.3a+b C.-a+3b 解析 ∴ 4=x-y, 2=x+y. x=3. y=-1. B.3a-b D.a+3b 设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1), )=x )+y ∴ 故c=3a-b. ( B )

),b 2.若a=(2cosα ,1),b=(sin α ,1), 且a∥b,则tan α =(2 等于 A.2 解析 ( A ) B. 1 C.-2 D. ? 1 2 2 ∵a∥b,∴2cos α×1=sin α .∴tan α =2.

3.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若 已知向量a=(1 ),b=(0 ),设 u∥v,则实数k的值为 则实数k A.-1 解析 B. ? 1 C. 1
2 2

( B ) D.1

∵ u = ( 1 , 2 ) + k( 0 , 1 ) = ( 1 , 2 + k) ,

v= ( 2 , 4 ) - ( 0 , 1 ) = ( 2 , 3 ) , 又 u ∥ v, ∴ 1 × 3 = 2 ( 2 + k) , 得 k= ? 1 .
2

2009· 重庆文, 已知向量a=(1 ),b=(2 4. ( 2009· 重庆文 , 4 ) 已知向量 a=(1,1),b=(2,x). 若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是 平行,则实数x A.-2 解析 B.0 C.1 D.2 ( D )

=(3 ),4 =(6 ),a ∵ a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b 与 4b-

2a平行,则4x-2=2(1+x),∴x=2. 平行, ),∴x

5. 已知向量 OA = ( 1 , -3 ) , = ( 2 , -1 ) , OB OC = 实数m 实数m应满足的条件是 A . m≠ - 2 C . m≠ 1 解析
1 B . m≠ 2

( m+1 , m-2 ) , 若点A 、 B 、 C 能构成三角形, 则 若点 A 能构成三角形 , ( C )

D . m≠ - 1

若点A、B、C不能构成三角形,则只能共线. 不能构成三角形,则只能共线. 若点A

=(1 ∵ AB = OB ? OA = (2,-1)-(1,-3)=(1,2), ( m, m+ 1 ) .

AC = OC ? OA = ( m+1 , m-2 ) - ( 1 , -3 ) =
假设A 假设A、B、C三点共线, 三点共线, 则1×(m+1)-2m=0,即m=1. m=1 ∴若A、B、C三点能构成三角形,则m≠1. 三点能构成三角形,

为原点, 是两定点, 6.已知O为原点,A、B是两定点, =a, =b,且点 OA OB 则 等于 PR ( B.2(a-b) D.b-a ) C

关于点A的对称点为Q 关于点B的对称点为R P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R, A.a-b 解析

C.2(b-a)

则A(x1,y1),B(x2,y2).

设OA=a=(x1,y1), OB =b=(x2,y2),

设P(x,y),则由中点坐标公式可得 Q(2x1-x,2y1-y),R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). ∴ PR = OR ? OP = (2x2-2x1,2y2-2y1) ),即 =2(x2,y2)-2(x1,y1),即 PR =2(b-a).

二、填空题 2009· 7. ( 2009· 广 东 理 , 10 ) 若 平 面 向 量 a , b 满 足 |=1 平行于x =(2 ),则 |a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a= (-1,1) 或(-3,1) . 解析 |=1 平行于x =(1 ∵ |a+b|=1,a+b 平行于 x 轴 , 故 a+b=(1,0) 或 (-1,0),∴a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0) ,∴a=(1 )=(-(2,-1)=(-3,1). 已知向量a=(2 ),b=(2 8. 已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3) , 若a∥b,则实数 x的值等于 解析
1 2

.
2

由a∥b得3(2x+1)=4(2-x),解得x= 1 . )=4 ),解得x 解得

={a 9. 已知 向 量集合 M={a|a= ( 1 , 2 ) + λ( 3 , 4 ) , ={b ( λ∈ R} , N={b|b= ( -2 , -2 ) +λ 4 , 5 ) , λ ∈ R} , {(则M∩N= {(-2,-2)}. 解析 )=(由(1,2)+ λ 1(3,4)=(-2,-2)+ λ 2(4,5),

?1 + 3λ1 = ?2 + 4λ2 ?λ1 = ?1 , 解得 ? , 得? ?2 + 4λ1 = ?2 + 5λ2 ?λ2 = 0
∴M∩N={(-2,-2)}. ={()}.

三、解答题 10.已知A 10.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2, ),B 3),以

AB, AC 为一组基底来表示 AD +
=(1 =(2 =(1,3),AC=(2,4), =(AD =(-3,5),

BD + CD .
解 ∵

AB

CD BD =(-4,2), =(-5,1),
∴AD + BD + CD = -3,5)+(-4,2)+(-5,1) ( =(-12,8). 12,

根据平面向量基本定理,必存在唯一实数对m 根据平面向量基本定理,必存在唯一实数对m,n 使得 AD + BD + CD = m AB + n AC ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4). 12, ∴ -12=m+2n, 12= 8 = 3 m+ 4 n , ∴ 得m=32,n=-22. 32, 22.

AD + BD + CD = 32 AB ? 22 AC.

11.已知A 11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 ),B (1)求:3a+b-3c; 解

BC AB =a, =b,CA =c,且 CM =3c, =-2b, CN

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n. 求满足a 的实数m 由已知得a=(5 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). ),b=(),c=(1 (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) )+(=(15=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). 15 15- 24)=(6 42) )=( (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), )∵m =(∴ - 6 m+ n = 5 - 3 m+ 8 n = - 5 , 解得 m= - 1 n=-1.

12. 12.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边, ABC中 分别是角A 的对边, 已知向量m 已知向量m=(a,b),向量n=(cos A,cos 向量n B+C 向量p B),向量p= (2 2 ? sin ,2 sin A)若m∥n,p2=9, 2 求证: ABC为等边三角形 为等边三角形. 求证:△ABC为等边三角形. 证明 ∵m∥n,∴acos B=bcos A. 由正弦定理, 由正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A, 即sin(A-B)=0. sin(A )=0 ∵A、B为三角形的内角,∴-π<A-B<π. 为三角形的内角, ∴A=B.∵p2=9,∴8sin2
B+C +4sin2A=9. 2

∴4[1-cos(B+C)]+4(1-cos2A)=9. cos( )]+ 解得cos ∴4cos2A-4cos A+1=0,解得cos A=

π π,∴A 又∵0<A<π,∴A= . 3 ABC为等边三角形 为等边三角形. ∴△ABC为等边三角形.

1 . 2

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