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指数函数及其性质教学设计


指数函数及其图像与性质

指数函数及其图像与性质教学设计
合肥市经贸旅游学校 刘蔚蔚 一、教材分析 (一)教材的地位和作用 高等教育出版社《数学》基础模块上册$4.2.1“指数函数”是在学生系统地 学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。 作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 也为今后研究其他函数提供了方法和模式,为后续的学习奠定基础.指数函数在知 识体系中起了承上启下的作用,同时在生活实际以及财经专业中有着广泛的应 用, 因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材, 所以指数函数应重点研究。 (二)课时划分 指数函数的教学在《大纲》中共分两个课时完成。“指数函数”的教学共 分两个课时完成。 按照大纲的教学意图第一课时为指数函数的定义, 图像及性质; 第二课时为指数函数的应用。 “指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的 运算基础上学习指数函数的概念和性质, 通过学习指数函数的定义, 图像及性质, 可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识, 使学生得到较系统的函数知识和 研究函数的方法,并且为学习对数函数作好准备。 二、学情分析 通过前一阶段的教学, 学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构,主 要体现在三个层面: 知识层面:学生在已初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。 能力层面: 学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法,通过第一章集 合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。 情感层面: 学生对数学的学习兴趣和积极性不大。但探究问题的能力以及合作交 流等方面发展不够均衡. 三、教学目标: 1、知识与技能目标:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图像和性质,培养 学生实际应用函数的能力; 2、过程与方法目标:在学习的过程中培养学生观察、分析、归纳等思维能力。 体会从特殊到一般等数学学习方法。 3、情感态度与价值观目标:认识到指数函数的重要性,了解生活中的数学,专 业中的数学。同时培养学生用于提问,善于思考的思维品 质。同时通过师生彼此之间的讨论、互动,培养学生合作、 交流、探究的意识品质。

1

指数函数及其图像与性质

四、教学重点,难点 1、重点:指数函数的定义、图象、性质。 2、难点:利用数形结合的方法从具体到一般地探索概括指数函数图像的性质。 五、教法选择: 以问题为载体的互动式教学方法,又配合了启发引导法、自主探究、合作活 动、多媒体、激励评价等多种教学方法。 六、教学过程 教 过 学 程 教师 学生 教学 行为 行为 意图
介绍 了解 导入实例 比较易于 学生想象 质疑 简单讨论取 思考 值增强学生 思维性 引导 领悟 分析

问题一:“大千世界”(创设情境,引入新课) 从下面 2 个实例你能得出怎么样的函数关系式? 它们形式上有什么特点?你能到到什么结论?

播放

观看 课件

实例 1:有一种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个, 课件 2 个分裂 4 个,··· 1 个这样的细胞分裂 x 次会得到 细胞个数 y? 实例 2:庄子在《庄子.天下 篇》:一尺之棰,日 取其半 ,万世不竭。
1 得到 2 个关系式:y= 2x 和 y= ( ) x 2

指数函数的定义: 一般地, 形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数叫做指数 函数。 对定义中规定 a>0,且 a≠1 进行分析: 假设 a=0,那么当 x>0 时,ax=0, 当 x≤0 时,ax 无意义; 假设 a<0,那么 ax 对某些 x 值可能没有意义 假设 a=1,那么 y=1x=1 对任意 x 都是常数。 为 了避免出现上述情况,所以规定 a>0 且 a≠1。在这 个规定下,指数函数的定义域是 R。 问题二:“谁是奸细”(动脑思考 明确新知) 下列函数是否是指数函数:

初步形成指 数函数的概 念。

指导体会 抢答 理解 指数函数 的特点

2

指数函数及其图像与性质

教 过 (1)y=2 ? 3x (4) y=x3
x

学 程 (2)y= ? (5)y=-3x
x

教师 学生 教学 行为 行为 意图 (3)y=(-4)x 讲解 (6)y=3-x
提问 记忆 领会

注:y=a (1)函数的系数为 1 (2) 经过化简后指数位置仅仅是 x,即自变量的系数为 1 (3)底数为正常数且不为 1

问题三:“看谁最美”(动手探索 感受新知) 利用“描点法”作指数函数 y= 2x 和 y= ( ) x 的图像. 提问 2 列表如下: x y= 2
1 2
x

1

思考

复习 学生比较

? ? ?

?3
1 8

?2
1 4

?1
1 2

0 1 1

1 2
1 2

2 4
1 4

3 8
1 8

? ? ?
引导 计算

熟悉的描 点作函数 图像的方法

y= ( ) x

8

4

2

动手 作图

计算部分 可以由学 生独立完

理解 说明



利用 实物

观察 引导学生仔 细观察函数 图象的特点 数形结合

以表中的每一组 x, y 的值为坐标, 描出对应的点 (x, 投 影 y).分别用光滑的曲线依次联结各点,得到函数 y= 2x 和 y= ( ) x 的图像,如上图所示. 问题四:“火眼金睛”(自主探究、归纳总结)
x ?1? 比较函数 y= 2 和 y= ? ? 的图像有什么特点, 并归纳总

仪来 展示

1 2

x

?2?

这是本节
3

指数函数及其图像与性质

教 过 结指数函数特点。 观察函数图像发现:

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图 课的重、 难
分小 组讨 论体 会 引导

点, 采取比 赛制度能 充分调动 学生的积 极性、 主动 性, 发挥他

1 1. 函数 y ? 2 和 y= ( ) x 的图像都在 x 轴的上方, 向 2
x

上无限伸展,向下无限接近于 x 轴; 2.函数图像都经过(0,1)点; 3. 函数 y= 2 x 的图像自左至右呈上升趋势 ; 函数 y= ( ) x 的图像自左至右呈下降趋势.
1 2

分析

理解 体会

们的潜能, 尽量由学 生自主得

(利用软件可以作出 a 取不同值时的指数函数的图 像.) 一般地,指数函数 y ? a 下列性质: (1) 函数的定义域是 ? ??, ??? .值域为 (0, ??) ; (2) 函数图像经过点(0,1),即当 x ? 0 时,函数值
y ? 1;
可以 利用 微课 辅助 教学
x

? a ? 0且a ? 1? 具有

借助 于多 媒体 软件 记忆

出性质, 以 便能够更 深刻的记 忆、 更熟练 的运用。

(3) 当 a >1 时,函数在 ? ??, ??? 内是增函数;当
0<a <1 时,函数在 ? ??, ??? 内是减函数.

问题五:“小试牛刀”(巩固知识 典型例题)利用指 数函数图像性质解题 例1 判断下列函数在 ? ??, ?? ? 内的单调性: (2)y ? 3? x ;
x

说明

观察

(1) y ? 4x ;

(3)y ? 2 3 .

分析 判定指数函数单调性的关键在于判断底 a 的情 况. 解 (1) 因为底 a ? 4>1 ,所以函数 y ? 4x 在 ? ??, ? ??
强调 思考

通过例题 进一步理 解指数函 数单调性 的判断条 件

内是增函数.
4

指数函数及其图像与性质

教 过

学 程
x

教师 学生 教学 行为 行为 意图
1
x

? (2) 因为 y ? 3? x ? ? 3?1 ? ? ? ? ? ,底 a ? ? 1 ,所以函 引领 3 3 ? ?

1

主动 求解

注意观察 学生是否 理解知识点 可以交给 学生自我计 算

数 y ? 3? x 在 ? ??, ? ?? 内是减函数. (3) 因为 y ?
x
x 3 2

? 1? ? ? 23 ? ? ? ? ? ?

x

? 2?
3

x

,底 a ? 3 2 ? 1.259>1, 所 讲解

以,函数 y ? 2 3 在 ? ??, ? ?? 内是增函数. 例 2
? 9? 已知指数函数 f ( x) ? a 的图像过点 ? 2, ? ,求 ? 4?
x

说明

f (-1)的值.

引领 领会
? ? 9? ?

分析 首先由函数图像过点 ? 2, ? 可以确定底 a , 得到函 4 数的解析式.然后用计算器求出函数值. 解
9? 9 由于函数图像过点 ? ? 2, ? ,故 f (2) ? ,即 ? 4?

分析

4

9 ? a2 . 4
2 由于 ? ,且 a ? 0 ,故 ( )

强调

了解

这道题需 要用到 “待 定系数法” 这一重要 的方法, 教 学中要给 与足够的 重视,

9 4

3 2

a?

3 . 2
x

因此,函数的解析式为 所以

?3? f ( x) ? ? ? . ?2?

3 2 f (-1) ? ( ) -1 ? . 2 3
提问 及时了解 动手

*运用知识 强化练习 判断下列函数在 ? ??, ?? ? 内的单调性: (1) y ? 0.9 ;
x

π? (2) y ? ? ? ? ?2?

?x



(3) y

x ? 32

学生知识 掌握得情 况



巡视

求解

指导

交流 培养学生

*归纳小结 强化思想 (1)你学习了哪些内容? (2)在学习方法上你有哪些体会? (3)评选最佳学习小组和个人
引导 提问 回忆 反思 交流

总结反思 学习过程 能力

5

指数函数及其图像与性质

教 过

学 程

教师 学生 教学 行为 行为 意图
课后继续 探究 说明 记录

问题 6 :“大显身手”(继续探索 活动探究) 课后思考:某市 2008 年国民生产总值为 20 亿元,计 划在未来 10 年内, 平均每年按 8%的增长率增长,分别 预测该市 2013 年与 2018 年的国民生产总值(精确到 0.01 亿元). 课后作业(继续探索 活动探究) 必做题: P75 练习 4.2.1 第 2 题 P77 习题 4.2A 组第 2 题 选做题:P75 练习 4.2.1 第 3 题 寄语: 博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。《礼记》

问题 6 不仅 和主页相结 合,也为下 一节做好铺 垫

七、板书设计:

电子白板

2.1.2 指数函数及其图像与性质 一、指数函数定义 三、例题精讲 二、指数函数性质 四、练习 五、小结作业

八、教学反思 1、以问题为载体,激发了学生的兴趣,并且在解决的问题中获得成功的喜悦。 2、以合作为方法,培养学生的团队合作精神,合作的同时又要独立的思考探究。 3、以信息技术为工具,提高了课堂效率,也让学生更形象直观的理解知识。

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